中国古代数学史ppt课件
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《数学史》周髀算经》与《九章算术》(课堂PPT)
与希腊数学相比，中世纪的东方数学表现出强烈的算法精神， 特别是中国与印度数学，着重算法的概括，不讲究命题的数学推 导。
就繁荣时期而言，中国数学在上述三个地区是延续最长的。从 公元前后至公元14世纪，先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、 魏晋南北朝时期以及宋元时期，其中宋元时期达到了中国古典数学 的顶峰。
▪ 儒家以“九数”为核心，具有鲜明的政治和人文色彩，并以《周易》 象数学宇宙论为哲学依托.
▪ 墨家则以几何学为核心，具有一定的抽象性和思辨性，以《墨经》的 逻辑学为其论说的工具。
▪ 名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出 “矩不方，规不可以为圆”，把“大一”(无穷大)定义为“至大无 外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰， 日取其半，万世不竭”等命题。
作用。
23
24
▪ 第一卷 叙述了西周开国时期（约公元前 1100年）周公商高的问答：
25
《周髀算经》上卷 :勾股定理的证明
▪
昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔
者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而
度，请问数安从出？”
▪
商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，
矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅
《九章算术》采用问题集的形式，全书246个问题，分成九章。
38
中国古代数学体系形成
▪ 《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总 结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、 今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、 盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、 正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的 方法)等，水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世 界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以筹算为 中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。
就繁荣时期而言，中国数学在上述三个地区是延续最长的。从 公元前后至公元14世纪，先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、 魏晋南北朝时期以及宋元时期，其中宋元时期达到了中国古典数学 的顶峰。
▪ 儒家以“九数”为核心，具有鲜明的政治和人文色彩，并以《周易》 象数学宇宙论为哲学依托.
▪ 墨家则以几何学为核心，具有一定的抽象性和思辨性，以《墨经》的 逻辑学为其论说的工具。
▪ 名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出 “矩不方，规不可以为圆”，把“大一”(无穷大)定义为“至大无 外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰， 日取其半，万世不竭”等命题。
作用。
23
24
▪ 第一卷 叙述了西周开国时期（约公元前 1100年）周公商高的问答：
25
《周髀算经》上卷 :勾股定理的证明
▪
昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔
者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而
度，请问数安从出？”
▪
商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，
矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅
《九章算术》采用问题集的形式，全书246个问题，分成九章。
38
中国古代数学体系形成
▪ 《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总 结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、 今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、 盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、 正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的 方法)等，水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世 界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以筹算为 中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。
中国古代数学史
刘微的逻辑思想和数学理论系统体系
数学定义；改变了对《九章算术》对概念约定俗成的做法，给数学概念以明确的定义。 数学证明：三段论，关系推理，假言推理，选言推理，联言推理，二难推理等重要的推理形式。
中国传统数学的高潮——唐中叶至元2.计算技术的改进和珠算的发明 3.勾股容圆
4开方数、正负数、方程术
开方数X*n=A(n>=2) a0x*n+a1x*(n-1)+……+a(n-1)x=A
正负数（+-a）-(+-b)=(+-(a-b))a>=b;(+-a)-(+-b)=(-+(b-a)),a<=b 方程数
中国传统数学理论体系的完成——东汉末至唐中叶的数学
赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他 在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重 要的数学文献。在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾 股形的5个公式；在“日高图及注”中，他用图形面积证明汉代普遍应用的重 差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。
盈不足数
3.面积、体积、勾股与测望
面积s=1/2lr=1/4ld 体积 V=1/3abh v=1/6abh;v=1/6[(2b1+b2)a1+(2b2+b1)a2)]h;v=1/36(l1l2+l1*2+l2*2)h 勾股定理与解勾股形(c+a):b=m:n(m表示勾弦并率，n表示股率） 勾股容方容圆 d=2ab/a+b+c
西方数学的会通
1701年法国人杜德美带来J.格雷果里的“弧求正弦”、“弧求正矢” 和I.牛顿的“圆径求周”三个无穷级数的公式，但没有证明。1800年前 后，明安图、董祐诚、项名达各自依据《数理精蕴》提出的“连比例” 方法，对这些级数进行研究，获得一些创造性结果。明安图著有《割 圆密率捷法》4卷 （1774年由他的学生陈际新定稿），他除了证明杜 德美传入的 3个公式外，还创造“弧求通弦”、“弧求正矢”、“通弦 求弧”、“正矢求弧”、“正弦求弧”、“正矢求弧” 6个新的公式。
数学发展的历史PPT课件
④断代史和分科史研究 德国数学家（C.）F.克莱因著的《19世纪数学发展 史讲义》(1926～1927)一书，是断代体近现代数学史研究的开始，它成书于 20世纪，但其中所反映的对数学的看法却大都是19世纪的。直到1978年法国 数学家J.迪厄多内所写的《1700～1900数学史概论》出版之前，断代体数学 史专著并不多，但却有（C.H.）H.外尔写的《半个世纪的数学》之类的著名
2 微积分的产生是第二次思想解放
第二次数学危机源于极限概念的提出。微积分
的问题，实际上就是解决连续与极限的问题．牛
顿在发明微积分的时候， 牛顿合理地设想：Δ t
越小，这个平均速度应当越接近物体在时刻t时的
论文。
2021/3/7
CHENLI
8
⑤历代数学家的传记以及他们的全集与《选集》的整理和出版 这是数学史 研究的大量工作之一。此外还有多种《数学经典论著选读》出现，辑录了历代 数学家成名之作的珍贵片断。
⑥专业性学术杂志 最早出现于19世纪末，现代则有国际科学史协会数学史 分会主编的《国际数学史杂志》。
因此，数学史研究既要遵循史学规律，又要遵
循数理科学的规律。根据这一特点，可以将数
理分析作为数学史研究的特殊的辅助手段，在
缺乏史料或史料真伪莫辨的情况下，站在现代
数学的高度，对古代数学内容与方法进行数学
原理分析，以达到正本清源、理论概括以及提
出历史假说的目的。数理分析实际上是“古”
2与021/“3/7 今”间的一种联系CH。ENLI
科学和哲学的团体。他们认为“数”是万物的本源， 是数学严密性和次序性的唯一依据，是在宇宙体系里 控制着自然的永恒关系，数是世界的准则和关系，是 决定一切事物的，“数统治着宇宙”，支配着整个自 然界和人类社会。但是学派中一个叫希帕索斯的学生 在研究 1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比 例写成的数可以表示它。无理数的发现推翻了毕达哥 拉斯等人的信条，打破了所谓给定任何两个线段，必 定2能021/3找/7 到第三个线段使得给CHE定NLI的线段都是这个线段的10 整数倍。
数学史PPT课件
流形、张量、微分形式 等基本概念介绍
外微分、变分法等基本 方法探讨
微分几何在物理学中应用
1
微分几何在广义相对论中的应用
2
爱因斯坦场方程与黎曼几何的联系
时空弯曲与引力效应的解释
3
微分几何在物理学中应用
微分几何在其他物理学领域的应用举 例
量子力学、量子场论等领域的应用实 例
04
分析学领域里程碑式进展
高斯、波尔约、罗巴切夫斯基等人的贡献
非欧几何诞生及其意义
双曲几何
罗巴切夫斯基的创立，基于不同的平行公理
椭圆几何
黎曼的创立，考虑弯曲空间中的几何性质
非欧几何诞生及其意义
非欧几何的意义与影响 打破了欧几里得几何一统天下的局面
为现代数学和物理学的发展奠定了基础
拓扑空间概念引入和性质探讨
拓扑空间的定义与基本性质 开集、闭集、邻域等基本概念介绍 连续映射、同胚等拓扑性质探讨
数学应用领域的挑战
随着科技的发展，数学在各个领域的应用越来越广泛，但也面临着 一些挑战，如数学模型与实际应用之间的鸿沟、计算复杂性等。
数学研究的前沿问题
数学研究中仍有许多前沿问题有待解决，如P=NP问题、黎曼猜想等 ，这些问题对数学发展具有重要意义。
未来发展趋势预测
数学教育的创新与普及
随着教育技术的不断发展，数学教育将更加注重创新教学方法和 普及数学知识，提高全民数学素养。
数学与科技的深度融合
数学将在人工智能、大数据、量子计算等领域发挥更加重要的作用 ，推动科技进步。
跨学科合作与研究
未来数学研究将更加注重跨学科合作，与其他学科领域共同解决复 杂问题，推动数学研究的发展。
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数学史简介ppt
代数几何的融合
18世纪也是代数几何融合的关键时期 ，数学家开始将代数学和几何学的思 想和方法结合起来，推动了代数几何 的发展。
04
现代数学
19世纪的数学发展
数学分析的严格化
19世纪的数学家如柯西和魏尔斯特拉 斯等，对微积分的基础进行了严格的 定义和证明，解决了长久以来的数学 危机。
代数几何的兴起
用于宗教、哲学和天文研 究等。
数学的早期发展
古希腊数学
以欧几里得几何学为代表 ，对数学的基础理论进行 了深入探讨。
阿拉伯数学
在代数和三角学方面取得 了重要进展。
中国数学
以《九章算术》为代表， 注重实际应用和算法研究 。
古代数学家的贡献
泰勒斯
古希腊哲学家和数学家，被认为 是西方哲学和数学的奠基人。
设计，提高产品的可靠性和效率。
02
土木工程
在土木工程领域，数学被用于建筑、桥梁、道路等基础设施的设计和建
设中。数学模型可以帮助工程师分析结构的力学性能、优化设计方案、
预测施工过程中的问题等。
03
电子工程
在电子工程领域，数学被用于电路设计、信号处理、电磁场分析等方面
。数学模型和算法可以帮助工程师更好地理解和设计电子系统，提高通
非欧几何的发现
高斯、波尔约和罗巴切夫斯基等人的 工作，发现了非欧几何这一新的几何 体系，对数学和物理学的发展产生了 深远影响。
随着代数和几何的结合，形成了代数 几何这一新的数学分支，为后续的数 学研究提供了新的思路和方法。
20世纪的数学发展
抽象代数的兴起 进入20世纪，群论、环论、域论等抽象代数分支的兴起，为数学 的发展开辟了新的道路。
数学史简介
汇报人：可编辑
18世纪也是代数几何融合的关键时期 ，数学家开始将代数学和几何学的思 想和方法结合起来，推动了代数几何 的发展。
04
现代数学
19世纪的数学发展
数学分析的严格化
19世纪的数学家如柯西和魏尔斯特拉 斯等，对微积分的基础进行了严格的 定义和证明，解决了长久以来的数学 危机。
代数几何的兴起
用于宗教、哲学和天文研 究等。
数学的早期发展
古希腊数学
以欧几里得几何学为代表 ，对数学的基础理论进行 了深入探讨。
阿拉伯数学
在代数和三角学方面取得 了重要进展。
中国数学
以《九章算术》为代表， 注重实际应用和算法研究 。
古代数学家的贡献
泰勒斯
古希腊哲学家和数学家，被认为 是西方哲学和数学的奠基人。
设计，提高产品的可靠性和效率。
02
土木工程
在土木工程领域，数学被用于建筑、桥梁、道路等基础设施的设计和建
设中。数学模型可以帮助工程师分析结构的力学性能、优化设计方案、
预测施工过程中的问题等。
03
电子工程
在电子工程领域，数学被用于电路设计、信号处理、电磁场分析等方面
。数学模型和算法可以帮助工程师更好地理解和设计电子系统，提高通
非欧几何的发现
高斯、波尔约和罗巴切夫斯基等人的 工作，发现了非欧几何这一新的几何 体系，对数学和物理学的发展产生了 深远影响。
随着代数和几何的结合，形成了代数 几何这一新的数学分支，为后续的数 学研究提供了新的思路和方法。
20世纪的数学发展
抽象代数的兴起 进入20世纪，群论、环论、域论等抽象代数分支的兴起，为数学 的发展开辟了新的道路。
数学史简介
汇报人：可编辑
中国古代数学史PPT学习教案
第21页/共44页
祖暅原理（幂势既同，则积不容异） 与球体积公式刘徽原理与“牟合方盖”
用水平截面去截球和“牟合方盖”， 可知截面的面积之比恒为π：4，于是
由刘徽原理立即得到V球:V牟=π：4即 V球= （第π22页//共44）4页 V牟。
“小方盖差” 与球体积公式
左图，小牟合方盖中，PQ是小牟合方盖被 水平截平面得到正方形的一边，设为a， UQ是球半径r，UP是高h。根据勾股定理 得a2 = r2 – h2;这正是截平面PQRS的面积
割圆术的基本原理
其次知道了圆内接正n 边形的 周长 Ln，又可求得正2n边形的面积， 如果在圆内接n边形的每边上作一高为 CD的矩形，就可以证明刘徽不等式： S2n第1<8页S/共04<4页 S2n + ( S2n－Sn ).
刘徽用“割圆术”从圆 内接正六边形出发，算 到圆内接正192边形，得 到圆周率约为3.14124， 其精确到小数点后两位 的近似值3.14=157/50， 被称为“徽率”。
[一]今有田广十五步，从 十六步，问为田几何？ 答曰：一亩。
[二]又有田广十二步，从 十四步，问为田几何？ 答曰：第一5页/共百44页六十八步。
方田术曰：广从步数相
[五]今有十八分之十二， 问约之得几何？答曰： 三分之二。
[六]又有九十一分之四十 九，问约之得几何？答 曰：十三分之七。
约分术曰：可半者半之， 不可半者，副置分母子 之数，以少减多，更相 减损，第6求页/共4其4页 等也，以等 数约之。
N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）
其解法写作“孙子歌”：三人同行七十稀， 五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百
零五便得知。.计算过程为：N=70×2+21×3
祖暅原理（幂势既同，则积不容异） 与球体积公式刘徽原理与“牟合方盖”
用水平截面去截球和“牟合方盖”， 可知截面的面积之比恒为π：4，于是
由刘徽原理立即得到V球:V牟=π：4即 V球= （第π22页//共44）4页 V牟。
“小方盖差” 与球体积公式
左图，小牟合方盖中，PQ是小牟合方盖被 水平截平面得到正方形的一边，设为a， UQ是球半径r，UP是高h。根据勾股定理 得a2 = r2 – h2;这正是截平面PQRS的面积
割圆术的基本原理
其次知道了圆内接正n 边形的 周长 Ln，又可求得正2n边形的面积， 如果在圆内接n边形的每边上作一高为 CD的矩形，就可以证明刘徽不等式： S2n第1<8页S/共04<4页 S2n + ( S2n－Sn ).
刘徽用“割圆术”从圆 内接正六边形出发，算 到圆内接正192边形，得 到圆周率约为3.14124， 其精确到小数点后两位 的近似值3.14=157/50， 被称为“徽率”。
[一]今有田广十五步，从 十六步，问为田几何？ 答曰：一亩。
[二]又有田广十二步，从 十四步，问为田几何？ 答曰：第一5页/共百44页六十八步。
方田术曰：广从步数相
[五]今有十八分之十二， 问约之得几何？答曰： 三分之二。
[六]又有九十一分之四十 九，问约之得几何？答 曰：十三分之七。
约分术曰：可半者半之， 不可半者，副置分母子 之数，以少减多，更相 减损，第6求页/共4其4页 等也，以等 数约之。
N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）
其解法写作“孙子歌”：三人同行七十稀， 五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百
零五便得知。.计算过程为：N=70×2+21×3
中国古代数学ppt课件
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4.2.1 《周髀算经》和勾股定理
《杜忠算术》和《许商算术》是中国有 记载可考的最早的数学著作
《算数书》是目前中国所能见到的最早 的数学专著
《周髀算经》是比《九章算术》更早的 一本具重要影响的数学专著
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4.2.1 《周髀算经》和勾股定理
《周髀算经》是一部介绍宇宙模型的天 文学著作，但其包含了深刻的数学内容， 如分数运算、勾股定理等
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4.2.2 《九章算术》
例说《算术》的成就： 1.各种比例问题
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4.2.2 《九章算术》
例说《算术》的成就： 2.几何成就
勾股章第6题：“今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺，引葭赴岸， 适与岸齐。问水深、葭长 各几何？答曰，水深一丈 二尺，葭长一丈三尺。”
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4.2.2 《九章算术》
中国数学中关于开平方、开立方的方法 都是二项展开式的原则运用。因此，找 出二项展开式中的系数的规律就可以利 用它来进行对高次幂的开方。中国数学 史上，较早给出二项式展开式中的系数 规律的是北宋数学家贾宪。
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4.3.1 高次方程的数值解法
贾宪利用贾宪三角进行高次开方 x2 =(a+b)2 , 称为“增乘开方法” 秦九韶在其名著《数书九章》中将“增
乘开方法”推广到高次方程的求解，称 为“正负开方术”
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4.3.2秦九韶的数学成就
《孙子算经》中提出了“物不知其数问 题”并给出了解答，但对这类问题的研 究只是初具雏形。秦九韶把这个问题和 解法进行了推广，创立了“大衍求一 术”，得到了孙子剩余定理，从理论上 彻底解决了一次同余式组的一般解法。
4.2.1 《周髀算经》和勾股定理
《杜忠算术》和《许商算术》是中国有 记载可考的最早的数学著作
《算数书》是目前中国所能见到的最早 的数学专著
《周髀算经》是比《九章算术》更早的 一本具重要影响的数学专著
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4.2.1 《周髀算经》和勾股定理
《周髀算经》是一部介绍宇宙模型的天 文学著作，但其包含了深刻的数学内容， 如分数运算、勾股定理等
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4.2.2 《九章算术》
例说《算术》的成就： 1.各种比例问题
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4.2.2 《九章算术》
例说《算术》的成就： 2.几何成就
勾股章第6题：“今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺，引葭赴岸， 适与岸齐。问水深、葭长 各几何？答曰，水深一丈 二尺，葭长一丈三尺。”
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4.2.2 《九章算术》
中国数学中关于开平方、开立方的方法 都是二项展开式的原则运用。因此，找 出二项展开式中的系数的规律就可以利 用它来进行对高次幂的开方。中国数学 史上，较早给出二项式展开式中的系数 规律的是北宋数学家贾宪。
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4.3.1 高次方程的数值解法
贾宪利用贾宪三角进行高次开方 x2 =(a+b)2 , 称为“增乘开方法” 秦九韶在其名著《数书九章》中将“增
乘开方法”推广到高次方程的求解，称 为“正负开方术”
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4.3.2秦九韶的数学成就
《孙子算经》中提出了“物不知其数问 题”并给出了解答，但对这类问题的研 究只是初具雏形。秦九韶把这个问题和 解法进行了推广，创立了“大衍求一 术”，得到了孙子剩余定理，从理论上 彻底解决了一次同余式组的一般解法。
数学史概论1.4.下ppt
（四）朱世杰
朱世杰字汉卿,号松庭,元朝人,籍贯燕山(今北京附近).他长期从事数学研究 和教育事业,以数学名家周游湖海二十多年,四方登门来学习的人很多.著作《算 学启蒙》三卷、《四元玉鉴》三卷等著名,把我国古代数学推向更高的境界,形 成宋、元时期中国数学的最高峰.
《算学启蒙》是朱世杰在元成宗大德三年(公元 1922年)刊印的,全书分三卷,二十门,总计二百五十 九个问题和相应的解答.自乘除运算起,一直讲到当 时数学发展的最高成就“天元术”，全面介绍了 当时数学所包含的各方面内容.它的体系完整,
中的参数 t 的三个系数.
(iii)《缉古算经》与三次方程
x3 px2 qx c
2 中国数学发展的高峰——宋元数学
宋元时期
宋元四大家
杨 辉 《详解九章算法》（1261）、 《日用算法》（1262）、 《杨辉算法》（1274—1275）；
秦九韶 《数书九章》（1247）；
李 冶 《测圆海镜》（1248）和《益古演段》（1259） 朱世杰 《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）
从“贾宪三角”到秦九韶“正负开方术”
高次方程数值解 xn+a1 xn-1 + a2 xn-2 + …… + an-1 x +an = 0 商
实 an
方 an-1
一廉 an-2
二廉 an-3
n-2廉 a1 隅1
贾 宪 三 角
刘益方程解法的成就: 刘益的数学著作《议古根源》载有二百道数学问题及 其解法, 其中大部分都是求方程的根 . 在刘益以前的方程大都有一定的限制, 首项系数是正的而且是“1”, 贾宪所研究的也不例外. 刘益第一个在这方面进 行了推广. 例如在他研究的问题中有相当于7x2 =9072 , -5x2 + 228x＝2592等方 程, 特别是他研究了一个四次方程: -5x4 + 52x3 + 128x2＝4096, 这在我国数学史 上是少见的.
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的骨架加上汉代的皮肉。”
《周髀算经》主要是以文字形式叙述 了勾股算法。中国古代最先完成勾股 定理证明的数学家是三国时期的赵爽 （公元3世纪）。赵爽为《周髀算经》 作注时，所作的“勾股圆方图注”中 给出了“弦图”，相当于运用面积的 出入相补证明了勾股定理。
《九章算术》成书于公元前后，
是我国最重要、影响最深远的
秉，中禾三秉，下禾一秉，实
方
三十四斗；上禾一秉，中禾二 秉，下禾三秉，实二十六斗；
程
问上、中、下禾实一秉各几何？
术
正负数的加减运算法则：“同
名相除，异名相益，正无入负
之，负无入正之。其异名相除，
同名相益，正无入正之，负无
正
入负之。”
负
“同名、异名”指“同号、异 号”，“相除、相益”指“绝
术
对值相减、相加”。前4句是
第九章“勾股”在《周髀算经》中 勾股定理的基础上，形成了应用问 题的“勾股术”，从此它成了中算 中重要的传统内容之一。
勾 今有池方一丈，葭生其中央，出水
股
一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水 深、葭长各几何？答曰：水深一丈
术 二尺；葭长一丈三尺。
术曰：半池方自乘，以出水一尺自 乘，减之。余，倍出水除之，即得 水深。加出水数，得葭长。
[二]又有田广十二步，从十四步， 问为田几何？答曰：一百六十八步。
方田术曰：广从步数相乘得积步， 以亩法二百四十步除之，即亩数， 百亩为一倾。
[五]今有十八分之十二，问约之 得几何？答曰：三分之二。
[六]又有九十一分之四十九，问 约之得几何？答曰：十三分之七。
约分术曰：可半者半之，不可半 者，副置分母子之数，以少减多， 更相减损，求其等也，以等数约 之。
九
算术注》，在数学的发展历史
章
中具有崇高的地位，足可与希
算
腊的《几何原本》东西辉映，
术
各具特色。 《九章算术》全书共分9章，
246道题，体例采用问题集形
式。
第一章“方田”讲述有关平面图形 （土地田亩）面积的计算方法，包 括分数算法，38个问题。
[一]今有田广十五步，从十六步， 问为田几何？答曰：一亩。
开方术曰：置积为实，借一算
开
步之，超一等。议所得，以一
方
乘所借一算为法，而以除，除 已，倍法为定法。其复除，折
术
法而下。复置借算步之如初，
以复议一乘之。所得副之，以
加定法，以除，以所得副从定
法。复除折下如前。
第五章“商功”讲述各种土木工 程中的体积计算。我国自远古以 来，对筑城、挖沟、修渠等土建 工程积累了丰富的经验，创造了 许多有关土方体积计算和估算的 方法，本章即为经验和方法的理 论总结，诸如长方体、台体、圆 柱体、锥体等体积的计算公式都 与现在一致，只是圆周率取3，误 差较大。
中国古代数学的主要成就
《周髀算经》是我国最早的天
文著作，系统地记载了周秦以
来适应天文需要而逐步积累的
周
科技成果。该书的主要内容是
髀
周代传下来的有关测天量地的 理论和方法。
算 经
《周髀算经》也是中国最古的 算书，成书确切年代没有定论，
一般认为在公元前2、3纪。李
约瑟认为：“最妥善的办法是
把《周髀算经》看作具有周代
•《九章算术》标志着中 国传统数学的知识体系 已初步形成。代表了中 国传统数学体系和思想 方法的特点：注重实际 问题的数值计算方法， 缺少抽象的理论和逻辑 系统性，使用算筹，形 成世界上独有的计算工 具和程序化计算方法
刘徽，公元3世纪魏晋时人，
刘
于公元263年撰《九章算注》。 该书包含了刘徽本人的许多创
第二章“粟米”讲述有关粮食交换 中的比例问题。书中的“今有术” 给出比例式中已知三数求第四数的 方法，欧洲迟至15世纪才出现。
第三章“衰分”讲述配分比例和等 差、等比等问题。
第四章“少广”讲述由田亩面积求 边长，由球体积求经长的算法，这 是世界上最早的多位数开平方、开 立方法则的记载。
今有积五万五千二百二十五步， 问为方几何？答曰：二百三十 五步。
减法规则，后4句是加法规则。
李文林在《数学史教程》中指出： “对负数的认识是人类数系扩充 的重大步骤。如果说古希腊无理 量是演绎思维的发现，那么中算 负数则是算法思维的产物。中算 家们心安理得地接受并使用了这 一概念，并没有引起震撼和迷 惑。”
国外首先承认负数的是7世纪印度 数学家婆罗门及多，欧洲16世纪 时韦达等数学家的著作还回避使 用负数。
第六章“均输”讲述纳税和运输 方面的计算问题，实际上是比较 复杂的比例计算问题。
第七章“盈不足”讲述算术中盈 亏问题的解法。盈不足术实际上 是一种线性插值法。该方法通过 丝绸之路传入阿拉伯国家，受到 特别重视，被称为“契丹算法”。 后来传入欧洲，13世纪意大利数 学家斐波那契的《算经》一书中 专门有一章讲“契丹算法”。
第八章“方程”讲述线性方程组 的解法，还论及正负数概念及运 算方法。
中算的方程，本意是指多元一次
方
方程组（线性方程组）。刘徽在
程
《九章算术注》中指出：“程， 课程也。群物总杂，各列有数，
术
总言其实。令每行为率，二物者
再程，三物者三程，皆如物数程
之，并列为行，故谓之方程。”
今有上禾三秉，中禾二秉，下 禾一秉，实三十九斗；上禾二
徽
造，其中最突出的成就是“割
的
圆术”和求积理论。
数
割圆术的要旨是用圆内接正多 边形去逐步逼近圆。刘徽从圆
学
内接正六边形出发将边数逐次
成 就பைடு நூலகம்
加倍，计算每次得到的正多边 形周长和面积。他指出：“割 之弥细，所失弥少，割之又割，
以至于不可割，则与圆合体而
无所失矣。”
割圆术的基本原理
设圆面积为S0、半径为 r、 圆内接正n边形边长为 ln 、
周长为 Ln、面积为 Sn 。将边
数加倍后,得到圆内接正2n边
形，其边长、周长、面积分别
记为 l2n , L2n , S 2n 。 刘徽首先指出，由 ln 及勾股 定理可求出 l2n
其次知道了圆内接正n 边形的
一本数学著作。后世不少人，
如刘徽、祖冲之、李淳风等人
九
均对《九章算术》作过注。特
章
别是刘徽的注，加进了不少自
算 术
己的精辟见解，阐述了重要的 数学理论。《九章算术注》是 《九章算术》得以流芳百世的
重要补充和媒介。
日本数学家小苍金之助把《九
章算术》说成是中国的《几何
原本》。吴文俊教授也认为，
《九章算术》和刘徽的《九章