2018南模高一数学期中考试卷(含解析)

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江苏省海安县南莫中学2018-2019学年度高一数学期中考试试题及答案

江苏省海安县南莫中学2018-2019学年度高一数学期中考试试题及答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡相应位置. 1．已知集合{}1,2,3,4U =，{}1,2M =，{}2,3N =，则()U C M N = ▲ ．2．函数2log (1)y x =-+的定义域为 ▲ . 3．已知函数(1)2x f x +=,函数()3f 的值为 ▲ . 4．已知函数2()1f x x mx =++为偶函数，则m = ▲ .5. 幂函数αx y =在第一象限的图像如右图所示，若11, 2, 1, 2α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭, 则=α ▲ .6. 函数2log y x =的单调递减区间是 ▲ . 7．已知集合[)1,2A =，(),B a =-∞，若AB A =，则实数a 的取值范围为 ▲ .8. 设 1.6log 0.8a =， 1.6log 0.9b =，0.90.8c =，则a b c 、、由小到大的顺序是 ▲ . 9．函数23,3,015,x x y x x x x +⎧⎪=+<⎨⎪-+⎩≤0≤≥1的最大值是 ▲ .10．若函数()2()211f x x t x t =--++是区间()1,2上的单调增函数，则实数t 的取值范围是 ▲ . 11. 已知()538f x x ax bx =++-，()210f -=，则()2f = ▲ . 12．函数[]141, 3,22xxy x -⎛⎫=-+∈- ⎪⎝⎭，则它的值域为 ▲ .13．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()f x 的图像如图所示，则不等式()()0x f x f x --⎡⎤⎣⎦≤的解集为 ▲ .14．已知函数()||12x x f x +=+，则满足不等式()()212f x f x ->的x 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演第13题算步骤．15.(本小题满分14分)设集合{}24A x x =<，()(){}130B x x x =-+<．（1）求集合AB ；（2）若不等式022<++b ax x 的解集为B ，求a ，b 的值．16.(本小题满分14分)计算：（1）()()1223021329.63 1.548--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设32121=+-x x ，求1x x -+及2121--x x 的值．17.(本小题满分15分)已知函数1()log (0,1)1a xf x a a x+=>≠- （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；（3）求使()0f x >的x 的取值范围．18.(本小题满分15分)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为2018元时，可全部租出．若每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（１）当每辆车的月租金定为2018元时,能租出多少辆车?（２）当每辆车的月租金定为多少元时, 租赁公司的月收益最大，最大月收益是多少?19.(本小题满分16分)已知()f x 是定义在[]1,1-上的偶函数，且[]1,0x ∈-时，()21xf x x =+．（1）求()()0,1f f -的值；（2）求函数()f x 的表达式；（3）判断并证明函数在区间[]0,1上的单调性.20.(本小题满分16分)已知函数()f x x a =-.（1）若1a =，作出函数()f x 的图象；（2）当[]1,2x ∈ ，求函数()f x 的最小值；（3）若2()2()()g x x x a f x =+-，求函数()g x 的最小值.南莫中学高一年级数学练习（考试时间：120分钟总分：160分）命题人：黄顺华审核人：施明一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡相应位置. 1．已知集合{}1,2,3,4U =，{}1,2M =，{}2,3N =，则()U C M N = ▲ ．{}42．函数2log (1)y x =-+的定义域为 ▲ .(),1-∞ 3．已知函数(1)2x f x +=,函数()3f 的值为 ▲ . 4 4．已知函数2()1f x x mx =++为偶函数，则m = ▲ . 0第20题5. 幂函数αx y =在第一象限的图像如右图所示，若11, 2, 1, 2α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭, 则=α ▲ .126．函数2log y x =的单调递减区间是 ▲ . ()0,1或(]0,1 7. 已知集合[)1,2A =，(),B a =-∞，若AB A =，则实数a 的取值范围为 ▲ . 2a ≥8．设 1.6log 0.8a =， 1.6log 0.9b =，0.90.8c =，则a b c 、、由小到大的顺序是 ▲ .a b c << 9．函数23,3,015,x x y x x x x +⎧⎪=+<⎨⎪-+⎩≤0≤≥1的最大值是 ▲ .410．若函数()2()211f x x t x t =--++是区间()1,2上的单调增函数，则实数t 的取值范围是 ▲ . 32t ≤11. 已知()538f x x ax bx =++-，()210f -=，则()2f = ▲ . 26- 12．函数[]141, 3,22xxy x -⎛⎫=-+∈- ⎪⎝⎭，则它的值域为 ▲ .3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦13．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()f x 的图像如图所示，则不等式()()0x f x f x --⎡⎤⎣⎦≤的解集为 ▲ . []3,3-14．已知函数()||12x x f x +=+，则满足不等式()()212f x f x ->的x 的取值范围是 ▲. ()-1二、解答题：本大题共6小题，共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)设集合{}24A x x =<，()(){}130B x x x =-+<．（1）求集合B A ；（2）若不等式022<++b ax x 的解集为B ，求a ，b 的值．解：{}{}13,22<<-=<<-=x x B x x A ………………..4分（1）)1,2(-=B A ………………..9分第13题（2）6,4-==b a ………………..14分16.(本小题满分14分)计算：（1）()()1223021329.63 1.548--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设32121=+-x x ，求1x x -+及2121--x x 的值．解：（1）21………………..7分（2）71=+-x x ， 52121±=--xx ………………..14分17.(本小题满分15分)已知函数1()log (0,1)1a xf x a a x+=>≠- （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；（3）求使()0f x >的x 的取值范围．解：（1）由题意可知101xx+>-，解得11x -<<，所以函数的定义域为(1,1)-；......4分 (2) 函数的定义域为(1,1)-，关于原点对称. (5)分因为1111()log log log ()111a a a x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 为奇函数； (10)分(3)当01a <<时，1011xx+<<-，解得10x -<<， ………………………… 13分当1a >时，111xx+>-，解得01x <<，………………………………………15分18.(本小题满分15分)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为2018元时，可全部租出．若每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（１）当每辆车的月租金定为2018元时,能租出多少辆车?（２）当每辆车的月租金定为多少元时, 租赁公司的月收益最大，最大月收益是多少? 解：（１）当每辆车的月租金定为2018元时, 未租出的车为125030003600=-辆，所以租出了88辆车；………………………………………………６分（２）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为()()50503000150503000100⨯---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x x x f ，整理得 ()()3070504050501210001625022+--=-+-=x x x x f所以当4050=x 时，()x f 最大，其最大值为()3070504050=f 答：当每辆车的月租金定为4050元时, 租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元．……………………………………………15分19.(本小题满分16分)已知()f x 是定义在[]1,1-上的偶函数，且[]1,0x ∈-时，()21xf x x =+．（1）求()()0,1f f -的值；（2）求函数()f x 的表达式；（3）判断并证明函数在区间[]0,1上的单调性.解：（1）21)1(,0)0(-=-=f f ……………2分（2）设[][]0,1-,1,0-∈∈x x 则 1)(2+-=-x xx f ……………4分因为函数f (x)为偶函数，所以有)()(x f x f =-，既1)(2+-=x xx f ……………6分所以[][)⎪⎩⎪⎨⎧-∈+∈+-=0,1,11,0,1)(22x x x x x xx f ……………8分（3）设1021<<<x x)1)(1()1)((11)()(2122211221122212++--=+--+-=-x x x x x x x x x x x f x f ……………12分∵1021<<<x x ∴01,02112<->-x x x x ……14分∴)()(12x f x f < ∴f (x)在[]1,0为单调减函数……………16分20.(本小题满分16分)已知函数()f x x a =-.（1）若1a =，作出函数()f x 的图象；（2）当[]1,2x ∈ ，求函数()f x 的最小值；（3）若2()2()()g x x x a f x =+-，求函数()g x 的最小值. 解：（1）因为1a =，作图略------2分（2）①当(),1a ∈-∞时，()f x x a x a =-=-，因为()f x 在[]1,2递增所以min ()(1)1f x f a ==- ----------4分 ②当[]1,2a ∈时，当x=a 时，min ()0f x = ----------6分 ③当()2,a ∈+∞时，()f x x a a x =-=-，因为()f x 在[]1,2递减所以min ()(2)2f x f a ==- ----------8分综上所述1,1()0,122,2a a f x a a a -<⎧⎪=⎨⎪->⎩≤≤ ----------9分（3）（1）当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+22min(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ⎧⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩≥≥ ----------12分（2）当x a ≤时，22()2,f x x ax a =+-2min2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a ⎧--⎧⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩≥≥ ----------15分综上22min2,0()2,03a a f x a a ⎧-⎪=⎨<⎪⎩≥ ----------16分。

2017-2018年上海市徐汇区南洋模范中学高一(下)期中数学试卷和答案

2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共计36分）1．（3分）已知角α的终边在射线上，sinα+cosα=；2．（3分）一扇形的中心角为弧度，中心角所对的弦长为2cm，则此扇形的面积为cm2；3．（3分）已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，且α（0，），β∈（﹣，0），则sinα=．4．（3分）若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是．5．（3分）满足不等式arccos2x＜arccos（1﹣x）的x的取值范围为．6．（3分）函数的值域为；7．（3分）函数f（x）=2sin2x+sin2x的值域是；8．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=．9．（3分）函数f （x）=的单调递增区间为．10．（3分）要得到函数y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象．11．（3分）若函数f（x）=3|cosx|﹣cosx+m，x∈（0，2π），有两个互异零点，则实数m的取值范围是．12．（3分）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法﹣“三斜求积术”，即△ABC的面积S=．其中a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边．若b=2，且tanC=，则△ABC的面积S的最大值为．二．选择题（每小题4分，共计16分）13．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形14．（4分）张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）A．2km B．3km C．3km D．2km 15．（4分）图是偶函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，△KML为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，则=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．16．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，ϕ的值为（）A．B．C．D．三、解答题（48分）17．（8分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及相应的x值；18．（8分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．19．（10分）如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂足的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km．（1）试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等；（2）求B，D的距离（计算结果精确到0.01km）；20．（10分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上填写下表，作出f（x）在区间[﹣π，2π]上的图象．图21．（12分）已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．（1）设f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；（3）当f（x）=|sinx|+cosx，时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值．2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共计36分）1．（3分）已知角α的终边在射线上，sinα+cosα=；【解答】解：∵角α的终边在射线上，故α的终边再第二象限，在α的终边上任意取一点P（x，y），取x=﹣3，y=4，则r=|OP|=5，∴sinα==，cosα==﹣，∴sinα+cosα=，故答案为：．2．（3分）一扇形的中心角为弧度，中心角所对的弦长为2cm，则此扇形的面积为cm2；【解答】解：设扇形的圆心角大小为α（rad），半径为r，则α=，可得：sin=，可得：r==2，可得扇形的面积为S=r2α==．故答案为：．3．（3分）已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，且α（0，），β∈（﹣，0），则sinα=．【解答】解：∵α∈（0，），β∈（﹣，0），∴α﹣β∈（0，π），又cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，∴sin（α﹣β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×+×（﹣）=．故答案为：4．（3分）若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是﹣．【解答】解：（cosθ﹣sinθ）2=1﹣sin2θ=，又，cosθ＜sinθ所以cosθ﹣sinθ=，故答案为：．5．（3分）满足不等式arccos2x＜arccos（1﹣x）的x的取值范围为（，] ．【解答】解：arccos2x＜arccos（1﹣x），由y=arccosx在[﹣1，1]递减，可得﹣1≤1﹣x＜2x≤1，即为x≤2且x＞且x≤，可得＜x≤，则x的取值范围是（，]．故答案为：（，]．6．（3分）函数的值域为；【解答】解：∵﹣≤x≤，∴﹣，∴﹣≤arcsin（cosx）≤．∴函数的值域为[﹣，]．故答案为：[﹣，]．7．（3分）函数f（x）=2sin2x+sin2x的值域是；【解答】解：函数f（x）=2sin2x+sin2x=1﹣cos2x+sin2x=﹣）+1，由sin（2x﹣）∈[﹣1，1]，∴当sin（2x﹣）=﹣1时，f（x）取得最小值为，当sin（2x﹣）=1时，f（x）取得最大值为．∴函数的值域为[，]．故答案为：[，]．8．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=4．【解答】解：由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，得b2=22+c2﹣2×2×c×（﹣），即b2=4+49﹣14b+b2+7﹣b，15b=60∴b=4．故答案为：4．9．（3分）函数 f （x）=的单调递增区间为，k∈Z．【解答】解：∵对数的真数大于零∴⇒，k∈Z解之得函数的定义域为：，k∈Z令t=∵∴t关于x的单调减区间是函数f （x）=的单调递增区间由，k∈Z，得x∈，k∈Z，再结合函数的定义域，得x，是原函数的增区间故答案为：10．（3分）要得到函数y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象向左平移个单位．【解答】解：函数y=cos（﹣）=cos（﹣+）=sin（），只需将y=sin的图象向左平移个单位，即可得到函数y=cos（﹣）的图象，故答案为：向左平移个单位．11．（3分）若函数f（x）=3|cosx|﹣cosx+m，x∈（0，2π），有两个互异零点，则实数m的取值范围是（﹣4，﹣2]∪{0} ．【解答】解：∵令g（x）=﹣3|cosx|+cosx=，x∈（0，2π），在坐标系中画出函数f（x）图象，如下图所示：由其图象可知当直线y=m，m∈（﹣4，﹣2]∪{0}时，g（x）=﹣3|cosx|+cosx，x∈（0，2π）的图象与直线y=m有且仅有两个不同的交点．故答案为：（﹣4，﹣2]∪{0}．12．（3分）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法﹣“三斜求积术”，即△ABC的面积S=．其中a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边．若b=2，且tanC=，则△ABC的面积S的最大值为．【解答】解：∵tanC=，∴sinC=sin（B+C）=sinA，∴c=a，∵b=2，∴S===，∴a=2时，△ABC的面积S的最大值为，故答案为．二．选择题（每小题4分，共计16分）13．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【解答】解：∵c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，C=π﹣（A+B），∴由正弦定理得：sinC﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA，∴sinAcosB+cosAsinB﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA，∴cosA（sinB﹣sinA）=0，∵cosA=0，或sinB=sinA，∴A=或B=A或B=π﹣A（舍去），故选：D．14．（4分）张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）A．2km B．3km C．3km D．2km【解答】解：如图，由条件知AB=24×=6．在△ABS中，∠BAS=30°，AB=6，∠ABS=180°﹣75°=105°，∴∠ASB=45°．由正弦定理知，∴=故选：B．15．（4分）图是偶函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，△KML为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，则=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．【解答】解：因为f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，所以A=，T=2，因为T=，所以ω=π，函数是偶函数，0＜φ＜π，所以φ=，∴函数的解析式为：f（x）=sin（πx+），所以f（）=sin（+）=．故选：D．16．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，ϕ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，•=﹣，∴ω=2，再根据2•+φ=，2•+φ=2π，求得φ=，故选：D．三、解答题（48分）17．（8分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及相应的x值；【解答】解：（1）∵f（x）=4sin3xcosx﹣2sinxcosx﹣cos4x=sin2x×（1﹣cos2x）﹣sin2x﹣cos4x=﹣sin4x﹣cos4x=﹣sin（4x+），∴函数f（x）的最小正周期T=．∵由2kπ+≤4x+≤2kπ+，k∈Z，可得：，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z；（2）∵x∈[0，]，∴4x+，∴sin（4x+）∈[﹣，1]，∴f（x）=﹣sin（4x+）∈[﹣，]，可得当x=时，f（x）在区间[0，]上的最大值为，当x=时，取得最小值为．18．（8分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．【解答】（Ⅰ）解：由三角函数定义，得x1=cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2 得，即sin2α=﹣2[sin2αcos+cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，整理得cos2α=0．因为，所以，所以，即．19．（10分）如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂足的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km．（1）试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等；（2）求B，D的距离（计算结果精确到0.01km）；【解答】解：（1）△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°﹣∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1．又∠BCD=180﹣60°﹣60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA；（2）△ABC 中，由正弦定理得=，sin215°=，可得sin15°=，即AB==，因此，BD=≈0.33；所以B、D的距离约为0.33km．20．（10分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上填写下表，作出f（x）在区间[﹣π，2π]上的图象．图【解答】解：∵1﹣sinx ≥0且1+sinx ≥0，在R 上恒成立 ∴函数的定义域为R ； ∵=2+2|cosx|∴由|cosx |∈[0，1]，f 2（x ）∈[2，4]，可得函数的值域为[，2]；∵=f （x ）∴函数的最小正周期为π ∵当x ∈[0，]时，=2cos ，在[0，]上为减函数当x ∈[，π]时，=2sin ，在[，π]上为增函数 ∴f （x ）在上递增，在上递减（k ∈Z ）∵f （﹣x ）=f （x ）且，∴f （x ）在其定义域上为偶函数，结合周期为π得到图象关于直线对称因此，可得如下表格：值域调性上上，图21．（12分）已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．（1）设f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；（3）当f（x）=|sinx|+cosx，时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=cosx+sinx，∴f（x+α）=cos（x+）+sin（x+）=cosx﹣sinx；∴g（x）=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sin2x=cos2x．（2）∵=4cosx•cos（x﹣），∴f（x）=2cosx，α=﹣．（3）∵f（x）=|sinx|+cosx，∴g（x）=f（x）•f（x+α）=（|sinx|+cosx）（|cosx|﹣sinx）=，因为存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，所以当x1=2kπ+π或时，g（x）≥g（x1）=﹣1当时，g（x）≤g（x2）=2所以或所以|x1﹣x2|的最小值是．。

2018-2019学年江苏省南京三中高一(上)期中数学试卷(解析版)

2018-2019学年江苏省南京三中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1．集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则（）A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．A B2．已知函数f（x）＝lg（1﹣x）的定义域是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1）∪（1，+∞）3．以下函数y，y＝x2，y与y＝x﹣3中，值域为[0，+∞）的函数共（）个A．1B．2C．3D．44．已知函数f（x），，＞，若f（2）+f（a）＝0，则实数a＝（）A．3B．1C．﹣1D．﹣3二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）5．对于任意的a∈（0，1），函数f（x）＝log a（x+1）﹣2的图象恒过点．（写出点的坐标）6．已知幂函数y＝f（x）经过点（2，8），则f（﹣3）＝．7．2lg5+1g2（1g2+2lg5）+（lg2）2＝．8．已知a，b＝lnπ，c＝（﹣3）3，则a，b，c的大小关系为．（用“＜”连接）9．方程2x＝10﹣x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k＝．10．函数y＝2|x+1|的单调递减区间为．11．已知函数f（x），，＞是（﹣∞，+∞）上减函数，那么a的取值范围是．12．数y的定义域为R，则实数k的取值范围是．13．已知函数f（x），若f（m+1）+f（1﹣2m）＞0，则m取值范围是．14．若函数f（x）＝x2﹣m|x|+m2+2m﹣8的图象与x轴有且只有一个交点，则满足条件的m 组成的集合为．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应用写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．设A＝{x|x+1≤0}，B＝{x|2a≤x≤a+2}，（1）若A∩B≠∅，求实数a的取值范围；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．16．定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时，f（x）＝x2+2x（1）求f（x）的解析式；（2）若函数f（x）＝3，求x的值．17．已知函数f（x）＝log a（a x+1）（a＞0，且a≠1），g（x）＝a2x﹣a x（a＞0，且a≠1）（1）当0＜a＜1时，求关于x不等式f（x）＜f（1）的解集．（2）当a＝2时，求函数g（x）的值域．（3）求关于x不等式a f（x）≥g（x）+2的解集．18．某机构通过对某企业2018年的前三个季度生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的部分数据如表：（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与x的变化关系，并说明理由：y＝ax3+b，y＝﹣x2+ax+b，y＝a•b x（2）利用（1）中选择的函数：①估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润②预估年底12月份的利润是多少？19．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x1）﹣f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0．（1）求f（1）的值（2）证明：f（x）为（0，+∞）上的单调递减函数（3）若f（3）＝﹣1，求f（x）在[2，9]上的最小值．20．已知函数f（x）＝log a（1+x）﹣log a（1﹣x）（a＞0且a≠1）（1）判断并证明f（x）的奇偶性；（2）求使f（x）＞0的x的取值范围；（3）若g（x），h（x）＝f（x）﹣g（x），是否存在实数m，使得h（x）有三个不同的零点，若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．2018-2019学年江苏省南京三中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1．集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则（）A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．A B【解答】解：集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，A不正确：显然A＝B错误；B不正确：A∩B＝{2，3}≠∅；C不正确：1∈A，但1∉B，∴A⫌B；D正确：因集合B中元素2和3，都在集合A中，∴A⊇B．故选：D．2．已知函数f（x）＝lg（1﹣x）的定义域是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1）∪（1，+∞）【解答】解：要使f（x）有意义，则＞，解得x＜1且x≠﹣1，∴f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）．故选：B．3．以下函数y，y＝x2，y与y＝x﹣3中，值域为[0，+∞）的函数共（）个A．1B．2C．3D．4【解答】解：函数y，其定义域为[0，+∞），值域为[0，+∞）；函数y＝x2的值域为[0，+∞）；函数y，∵x2≥0，∴函数值域为[0，+∞）；函数y＝x﹣3，值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．∴值域为[0，+∞）的函数共3个．故选：C．4．已知函数f（x），，＞，若f（2）+f（a）＝0，则实数a＝（）A．3B．1C．﹣1D．﹣3【解答】解：∵函数f（x），，＞，∴f（2）＝22＝4，∵f（2）+f（a）＝0，∴f（a）＝﹣f（2）＝﹣4，当a≤0时，f（a）＝a﹣1＝﹣4，解得a＝﹣3；当a＞0时，f（a）＝2a＝﹣4，无解．综上，实数a＝﹣3．故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）5．对于任意的a∈（0，1），函数f（x）＝log a（x+1）﹣2的图象恒过点（0，﹣2）．（写出点的坐标）【解答】解：对于函数f（x）＝log a（x+1）﹣2，令x+1＝1，求得x＝0，y＝﹣2，可得它的的图象恒过点（0，﹣2），故答案为：（0，﹣2）．6．已知幂函数y＝f（x）经过点（2，8），则f（﹣3）＝﹣27．【解答】解：设f（x）＝xα，由题意可得，f（2）＝2α＝8，∴α＝3，f（x）＝x3则f（﹣3）＝﹣27故答案为：﹣277．2lg5+1g2（1g2+2lg5）+（lg2）2＝2．【解答】解：2lg5+1g2（1g2+2lg5）+（lg2）2＝2lg5+lg2（1+lg5）+（lg2）2＝2lg5+lg2+lg2lg5+（lg2）2＝2lg5+lg2+lg2（lg5+lg2）＝2lg5+2lg2＝2（lg5+lg2）＝2．故答案为：2．8．已知a，b＝lnπ，c＝（﹣3）3，则a，b，c的大小关系为c＜a＜b．（用“＜”连接）【解答】解：∵a∈（0，1），b＝lnπ＞lne＝1，c＝（﹣3）3＝﹣27，∴c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．9．方程2x＝10﹣x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k＝2．【解答】解：设f（x）＝2x，g（x）＝10﹣x，画图，观察交点在区间（2，3）上．故填2．10．函数y＝2|x+1|的单调递减区间为（﹣∞，﹣1]．【解答】解：函数y＝2|x+1|的单调递减区间，即函数y＝|x+1|的减区间，而由函数y＝|x+1|的图象可得它的减区间为（﹣∞，﹣1]，故答案为：（﹣∞，﹣1]．11．已知函数f（x），，＞是（﹣∞，+∞）上减函数，那么a的取值范围是（0，]．【解答】解：由于函数f（x），，＞是（﹣∞，+∞）上减函数，则x≤1时，是减函数，则0＜a＜1①x＞1时，是减函数，则a＞0②由单调递减的定义可得，a2a③由①②③解得，0＜a．故答案为：（0，]．12．数y的定义域为R，则实数k的取值范围是[0，5）．【解答】解：∵的定义域为R，∴不等式＞的解集为R，①k＝0时，＞恒成立，满足题意；②k≠0时，＞＜，解得0＜k＜5，综上得，实数k的取值范围是[0，5）．故答案为：[0，5）．13．已知函数f（x），若f（m+1）+f（1﹣2m）＞0，则m取值范围是（﹣∞，2）．【解答】解：函数f（x），f（﹣x）f（x），因为f（x）1，所以f（x）是单调增函数．f（m+1）+f（1﹣2m）＞0，∴f（m+1）＞﹣f（1﹣2m）等价于：f（m+1）＞f（2m﹣1），∴m+1＞2m﹣1，解得m＜2，不等式的解集为：（﹣∞，2）．14．若函数f（x）＝x2﹣m|x|+m2+2m﹣8的图象与x轴有且只有一个交点，则满足条件的m 组成的集合为{﹣4}．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣m|x|+m2+2m﹣8＝|x|2﹣m|x|+m2+2m﹣8，由题意，函数f（x）＝0有且仅有一个根，则这个根只能为0，即f（0）＝0，∴m2+2m﹣8＝0，解得m＝﹣4或m＝2，当m＝2时，f（x）＝x2﹣2|x|，此时函数f（x）的图象与x轴有三个交点，不符题意，经检验，m＝﹣4时符合题意．故答案为：{﹣4}．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应用写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．设A＝{x|x+1≤0}，B＝{x|2a≤x≤a+2}，（1）若A∩B≠∅，求实数a的取值范围；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）A＝{x|x≤﹣1}，B＝{x|2a≤x≤a+2}，∵A∩B≠∅，∴，解得，∴实数a的取值范围为，；（2）∵A∩B＝B，∴B⊆A，①B＝∅时，2a＞a+2，∴a＞2；②B≠∅时，，解得a≤﹣3，综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪（2，+∞）．16．定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时，f（x）＝x2+2x（1）求f（x）的解析式；（2）若函数f（x）＝3，求x的值．【解答】解：（1）∵当x≥0时，f（x）＝x2+2x，设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）＝x2﹣2x，∵f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x），f（x）＝x2﹣2x，故f（x），，＜，（2）当x≥0时，f（x）＝x2+2x＝3，解可得，x＝1或x＝﹣3（舍），当x＜0时，f（x）＝x2﹣2x＝3，解可得，x＝3（舍）或x＝﹣1，综上可得，x＝﹣1或x＝1．17．已知函数f（x）＝log a（a x+1）（a＞0，且a≠1），g（x）＝a2x﹣a x（a＞0，且a≠1）（1）当0＜a＜1时，求关于x不等式f（x）＜f（1）的解集．（2）当a＝2时，求函数g（x）的值域．（3）求关于x不等式a f（x）≥g（x）+2的解集．【解答】解：（1）f（x）＜f（1）即为＜，∵0＜a＜1，∴a x+1＞a+1，即a x＞a，故x＜1，∴所求解集为（﹣∞，1）；（2）当a＝2时，，∴所求值域为，；（3）不等式a f（x）≥g（x）+2即为a x+1≥a2x﹣a x+2，∴（a x﹣1）2≤0，则a x＝1，解得x＝0，∴所求不等式的解集为{0}．18．某机构通过对某企业2018年的前三个季度生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的部分数据如表：（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与x的变化关系，并说明理由：y＝ax3+b，y＝﹣x2+ax+b，y＝a•b x（2）利用（1）中选择的函数：①估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润②预估年底12月份的利润是多少？【解答】解：（1）由表格数据可知y关于x的函数不是单调函数，而y＝ax3+b，y＝a•b x均为单调函数，不符合题意，故选择函数y＝﹣x2+ax+b．（2）把（3，241），（6，244）代入y＝﹣x2+ax+b可得：，解得，故y关于x的函数为y＝﹣x2+10x+220，①函数y＝﹣x2+10x+220的对称轴为直线x＝5，且图象开口向下，故当x＝5时，函数取得最大值，最大值为﹣25+50+220＝245．所以利润最大的是第5个月，该月利润为245万元．②把x＝12代入y＝﹣x2+10x+220可得：y＝﹣144+120+220＝196．估计年底12月份的利润为196万元．19．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x1）﹣f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0．（1）求f（1）的值（2）证明：f（x）为（0，+∞）上的单调递减函数（3）若f（3）＝﹣1，求f（x）在[2，9]上的最小值．【解答】解：（1）令x1＝x2，则f（1）＝f（x1）﹣f（x2）＝0；（2）证明：任取0＜x1＜x2，则＞，则＜，即f（x2）﹣f（x1）＜0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）为（0，+∞）上的单调递减函数；（3）∵f（x）为（0，+∞）上的单调递减函数，∴f（x）在[2，9]上的最小值为f（9），令x1＝9，x2＝3得，f（3）＝f（9）﹣f（3），即f（9）＝2f（3）＝﹣2．故f（x）在[2，9]上的最小值﹣2．20．已知函数f（x）＝log a（1+x）﹣log a（1﹣x）（a＞0且a≠1）（1）判断并证明f（x）的奇偶性；（2）求使f（x）＞0的x的取值范围；（3）若g（x），h（x）＝f（x）﹣g（x），是否存在实数m，使得h（x）有三个不同的零点，若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）函数f（x）为奇函数，证明如下：函数的定义域为（﹣1，1），关于原点对称，且f（﹣x）＝log a（1﹣x）﹣log a（1+x）＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数；（2）f（x）＞0即为log a（1+x）＞log a（1﹣x），①当0＜a＜1时，应满足＞＞＜，解得﹣1＜x＜0，②当a＞1时，应满足＞＞＞，解得0＜x＜1，∴当0＜a＜1时，所求x的取值范围为（﹣1，0），当a＞1时，所求x的取值范围为（0，1）；（3）令h（x）＝0，即，亦即，则，＜＜，＜＜，作m（x）的草图如下，由图象可知，要使h（x）有三个不同的零点，则需＜＜．。

精品解析：上海市南洋模范中学2018-2019学年高一下学期期中数学试题(解析版)

f x a2 b2 sin x
【点睛】对于形如
的函数，我们可将其化简为
，
cos a
sin b
其中
a2 b2 ，
a2 b2 ，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方
程和对称中心等．
10.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120 的扇形 AOB ，小区的两个出入口设置在点及点 C 处，且小区里有一条平行于 BO 的小路 CD ，已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了10 分钟，从 D 沿 DA 走到 A 用了
上海南洋模范中学 2018-2019 学年度第二学期高一年级
数学学科期中试卷
一、填空题(本大题共有 12 题,每题 3 分,满分 36 分)
1.已知角
的终边在射线
y

x x

0 上，则
cos

________.
2 【答案】 2
【解析】
【分析】利用角的余弦的定义可以计算其余弦值.
【详解】在
4, 0
【答案】【解析】
【分析】
先利用平方关系把原函数化为关于 sin x 的函数，换元后利用二次函数的性质可求原函数的值域.
y cos2 x 2sin x 2 sin2 x 2sin x 1 sin x 12
【详解】
，
令
t

sin
x
，则
t

1,1 ，故
【解析】
cos 2 1 2sin2 1 2 (1)2 7 . 39
tan
3.已知
3sin 2 cos
3 ，则
2 sin
cos

【水印已去除】2018-2019学年上海市徐汇区南洋模范中学高一(下)期中数学试卷

2018-2019学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）1．（3分）已知角α的终边在射线y＝﹣x（x≤0）上，则cosα＝．2．（3分）若，则cos2α＝．3．（3分）已知tan（π﹣θ）＝3，则＝．4．（3分）已知，则＝．5．（3分）已知，则cosα＝．6．（3分）函数的最小正周期为．7．（3分）函数y＝cos2x+2sin x﹣2的值域为．8．（3分）下图为函数的部分图象，M、N是它与x轴的两个交点，D、C分别为它的最高点和最低点，E（0，1）是线段MD 的中点，且△OMB为等腰直角三角形，则f（x）的解析式为f（x）＝．9．（3分）已知方程sin x+cos x＝m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，则实数m的取值范围是．10．（3分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D 用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径OA的长约为（精确到1米）．11．（3分）设α1，α2∈R，且，则tan（α1+α2）＝．12．（3分）已知函数f（x）＝sin2ωx﹣2cos2ωx+1（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间内没有零点，则ω的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分）13．（3分）在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积为（）A．B．C．D．（1﹣sin1cos1）R215．（3分）已知△ABC内接于单位圆，则长为sin A、sin B、sin C的三条线段（）A．能构成一个三角形，其面积大于△ABC面积的一半B．能构成一个三角形，其面积等于△ABC面积的一半C．能构成一个三角形，其面积小于△ABC面积的一半D．不一定能构成一个三角形16．（3分）已知函数f（x）＝cos（sin x），g（x）＝sin（cos x），则下列说法正确的是（）A．f（x）与g（x）的定义域都是[﹣1，1]B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C．f（x）的值域为[cos1，1]g（x）的值域为[﹣sin1，sin1]D．f（x）与g（x）都不是周期函数三、解答题17．（8分）已知（1）求tanα的值；（2）求的值．18．（8分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足．（1）求A的大小；（2）现给出三个条件：①a＝2；②B＝45°；③c＝b试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择，并以此为依据求△ABC的面积（只需写出一个选定方案即可）19．（8分）如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC＝1，∠ABC＝，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．（1）用θ表示S1和S2；（2）当θ变化时，求的最小值，及此时角θ的大小．20．某种波的传播是由曲线f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把解析式f（x）＝A sin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A的波称为“A类波”，把两个波的解析式相加称为波的叠加．（1）已如“1类波”中的两个波，与加后是一个“A类波”，求A的值；（2）已知三个不同的“A类波”，从f1（x）＝A sin（x+φ1），f2（x）＝A sin（x+φ2），f3（x）＝A sin（x+φ3）（其中φ1、φ2、φ3互不相同），三个波叠加后是“平波”y＝0，即f1（x）+f2（x）+f3（x）＝0，求cos（φ1﹣φ2）cos（φ2﹣φ3）cos（φ3﹣φ1）的值．21．某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：（1）请写出上表的x1、x2、y2，及函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再所得图象上各店的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求g（x）的解析式及的单调递增区间；（3）在（2）的条件下，若在x∈（0，2019π）上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值．2018-2019学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）1．【解答】解：∵角α的终边在射线y＝﹣x（x≤0）上，在角α的终边上任意取一点（﹣1，1），则cosα＝＝﹣，故答案为：﹣．2．【解答】解：因为sinα＝，所以cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝．故答案为：．3．【解答】解：∵tan（π﹣θ）＝﹣tanθ＝3，∴tanθ＝﹣3，则＝．故答案为：．4．【解答】解：∵已知，∴cosα＝﹣＝﹣，则＝sinαcos+cosαsin＝﹣＝，故答案为：．5．【解答】解：，所以：，解得：，所以：，整理得：，解得：（负值舍去），故＝，故答案为：．6．【解答】解：函数的最小正周期是函数y＝sin的周期的一半，而函数y＝sin的周期为＝4π，故函数的最小正周期是2π，故答案为：2π．7．【解答】解：y＝cos2x+2sin x﹣2＝﹣sin2x+2sin x﹣1＝﹣（sin x﹣1）2，∵x∈R，∴sin x∈[﹣1，1]，∴当sin x＝1时，y max＝0；当sin x＝﹣1时，y min＝﹣4，∴函数y的值域为[﹣4，0]．故答案为：[﹣4，0]．8．【解答】解：由已知点E（0，1）是线段MD的中点知A＝2，根据△OMB为等腰直角三角形，可得M（﹣1，0），D（1，2），∴•＝1﹣（﹣1），解得ω＝；∴函数f（x）＝2sin（x+φ），又由M（﹣1，0）是f（x）图象上的点，由正弦函数的图象与性质知，×（﹣1）+φ＝0，可得φ＝，∴f（x）＝2sin（x+）．故答案为：2sin（x+）．9．【解答】解：m+1＝sin x+cos x＝2sin（x+），x∈[0，π]，x+[]，如图：方程sin x+cos x＝m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，2sin（x+）∈．∴m+1∈，可得m∈．故答案为：．10．【解答】解：法一：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD＝500（米），DA＝300（米），∠CDO＝60°在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD•OD•cos60°＝OC2即，5002+（r﹣300）2﹣2×500×（r﹣300）×＝r2解得r＝≈445（米）答：该扇形的半径OA的长约为445米．法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H，由题意，得CD＝500（米），AD＝300（米），∠CDA＝120°在△CDO中，AC2＝CD2+AD2﹣2•CD•AD•cos120°＝5002+3002+2×500×300×＝7002．∴AC＝700（米）．cos∠CAD＝＝．在直角△HAO中，AH＝350（米），cos∠HAO＝，∴OA＝＝≈445（米）．答：该扇形的半径OA的长约为445米．故答案为：445米．11．【解答】解：∵α1，α2∈R，且，∴sinα1+2＝1，2+sin （2α2）＝1，求得sinα1＝﹣1，sin（2α2）＝﹣1，∴α1＝2kπ﹣，且2α2＝2nπ﹣，k、n∈Z，∴α2＝nπ﹣，∴α1+α2＝（2k+n）﹣，∴tan（α1+α2）＝tan（﹣）＝1，故答案为：1．12．【解答】解：f（x）＝sin2ωx﹣2cos2ωx+1＝sin2ωx﹣cos2ωx＝sin（2ωx﹣），（ω＞0），由f（x）＝0得2ωx﹣＝kπ，即x＝+，k∈Z，∵函数f（x）在区间内没有零点，∴x＝+∉（，π），若+∈（，π），则＜+＜π，得ω﹣＜k＜2ω﹣，若函数f（x）在区间内没有零点，等价为在（ω﹣，2ω﹣）内没有整数，则≥＝，即0＜ω≤1，若（ω﹣，2ω﹣）内有整数，则当k＝0时，由ω﹣＜0＜2ω﹣，得，即＜ω＜，若当k＝1时，由ω﹣＜1＜2ω﹣，得，即＜ω＜，此时＜ω≤1，当k＝2时，由ω﹣＜2＜2ω﹣，得，即＜ω＜，此时ω超出范围，即若（ω﹣，2ω﹣）内有整数，则＜ω＜或＜ω≤1，则若（ω﹣，2ω﹣）内没有整数，则0＜ω≤或≤ω≤，即ω的取值范围为（0，]∪[，]，故答案为：（0，]∪[，]二、选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分）13．【解答】解：由正弦定理知＝2R，∵sin A＞sin B，∴a＞b，∴A＞B．反之，∵A＞B，∴a＞b，∵a＝2R sin A，b＝2R sin B，∴sin A＞sin B故选：A．14．【解答】解：l＝4R﹣2R＝2R，α＝＝＝2，可得：S扇形＝lR＝×2R×R＝R2，可得：S三角形＝×2R sin1×R cos1＝sin1•cos1•R2，可得：S弓形＝S扇形﹣S三角形＝R2﹣sin1•cos1•R2＝（1﹣sin1cos1）R2．故选：D．15．【解答】解：设△ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得，∴a＝2sin A，b＝2sin B，c＝2sin C∵a，b，c为三角形的三边∴sin A，sin B，sin C也能构成三角形的边，面积为原来三角形面积故选：C．16．【解答】解：A．f（x）与g（x）的定义域都是R，故A错误，B．f（﹣x）＝cos（sin（﹣x））＝cos（﹣sin x）＝cos（sin x）＝f（x），则f（x）是偶函数，故B错误，C．∵﹣1≤sin x≤1，﹣1≤cos x≤1，∴f（x）的值域为[cos1，1]，g（x）的值域[﹣sin1，sin1]，故C正确，D．f（x+2π）＝cos（sin（x+2π））＝cos（sin x）＝f（x）则f（x）是周期函数，故D错误，故选：C．三、解答题17．【解答】解：（1）由于，则有3tan2α+8tanα﹣3＝0，解得或tanα＝﹣3，∵，∴tanα＝﹣3；（2）＝﹣cos2α＝﹣（cos2α﹣sin2α）＝＝＝＝．18．【解答】解：（1）由2b cos A＝c cos A+a cos C代入正弦定理得：2sin B cos A＝sin C cos A+sin A cos C即2sin B cos A＝sin（C+A）＝sin B≠0∴cos A＝又0＜A＜π∴A＝（2）选①③由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bc cos A∴b2+3b2﹣3b2＝4∴b＝2，c＝2∴S＝选①②由正弦定理得：又sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝∴S＝选②③这样的三角形不存在．19．【解答】解：（1）∵BC是半圆的直径，A在半圆上，∴AB⊥AC，又BC＝1，∴AB＝cosθ，AC＝sinθ，所以：S1＝•AB•AC＝sinθcosθ；设正方形的边长为x，则：BP＝，AP＝x cosθ，由BP+AP＝AB，得：+x cosθ＝cosθ，解得：x＝，所以：S2＝x2＝（）2．（2）＝＝＝+sin2θ+1，令t＝sin2θ，因为0＜θ＜，所以：0＜2θ＜π，则t＝sin2θ∈（0，1]，所以：＝++1，令g（t）＝++1（0＜t≤1），则g′（t）＝﹣+＝＜0，所以函数g（t）在（0，1]上递减，因此：当t＝1时，g（t）取得最小值g（1）＝1++1＝，此时：sin2θ＝1，解得θ＝．所以：当θ＝时，的值最小，最小值为．20．【解答】解：（1）与加后是一个“A类波”，即：f1（x）+f2（x）＝sin（x+）+sin（x+）＝sin x cos+cos x sin+sin x cos+cos x sin ＝sin x+cos x＝sin（x+）；由定义解析式f（x）＝A sin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A的波称为“A类波”，所以：A＝；（2）设f1（x）＝A sin（x+φ1），f2（x）＝A sin（x+φ2），f3（x）＝A sin（x+φ3），由f1（x）+f2（x）+f3（x）＝0恒成立，同（1）化简方法利用两角和差公式及辅助角公式，可解得：（cosφ1+cosφ2+cosφ3）sin x+（sinφ1+sinφ2+sinφ3）cos x＝0，易得：cosφ1+cosφ2+cosφ3＝0；①sinφ1+sinφ2+sinφ3＝0；②由两式变型平方可得：cosφ1+cosφ2＝﹣cosφ3；sinφ1+sinφ2＝﹣sinφ3；两式左右完全平方相加可得：2+2cos（φ1﹣φ2）＝1；cos（φ1﹣φ2）＝﹣；同理可得：cos（φ2﹣φ3）＝﹣；cos（φ3﹣φ1）＝﹣；∴cos（φ1﹣φ2）cos（φ2﹣φ3）cos（φ3﹣φ1）＝﹣．21．【解答】解：（1）由表格根据五点法作图的规律，可得+＝x1﹣＝x2﹣x1＝﹣x2，解得x1＝，x2＝，A＝，y2＝﹣，f（x）＝sin（x+）．（2）将函数f（x））＝sin（x+）的图象向右平移个单位，可得y＝sin（x﹣+）＝﹣sin x的图象；再所得图象上各店的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）＝sin x的图象．函数＝[sin x﹣]，由sin x﹣＞0，可得sin x＞，要求函数的单调递增区间，即求y＝sin x的减区间，而y＝sin x的减区间为[，），故的单调递增区间为[，）．（3）＝3sin2x+a sin x﹣1，令F（x）＝0，则a sin x＝1﹣3sin2x，显然当sin x＝0时，F（x）不存在零点，因此只需考虑sin x≠0时，F（x）的零点情况，令t＝sin x（sin x≠0且0＜x≤2π），则t∈[﹣1，0）∪（0，1]，a＝，则函数y＝在[﹣1，0）和（0，1]上单调递减，且t＝1时y＝2，当t＝﹣1时，y＝﹣2∴当y∈（﹣2，2）时，y＝t与y＝有两个交点，此时方程a sin x＝1﹣3sin2x存在4个实根，当y∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）时，y＝t与y＝有一个交点，此时方程a sin x＝1﹣3sin2x存在2个实根，当y＝2或y＝﹣2时，y＝t与y＝有两个交点，此时方程a sin x＝1﹣3sin2x存在3个实根．∵在x∈（0，2019π）上恰有奇数个零点，∴当x∈（2018π，2019π）时，F（x）只可能存在2个零点，因此只有a＝2时符合条件，∴x∈（0，2019π）时F（x）的零点为：个．。

南京市2018年高一(下)数学期中试卷(word版)+答案评分标准(扫描版)

南京市2018年高一（下）期中试卷数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.不等式(x －2) (x －2) ＜0的解集为________.2.已知数列{a n }为等差数列，公差是2，a 3＝5，则a 2＝________.3.已知三个实数3，x ，12成等比数列，则x ＝________.4.已知函数f (x )＝x ＋ 2x（x ＞0），则函数f (x )的最小值是________.5.在△ABC 中，a 、b 分别是∠A 、∠B 所对的边，∠A ＝π6，∠B ＝π4，b ＝8，则a 的值为________.6.已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 5＝8，a 9＝24，则S 13＝________.7.已知m 、n 均为正实数，且m ＋2n ＝1，则mn 的最大值为________.8.锐角．．△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 的值为________. 9.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8，S 7，S 9成等差数列，则公比q 为________. 10.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若b 2＋c 2－3bc ＝a 2，且b a＝2，则∠C 的大小为________.11.已知f (n )＝ 1 1＋2 ＋ 1 2＋3 ＋ 13＋2 ＋…＋1n ＋n ＋1，若f (n )＜10，则正整数n的最大值为________.12.关于x 的不等式2kx 2＋kx －38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是________.13.若x ,y ∈(0,＋∞），x ＋y 2＋xy ＝4，则 xy ＋1x 2y 2＋2xy ＋17的取值范围是________.14.对于数列{a n }，定义b n (k )＝a n ＋a n ＋k ，其中n ,k ∈N *.若a 1＝1，a 32－2a 3－3＞0，且对任意n ,k∈N *，都有b n ＋1 (k )＝λb n (k )，则实数λ的取值范围为________.二、解答题（本大题共6小题，共90分）ABCDABCD E 15.（本小题满分14分）已知数列{a n }为等差数列，且a 2＝－2，a 8＝10 （1）求数列{a n }的通项公式（2）已知数列数列{b n }为等比数列，其前n 项和为S n ，且b 1＝a 4，b 4＝a 11，S n ＝510，求n 的值. 16. （本小题满分14分）如图，在△ABC 中， a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边，b ＝6， cos B ＝ 45 ，C ＝ π 3 .（1）求c 的值（2）已知点D 在边BC 上，DC ＝2，求cos ∠DAC . 17. （本小题满分14分）志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD ，已知点E 在边CD 上，AE ＝CE ，AB ＞AD ，矩形的周长是8cm.（1）设AB ＝x cm ，试用x 表示出图中DE 的长度，并求出x 的取值范围；（2）计划在△ADE 区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE 的面积最大，那么应该怎样设计队徽的长和宽？18. （本小题满分16分）已知函数f (x )＝ax 2＋ax －2（a ∈R ）. （1）当a ＝1时，解关于x 的不等式f (x )≥0；（2）解关于x 的不等式f (x )－3x －1≥0（其中a ∈R ）. 19. （本小题满分16分）在△ABC 中.（1）已知AD 是∠BAC 的平分线，ABCEABCD图（1）图（2）①用正弦定理证明：AB AC ＝BD DC；②已知AB ＝2AC ，→AD ＝λ→AB ＋μ→BC ，求实数λ, μ的值；（2）已知E 为边BC 的中点，∠BAE ＝π4，∠CAE ＝π6，求△ABC 的面积.20. （本小题满分16分）已知数列{a n }，其前n 项和为S n 满足2S n ＝3(a n －1)，n ∈N *. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）已知b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和T n ；（3）已知c n ＝4n －1＋λ(－1)n －1a n ，对于任意，都有 c n ＋1＞c n 成立，试确定实数λ的取值范围.。

2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一(下)期中数学试题(解析版)

2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试题一、单选题1．在中，内角所对的边长分别是。

若，则的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】余弦定理得代入原式得解得则形状为等腰或直角三角形,选D.点睛：判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．2．张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）A．2km B．C．3km D．【答案】B【解析】先求AB边长和∠ASB，再利用正弦定理，可得结论．【详解】如图，由条件知AB=24×=6．在△ABS 中，∠BAS=30°，AB=6，∠ABS=180°-75°=105°， ∴∠ASB=45°．由正弦定理知，∴故选：B ．【点睛】本题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．3．设偶函数的部分图象如图所示，为等腰直角三角形，，，则的值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题设提供的图像信息可知：，故，函数解析式为，又函数是偶函数且，则，所以，则，，应选答案D 。

4．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，ϕ的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正弦函数的对称轴和对称中心得到函数的周期，可得ω值，然后利用为对称轴代入解析式可得ϕ值．【详解】函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，当ω取最小值时，•=-，∴ω=2，又函数图象关于直线对称，则2•+φ=，2•+φ=2π，求得φ=，故选：D．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，主要考查函数的对称性，周期性．二、填空题5．已知角α的终边在射线上，sinα+cosα=______；【答案】【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，即可得答案．【详解】∵角α的终边在射线上，故α的终边再第二象限，在α的终边上任意取一点P（x，y），取x=-3，y=4，则r=|OP|=5，∴sinα==，cosα==-，∴sinα+cosα=，故答案为：．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6．一扇形的中心角为弧度，中心角所对的弦长为2cm ，则此扇形的面积为______cm2；【答案】【解析】由已知可求扇形的半径，进而根据扇形的面积公式即可计算得解．【详解】设扇形的圆心角大小为α（rad ），半径为r ，则α=，可得：sin =，可得：r==2，可得扇形的面积为S=r 2α==．故答案为：．【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题． 7．已知3cos()5αβ-=，5sin 13β=-，且(0)2πα∈，，()2πβ∈-，0，则sin α=_________ .【答案】3365【解析】试题分析：由(0)2πα∈，，()2πβ∈-，0得πβα<-<0，所以1312cos ,54)sin(==-ββα，从而sin α=ββαββαββαsin )cos(cos )sin(])sin[(-+-=+- 6533)135(53131254=-⨯+⨯=，故答案为：3365【考点】三角恒等变形公式．8．若，，则cosθ-sinθ的值是______．【答案】-【解析】求的平方的值，根据角的范围确定符号，即可求出答案．【详解】（cosθ-sinθ）2=1-sin2θ=，又，cosθ＜sinθ所以cosθ-sinθ=-，故答案为：-．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，注意利用角的范围来确定三角函数值符号是本题的关键．9．满足不等式()arccos2arccos 1x x <-的x 的取值范围为________ 【答案】11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】反余弦函数的定义域为[]1,1-，且函数在定义域内单调递减，则不等式等价于：121{11 1 21x x x x -≤≤-≤-≤>-，求解不等式有： 1122{02 13x x x -≤≤≤≤>，综上可得，不等式的解集为11,32⎛⎤⎥⎝⎦.10．函数的值域为______；【答案】【解析】由，得到，由此能求出函数值域．【详解】∵，∴，∴-≤arcsin（cosx）≤．∴函数的值域为．故答案为：．【点睛】本题考查反三角函数的值域的求法，考查三角函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是基础题．11．函数f（x）=2sin2x+sin2x的值域是______；【答案】【解析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，由正弦函数图像的性质即可求得函数值域．【详解】函数f（x）=2sin2x+sin2x=1-cos2x+sin2x=+1，由sin（2x-）∈[-1，1]，∴当sin（2x-）=-1时，f（x）取得最小值为，当sin（2x-）=1时，f（x）取得最大值为．∴函数的值域为．故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的值域的求法，是基础题．12．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b+c=7，cosB=-，则b=______．【答案】4【解析】直接利用余弦定理求解即可得b的取值．【详解】由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB，得b2=22+c2-2×2×c×（-），即b2=4+49-14b+b2+7-b，15b=60∴b=4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．13．函数f （x）=的单调递增区间为______．【答案】，k∈Z【解析】先求函数定义域，因外层函数单调递减，求内层函数t=的减区间，最后将所得区间与函数的定义域取交集，即可得原函数的单调增区间．【详解】∵对数的真数大于零，>0,即，k∈Z得函数定义域为，k∈Z令t=，外层y=单调递减，只需求t的单调递减区间，即由，得x x∈，k∈Z，结合函数的定义域，得x即原函数的增区间，故答案为：k∈Z【点睛】本题考查复合函数的单调性，对数函数和余弦函数的单调性，解题时容易漏掉对函数定义域的考虑，属于常考题．14．要得到函数的图象，只需将y=sin的图象______．【答案】向左平移个单位【解析】化简两个函数为同名函数，然后利用平移原则求解即可．【详解】函数，只需将y=sin的图象向左平移个单位，即可得到函数的图象，故答案为：向左平移个单位．【点睛】本题考查三角函数的平移变换，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中利用左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.15．若函数f（x）＝3|cosx|－cosx＋m, x∈（0, 2π），有两个互异零点，则实数m的取值范围是_________．【答案】－4＜m≤－2或m＝0【解析】3,2 23,22πππ⎫⎛⎪⎭⎝⎤⎥⎦在坐标系中画出函数()g x图象，如下图所示：由其图象可知当直线y m=，(]{}4,20m∈--m，()3cos cosg x x x=-+，()0,2xπ∈的图象与直线y m=有且仅有两个不同的交点．故答案为：(]{}4,20--．【考点】三角函数图像，函数零点．16．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”，即△ABC的其中a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.若b=2，且tanC=，则△ABC的面积S的最大值为________.【答案】【解析】由题设可知，即，由正弦定理可得，所以，当时，，应填答案。

2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一(下)期中数学试卷(解析版)

2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共16.0分）1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c-a cos B=（2a-b）cos A，则△ABC的形状为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形2.张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）A. 2kmB.C. 3kmD.3.图是偶函数f（x）=A sin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，△KML为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，则=（）A. B. C. D.4.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，ϕ的值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知角α的终边在射线上，sinα+cosα=______；6.一扇形的中心角为弧度，中心角所对的弦长为2cm，则此扇形的面积为______cm2；7.已知cos（α-β）=，sinβ=-，且α（0，），β∈（-，0），则sinα=______．8.若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ-sinθ的值是______．9.满足不等式arccos2x＜arccos（1-x）的x的取值范围为______．10.函数的值域为______；11.函数f（x）=2sin2x+sin2x的值域是______；12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b+c=7，cos B=-，则b=______．13.函数f（x）=的单调递增区间为______．14.要得到函数y=cos（-）的图象，只需将y=sin的图象______．15.若函数f（x）=3|cos x|-cos x+m，x∈（0，2π），有两个互异零点，则实数m的取值范围是______．16.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法-“三斜求积术”，即△ABC的面积S=．其中a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边．若b=2，且tan C=，则△ABC的面积S的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）17.已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）求f（x）在区间，上的最大值和最小值及相应的x值；18.如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且∈，．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．19.如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂足的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km．（1）试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等；（2）求B，D的距离（计算结果精确到0.01km）；20.函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上填写下表，作出f（x）在区间[-π，2π]上的图象．21.已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．（1）设f（x）=cos x+sin x，，求g（x）的解析式；（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；（3）当f（x）=|sin x|+cos x，时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1-x2|的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵c-acosB=（2a-b）cosA，C=π-（A+B），∴由正弦定理得：sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA，∴sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA，∴cosA（sinB-sinA）=0，∵cosA=0，或sinB=sinA，∴A=或B=A或B=π-A（舍去），故选：D．由正弦定理将已知化简为三角函数关系式，可得cosA（sinB-sinA）=0，从而可得A=或B=A或B=π-A（舍去）．本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用与化简运算的能力，属于中档题．2.【答案】B【解析】解：如图，由条件知AB=24×=6．在△ABS中，∠BAS=30°，AB=6，∠ABS=180°-75°=105°，∴∠ASB=45°．由正弦定理知，∴=故选：B．先求AB，∠ASB，再利用正弦定理，可得结论．本题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，所以A=，T=2，因为T=，所以ω=π，函数是偶函数，0＜φ＜π，所以φ=，∴函数的解析式为：f（x）=sin（πx+），所以f（）=sin（+）=．故选：D．通过函数的图象，利用KL以及∠KML=90°求出求出A，然后函数的周期，确定ω，利用函数是偶函数求出φ，即可求解f（）的值．本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，•=-，∴ω=2，再根据2•+φ=，2•+φ=2π，求得φ=，故选：D．由题意利用正弦函数的图象和性质，求得ω取最小时，ϕ的值．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．5.【答案】【解析】解：∵角α的终边在射线上，故α的终边再第二象限，在α的终边上任意取一点P（x，y），取x=-3，y=4，则r=|OP|=5，∴sinα==，cosα==-，∴sinα+cosα=，故答案为：．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，可得sinα+cosα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6.【答案】【解析】解：设扇形的圆心角大小为α（rad），半径为r，则α=，可得：sin=，可得：r==2，可得扇形的面积为S=r2α==．故答案为：．由已知可求扇形的半径，进而根据扇形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．7.【答案】【解析】解：∵α∈（0，），β∈（-，0），∴α-β∈（0，π），又cos（α-β）=，sinβ=-，∴sin（α-β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=×+×（-）=．故答案为：由α和β的范围求出α-β的范围，根据cos（α-β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α-β）的值，再由sinβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ的值，然后将所求式子中的角α变为（α-β）+β，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．8.【答案】-【解析】解：（cosθ-sinθ）2=1-sin2θ=，又，cosθ＜sinθ所以cosθ-sinθ=，故答案为：．求出表达式的平方的值，根据角的范围确定表达式的符号，求出值即可．本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围三角函数的符号的确定，是本题的关键．9.【答案】（，]【解析】解：arccos2x＜arccos（1-x），由y=arccosx在[-1，1]递减，可得-1≤1-x＜2x≤1，即为x≤2且x＞且x≤，可得＜x≤，则x的取值范围是（，]．故答案为：（，]．由y=arccosx在[-1，1]递减，可得-1≤1-x＜2x≤1，解不等式即可得到所求范围．本题考查反三角函数的定义和性质，考查定义法的运用，以及不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．10.【答案】，【解析】解：∵-≤x≤，∴-，∴-≤arcsin（cosx）≤．∴函数的值域为[-，]．故答案为：[-，]．由-≤x≤，得到-，由此能求出函数的值域．本题考查反三角函数的值域的求法，考查三角函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是基础题．11.【答案】，【解析】解：函数f（x）=2sin2x+sin2x=1-cos2x+sin2x=-）+1，由sin（2x-）∈[-1，1]，∴当sin（2x-）=-1时，f（x）取得最小值为，当sin（2x-）=1时，f（x）取得最大值为．∴函数的值域为[，]．故答案为：[，]．利用三角函数的诱导公式化简，再由正弦函数的值域求得函数f（x）的值域．本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的值域的求法，是基础题．12.【答案】4【解析】解：由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB，得b2=22+c2-2×2×c×（-），即b2=4+49-14b+b2+7-b，15b=60∴b=4．故答案为：4．利用余弦定理，根据题设中的a=2，c+b=7，cosB=-，直接求得b即可．本题主要考查余弦定理的应用，考查计算能力．13.【答案】，，k∈Z【解析】解：∵对数的真数大于零∴⇒，k∈Z解之得函数的定义域为：，k∈Z令t=∵∴t关于x的单调减区间是函数f （x）=的单调递增区间由，k∈Z，得x∈，k∈Z，再结合函数的定义域，得x，是原函数的增区间故答案为：先根据对数的真数必须大于零，求出函数的定义域．为了求出原函数的单调减区间，研究真数对应的余弦型函数的增区间，最后将所得区间与函数的定义域取交集，即可得原函数的单调增区间．本题以对数型函数为例，考查了复合三角函数的单调性，属于中档题．解题的同时要注意单调区间应该是函数的定义域的子集．14.【答案】向左平移个单位【解析】解：函数y=cos（-）=cos（-+）=sin（），只需将y=sin的图象向左平移个单位，即可得到函数y=cos（-）的图象，故答案为：向左平移个单位．化简两个函数为同名函数，然后利用平移原则求解即可．本题考查三角函数的图象的平移，注意自变量x的系数．15.【答案】（-4，-2]∪{0}【解析】解：∵令g（x）=-3|cosx|+cosx=，x∈（0，2π），在坐标系中画出函数f（x）图象，如下图所示：由其图象可知当直线y=m，m∈（-4，-2]∪{0}时，g（x）=-3|cosx|+cosx，x∈（0，2π）的图象与直线y=m有且仅有两个不同的交点．故答案为：（-4，-2]∪{0}．根据cosx≥0和cosx＜0对应的x的范围，去掉绝对值化简函数解析式，再由解析式画出函数的图象，由图象求出m的取值范围．本题的考点是余弦函数的图象应用，即根据x的范围化简函数解析式，根据余弦函数的图象画出原函数的图象，再由图象求解，考查了数形结合思想和作图能力．16.【答案】【解析】解：∵tanC=，∴sinC=sin（B+C）=sinA，∴c=a，∵b=2，∴S===，∴a=2时，△ABC的面积S的最大值为，故答案为．由已知利用正弦定理可求c=a，代入“三斜求积”公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．17.【答案】解：（1）∵f（x）=4sin3x cosx-2sin x cosx-cos4x=sin2x×（1-cos2x）-sin2x-cos4x=-sin4x-cos4x=-sin（4x+），∴函数f（x）的最小正周期T=．∵由2kπ+≤4x+≤2kπ+，k∈Z，可得：，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z；（2）∵x∈[0，]，∴4x+∈，，∴sin（4x+）∈[-，1]，∴f（x）=-sin（4x+）∈[-，]，可得当x=时，f（x）在区间[0，]上的最大值为，当x=时，取得最小值为．【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式f（x）=-sin（4x+），利用周期公式可求函数f（x）的最小正周期，由2kπ+≤4x+≤2kπ+，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间．（2）由x∈[0，]，可得4x+，利用正弦函数的性质可得f（x）在区间上的最大值和最小值及相应的x值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，三角函数周期公式的应用，考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．18.【答案】（Ⅰ）解：由三角函数定义，得x1=cosα，．因为∈，，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2 得，即sin2α=-2[sin2αcos+cos2αsin]=sin2α-cos2α，整理得cos2α=0．因为＜＜，所以＜＜，所以，即．【解析】（Ⅰ）由三角函数定义，得x1=cosα=，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果．（Ⅱ）依题意得y1=sinα，，分别求得S1 和S2 的解析式，再由S1=2S2 求得cos2α=0，根据α的范围，求得α的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．19.【答案】解：（1）△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°-∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1．又∠BCD=180-60°-60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA；（2）△ABC中，由正弦定理得=，sin215°=，可得sin15°=，即AB==，因此，BD=≈0.33；所以B、D的距离约为0.33km．【解析】（1）△ACD中，由∠DAC=30°推断出CD=AC，根据CB是△CAD底边AD的中垂线，得出BD=BA；（2）△ABC中利用正弦、余弦定理求得AB的长即得BD的距离．本题主要考查了解三角形的实际应用问题，也考查分析问题解决问题的能力．20.【答案】解：∵1-sin x≥0且1+sin x≥0，在R上恒成立∴函数的定义域为R；∵=2+2|cos x|∴由|cos x|∈[0，1]，f2（x）∈[2，4]，可得函数的值域为[，2]；∵=f（x）∴函数的最小正周期为π∵当x∈[0，]时，=2cos，在[0，]上为减函数当x∈[，π]时，=2sin，在[，π]上为增函数∴f（x）在，上递增，在，上递减（k∈Z）∵f（-x）=f（x）且，∴f（x）在其定义域上为偶函数，结合周期为π得到图象关于直线对称因此，可得如下表格：【解析】由正弦函数的最大最小值，可得函数的定义域为R；由平方法结合余弦函数的有界性，得到函数的值域为[，2]；由函数周期性的定义加以验证，得到函数的最小正周期为π；讨论函数在区间[0，π]上的单调性，结合函数的周期可得函数在R上的单调区间；最后根据函数奇偶性的定义和轴对称的有关公式，算出f（x）在其定义域上为偶函数，图象关于直线对称．由此即可得到本题的答案．本题给出根号下含有三角函数式的函数，求函数的单调性、周期性、奇偶性，并求函数的单调区间和值域．着重考查了三角函数的值域、正余弦函数的图象与性质和函数图象对称轴的求法等知识，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵f（x）=cos x+sin x，∴f（x+α）=cos（x+）+sin（x+）=cos x-sin x；∴g（x）=（cos x+sin x）（cos x-sin x）=cos2x-sin2x=cos2x．（2）∵=4cos x•cos（x-），∴f（x）=2cos x，α=-．（3）∵f（x）=|sin x|+cos x，∴g（x）=f（x）•f（x+α）=（|sin x|+cos x）（|cos x|-sin x）=，∈，，∈，，∈，，∈，，因为存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，所以当x1=2kπ+π或，∈时，g（x）≥g（x1）=-1当，∈时，g（x）≤g（x2）=2所以，、∈或，、∈所以|x1-x2|的最小值是．【解析】（1）求出f（x+α），代入g（x）=f（x）•f（x+α）化简得出．（2）对g（x）化简得=4cosx•cos（x-），故f（x）=2cosx，α=-．（3）求出g（x）的解析式，判断g（x）在何时取的最大值和最小值，本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的性质，分段函数的应用，属于中档题．。

【精品】2018年上海市南模中学高一上学期期中数学试卷

2017-2018学年上海市南模中学高一（上）期中数学试卷一、填空题1．（3分）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=．2．（3分）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A=．3．（3分）设α：x≥2或x≤﹣5，β：x≥﹣2m+1或x≤2m﹣3，m∈R，α是β的充分非必要条件，则m的取值范围为．4．（3分）函数y=的定义域是．5．（3分）函数，，f（x）•g（x）=．6．（3分）已知x＞0，y＞0，x+2y=20，则xy的最大值是．7．（3分）若不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为．8．（3分）已知关于x的不等式≤0解集为∅，则实数k的取值范围是．9．（3分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥x2的解集为．10．（3分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则f（﹣2）=．11．（3分）设函数f（x），g（x）的定义域分别为D f，D g，且D f⊂D g．若对于任意x∈D f，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D g上的一个延拓函数．设f（x）=x2+2x，x∈（﹣∞，0]，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则g（x）=．12．（3分）已知命题P：方程x2+4x+m﹣1=0有两个不等的负根；命题q：方程4x2+4x+m﹣2=0无实根．若P、q两命题中一真一假，则m的取值范围是．二、选择题：13．（3分）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件14．（3分）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C． D．15．（3分）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数16．（3分）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（）A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16三、解答题：17．已知关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|＜1的解集为Q．（1）若a=3，求P；（2）若P∪Q=P，求正数a的取值范围．18．已知函数f（x）=x2+（a+1）x+|a+2|（a∈R）．（1）写出一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x），使f（x）=g（x）+h（x）；（2）若h（x）≥g（x）对于任意的x∈R 恒成立，求实数a的取值范围．19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．20．已知函数（1）当a=0，b=1时，解关于x的不等式：f（x）＞k（k∈R）（2）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．21．已知函数f（x）=（a、b是非零实常数）满足f（1）=，且关于x的方程f（x）=x的解集中恰有一个元素．（1）求a、b的值；（2）在直角坐标系中，求定点A（0，2）到函数f（x）图象上任意一点P（x，y）的距离|AP|的最小值；（3）当时，不等式（x+1）•f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年上海市南模中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B={﹣1，2} ．【解答】解：∵集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={﹣1，2}，故答案为：{﹣1，2}2．（3分）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A=（0，1）．【解答】解：∵集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}={x|x≥1，或x≤0}∴C U A={x|0＜x＜1}=（0，1）故答案为：（0，1）3．（3分）设α：x≥2或x≤﹣5，β：x≥﹣2m+1或x≤2m﹣3，m∈R，α是β的充分非必要条件，则m的取值范围为[﹣0.5，+∞）．【解答】解：若α是β的充分非必要条件，则，即，即，即m≥﹣0.5，即实数m的取值范围是[﹣0.5，+∞），故答案为：[﹣0.5，+∞）．4．（3分）函数y=的定义域是[﹣3，1] ．【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，解得：x∈[﹣3，1]，故答案为：[﹣3，1]5．（3分）函数，，f（x）•g（x）=x﹣1（x≠﹣3且x≠0）．【解答】解：f（x）的定义域为{x|x≠﹣3}，g（x）的定义域为{x|x≠0}，∴f（x）g（x）的定义域为{x|x≠﹣3且x≠0}．∴f（x）g（x）==x﹣1（x≠﹣3且x≠0）．故答案为：x﹣1（x≠﹣3且x≠0）．6．（3分）已知x＞0，y＞0，x+2y=20，则xy的最大值是50．【解答】解：x＞0，y＞0，x+2y=20，由x+2y≥2，可得20≥2，则xy≤50，当且仅当x=2y=10时，取得等号，即xy的最大值为50．故答案为：50．7．（3分）若不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为4．【解答】解：∵不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，∴16≤．令f（x）=（x+y）（+），（a＞0）．则f（x）=a+4+≥a+4+=a+4+4．当且仅当取等号．∴，解得a=4．因此正实数a的最小值为4．故答案为：4．8．（3分）已知关于x的不等式≤0解集为∅，则实数k的取值范围是0≤k＜4．【解答】解：∵x2﹣x+1=（x﹣）2+＞0，∴不等式≤0等价于kx2﹣kx+1≤0，当k=0时，kx2﹣kx+1≤0可化为1≤0，解集为∅，当k≠0时，可得，解得0＜k＜4，综合可得k的取值范围为0≤k＜4故答案为：0≤k＜4．9．（3分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥x2的解集为[﹣1，1] ．【解答】解：当x≤0时，f（x）=x+2，代入不等式得：x+2≥x2，即（x﹣2）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤2，所以原不等式的解集为[﹣1，0]；当x＞0时，f（x）=﹣x+2，代入不等式得：﹣x+2≥x2，即（x+2）（x﹣1）≤0，解得﹣2≤x≤1，所以原不等式的解集为[0，1]，综上，原不等式的解集为[﹣1，1]故答案为：[﹣1，1]10．（3分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则f（﹣2）=﹣7．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），f（0）=1+b=0，b=﹣1．∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣22﹣4﹣（﹣1）=﹣7．故答案为：﹣7．11．（3分）设函数f（x），g（x）的定义域分别为D f，D g，且D f⊂D g．若对于任意x∈D f，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D g上的一个延拓函数．设f（x）=x2+2x，x∈（﹣∞，0]，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则g（x）=x2﹣2|x| ．【解答】解：由题意可得当x≤0时，g（x）=f（x）=x2+2x由函数g（x）为偶函数可得，g（﹣x）=g（x）当x＞0时，则﹣x＜0，g（﹣x）=x2﹣2x，则g（x）=x2﹣2x∴g（x）=x2﹣2|x|故答案为：x2﹣2|x|12．（3分）已知命题P：方程x2+4x+m﹣1=0有两个不等的负根；命题q：方程4x2+4x+m﹣2=0无实根．若P、q两命题中一真一假，则m的取值范围是（1，3]∪[5，+∞）．【解答】解：若方程2+4x+m﹣1=0有两不等的负根，则，即解得m＜1；即命题p：m＜1，…（4分）若方程4x2+4x+m﹣2=0无实根，则△=16﹣16（m﹣2）=48﹣16m＜0，解得：m＞3．即命题q：m＞3…（8分）由题意知，命题p、q一真一假，即命题p为真，命题q为假时，，得m＜1，若命题p为假，命题q为真．则，得m＞3，综上：m＞3或m＜1．…（14分）二、选择题：13．（3分）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：当a=1时，M={1，2}，N={1}有N⊆M当N⊆M时，a2=1或a2=2有所以“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件．故选：A．14．（3分）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C． D．【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C 错∵ab＞0∴故选：D．15．（3分）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数【解答】解：∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）﹣|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|﹣g（x）的奇偶性均不能确定故选：A．16．（3分）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（）A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16【解答】解：由题意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4）==30，可得出=30故=4，可得A=16从而c=15=60故选：D．三、解答题：17．已知关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|＜1的解集为Q．（1）若a=3，求P；（2）若P∪Q=P，求正数a的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，若a=3，则有≥0⇒（x﹣3）（x+1）≤0且x+1≠0，解可得﹣1＜x≤3，即不等式的解集为（﹣1，3]，即P=（﹣1，3]；（2）|x﹣1|＜1⇒﹣1＜x﹣1＜1⇒0＜x＜2，则Q=（0，2）；⇒（x﹣a）（x+1）≤0且x+1≠0，又由a＞0，⇒﹣1＜x≤a，即P=（﹣1，a]；若P∪Q=P，则Q⊆P，必有a≥2，即a的取值范围是[2，+∞）．18．已知函数f（x）=x2+（a+1）x+|a+2|（a∈R）．（1）写出一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x），使f（x）=g（x）+h（x）；（2）若h（x）≥g（x）对于任意的x∈R 恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=g（x）+h（x）=x2+（a+1）x+|a+2|，①，f（﹣x）=g（﹣x）+h（﹣x）=﹣g（x）+h（x）=x2﹣（a+1）x+|a+2|，②，由①+②可得h（x）=x2+|a+2|，由①﹣②可得g（x）=（a+1）x，（2）∵h（x）≥g（x）对于任意的x∈R 恒成立，∴x2+|a+2|≥（a+1）x对于任意的x∈R 恒成立，当a≥﹣2时，则x2+a+2≥（a+1）x对于任意的x∈R 恒成立，即x2﹣（a+1）x+a+2≥0对于任意的x∈R 恒成立，∴△=（a+1）2﹣4（a+2）≤0解得1﹣2≤a≤1+2，当a＜﹣2时，则x2﹣a﹣2≥（a+1）x对于任意的x∈R 恒成立，即x2﹣（a+1）x﹣a﹣2≥0对于任意的x∈R 恒成立，∴△=（a+1）2+4（a+2）≤0解得a=﹣3，综上所述a的取值范围为．19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）=8，得k=40，因此．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f'（x）=0，即．解得x=5，（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．20．已知函数（1）当a=0，b=1时，解关于x的不等式：f（x）＞k（k∈R）（2）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．【解答】解：（1）当a=0，b=1时，f（x）=，当k＞0时，即＞k，解得；当k=0时，x∈（0，+∞）；当k＜0时，；（2）当a=0，b≠0时，f（x）=为奇函数；当a≠0，b=0时，f（x）=ax2为偶函数；当a=0且b=0时，f（x）=0既是奇函数又是偶函数；当a≠0且b≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．21．已知函数f（x）=（a、b是非零实常数）满足f（1）=，且关于x的方程f（x）=x的解集中恰有一个元素．（1）求a、b的值；（2）在直角坐标系中，求定点A（0，2）到函数f（x）图象上任意一点P（x，y）的距离|AP|的最小值；（3）当时，不等式（x+1）•f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=，且f（1）=，∴=，即a+b=2；又f（x）=x有且仅有一个实数解，∴x（）=0有且仅有一个实数解，为0．∴b=1，a=1．∴f（x）=．（2）由（1）知，P（x，），|AP|2=（﹣2）2+x2=（）2+x2=（+1）2+[（x+1）﹣1]2，令t=，则|AP|2=t2+2t+1+（）2﹣+1=（t﹣）2+2（t﹣）+4，令r=t﹣，则|AP|2=r2+2r+4=（r+1）2+3，∴当r=﹣1，即t﹣=﹣1，t=时，|AP|的最小值为．（3）∵x∈（，]，∴x+1＞＞0，∴（x+1）•f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒成立⇔x＞m（m﹣x）﹣1恒成立⇔（1+m）x＞m2﹣1，当m+1＞0，即m＞﹣1时，有m﹣1＜x恒成立⇔m＜x+1⇔m＜（x+1）min，∴﹣1＜m≤；当m+1＜0，即m＜﹣1时，同理可得m＞（x+1）max=，∴此时m不存在．综上得﹣1＜m≤．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

2018年湖南省高一下学期期中考试数学试题(A卷)(解析版)11

上学期高一年级期中考试试题数学(必修4占70％；必修1、2占30％)考生注意：1、本试题共分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。

时量120分钟，满分150分。

答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号填入相应位置内。

2、客观题请用2B 铅笔填涂在答题卡上，主观题请用黑色的签字笔书写在答题卷上。

考试结束时，只交答题卷，试卷请妥善保管。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题。

(本题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的。

请将答案用2B 铅笔填涂在答题卡上。

) 1．sin330°的值为( )A ．12B ．32C ．－12D ．－322．已知PQ→＝(2，－1)，点Q 的坐标为(－1,3)，则点P 的坐标为( )A ．(3，－4)B ．(－3,4)C ．(4，－3)D ．(－4,3) 3．已知sin 110°＝a ，则cos 20°的值为( )A ．aB ．－a C.1－a 2 D ．－1－a 24．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( )A ．若α∥β，l ⊂α，n ⊂β，则l ∥nB ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βC ．若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ∥mD ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β5．f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1(x <2)log 3(x 2－1) (x ≥2)，则f (f (2))的值为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．已知a ＝0.3，b ＝20.3，c ＝0.30.2，则a 、b 、c 的大小关系是 ( )A ．b >c >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >b >a7．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°8．若sin α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan2α的值为( )A ．60119 B ．120119 C ．－60119 D ．－1201199．设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则EB→＋FC →＝( )A ．BC→ B ．12AD → C ． AD → D ．12BC → 10．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈[π4，π]，β∈[π，3π2]，则α＋β的值是( ) A ．7π4 B ．9π4 C ．5π4或7π4 D ．5π4或9π411．将函数y ＝sin x 的图象经过下列哪种变换可以得到函数y ＝cos2x 的图象( )A ．先向左平移π4个单位，然后再沿x 轴将横坐标压缩到原来的12倍(纵坐标不变)B ．先向左平移π2个单位，然后再沿x 轴将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)C ．先向左平移π2个单位，然后再沿x 轴将横坐标压缩到原来的12倍(纵坐标不变)D ．先向左平移π4个单位，然后再沿x 轴将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)12．关于x 的方程x 2－x cos A cos B －cos 2C2＝0有一个根为1，则在△ABC 中一定有( )A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＝∠C C ．∠B ＝∠CD ．∠A ＋∠B ＝π2第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题。

上海市南洋模范中学2018学年高一下学期期中考试数学试

2018学年第二学期南模中学高一年级数学学科期中考试卷一、填空题1．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4P y ，是角θ终边上一点，且sin θ=y = ．2．设扇形AOB 的周长为8cm ，若这个扇形的面积为24cm ，则圆心角的弧度数为．3．在相距2千米的A ，B 两点处测量目标C ，若75CAB ∠=︒，60CBA ∠=︒，则A ，C 两点之间的距离是千米．4．已知1tan 2α=，则sin 2α的值为．5．若()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x <时()cos3sin 2f x x x =+，则当0x >时，()f x =．6．函数1cos sin xy x -=的最小正周期是．7．当π3π44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，函数()arccos sin y x =的值域是． 8．已知tan 1α=，且()3sin sin 2βαβ=+，则()tan αβ+= ．9．函数()13log sin cos y x x =-的单调递增区间是．10．已知函数()π3sin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0ω>）和()()2cos 21g x x ϕ=++的图象的对称轴完全相同，若π04x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则()f x 的取值范围是．11．若关于x 的方程22cos 5sin 4x x a +-=有实数解，则实数a 的取值范围是．12．在OAB △中，O 为坐标原点，()1cos A θ，，()sin 1B θ，，π02θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，则当OAB △的面积达最大值时，θ=．二、选择题13．若1sin 4x =-，3ππ2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则（）A ．1arcsin 4x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．1arcsin 4x =-C ．1πarcsin4x =+ D ．1πarcsin4x =- 14．把函数()sin y x x =∈R 的图象上所有点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（） A ．πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R B ．πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈RC ．πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈RD ．2πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R15．方程cos x x =在()-∞+∞，内（） A ．没有根B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根16．在ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，则A 的取值范围是（）A ．π06⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ． ππ6⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C ．π03⎛⎤ ⎥⎝⎦， D ．ππ3⎡⎫⎪⎢⎣⎭，17．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间π3π22⎛⎫⎪⎝⎭，内的图象大致是（）ABCD18．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()π6f x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤对x ∈R 恒成立，且()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（） A ．()ππππ36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，B ．()πππ2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z ，C ．()π2πππ63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，D ．()πππ2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z ，三、解答题19．已知ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，4sin 5α=．⑴ 求πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；⑵ 求5πcos 62α⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 20．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin cos 1sin 2C C C +=-． ⑴ 求sin C 的值；⑵ 若()2248a b a b +=+-，求边c 的值．21．半圆O 直径为2，2OA =，B 为半圆上任意一点，C 为半圆外异于A 的点，以AB 为边按顺时针方向作正ABC △，问B 在何位置时，四边形OACB 面积最大？CBA22．已知定义在R 上的函数 ()()()1sin cos 012f x x a x a ωωω=+∈<R ，≤ 满足：()π3f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()ππf x f x -=+．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）设不等的实数1x ，2π5π33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，且()()1212f x f x ==-，求12x x +的值．23．已知函数()sin sin cos cos cos 2k k k f x kx x kx x x =+-，（其中k 为常数， x ∈R ）⑴ 当1k =时，求函数()f x 的单调递增区间；⑵ 当1k =时，求函数()()()2f x g x a f x =+在π03⎛⎤ ⎥⎝⎦，上的最大值（其中常数0a >） ⑶ 是否存在*k ∈N ，使得函数()f x 为常函数，若存在，求出k 的值，并加以证明；若不存在，请说明理由．。

2018学年高一数学下学期期中试题(含解析)

2018学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先分解因式再解不等式.【详解】因为，所以或，选C.【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查基本求解能力，属基础题.2.若的三个内角满足，则（）A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理得,所以C是最大的角，由余弦定理,所以C 为钝角，因此三角形一定是钝角三角形考点：三角形形状的判定及正、余弦定理的应用3.已知向量，，．若，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量共线坐标表示得方程，解得结果.【详解】因为，所以,选C.【点睛】本题考查向量共线，考查基本分析与求解能力，属基础题.4.若，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式性质确定选项.【详解】当时，不成立；因为，所以；当时，不成立；当时，不成立；所以选B.【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.5.平面向量与的夹角为,则（）A. B. 12 C. 4 D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，由数量积的定义，代入已知数据可得答案．【详解】由题意可得故选：D．【点睛】本题考查向量的模的计算，涉及向量的夹角，以及向量的数量积运算，属于常考题型．6.在中角、、的对边分别是、、，若，则为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，则有，则有，即，即，则有，即，因为，所以，故有，解得，因为，所以，故选C.考点：1.正弦定理；2.边角互化7.已知，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先寻找与、的关系，再根据不等式性质得结果.【详解】因为+2（），所以，选D.【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析求解能力，属基础题.8.若数列满足，，，记数列的前项积为，则下列说法错误的是（）A. 无最大值B. 有最大值C.D.【答案】A【解析】【分析】先求数列周期，再根据周期确定选项.【详解】因为，所以因此数列为周期数列，，有最大值2，，因为,所以为周期数列，，有最大值4，,综上选A.点睛】本题考查数列周期，考查基本分析求解能力，属中档题.9.设等差数列的前项和为，且，，则使得最小的为（）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】B【解析】【分析】先根据条件得首项与公差关系，再结合选项判断符号.【详解】因为，所以当时，，当时，所以选B.【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查基本分析判断能力，属中档题.10.数列，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记该数的前项和为，则下列结论正确的是（）A. B. C.D.【答案】B【解析】【分析】利用迭代法可得，即成立，即可得到答案.【详解】由题意，熟练数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，即该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，则，即成立，所以成立，故选B.【点睛】本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中根据数列的结构特征，合理利用迭代法得出是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知等比数列满足：，，且，则______；______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据条件列方程组解得首项与公比，再求.【详解】因为，所以或，因为，所以【点睛】本题考查等比数列首项与公比，考查基本分析求解能力，属中档题.12.已知等差数列的前项和记为，若．，则______；______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据等差数列和项性质求.根据首项与公差求.【详解】因为等差数列中仍成等差数列，所以，因为,所以，【点睛】本题考查等差数列求和公式以及性质，考查基本分析求解能力，属中档题.13.在中，角，，所对的边分别是，，，已知，．若，则的面积为______；若有两解，则的取值范围是______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据等腰三角形性质可得的面积，根据正弦定理确定有两解条件.【详解】若，则,因此的面积为由正弦定理得,因为有两解，所以【点睛】本题考查正弦定理以及三角形面积，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.14.已知,是不共线的两个单位向量，,,若,则______；若对任意的,与都不可能垂直，则在上的投影为______【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据向量平行可列方程解得;先根据向量数量积探求的值，再根据向量投影公式可得结果.【详解】因为，是不共线的两个单位向量，所以由题意得, 对任意的恒成立，所以所以在上的投影为.【点睛】本题考查向量共线、垂直与投影，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.15. 已知向量,满足，，，则与夹角大小是______．【答案】【解析】【分析】由向量垂直的充分必要条件可得，据此求得向量夹角的余弦值，然后求解向量的夹角即可.【详解】由得，，即，据此可得：，，又与的夹角的取值范围为，故与的夹角为.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.已知中，的平分线交对边于点，，且，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式列函数关系式，再根据三角形内角范围求结果.【详解】由题意得,所以,即【点睛】本题考查三角形面积公式，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.17.已知数列满足，且当时，，则______．【答案】【解析】【分析】变形递推关系式，再根据叠乘法求结果.【详解】当时，，所以，因此当时，所以因为当时，，所以.【点睛】本题考查利用叠乘法求数列通项，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数．（Ⅰ）若不等式的解集是，求实数与的值；（Ⅱ）若，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】分析】（Ⅰ）根据不等式解集与对应方程根的关系列式求解，（Ⅱ）分离变量，转化为求对应函数最值问题.【详解】（Ⅰ）因为不等式的解集是，所以为两根，且,因此（Ⅱ）因为，所以不等式可化为因为当时,所以，因为，解得【点睛】本题考查不等式解集与对应方程根的关系以及不等式恒成立问题，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.19.在中，角，，所对的边分别是，，，已知的周长为，且（Ⅰ）求边的长；（Ⅱ）若的面积为，求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）先根据正弦定理得边的关系，再根据周长求；（Ⅱ）根据三角形面积公式得的值，再根据余弦定理求结果.【详解】（Ⅰ）因为，所以由正弦定理得,因为周长为，所以（Ⅱ）因为的面积为，所以，所以【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及面积公式，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.20.如图，在梯形中，，，，（Ⅰ）若，求实数的值；（Ⅱ）若，求数量积的值【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据平面向量基本定理求解，（Ⅱ）根据向量数量积定义求解【详解】（Ⅰ）因为，所以,,因此，（Ⅱ）【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量数量积，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.21.设公差不为0的等差数列中，，且构成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列的前项和满足：，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据条件列方程解得公差，再根据等差数列通项公式得结果，（Ⅱ）先根据和项求通项，再根据错位相减法求和.【详解】（Ⅰ）因为构成等比数列，所以（0舍去）所以（Ⅱ）当时，当时，，相减得所以即【点睛】本题考查等差数列通项公式以及错位相减法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.22.已知数列满足,．（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）比较与的大小，并用数学归纳法证明；（Ⅲ）设，数列的前项和为，若对任意成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据等比数列定义证明，（Ⅱ）先求，再根据数学归纳法证明，（Ⅲ）先化简，再利用裂项相消法求和得，最后根据最大值得结果.【详解】（Ⅰ）且,是以3为首项，为公比的等比数列，（Ⅱ）由（Ⅰ）知：,下面用数学归纳法证明（1）当时,（2）假设当时,,当时,即当时,结论成立，由（1）（2）得,（Ⅲ）因为【点睛】本题考查证等比数列、数学归纳法以及裂项相消法求和，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.2018学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先分解因式再解不等式.【详解】因为，所以或，选C.【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查基本求解能力，属基础题.2.若的三个内角满足，则（）A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理得,所以C是最大的角，由余弦定理,所以C为钝角，因此三角形一定是钝角三角形考点：三角形形状的判定及正、余弦定理的应用3.已知向量，，．若，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量共线坐标表示得方程，解得结果.【详解】因为，所以,选C.【点睛】本题考查向量共线，考查基本分析与求解能力，属基础题.4.若，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式性质确定选项.【详解】当时，不成立；因为，所以；当时，不成立；当时，不成立；所以选B.【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.5.平面向量与的夹角为,则（）A. B. 12 C. 4 D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，由数量积的定义，代入已知数据可得答案．【详解】由题意可得故选：D．【点睛】本题考查向量的模的计算，涉及向量的夹角，以及向量的数量积运算，属于常考题型．6.在中角、、的对边分别是、、，若，则为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，则有，则有，即，即，则有，即，因为，所以，故有，解得，因为，所以，故选C.考点：1.正弦定理；2.边角互化7.已知，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先寻找与、的关系，再根据不等式性质得结果.【详解】因为+2（），所以，选D.【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析求解能力，属基础题.8.若数列满足，，，记数列的前项积为，则下列说法错误的是（）A. 无最大值B. 有最大值C.D.【答案】A【解析】【分析】先求数列周期，再根据周期确定选项.【详解】因为，所以因此数列为周期数列，，有最大值2，，因为,所以为周期数列，，有最大值4，,综上选A.点睛】本题考查数列周期，考查基本分析求解能力，属中档题.9.设等差数列的前项和为，且，，则使得最小的为（）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】B【解析】【分析】先根据条件得首项与公差关系，再结合选项判断符号.【详解】因为，所以当时，，当时，所以选B.【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查基本分析判断能力，属中档题.10.数列，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记该数的前项和为，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用迭代法可得，即成立，即可得到答案.【详解】由题意，熟练数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，即该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，则，即成立，所以成立，故选B.【点睛】本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中根据数列的结构特征，合理利用迭代法得出是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知等比数列满足：，，且，则______；______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据条件列方程组解得首项与公比，再求.【详解】因为，所以或，因为，所以【点睛】本题考查等比数列首项与公比，考查基本分析求解能力，属中档题.12.已知等差数列的前项和记为，若．，则______；______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据等差数列和项性质求.根据首项与公差求.【详解】因为等差数列中仍成等差数列，所以，因为,所以，【点睛】本题考查等差数列求和公式以及性质，考查基本分析求解能力，属中档题.13.在中，角，，所对的边分别是，，，已知，．若，则的面积为______；若有两解，则的取值范围是______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据等腰三角形性质可得的面积，根据正弦定理确定有两解条件.【详解】若，则,因此的面积为由正弦定理得,因为有两解，所以【点睛】本题考查正弦定理以及三角形面积，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.14.已知,是不共线的两个单位向量，,,若,则______；若对任意的,与都不可能垂直，则在上的投影为______【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据向量平行可列方程解得;先根据向量数量积探求的值，再根据向量投影公式可得结果.【详解】因为，是不共线的两个单位向量，所以由题意得, 对任意的恒成立，所以所以在上的投影为.【点睛】本题考查向量共线、垂直与投影，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.15. 已知向量,满足，，，则与夹角大小是______．【答案】【解析】【分析】由向量垂直的充分必要条件可得，据此求得向量夹角的余弦值，然后求解向量的夹角即可.【详解】由得，，即，据此可得：，，又与的夹角的取值范围为，故与的夹角为.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.已知中，的平分线交对边于点，，且，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式列函数关系式，再根据三角形内角范围求结果.【详解】由题意得,所以,即【点睛】本题考查三角形面积公式，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.17.已知数列满足，且当时，，则______．【答案】【解析】【分析】变形递推关系式，再根据叠乘法求结果.【详解】当时，，所以，因此当时，所以因为当时，，所以.【点睛】本题考查利用叠乘法求数列通项，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数．（Ⅰ）若不等式的解集是，求实数与的值；（Ⅱ）若，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】分析】（Ⅰ）根据不等式解集与对应方程根的关系列式求解，（Ⅱ）分离变量，转化为求对应函数最值问题.【详解】（Ⅰ）因为不等式的解集是，所以为两根，且,因此（Ⅱ）因为，所以不等式可化为因为当时,所以，因为，解得【点睛】本题考查不等式解集与对应方程根的关系以及不等式恒成立问题，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.19.在中，角，，所对的边分别是，，，已知的周长为，且（Ⅰ）求边的长；（Ⅱ）若的面积为，求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）先根据正弦定理得边的关系，再根据周长求；（Ⅱ）根据三角形面积公式得的值，再根据余弦定理求结果.【详解】（Ⅰ）因为，所以由正弦定理得,因为周长为，所以（Ⅱ）因为的面积为，所以，所以【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及面积公式，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.20.如图，在梯形中，，，，（Ⅰ）若，求实数的值；（Ⅱ）若，求数量积的值【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据平面向量基本定理求解，（Ⅱ）根据向量数量积定义求解【详解】（Ⅰ）因为，所以,,因此，（Ⅱ）【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量数量积，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.21.设公差不为0的等差数列中，，且构成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列的前项和满足：，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据条件列方程解得公差，再根据等差数列通项公式得结果，（Ⅱ）先根据和项求通项，再根据错位相减法求和.【详解】（Ⅰ）因为构成等比数列，所以（0舍去）所以（Ⅱ）当时，当时，，相减得所以即【点睛】本题考查等差数列通项公式以及错位相减法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.22.已知数列满足,．（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）比较与的大小，并用数学归纳法证明；（Ⅲ）设，数列的前项和为，若对任意成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据等比数列定义证明，（Ⅱ）先求，再根据数学归纳法证明，（Ⅲ）先化简，再利用裂项相消法求和得，最后根据最大值得结果.【详解】（Ⅰ）且,是以3为首项，为公比的等比数列，（Ⅱ）由（Ⅰ）知：,下面用数学归纳法证明（1）当时,（2）假设当时,,当时,即当时,结论成立，由（1）（2）得,（Ⅲ）因为【点睛】本题考查证等比数列、数学归纳法以及裂项相消法求和，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.。

2017-2018学年度高一第二学期江苏省南京市第一中学学数学期中试卷与解析

在 △ABC 中， a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边，若 sin B sin C cos2 是．
10. 已知数列 an 中 a1 1 ， an1 an n 2 ，则 an 11. 已知等比数列 an 满足 an 0 ， n 1,2,3,
2017-2018 学年度第二学期期中试卷南京一中高一数学
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 函数 y log 4 x 2 的定义域是．．
3 ，则 sin A 5
若等差数列 an 满足 a5 9 ，且 a2 3 ，则公差 d
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18. 如图，墙上有一壁画，最高点 A 离地面 4 米，最低点 B 离地面 2 米，观察者从距离墙 x x 1 米，离地面高 a 1 a 2 米 C 处观赏该壁画，设观赏视角 ACB ． ⑴ 用 x 表示 tan ； ⑵ 若 a 1.5 ，问：观察者离墙多远时，视角最大？
．
【答案】
【解析】由正弦定理
4.
已知正实数 x, y 满足 xy 3 ，则 x y 的最小值是
．
【答案】 2 3 ；【解析】由 x, y 0 可得 x y 2 xy 2 3 ，当且仅当 x y 3 时等号成立．
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20. 在数列 an 中，已知 a1
1 2 1 ， an 1 an n 1 , n N ，设 S n 为 an 的前 n 项和． 3 3 3
⑴ 求证：数列 3n an 是等差数列； ⑵ 求 Sn ； ⑶ 是否存在正整数 p, q, r p q r ，使 S p , Sq , Sr 成等差数列？若存在，求出 p, q, r 的值；若不存在，说明理由．

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