数值分析上机实习题答案

[数值分析]

2017-2018 第二学期上机实习题

1：编程计算∑

∞

=1

1

n cn ， 其中c= 4.4942⨯10307

， 给出并观察计算结

果，若有问题，分析之。

解：matlab

编程如下：

图一：编程

图二：运行结果

Matlab 中，format long g 对双精度，显示15位定点或浮点格式，由上图

可知，当输入较小的n 值（n 分别取10,100,1000,100000,100000000）的时候，结果后面的指数中总是含有e-308，这和题目中的C 值很相似，我认为是由于分母中的C 值相对于n 值过大，出现了“大数吃小数”的现象，这是不符合算法原则的。

2：利用牛顿法求方程ln 2x x -=于区间[2,4]的根，考虑不同初值下牛顿法的收敛情况。

解：牛顿法公式为：

x k+1=x k −

x k −lnx k −2

1−1x

k

利用matlab 编程

当输入初值=3的时候并不能收敛。

输入2.8依旧不能收敛。

考虑利用plot 函数绘制函数f=x-lnx-2的图像，发现其在区间[2,4]内并无根。

3：给出

12512+=

x y 在

xk=0+0.25k 处的值yk, k=0,1,2,3,4. 请

给出由节点 xk 确定的三次样条插值函数S(x), 使其满足条件：S/(0)=0, S/(1)=-0.074, 分析逼近效果如何？

解：根据李庆扬《数值分析》第五版Page43的公式可以计算得到三次样条插值。

根据6.11和6.12式解得系数。

d0 58.5366

d1 17.15728

d2 8.67705

d3 2.0934

d4 0.905136

列方程 A*M=B；

A=

B=

解得M为

M=

由此和6.8式可得其三次样条函数如下：

得到最终的插值结果如下：

总的来说，利用三次样条插值的精度还是比较高的。

4:给出一个通用多项式拟合程序，

输入部分：数据组个数为n, 拟合的误差限

输出部分：多项式次数、系数向量、拟合的实际误差。解：程序代码：

>> [A,c,eff]=zxec

请输入变量x：[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]

请输入变量y：[1.3 3.5 4.2 5.0 7.0 8.8 10.1 12.5 13.0 15.6]

请输入拟合限差：2.50

1

1.5382 -0.3600

2.3447

A =

1.5382 -0.3600

c =

1

eff =

2.3447

>>

实例拟合结果如下图所示：

由以上拟合结果可知，在给定的限差的情况下，拟合结果为一次，得到的实际误差达到2.3447，可见拟合效果并不是很理想。如果继续缩小误差限差值，那么拟合次数将会增加，拟合的结果也将会更加趋近于真实结果。

5：已知

1

2

4

1

dx

x

π=

+

⎰

，利用复化梯形公式、复化Simpson公式和

Romberg算法求π的近似值；并观察实际计算结果，比较它们的收敛速度。

解：①复化梯形公式计算结果

分析：从结果中不断改进等分点的个数，可以看出复化梯形公式的结果需要等分至少20点才能开始收敛，若想收敛到精确值，则需要增加区间等分点数。

程序代码：

②复化Simpson 公式计算结果

分析：从结果图中可以看出对于复化Simpson公式，只需要对区间等分两次（即n=2）就可以得到非常理想的结果，说明复化Simpson公式的收敛速度非常快。程序代码：

③Romberg算法

分析：Romberg算法根据给定的限差可以直接得出收敛值，收敛速度快。程序代码：

6：用Runge-Kutta 4阶算法对初值问题y/=-20*y，y(0)=1按不同步长求解，用于观察稳定区间的作用。

注：此方程的精确解为：y=e-20x

解：结果分析：

便于比较的直观性，将龙格库塔值求出并与精确值一同绘制出来，在步长h 分别取0.1,0.025,0.01时，显示如下：

h=0.1

h=0.025

h=0.01

结果图中，虚线为龙格库塔值所成，小圆圈为真实值。从以上三幅图中可以清晰地看到，当步长取大了，误差较大，取小了，误差较少。龙格库塔法尽管可以达到较高的精度，但由于计算较为复杂，如在4阶算法中，每计算一步就要调用4次f(x,y)，固运算量大。

程序代码：