数学文化

数学的美

摘要：数学美感和审美能力是进行一切数学研究和创造的基础。数学追求的目标是,从混沌中找出秩序,使经验升华为规律,将复杂还原为基本。所有这些都是美的标志。

关键词：数学;美学;完备;对称；简洁；抽象

数学也是自然科学的语言,它具有一般语言文学与艺术所共有的美学特点,即数学在其内容结构上、方法上都具有自身的某种美。数学将杂乱整理为有序,使经验升华为规律,寻求各种物质运动的简洁统一的数学表达式等,这些都是数学美的体现,也是人类对美感的追求。

（1）完备之美

没有那一门学科能像数学这样，利用如此多的符号，展现一系列完备且完美的世界。就说数吧，实数集是完备的，任意多的实数随便做加减乘除乘方开方，其结果依然是实数（注意：数学上完备是根据序列的收敛性严格定义的，我这里不是完备的严格说法，但可认为是广义的说法）。引入虚数单位，实数集扩展到复数集，还是任意多的复数，还做那些运算，结果还是复数。

把具体的数抽象成空间中的点，在一定的假设和约定之下，可以得到完备的空间，这些空间可以是一维的，也可以是二维三维甚至多维的。三维之外，你就难以想象，但不能否认其存在。某空间的点、序列依一定的法则进行运算，依然不能离开那个空间，这就是完备性。这种完备性是很奇妙的。你可以把它想象成在一个球体中，不管你如何运动，总是不能钻出球面。

具有完备性的空间，可以带来许多好处。工程中用得最多的空间是Hilbert空间。顺便提一句，Hilbert 是个二十世纪最伟大的数学家之一。

另外，数学中的诸多体系，其本身也都是完备的，如欧式几何，这是大家所熟知的，在几个公理的基础上，推演出一系列漂亮的结论，生命力经久不衰，尤其在工程运用中。

（2）对称之美

提到对称的美，大家首先想到的是几何，其实几何只是一方面，是“看得见”的那一方面。实际上，对称性在数学中处处存在。如微积分的基本定理，展现了微分与积分之间的紧密联系，本身具有很强的对称性。如泛函中的对偶算子，不但在运算上具有显著的对称性，在性质上也处处显示出一致性。

（3）简洁之美

数学中有个非常漂亮的公式，那就是欧拉公式。这个式子把数学中几个“伟大的”数给联系到了一块，它们分别是自然对数、圆周率、虚数单位以及1，其中前两个是超越数，是无数个超越数中人类目前仅仅找到的两个，而且这两个对数学影响巨大。我大胆猜想，当下一个超越数被找到的时候，数学将会经历另一场巨大的革命。虚数单位今天看起来没什么特别，但它刚被引进的时候曾受到众多（大）数学家的置疑和反对，最后它终于还是进来了，而数学也开辟了一条康庄大道，那就是复变函数。

勿庸置疑，欧拉公式是简洁而完美的，另一个可以跟它抗衡的式子出现在物理学中，那就是爱因斯坦的质能变换公式。我这种说法可能有点武断，不过我目前只能想到这一点。

为了更清楚地说明对于简单美的追求所导致的“真正的进步”,以二进位数制的建立为例来进行分析。二进位制渊源已久。作为一种系统的研究,莱布尼兹最早认为建立这样一种数制的可能性。他认为在二进位数制中,只需使用0和1这样两个数字就可表示出所有数量。他指出,1表示统一,0表示无。他推论道,只用0和1就可以把所有的数字都表现出来。这种记数法对于电子计算机是特别适用的。因为,在计算机中可以很方便地用一个特别按钮的“开”和“关”来分别对应数字“1”和“0”,进而,又只需适当增加按钮的数量,我们就可用按钮的组合来表示任何一个二进制数。

（4）抽象之美

这一点可能会引起许多人的异议，因为在许多人看来，抽象是不好的，因为离现实太远。可是我不这么认为，数学如果不抽象，便难以发展，虽然很多问题都是从现实引出的。数学建立在符号逻辑的基础之上，即使是解决实际问题，也要把问题抽象出来，用数学符号表示，才可以很好的解决。另一方面，抽象的数学，能带动你在无限的思维空间中遨游，抛开一切杂念，成为一种美好的享受。当然，这有点理想化，但不可否认，这确实是一种美的体验。

摘要：数学美感和审美能力是进行一切数学研究和创造的基础。数学追求的目标是,从混沌中找出秩序,使经验升华为规律,将复杂还原为基本。所有这些都是美的标志。

关键词：数学;美学;简洁;和谐

数学也是自然科学的语言,它具有一般语言文学与艺术所共有的美学特点,即数学在其内容结构上、方法上都具有自身的某种美。数学将杂乱整理为有序,使经验升华为规律,寻求各种物质运动的简洁统一的数学表达式等,这些都是数学美的体现,也是人类对美感的追求。

[1]王朝闻.美学概论[M].北京:人民出版社,1981.

[2]吴振奎,刘舒强.数学中的美——数学美学初探[M].天津,天津教育出版社