向量自回归模型(VAR)与向量误差修正模型(vec)
VAR模型、协整和VEC模型介绍学习资料
V AR模型、协整和VEC模型1. V AR（向量自回归）模型定义2. V AR模型的特点3. V AR模型稳定的条件4. V AR模型的分解5. V AR模型滞后期的选择6. 脉冲响应函数和方差分解7. 格兰杰（Granger）非因果性检验8. V AR模型与协整9. V AR模型中协整向量的估计与检验10. 案例分析1980年Sims 提出向量自回归模型（vector autoregressive model ）。
这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础。
在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。
1. V AR （向量自回归）模型定义以两个变量y 1t ，y 2t 滞后1期的V AR 模型为例，y 1, t = c 1 + π11.1 y 1, t -1 + π12.1 y 2, t -1 + u 1t y 2, t = c 2 + π21.1 y 1, t -1 + π22.1 y 2, t -1 + u 2t其中u 1 t , u 2 t ~ IID (0, σ 2), Cov(u 1 t , u 2 t ) = 0。
写成矩阵形式是，⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t y y 21=12c c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+⎥⎦⎤⎢⎣⎡1.221.211.121.11ππππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,21,1t t y y +⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t u u 21设Y t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t y y 21, c =12c c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, ∏1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1.221.211.121.11ππππ, u t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t u u 21, 则，Y t = c + ∏1 Y t -1 + u t (1.3)含有N 个变量滞后k 期的V AR 模型表示如下：Y t = c + ∏1 Y t -1 + ∏2 Y t -2 + … + ∏k Y t -k + u t , u t ~ IID (0, Ω)其中，Y t = (y 1, ty 2, t … y N , t )'， c = (c 1 c 2 … c N )'∏j =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡j NN jN jN j N jj j N j j..2.1.2.22.21.1.12.11πππππππππ, j = 1, 2, …, ku t = (u 1 t u 2,t … u N t )',不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。
向量自回归和向量误差修正模型
模型旨在捕捉变量之间的动态关 系，并分析一个经济系统中的内
在机制。
VAR模型假设变量之间的关系是 非结构性的，即它们之间的关系
是线性的。
VAR模型的参数估计
使用最大似然估计法（MLE） 来估计VAR模型的参数。
MLE是一种统计方法，用于估 计未知参数的值，使得已知数 据与模型预测的概率分布尽可 能接近。
独立同分布假设
02
模型假设误差项独立且同分布，实际数据可能无法满足这一假
设，导致模型的预测能力下降。
参数稳定性假设
03
模型假设参数在样本期间保持不变，这在现实中很难满足，参
数的变化可能影响模型的预测效果。
模型应用范围与限制
领域限制
向量自回归和向量误差修正模型 主要应用于宏观经济和金融领域 的数据分析，在其他领域的应用 可能受到限制。
向量自回归和向量误 差修正模型
目录
• 向量自回归模型（VAR） • 向量误差修正模型（VECM） • 向量自回归和向量误差修正模型的应用 • 向量自回归和向量误差修正模型的比较与选择 • 向量自回归和向量误差修正模型的局限性
01
向量自回归模型（VAR）
VAR模型的原理
多个时间序列变量同时受到各自 滞后值和相互之间滞后值的影响。
模型选择与优化
在向量误差修正模型中，需要根据实际问题和数据特点选择合适的滞后阶数和模型形式。 同时，可以通过比较不同模型的拟合优度、解释力度等指标来优化模型。
03
向量自回归和向量误差修 正模型的应用
宏观经济预测
总结词
向量自回归和向量误差修正模型在宏观经济预测中具有重要应用，能够分析多个经济变量之间的动态关系，预测 未来经济走势。
参数值。
vec指标
vec指标
"vec"指标（Vector Error Correction）是一种用于时间序列分析的方法，用于研究多个经济变量之间的关系。
在经济学中，多个经济变量之间可能存在着长期均衡关系和短期动态关系，"vec"指标可以用来估计这些关系。
具体来说，"vec"指标是一种修正误差模型（Error Correction Model，ECM）的扩展形式。
它可以用来分析经济变量之间的长期均衡关系，同时还可以考虑短期的动态调整过程。
"vec"指标建立在向量自回归模型（Vector Autoregression，VAR）的基础上，通过添加一条误差修正项，来考虑多个经济变量之间的长期均衡关系。
这个误差修正项表示的是，当某个变量与其长期均衡值之间存在偏离时，它会被引导向长期均衡关系。
"vec"指标在宏观经济学、金融学等领域得到广泛应用，可以用来分析货币政策、国际贸易、汇率波动等问题。
第07章 向量自回归和向量误差修正模型
2k 2 − k (k + 1) / 2
个约束
根据经济原理再在矩阵A中至少增加 四 根据经济原理再在矩阵 中至少增加
2k 2 − k (k + 1) / 2 − k 2 + k
(
) 个0约束 约束
11
构建SVAR模型 构建SVAR模型 第一步：实施约束：约束矩阵构建与填写） （第一步：实施约束：约束矩阵构建与填写）
5
软件操做：建立最初的VAR 软件操做：建立最初的 最初的
◎Objects/New object/VAR
估计VAR模型 ◎估计 模型
※VAR类型：unrestricted VAR 类型： 类型
填写：内生变量，外生变量， ※填写：内生变量，外生变量，及样本区间 成对输入/模型中 滞后栏目：滞后成对输入 模型中无外 ※滞后栏目：滞后成对输入 模型中无外 变量从1开始 有外生变量时滞后从0开始 开始， 开始。 生 变量从 开始 ， 有外生变量时滞后从 开始 。
三：因果关系检验 原：不是因果关系
窗口※ ※VAR窗口※ VIEW ※LAG STRUCTURE※pairwise Granger Causality Tests 窗口 ※ 软件对各个内生变量依次给出单个检验与联合检验， 值大小临界水平（ 注：软件对各个内生变量依次给出单个检验与联合检验，当P值大小临界水平（通常为 值大小临界水平 0.05）说明（X外生于 X不能 ）说明（ 外生于 外生于Y/ 不能 不能Grange 引起 ），简单地：当联合检验 值大 引起Y ），简单地 当联合检验P值大 简单地：
（1）软件短期约束基于 ）软件短期约束基于AB-型SVAR模型（ Aet 型 模型 （2）关于短期约束 ） ※ 可识别条件： AB-型SVAR模型至少需要 可识别条件： 型 模型至少需要 ※ 可识别条件一般假设结构信息
向量自回归模型(-VAR)-和VEC
模型建立与估计
模型建立
首先需要确定经济时间序列之间的长 期均衡关系，然后构建误差修正项， 最后将误差修正项引入VAR模型中。
模型估计
使用最小二乘法或广义矩估计法 （GMM）对模型进行估计。来自模型应用与实例应用
用于分析经济时间序列之间的长期均 衡关系和短期调整机制，如汇率、利 率、通货膨胀率等。
实例
02
向量误差修正模型(-VEC) 介 绍
定义与原理
定义
向量误差修正模型（Vector Error Correction Model，简称VEC）是一种用于分析 长期均衡关系和短期调整机制的计量经济模型。
原理
基于协整理论，VEC模型通过引入误差修正项来反映经济时间序列之间的长期均 衡关系，并分析短期调整机制。
向量自回归模型(-var)和vec
目录
Contents
• 向量自回归模型(-VAR) 介绍 • 向量误差修正模型(-VEC) 介绍 • 向量自回归模型(-VAR) 与向量误
差修正模型(-VEC) 的比较
目录
Contents
• 向量自回归模型(-VAR) 和向量误 差修正模型(-VEC) 的扩展与展望
以汇率和通货膨胀率为例，通过构建 VEC模型，可以分析两者之间的长期 均衡关系和短期调整机制，为政策制 定提供依据。
03
向量自回归模型(-VAR) 与向量 误差修正模型(-VEC) 的比较
模型相似性
两者都属于向量自回归模型家族， 用于分析多个时间序列之间的动
态关系。
两者都基于向量自回归模型，通 过估计参数来描述时间序列之间 的长期均衡关系和短期调整机制。
模型建立与估计
模型建立
在建立VAR模型之前，需要选择合适的滞后阶数，并确定模型中的变量。然后， 可以使用最小二乘法或最大似然法等估计方法来估计模型的参数。
VAR模型和VEC模型
关于其它识别方法：
王中昭制作
• Eviews5.1版本结出了5个评价标准的结果(见下页解释)。 例如利用实例的文件aL3得（在VAR模型估计结果窗 口中点view再选取lag structure , lag length Criteria得 到），根据金融理论，货币效应时滞在一年左右，所 以选择最大4阶,也可以结合模型检验来确定。
方程，滞后项数为b的VAR模型，k=a2ba 。
检验的方法是主观地定出滞后期上限Q，对滞后长度b=1,2,…,Q，
分别求出AIC和SC，则对应的AIC和SC的同时最小值（不是取绝对 值）即为滞后期b（以模型总的AIC和SC为判断标准，不是以单个 方程的AIC和SC），可以进一步结合模型统计检验来确定b。此法 有一定的主观性。
王中昭制作
• 假设系统处于均衡状态，如果由于某种原因，破 坏了均衡，系统对该干扰作出反映，偏离均衡然后恢 复均衡，这个过程用脉冲响应函数来描述。
• 脉冲响应函数是度量来自于每个方程的随机误差项 的一个标准差新信息（见新信息解释）冲击时被解释 变量的响应程度和持续时间。例如假定某个方程的随 机误差项在第t期发生突变，而后各期重新恢复平静， 这时脉冲响应测量表示的是各期（t,t+1,t+2…）的被 解释变量对该冲击的反应。例如VAR(1)：Yt=c+θYt+e ,则 其 1 中 tYt yy1 2tt ,则Yt c(cYt2et1)et
aL3.wf1
2、建模。 王中昭制作 在选择滞后项时，应用信息准则，根据金融理论， 货币效应时滞在一年左右，所以我们选择最大4阶。
滞后期 b=1 b=2 b=3 b=4
AIC 39.56 39.43 39.14 38.95
SC
Eviews11章VAR模型和VEC模型
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四、Johansen协整检验
2、Johansen协整检验
（2）最大特征值检验 原假设为 Hr0：λr+1=0 备择假设为 H r 1：λr+1>0， 检验统计量为 r = - n· ln(1-λr+1) 其中， r是最大特征根统计量。 当 0< 临界值时，接受H00，没有协整向量； 当 0> 临界值时，拒绝H00，至少有一个协整向量； 当 1< 临界值时，接受H10，只有一个协整向量； 当 1> 临界值时，拒绝H10，至少有两个协整向量； … 当 r< 临界值时，接受Hr0，只有r个协整向量。
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一、向量自回归（VAR）模型
4. VAR模型的检验 VAR模型的滞后结构检验 （1）AR根的图与表 如果VAR模型所有根模的倒数都小于1，即都在单位圆内， 则该模型是稳定的；如果VAR模型所有根模的倒数都大于1， 即都在单位圆外，则该模型是不稳定的。如果被估计的VAR 模型不稳定，则得到的结果有些是无效的。
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四、Johansen协整检验
1、Johansen协整理论
其中，Δyt和Δyt-j（j=1，2，…，p）都是由I(0)变量构成 的向量，如果 yt-1是I(0)的向量，即y1t-1，y2t-1，…， ykt-1之间具有协整关系，则Δyt是平稳的。
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其中，yt为k维内生变量向量；xt为d维外生变量向量；μt是k 维误差向量A1，A2，…，Ap，B是待估系数矩阵。
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一、向量自回归（VAR）模型
1.向量自回归理论
滞后阶数为p的VAR模型表达式还可以表述为
VAR模型与向量VECM模型
向量自回归模型（VAR ）与向量误差修正模型（VEC ）向量自回归模型（VAR(p)）传统的经济计量学联立方程模型建摸方法, 是以经济理论为基础来描述经济变量之间的结构关系，采用的是结构方法来建立模型，所建立的就是联立方程结构式模型。
这种模型其优点是具有明显的经济理论含义。
但是，从计量经济学建摸理论而言，也存在许多弊端而受到质疑。
一是在模型建立之处，首先需要明确哪些是内生变量，哪些是外生变量，尽管可以根据研究问题和目的来确定，但有时也并不容易；二是所设定的模型，每一结构方程都含有内生多个内生变量，当将某一内生变量作为被解释变量出现在方程左边时，右边将会含有多个其余内生变量，由于它们与扰动项相关， 从而使模型参数估计变得十分复杂，在未估计前，就需要讨论识别性；三是结构式模型不能很好地反映出变量间的动态联系。
为了解决这一问题，经过一些现代计量经济学家门的研究，就给出了一种非结构性建立经济变量之间关系模型的方法，这就是所谓向量自回归模型（Vector Autoregression Model ）。
VAR 模型最早是1980年，由C.A.Sims 引入到计量经济学中，它实质上是多元AR 模型在经济计量学中的应用，VAR 模型不是以经济理论为基础描述经济变量之间的结构关系来建立模型的，它是以数据统计性质为基础，把某一经济系统中的每一变量作为所有变量的滞后变量的函数来构造模型的。
它是一种处理具有相关关系的多变量的分析和预测、随机扰动对系统的动态冲击的最方便的方法。
而且在一定条件下，多元MA 模型、ARMA 模型，也可化为VAR 模型来处理，这为研究具有相关关系的多变量的分析和预测带来很大方便。
VAR 模型的一般形式1、非限制性VAR 模型（高斯VAR 模型）,或简化式非限制性VAR 模型设12(...)t t t kt y y y y '=为一k 维随机时间序列，p 为滞后阶数，12(...)t t t kt u u u u '=为一k 维随机扰动的时间序列，且有结构关系(1)(1)(1)(2)(2)(2)111111221111112122212()()()11112211(1)(1)(1)(2)(2)2211122212121122222................t t t k kt t t k kt p p p t p t p k kt p t t t t k kt t t y a y a y a y a y a y a y a y a y a y u y a y a y a y a y a y --------------=+++++++++++++=++++++(2)22()()()21212222(1)(1)111.............................................................................................................................k kt p p p t p t p k kt p tkt k t k a y a y a y a y u y a y a -----+++++++=+(1)(2)(2)(2)2211112122212()()()1122............t kk kt k t t k kt p p p k t p k t p kk kt p kt y a y a y a y a y a y a y a y u --------⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢+++++++⎢⎢+++++⎢⎣1,2,...,t T = （15．1．1） 若引入矩阵符号，记()()()11121()()()21222()()()12......,1,2,...,........................................i i i k i i i k i i i i k k kk a a a a a a A i p a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可写成 1122...t t t p t p t y A y A y A y u ---=++++，1,2,...,t T = （15．1．2） 进一步，若引入滞后算子L ，则又可表示成(),1,2,...,t t A L y u t T == （15. 1. 3）其中: 212()...pk p A L I A L A L A L =----,为滞后算子多项式. 如果模型满足的条件: ①参数阵0,0;p A p ≠>②特征方程 212det[()]...0pk p A L I A L A L A L =----=的根全在单位园外；③~(0,)t u iidN ∑，1,2,...,t T =，即t u 相互独立，同服从以()0t E u =为期望向量、ov()()t t t C u E u u '==∑为方差协方差阵的k 维正态分布。
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向量自回归模型（VAR ）与向量误差修正模型（VEC ）§7.1 向量自回归模型（VAR(p)）传统的经济计量学联立方程模型建摸方法, 是以经济理论为基础来描述经济变量之间的结构关系，采用的是结构方法来建立模型，所建立的就是联立方程结构式模型。
这种模型其优点是具有明显的经济理论含义。
但是，从计量经济学建摸理论而言，也存在许多弊端而受到质疑。
一是在模型建立之处，首先需要明确哪些是内生变量，哪些是外生变量，尽管可以根据研究问题和目的来确定，但有时也并不容易；二是所设定的模型，每一结构方程都含有内生多个内生变量，当将某一内生变量作为被解释变量出现在方程左边时，右边将会含有多个其余内生变量，由于它们与扰动项相关， 从而使模型参数估计变得十分复杂，在未估计前，就需要讨论识别性；三是结构式模型不能很好地反映出变量间的动态联系。
为了解决这一问题，经过一些现代计量经济学家门的研究，就给出了一种非结构性建立经济变量之间关系模型的方法，这就是所谓向量自回归模型（Vector Autoregression Model ）。
VAR 模型最早是1980年，由C.A.Sims 引入到计量经济学中，它实质上是多元AR 模型在经济计量学中的应用，VAR 模型不是以经济理论为基础描述经济变量之间的结构关系来建立模型的，它是以数据统计性质为基础，把某一经济系统中的每一变量作为所有变量的滞后变量的函数来构造模型的。
它是一种处理具有相关关系的多变量的分析和预测、随机扰动对系统的动态冲击的最方便的方法。
而且在一定条件下，多元MA 模型、ARMA 模型，也可化为VAR 模型来处理，这为研究具有相关关系的多变量的分析和预测带来很大方便。
7.1.1 VAR 模型的一般形式1、非限制性VAR 模型（高斯VAR 模型）,或简化式非限制性VAR 模型设12(...)t t t kt y y y y '=为一k 维随机时间序列，p 为滞后阶数，12(...)t t t kt u u u u '=为一k 维随机扰动的时间序列，且有结构关系(1)(1)(1)(2)(2)(2)111111221111112122212()()()11112211(1)(1)(1)(2)(2)2211122212121122222................t t t k kt t t k kt p p p t p t p k kt p t t t t k kt t t y a y a y a y a y a y a y a y a y a y u y a y a y a y a y a y --------------=+++++++++++++=++++++(2)22()()()21212222(1)(1)111.............................................................................................................................k kt p p p t p t p k kt p tkt k t k a y a y a y a y u y a y a -----+++++++=+(1)(2)(2)(2)2211112122212()()()1122............t kk kt k t t k kt p p p k t p k t p kk kt p kt y a y a y a y a y a y a y a y u --------⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢+++++++⎢⎢+++++⎢⎣1,2,...,t T = （7．1．1） 若引入矩阵符号，记()()()11121()()()21222()()()12......,1,2,...,........................................i i i k i i i k i i i i k k kk a a a a a a A i p a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可写成 1122...t t t p t p t y A y A y A y u ---=++++，1,2,...,t T = （7．1．2） 进一步，若引入滞后算子L ，则又可表示成(),1,2,...,t t A L y u t T == （7. 1. 3）其中: 212()...pk p A L I A L A L A L =----,为滞后算子多项式.如果模型满足的条件: ①参数阵0,0;p A p ≠>②特征方程 212det[()]...0pk p A L I A L A L A L =----=的根全在单位园外；③~(0,)t u iidN ∑，1,2,...,t T =，即t u 相互独立，同服从以()0t E u =为期望向量、ov()()t t t C u E u u '==∑为方差协方差阵的k 维正态分布。
这时，t u 是k 维白噪声向量序列，由于t u 没有结构性经济含义，也被称为冲击向量；()()0,1,2,...t t j t t j Cov u x E u x j --''===，即t u 与t x 及各滞后期不相关。
则称上述模型为非限制性VAR 模型（高斯VAR 模型）,或简化式非限制性VAR 模型。
2、受限制性VAR 模型，或简化式受限制性VAR 模型如果将12(...)t t t kt y y y y '=做为一k 维内生的随机时间序列，受d 维外生的时间序列12(..)t t t dt x x x x '= 影响（限制），则VAR 模型为1122...t t t p t p t t y A y A y A y Dx u ---=+++++，1,2,...,t T = （7．1．4） 或利用滞后算子表示成(),1,2,...,t t t A L y Dx u t T =-+= （7. 1. 5）其中： 111212122212.....................................d d k k kd d d d d d d D d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 此时称该模型为受限制性VAR 模型，简化式受限制性VAR 模型。
对于受限制性VAR 模型，可通过12(...)t t t kt y y y y '=对12(..)t t t dt x x x x '=作OLS 回归，得到残差估计ˆt t t y y y =-%，从而将t y %变换成（15.1.2）或（15.1.3）形式的非限制性VAR 模型，即1122...t t t p t p t y A y A y A y u ---=++++%%%%，1,2,...,t T = （7．1．6）(),1,2,...,t t A L y u t T ==% （7. 1. 7） 这说明受限制性VAR 模型可化为非限制性VAR 模型。
简化式非限制、受限制VAR 模型，皆简记为()VAR p 。
3、结构式非限制性VAR 模型如果12(...)t t t kt y y y y '=中的每一分量受其它分量当期影响, 无d 维外生的时间序列12(..)t t t dt x x x x '=影响（限制）,则模型化为01122...t t t p t p t A y A y A y A y u ---=++++，1,2,...,t T = （7．1．8） 或利用滞后算子表示成(),1,2,...,t t A L y u t T == （7. 1. 9）其中： (0)(0)121(0)(0)2120(0)(0)121...1..................................1k k k k a a a a A a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,这时的2012()...p p A L A A L A L A L =---- 此时称该模型为结构式非限制性VAR 模型。
如果0A 可逆，既逆阵10A -存在，则结构式非限制性VAR 模型可化为简化式非限制性VAR 模型111101102200...t t t p t p t y A A y A A y A A y A u -------=++++，1,2,...,t T = （7．1．10）或利用滞后算子表示成10(),1,2,...,t t A L y A u t T -== （7. 1. 11）这时，其中的112101020()...p p A L I A A L A A L A A L ---=----4、结构式受限制性VAR 模型如果将12(...)t t t kt y y y y '=做为一k 维内生的随机时间序列，其中每一分量受其它分量当期影响,且还受d 维外生的时间序列12(..)t t t dt x x x x '=影响（限制），则VAR 模型为01122...t t t p t p t t A y A y A y A y Dx u ---=+++++，1,2,...,t T = （7．1．12） 或利用滞后算子表示成(),1,2,...,t t t A L y Dx u t T =-+= （7. 1. 13）如果0A 可逆，既逆阵10A -存在，则结构式受限制性VAR 模型可化为简化式受限制性VAR 模型11111011022000...t t t p t p t t y A A y A A y A A y A Dx A u --------=+++++，1,2,...,t T = （7．1．14）或利用滞后算子表示成1100(),1,2,...,t t t A L y A Dx A u t T --=-+= （7. 1. 15）这时，其中的112101020()...pp A L I A A L A A L A A L ---=----结构式非限制、受限制VAR 模型，皆简记为()SVAR p 。
7.1.2 简化式VAR 模型的参数估计VAR 模型参数估计, 简化式VAR 模型比较简单可采用Yule-Walker 估计、OLS 估计、极大似然估计法等进行估计,且可获得具有良好统计性质的估计量。
结构式VAR 模型参数估计比较复杂，可有两种途径：一种是化成简化式，直接估计简化式模型参数，然后再通过简化式模型参数与结构式模型参数的关系，求得结构式模型参数估计，但这存在一个问题是否可行，什么情况下可行，这与结构式模型的识别性有关。