7.4 电偶极子 电偶层

dS cos θ r
则有： 则有：
2
面元dS对a点 面元 对 点
所张的立体角 dΩ
d U = kτ d Ω
9
如果从a点看到电偶层元 如果从 点看到电偶层元 带正电面，则 d Ω 取正值， 带正电面， 取正值， 反之取负值。 反之取负值。 整个电偶层在a点的电势为： 整个电偶层在 点的电势为： 点的电势为
5
v 1 q i 2 4 π ε 0 ( x + r0 2) v 2 xr0 q 2 2 2 i 4 π ε 0 ( x − r0 4)
v 1 q v r0 v E+ = (y j − i ) 3 4π ε0 r 2 v 1 q v r0 v E− = − (y j + i ) 3 4π ε0 r 2 v v v v 1 qr i 0 E = E+ + E− = − 3 4π ε0 r v qr0 i 1 =− 2 4π ε0 2 r0 3/ 2 (y + ) v4
第四节 电偶极子 电偶层
一、电偶极子的电场 二、电偶层
1
一、电偶极子的电场
电偶极子的极轴 L r 的方向由负 极轴 L 的方向由负电荷指 电荷。 向正电荷。 电偶极矩（电矩） 电偶极矩（电矩）
电偶极子的电势和电场 r
−q
r v p = qL
−
v p +q
r L
+
设电偶极子的电场中任意一点a到正负点电荷的距 设电偶极子的电场中任意一点 到正负点电荷的距 离分别为： 离分别为：1 和 r2 。 r 点电荷电势 的计算公式： 的计算公式：
σ dS
该偶元可看成电偶极子， 该偶元可看成电偶极子，其电 矩大小为： 矩大小为：
σ dS ⋅ δ
其方向与面元的法线方向一致。 其方向与面元的法线方向一致。
8
这一电偶极子单独产 生的电势为： 生的电势为：
dU = k
σ dS ⋅ δ cos θ
r
2
表示单位面积的电偶极矩，称为层矩 层矩， 令 τ = σδ 表示单位面积的电偶极矩，称为层矩，它 表征的电偶层的特征。 表征的电偶层的特征。
点很远时r>>L，则r1≈r2≈r， 当a点很远时 点很远时 ，
1
q L cos θ 1 P cos θ Ua = = 2 2 4πε 0 r 4πε 0 r
电偶极子的电势与电矩成正比， 电偶极子的电势与电矩成正比，与该点到轴线中心 的距离的平方成反比，还与该点所处的方位有关。 的距离的平方成反比，还与该点所处的方位有关。 3
1 q U+ = 4πε 0 r1
q U− = 4πε 0 r2
2 −1 −2
2
1
真空介电常数： 真空介电常数：
ε 0 = 8.85 ×10 C N m
−12
电势可以象电场一样叠加， 点电势： 电势可以象电场一样叠加，则a点电势： 点电势
q q Ua = U+ +U− = ( − ) 4πε 0 r1 r2 q r2 − r1 = 4πε 0 r1r2
1
dU d p 2p = − (k 2 ) = k 3 轴线上的电场强度： 轴线上的电场强度： E = − dr dr r r
p 轴线中垂面上的电场强度： 轴线中垂面上的电场强度： E = − k 3 r
可见：场强与电矩成正比。 可见：场强与电矩成正比。说明电矩决定着电场性 质。无论是场强还是电势的分布都有一个特点，就是沿 无论是场强还是电势的分布都有一个特点， r方向电偶极子的电场衰减比点电荷的电场衰减得快。 方向电偶极子的电场衰减比点电荷的电场衰减得快。 方向电偶极子的电场衰减比点电荷的电场衰减得快 4
Ua =
∫
S
dU = k ∫ τ d Ω = kτ Ω
为各面积元对a点所张立体角的代数和 点所张立体角的代数和. 式中的 Ω 为各面积元对 点所张立体角的代数和 上式表明：均匀电偶层在某点产生的电势只决定于 上式表明： 层矩 τ 与电偶层对该点所张立体角 Ω ，而与电偶层 的形状无关。 的形状无关。
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人体中存在着电偶层构成的闭合曲面。 人体中存在着电偶层构成的闭合曲面。 1、电偶层均匀的情况 、 内面都带负电， 如：内面都带负电，外面都带正 心肌细胞静息时就是这种情况。 电，心肌细胞静息时就是这种情况。 膜外空间各点的电势为零， 膜外空间各点的电势为零，而膜 内空间各点的电势为 −4π kτ ,如图 如图 中的a点和 点和b点 中的 点和 点。 2、电偶层不均匀的情况 、 膜外空间各点的电势一般不为零， 膜外空间各点的电势一般不为零，此时膜内外 空间各点的电势差与静息时不同，心肌细胞的除极 空间各点的电势差与静息时不同， 过程和复极过程就属于这种情况 。
电偶极子轴线上的场强（场强叠加法） 电偶极子轴线上的场强（场强叠加法）
−q
O
+q
r0 2 r0 2
v E+ =
x
v E−
v E− = −
A
v E+
x
v 1 q i 2 4 π ε 0 ( x − r0 2) v v v E = E+ + E− =
x >> r0
v v 1 2r0 q v 1 2p E= i = 3 3 4π ε 0 x 4π ε 0 x
r2 − r1 ≈ r cos θ
电偶极子轴线上的场强（电势梯度法） 电偶极子轴线上的场强（电势梯度法） 电偶极子电场中的电势： 电偶极子电场中的电势： 轴线延长线上的电势： 轴线延长线上的电势：
1 P cos θ P cos θ U＝ ＝k 2 2 4πε 0 r r
P P U＝ ＝k 2 2 4πε 0 r r
v Ev
e−
v E+
y
B
E− v r−
−q
y
r+
v r0
+; r0
v v 1 qr i 1 p 0 E=− 3 =− 3 4π ε0 y 4π ε0 y
第四节 电偶极子 电偶层
一、电偶极子的电场 二、电偶层
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二、电 偶 层
电偶层是指相距很近、 电偶层是指相距很近、互相平行且具有等值异号面电 是指相距很近 荷密度的两个带电表面。 荷密度的两个带电表面。 计算电偶层电场中各点的电势时， 计算电偶层电场中各点的电势时，可将电偶层看成由 许多平行排列的电偶极子所组成。 许多平行排列的电偶极子所组成。 如图取一面积元dS， 如图取一面积元 ，该面元的 电量为： 电量为：
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第七章 静电场
7.1 电场强度 7.2 高斯定理 7.3 电势 7.4 电偶极子 7.5 静电场中的电介质 7.6 心电原理及描记
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