欧洲数学史

数学史

【中世纪数学】

12、13 世纪欧洲数学界的代表人物是斐波那契，他向欧洲人介绍了印度-阿拉伯数码和位值制记数法，以及各种算法在商业上的应用。中国的盈不足术和《孙子算经》的不定方程解法也出现在斐波那契的书中。此外他还有很多独创性的工作。

16、17 世纪的欧洲，漫长的中世纪已经结束，文艺复兴带来了人们的觉醒，束缚人们思想自由发展的烦琐哲学和神学的教条权威逐步被摧毁了。封建社会开始解体，代之而起的是资本主义社会，生产力大大解放。资本主义工场手工业的繁荣和向机器生产的过渡，促使技术科学和数学急速发展。

在科学史上，这一时期出现了许多重大的事件，向数学提出新的课题。首先是哥白尼提出地动说，使神学的重要理论支柱的地心说发生了根本的动摇。他的弟子雷蒂库斯见到当时天文观测日益精密，推算详细的三角函数表已成为刻不容缓的事，于是开始制作每隔10"的正弦、正切及正割表。当时全凭手算，雷蒂库斯和他的助手勤奋工作达12 年之久，直到死后才由他的弟子奥托完成。

文艺复兴时期，由于艺术家所创建的透视法，逐步形成了射影几何学；在斐波纳契《算盘书》之后，欧洲也出现了一些数学著作，从而促进了十进分数的理论及运算的发展；１６世纪初期，最出色的数学成就，是意大利数学家发现了三次、四次方程的代数解法，有的使用了虚数，还改进了当时的数学符号；在三角学发展方面，欧洲人也把三角学从天文学独立出来，使之成为一门独立的学科，并重新定义了各种三角函数的概念，还编制了非常精密的三角函数表。中世纪，欧洲数学是在吸收并消化希腊、阿拉伯的数学知识之后才逐渐得到了发展的。

欧洲三次方程解法的发现是在16世纪的意大利，那时，数学家常常把自己的发现秘而不宣，而是向同伴提出挑战，让他们解决同样的问题。想必这是一项很砥砺智力，又吸引人的竞赛，三次方程的解法就是这样发现的。最初，有一个叫菲奥尔的人，从别人的秘传中学会了解一些三次方程，便去向另一个大家称为塔尔塔利亚的人挑战。他很聪明，又很勤奋，靠自学掌握了拉丁文，希腊文和数学。这次他成功解出了菲奥尔提出的所有三次方程，菲奥尔却不能解答他提出的问题。当时很有名的卡尔丹于是恳求他传授解三次方程的办法，并发誓保守秘密，塔尔塔利亚才把他的方法写成一句晦涩的诗交给卡尔丹．后来卡尔丹却背信弃义，把这个方法发表在1545年出版的书里。在书中他写道：＂波伦亚的费罗差不多在三十年前就发现了这个方法，并把它传给了菲奥尔。菲奥尔在与塔尔塔利亚的竞赛中使后者有机会发现了它．塔尔塔利亚在我的恳求下把方法告诉了我，但保留了证明．我在获得帮助的情况下找出了它各种形式的证明。这是很难做到的。＂卡尔丹的背信弃义使塔尔塔利亚很愤怒，他马上写了一本书，争夺这种方法的优先权。他与卡尔丹的学生费拉里发生了公开冲突。后来费拉里又解决了四次方程的公式解法。

1545年，意大利学者卡尔丹发表了三次方程X^3+pX+q=0的求根公式，卡尔丹是第一个把负数写在二次根号内的数学家，并由此引进了虚数的概念，后来经过许多数学家的努力发展成了复数的理论。

在数字计算方面，斯蒂文系统地阐述和使用了小数，接着纳皮尔创制了对

数，大大加快了计算速度。以后帕斯卡发明了加法机，莱布尼茨发明了乘法机，虽然未臻于实用，但开辟了机械计算的新途径。

列昂纳多·斐波那契（1170-1240），意大利数学家，“斐波那契数列”和分数的发明者。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。

斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）特别指出：第0项是0，第1项是第一个1

通项公式推导

利用特征方程（线性代数解法）

线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1

解得则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n

∵F(1)=F(2)=1

∴C1*X1 + C2*X2=C1*X1^2 + C2*X2^2=1

解得C1=1/√5，C2=-1/√5 ∴F(n)= 如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格

切成四块,拼成一个5*13的长方形,故作惊讶地问你：为什么64＝65?其实就是利用了菲波那契数列的这

个性质：5、8、13正是数列中相邻的

三项,事实上前后两块的面积确实差1,

只不过后面那个图中有一条细长的狭

缝,一般人不容易注意到

有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n 趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618.（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近黄金分割0.618、前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666...，3÷5=0.6，5÷8=0.625，…………，55÷89=0.617977…，…………144÷233=0.618025…46368÷

75025=0.6180339886…...越到后面，这些比值越接近黄金比。

斐波那契螺旋线，以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里

面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线。

一元三次方程的解法，这里介绍盛金公式（1989）

【近代数学史】

指１７-１９世纪的数学发展概况。具体来说，就是自笛卡儿、费马创立了解析几何之后，把变量引入到数学中，使数学拓展了新的领域；而牛顿、莱布尼茨创立了微积分学；纳白尔、比尔吉发明了对数；巴斯卡、费马、惠更斯兴起了概率论。

【１７世纪数学】

１７世纪初期继续着上一世纪的研究。３０年代，费尔马与笛卡儿分别以古希腊的圆锥曲线理论为基础，通过引入坐标和变量的概念建立了几何中的曲线与代数中的方程之间的内在联系，创立了解析几何学。

费尔马的著作完成于１６３０年左右，虽然到１６７９年才得以出现，但其思想与方法已在同时代人中产生了影响，笛卡儿的《几何学》作为巨著《方法论》的附录，于１６３７年正式出现，标志着解析几何的诞生，并为微积分的创立做了准备。微积分是１７世纪最辉煌的数学创造，也是自希腊时代以来数学中一系列重要创造的继续和发展，尤其是自文艺复兴以来，由于科学技术中各种实际问题的推动，对变速运动规律的研究，对曲线切线、函数极值、物体重心和引力的研究，以及对曲线、曲面各种度量问题的研究，到１７世纪中期已经积累了大量具体成果和方法。１６６６年１０月，牛顿完成了第一篇系统的微积分论文，此后在将近４０年的时间里不断改进和发展了这一理论。

莱布尼茨于１６７３年左右独立于牛顿接触到微积分的实质性问题，大约在１６７５年完成了创建微积分的工作。与牛顿的工作相比，他更注重于发展微积分的形式化算法和建立一套简洁、明确而有效的符号，他于１６８４年先于牛顿发表了第一篇微积分论文。牛顿和莱布尼茨的历史功绩在于从众多零散成果中确立了微积分的基本概念，普遍方法和一般形式，使之最终成为一门完整而统一的数学分支。

１７世纪，在几何领域发生的另一场重大变革就是射影几何的建立。１６３９年，笛沙格在一篇论文中把无穷远元素引入几何学，得到射影几何中的一些基本命题，特别是"笛沙格定理"，是全部射影几何的基本定理。通过研究笛沙格的著作，巴斯卡得到射影几何中另一些重要定理，尤其是著名的巴斯卡定理，并于１６４０年发表了《圆锥曲线论》是自阿波罗尼奥斯以来圆锥曲线论的最大进步。

１７世纪，由于使用字母系数而使证明有了一种尺度，代数学已上升为一门科学，方法和理论都得以大大扩展，１６３７年，笛卡儿在《几何学》中给出了关于高次方程正根与负根个数的笛卡儿符号法则。１６５３年，巴斯卡在《论算术三角形》一书（１６６５年出现）中深入地讨论了二项式系数和基本的组合关系，并给出了数学归纳法的最早陈述。１６６５年，牛顿给出了有理指数的二项式定理，１６７１年他又给出了求方程实根近称值的牛顿法。１６９３年，莱布尼茨创立了行列式理论。１７世纪的数论主要是在费尔马的推动下进步的，他给出了关于素数、完全数、亲和数、不定方程等方面的许多重要结果，但通常只是给出命题却很少证明。证明大多由欧拉和拉格朗日在１８世纪给出，而最著名的费尔马大定理至今仍未获得证明。此外，默森尼研究了形如２P-１（ｐ为素数）的素数，笛卡儿给出了一条探索亲和数的规则。莱布尼茨得到了后人所说的用于素数检验的威尔逊定理。

１６５４年，巴斯卡与费尔马在通信中讨论了"赌博中断问题"，从而共同创立了概率论。在此基础上，１６５７年惠更斯发表了概率论的第一篇正式论文--《论赌博中的推理》，其中首次引入了"数学期望"这一重要概念。这一时期计算技术的一个十分引人注目的进步是原始计算机的发明，１６２３年，德国科学家席卡德制造了第一台机械计算机的模型。１６４２年，巴斯卡制成了第一台可供实用的计算加减法的机械，１６７１年，莱布尼茨制成了可进行乘除运算的计算机。这些工作标志着计算开始由手工时代进入机械时代，并成为后世电子计算机的源头。

１７世纪的数学不仅由于解析几何与微积分的创立而成为近代数学的开端，它在数学成果、方法与思想各方面的丰富创造也对后世数学的发展产生了极为深远的影响。