《概率论与数理统计》综合复习资料全
概率论与数理统计知识点总结!-知识归纳整理
《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率古典概型公式：P （A ）=所含样本点数所含样本点数ΩA 实用中经常采用“罗列组合”的想法计算补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。
求：P(A)=？Ω所含样本点数：n n n n n =⋅⋅⋅...Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅n n n A P !)(=∴补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。
(i =1,2,3)求：P(A i )=？Ω所含样本点数：6444443==⋅⋅A 1所含样本点数：24234=⋅⋅836424)(1==∴A PA 2所含样本点数：363423=⋅⋅C1696436)(2==∴A PA 3所含样本点数：4433=⋅C161644)(3==∴A P注：由概率定义得出的几个性质：知识归纳整理1、0<P （A ）<12、P(Ω)=1，P(φ) =0 §1.3 概率的加法法则定理：设A 、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n )推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1推论3： P （A ）=1－P （A ）推论4：若B ⊃A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：nnAA A A A A ⋂⋂⋂=⋃⋃⋃ (2)121nnAA A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂ (2)121§1.4 条件概率与乘法法则条件概率公式：P(A/B)=)()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= )()(A P AB P （P(A)≠0）∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ）有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。
概率论与数理统计知识要点
知识要点一 概念：1随机事件：用,,A B C 等表示 互不相容： AB =Φ互逆： AB =Φ且A B ⋃=Ω ，此时，B A = 互逆⇒互不相容 ，反之不行相互独立： ()()P A B P A =或()()()P AB P A P B =2 随机事件的运算律：(1) 交换律： ,A B B A AB BA ⋃=⋃= (2) 结合律： ()(),()()A B C A B C AB C A BC ⋃⋃=⋃⋃=(3) 分配律： (),()()()A B C AB AC A BC A B A C ⋃=⋃⋃=⋃⋃(4 ) De Morgen 律（对偶律）B A B A =⋃ B A AB ⋃= 推广：11n ni i i i A A ===U I11nni i i i A A ===IU3 随机事件的概率：()P A 有界性 0()1P A ≤≤ 若A B ⊂ 则()()P A P B ≤ 条件概率 ()()()P AB P A B P B =4 随机变量： 用大写,,X Y Z 表示 .若X 与Y 相互独立的充分必要条件是)()(),(y F x F y x F Y X =若X 与Y 是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是(,)()()X Y f x y f x f y = 若X 与Y 是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是(,)()()X Y p x y p x p y =若X 与Y 不相关，则cov(,)0X Y = 或 (,)0R X Y = 独立⇒不相关 反之不成立当X 与Y 服从正态分布时 ，则相互独立 ⇔不相关二 两种概率模型古典概型 ：()MP A N=:M A 所包含的基本事件的个数 ；:N 总的基本事件的个数 伯努利概型 ： n 次独立试验序列中事件A 恰好发生m 次的概率 ()m m n mn n P m C p q -=n 次独立试验序列中事件A 发生的次数为1m 到2m 之间的概率2112()()m n m m P m m m P m =≤≤=∑n 次独立试验序列中事件A 至少发生r 次的概率1()()1()nr n n m rm P m r P m P m -==≥==-∑∑特别的 ，至少发生一次的概率 (1)1(1)nP m p ≥=--三 概率的计算公式：加法公式：()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-若B A ,互不相容 ,则)()()(B P A P B A P +=+推广：)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃若B A,，C 互不相容，则()()()()P A B C P A P B P C ++=++乘法公式：)()()(A B P A P AB P =或()()P B P A B = 若,A B 相互独立 ，()()()P AB P A P B =推广：)()()()()(12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P ΛΛΛΛΛΛ 若它们相互独立，则1212()()()()n n P A A A P A P A P A =L L L L全概率公式：若 A 为随机事件，n B B B ΛΛ21,互不相容的完备事件组，且 0)(>i B P 则 )()()()()()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++=ΛΛ 注： 常用,B B 作为互不相容的完备事件组有诸多原因可以引发某种结果 ，而该结果有不能简单地看成这诸多事件的和 ，这样的概率问题属于全概问题. 用全概率公式解题的程序：（1） 判断所求解的问题 是否为全概率问题（2） 若是全概率类型，正确的假设事件A 及i B ，{}i B 要求是互斥的完备事件组 （3） 计算出(),()i i P B P A B（4） 代入公式计算结果四 一维随机变量：分布函数：)()(x X P x F ≤= 性质：（1） 1)(0≤≤x F（2） 若21x x < ，则)()(21x F x F ≤ （3） 右连续（4）1)(lim =+∞→x F x 即 1)(=+∞F0)(lim =-∞→x F x 即 0)(=-∞F （ 此性质常用来确定分布函数中的常数）利用分布函数计算概率：()()()P a X b F b F a <≤=- 一维离散随机变量：概率函数：()()1,2i i p x P X x i ===L （分布律）性质：()0i p x ≥()1iip x =∑ （此性质常用来确定概率函数中的常数）已知概率函数求分布函数 ()()()i i iix xx xF x P X x p x ≤≤===∑∑一维连续随机变量： 概率密度()f x性质：（1） 非负性()0f x ≥ （2）归一性：()1f x dx +∞-∞=⎰（常用此性质来确定概率密度中的常数）分布函数和概率密度的关系： ()()f x F x '= ()()xF x f x dx -∞=⎰（注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数） 利用概率密度求概率 ()()baP a X b f x dx <≤=⎰五 一维随机变量函数的分布：离散情形 ： 列表 、整理、合并连续情形()Y g X =： 分布函数法. 先求Y 的分布函数 ，再求导 六 二维随机变量： 联合分布函数 ：(,)(,)F xy P X x Y y =≤≤性质： （1） (,)0F -∞-∞= （2） (,)0F x -∞= （3） (,)0F y -∞= （4） (,)1F +∞+∞=（此极限性质常用来确定分布函数中的常数）边缘分布函数： ()(,)X F x F x =+∞ ()(,)Y F y F y =+∞ 二维离散随机变量：联合概率函数 (,)(,)i j i j p x y P X x Y y === 列表 边缘概率函数： ()(,)X i ijjp x p x y =∑ ()(,)Yi i j ipy p x y =∑二维连续随机变量： 联合概率密度 (,)f x y性质 （1）(,)0f x y ≥（2）(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰（常用此性质来确定概率密度中的常数）联合分布函数与联合概率密度的关系(,)(,)(,)(,)x yf x y F x y x yF x y f x y dxdy-∞-∞∂=∂∂=⎰⎰（注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数） 利用联合概率密度求概率((,))(,)RP x y R f x y dxdy ∈=⎰⎰已知联合概率密度求边缘概率密度()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰（注意：当被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数）七 随机变量的数字特征： 若X 为离散随机变量：1()()niii E X x p x ==∑若X 为连续随机变量： ()()E X xf x dx +∞-∞=⎰二维情形 若(,)~(,)X Y f x y 为二维连续随机变量，则 ()()(,)X E X xf x dx xf x y dxdy +∞+∞+∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰()(,)E Y yf x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰若(,)~(,)i j X Y p x y 为二维离散随机变量，则()()(,)i X i i i j iijE X x p x x p x y ==∑∑∑()()(,)j Y j j i j jjiE Y y p y y p x y ==∑∑∑随机变量的函数的数学期望：若X 为离散随机变量：[]()()()iiiE g X g x p x =∑若X 为连续随机变量 []()()()E g X g x f x dx +∞-∞=⎰方差：定义 []{}2()()D X EX E X =-方差的计算公式：22()()()D X E X E X =- 注意这个公式的转化：22()()()E X D X E X =+关于期望的定理： 关于方差的定理 （1） ()E C C = （1） ()0D C =（2）()()E CX CE X = （2） 2()()D CX C D X =（3） ()()()E X Y E X E Y +=+ 相互独立： ()()()D X Y D X D Y +=+ ()()()E X Y E X E Y -=- ()()()D X Y D X D Y -=+ ()()()E X Y E X E Y λμλμ+=+ （注意：反之不成立） 相互独立()()()E XY E X E Y =（注意：反之不成立）八 要熟记的常用分布及其数字特征：01-分布 (1,)B p 1()0,1x xp x p q x -== ()()E X p D X pq == 二项分布(,)B n p ()0,1x x n xi n p x C p qx n -==L ()()E X np D X npq ==泊松分布()p λ ()0,1!xp x e x x λλ-==L ()()E X D X λλ==均匀分布：(,)U a b 1()0a x b f x b a ⎧<≤⎪=-⎨⎪⎩其他 ()01x aa xb b a F X x ax b -⎧≤<⎪-⎪=<⎨⎪≥⎪⎩2()()()212a bb a E X D X +-==指数分布：()e λ 0()00xe xf x x λλ-⎧>=⎨≤⎩ 10()00x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩211()()E X D X λλ==正态分布：2~(,)X N μσ22()21()2x f x e μσπσ--=22()21()2x xF x edx μσπσ---∞=⎰2()()E X D X μσ==特别地(0,1)N 221()2x x e ϕπ-=221()2x xx edx π--∞Φ=⎰（)(1)(x x Φ-=-Φ）()0()1E X D X ==2~(,)X N μσ 1212()()x x X P x X x P μμμσσσ---<<=<<21()()x x μμσσ--=Φ-Φ九 正态随机变量线性函数的分布十 统计部分：统计量 无偏性 有效性矩估计 最大似然估计 区间估计 假设检验例： 甲袋中有5只红球10只白球，乙袋中有8只红球6只白球，现先从甲袋中任取一球放入乙袋，然后又从乙袋中任取一球放入甲袋. 求这一个来回后甲袋中红球数不变的概率 . 解： 设A ：从甲袋中取出放入乙袋的是红球，B ：从乙袋中返还甲袋的是红球,C : 这一个来回后甲袋中红球数不变，则,B A AB C +=从而)()()()()()()(A B P A P A B P A P B A P B A P C P +=+=951581510159155=⋅+⋅=.例 高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），设每发炮弹击中敌机的概率均为3.0 ，又若敌机中一弹，其坠落的概率为2.0，若敌机中两弹，其坠落的概率为6.0，若敌机中三弹，则必然坠落。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
中国石油大学090107概率论与数理统计期末复习题及参考答案
《概率论与数理统计》课程综合复习资料一、单选题1.设某人进行射击，每次击中的概率为1/3,今独立重复射击10次，则恰好击中3次的概率为()。
a∙ Φ3Φ7B. ⅛φ3×(∣)7C∙ c ioψ7×(∣)3d∙ ⅛3答案：B2.设X∣, X2, . X〃为来自总体X的一个样本，区为样本均值，EX未知，则总体方差OX的无偏估计量为()。
A.--∑(X∕-X)2“Ti=I1n _ o8. 1 X(X z-X)2 n i=∖1 «0C∙ -∑(X，•一EX)1 〃oD∙ --∑(X i-EX)2〃-答案：A3.设X” X2,…，X〃为来自总体N(〃，/)的一个样本，区为样本均值，已知，记S12=-∑(X z-X)2, 5^=1 X(X z-X)2,则服从自由度为〃-1的f分布统计量是()。
〃一IT n i=∖MT=Sl/3S2 / 4nS) ∕√n答案：D4.设总体X〜/HO),O为未知参数，X1, X2,. -, X“为*的一个样本,0(X1, X2,--,.X n), 0(X1, X2,∙∙∙, X ZJ)为两个统计量,包力为。
的置信度为的置信区间, 则应有()。
A.P{Θ <Θ} = aB.P{Θ<Θ} = ∖-aC.P[Θ<Θ<Θ] = aD.P[Θ<Θ<Θ} = ∖-a答案：D5.某人射击中靶的概率为3/5,如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率()。
A. ⅛36,设X和Y均服从正态分布X〜N(μ工),Y ~ N(μ32),记P] = P{X <μ-2], p2=P{Y≥μ + 3}f则OoA.对任何实数〃都有p∣ >〃2B.对任何实数〃都有p∣ <〃2C.仅对〃的个别值有Pl =p2D.对任何实数〃都有p∣二〃2答案：D7.设A和B为任意两个事件，且Au3, P(B)>0,则必有()。
A.P(A)<P(A∖B)B.P(A)NP(AIB)C.P(A)>P(A∖B)D.P(A)≤P(A∖B)答案：D8.已知事件48相互独立，P(B) >0,则下列说法不正确的是()。
概率论与数理统计复习资料
自考04183概率论与数理统计(经管类)笔记-自考概率论与数理统§1.1 随机事件1.随机现象：确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；不确定现象：随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。
结论：随机现象是不确定现象之一。
2.随机试验和样本空间随机试验举例：E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。
E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。
E3：记录110报警台一天接到的报警次数。
E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。
E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。
E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。
随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。
样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。
所有样本点的集合称为样本空间，记作。
举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。
3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。
只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。
必然事件：一定发生的事件，记作不可能事件：永远不能发生的事件，记作4.随机事件的关系和运算由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。
（1）事件的包含和相等包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作，或。
性质：例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则。
注：与集合包含的区别。
相等：若且，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。
（2）和事件概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或A＋B。
大学概率论与数理统计复习资料
知识点：概率的性质事件运算古典概率常用公式(2)P(A BP P(A) P(B)- P(AB)(加法定理)nnP(U A) Y p(A)i d innP(U A)=l-n [1-P(A)]i di d(3) P(B/A)二 P(AB)/P(A) (4)P(AB)二 P(A)P(B/A)二P(B)P(A/B) P(AB)二 P(A)P(B) (A 与B 独立时)P(AB)二0(A,B 互不相容时)(5) P (A- Bp P(ABp P(A)- P(AB)P(A- B)二 P(AB)二 P(A) - P(B)(当B A 时)n(6) P (B)八 P(A i )P(B/A i )(全概率公式)i=1(其中A ,,A 2 A n 为"的一个划分,且P(A i 0)) (7) P (A /B) = nP(A)P(B/A)(逆概率公式)迟 P(A i )P(B/A)事件的独立性条件概率全概率与贝叶斯公式(1)P(Ap r/nP(AP L(A)/L(S)（设A,4…A 两两互斥,有限可加性）（A ，4, A 相互独立时）i =1应用举例1、已知事件A, B 满足P(AB) = P(AB),且P(A) = 0.6 ,贝卩P(B)=()。
2、已知事件A,B 相互独立，P(A) =k, P(B) =0.2, P(0 B)=0.6，贝k - ()。
3、已知事件A,B 互不相容，P(A) =0.3, P(B) = 0.5,则 P(A B)=()。
4、若P(A) =0.3, P(B)=0.4 ,P(AB) = 0.5, P(BA B)=( )。
5、A, B,C是三个随机事件，C B，事件AUC - B与A的关系是6、5张数字卡片上分别写着1, 2, 3, 4, 5,从中任取3张，某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。
(1 )试求他在5:40〜5:50到家的概率；(2)结果他是5:47到家的。
试求他是乘地铁回家的概率。
概率论与数理统计复习资料
概率论与数理统计复习资料### 概率论与数理统计复习资料#### 第一章：概率论基础1. 概率的定义与性质- 事件的概率定义- 概率的公理化体系- 概率的加法和乘法规则2. 条件概率与事件独立性- 条件概率的计算- 事件独立性的定义与性质- 贝叶斯定理3. 随机变量及其分布- 离散型随机变量及其分布律- 连续型随机变量及其概率密度函数- 随机变量的期望值与方差4. 多维随机变量及其分布- 联合分布函数- 边缘分布函数- 协方差与相关系数5. 大数定律与中心极限定理- 切比雪夫不等式- 伯努利大数定律- 中心极限定理的应用#### 第二章：数理统计基础1. 样本与统计量- 样本均值、方差与标准差- 样本矩- 顺序统计量2. 参数估计- 点估计与区间估计- 估计量的优良性准则- 极大似然估计3. 假设检验- 假设检验的基本原理- 单样本假设检验- 双样本假设检验4. 方差分析- 单因素方差分析- 双因素方差分析- 方差分析的计算步骤5. 回归分析- 一元线性回归- 多元线性回归- 回归模型的诊断#### 第三章：概率分布与随机过程1. 常见概率分布- 二项分布- 泊松分布- 正态分布2. 随机过程的基本概念- 随机过程的定义- 马尔可夫链- 泊松过程3. 随机过程的参数估计- 随机过程的均值与方差估计- 随机过程的回归分析4. 随机过程的模拟- 蒙特卡洛方法- 随机模拟的应用5. 随机过程的统计推断- 随机过程的假设检验- 随机过程的参数估计#### 第四章：统计决策与贝叶斯统计1. 统计决策理论- 损失函数- 风险函数- 决策规则2. 贝叶斯统计- 贝叶斯后验概率- 贝叶斯估计- 贝叶斯决策3. 贝叶斯网络- 贝叶斯网络的结构- 贝叶斯网络的推理- 贝叶斯网络的应用4. 统计推断的贝叶斯方法- 贝叶斯假设检验- 贝叶斯参数估计5. 贝叶斯模型选择- 贝叶斯信息准则- 交叉验证通过以上内容的复习，可以对概率论与数理统计的基本概念、理论及其应用有一个系统的理解。
概率论与数理统计复习提纲
概率论与数理统计复习提纲概率论与数理统计总复习第⼀讲随机事件及其概率⼀随机事件，事件间的关系及运算 1.样本空间和随机事件 2.事件关系,运算和运算律⑴事件的关系和运算⑶运算律:交换律,结合律,分配律；对偶律: B A B A ?=?,B A B A ?=?；⼆概率的定义和性质 1.公理化定义(P7)2.概率的性质(P8.五个) ⑴)(1)(A P A P -=；⑵)()()()(AB P B P A P B A P -+=?；3.古典概型和⼏何概型4.条件概率 )()()|(A P AB P A B P =三常⽤的计算概率的公式1.乘法公式 )()()()()(B A P B P A B P A P AB P ==2.全概率公式和贝叶斯公式(P17-20.) 四事件的独⽴性1.定义:A 和B 相互独⽴ )()(B P A B P =或)()()(B P A P AB P ?=，2.贝努利试验在n 重贝努利试验中，事件=k A {A 恰好发⽣k 次})0(n k ≤≤的概率为：k n nk n k p p C A P --=)1()(第⼆讲随机变量及其概率分布⼀随机变量及其分布函数1.随机变量及其分布函数 )()(x X P x F ≤=)(+∞<<-∞x2.分布函数的性质(P35.四个)⑴0)(lim =-∞→x F x ；1)(lim =+∞→x F x ；(常⽤来确定分布函数中的未知参数)⑵)()()(a F b F b X a P -=≤<(常⽤来求概率) ⼆离散型随机变量及其分布律1.分布律2.常⽤的离散型分布三连续型随机变量 1.密度函数 ?∞-=xdt t f x F )()(2.密度函数的性质(P39.七个) ⑴1)(=?+∞∞-dx x f ；（常⽤来确定密度函数中的参数）⑵?=≤adx x f b X a P )()(；（计算概率的重要公式）⑶对R x ∈?，有0)(==c X P (换⾔之,概率为0的事件不⼀定是不可能事件). 3.常⽤连续型分布重点:正态分布:)0,(21)(22)(>=--σσµσπσµ都是常数，x ex f标准正态分布)1,0(N :2221)(x ex -=π四随机变量函数的分布1.离散情形设X 的分布律为则)(X g Y =的分布律为2.连续情形设X 的密度函数为)(x f X ,若求)(X g Y =的密度函数,先求Y 的分布函数,再通过对其求导,得到Y 的密度函数。
(完整版)自考概率论与数理统计复习资料要点总结
i《概率论与数理统计》复习提要(1) 0 P(A) 1 ( 2)P( ) 1(1) 定义：若 P(B) 0,则 P(A| B)P(AB)P(B)(2)乘法公式：P(AB) P(B)P(A| B)若B 1, B 2, B n 为完备事件组，P(B i )0，则有n(3)全概率公式： P(A) P(B i )P(A| B i )i 1(4)Bayes 公式： P(B k | A)P(Bk)P(A|B k)P(B i )P(A|BJi 17.事件的独立性：A, B 独立 P( AB) P(A)P(B)(注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分布1 •离散随机变量：取有限或可列个值，P(X x i ) p i 满足(1) p i 0 , (2) p i =11.事件的关系 AB A B AB A B AAB2.运算规则(1)A B BA ABBA(2) (AB) CA (BC)(AB)C A(BC)(3) (AB)C (AC) (BC) (AB) C (A C)(B(4) AB ABABAB第一章随机事件与概率3•概率P(A)满足的三条公理及性质: C)(4) P() 0 (5) P(A) 1 P(A)(6) P(A B) P(A) P(AB) ，若 A B , 则P(BA) P(B) P(A) ,P(A) P(B)(7) P(A B) P(A) P(B) P(AB)(8) P(ABC) P(A) P(B) P(C)P(AB)P(AC) P(BC)P(ABC)n(3)对互不相容的事件 A l , A 2, , A n ，有P( A k )k 1k 1(n 可以取)4. 古典概型：基本事件有限且等可能5. 几何概率6. 条件概率P(A k )(3)对任意D R, P(X D) p:X i D2.连续随机变量：具有概率密度函数f (x)，满足(1) f (x) 0, f(x)dx 1 ；b(2) P(a X b) f (x)dx ； ( 3)对任意a R，P(X a) 0a4.分布函数F(x) P(X x)，具有以下性质(1)F( ) 0, F( ) 1 ; (2)单调非降；(3)右连续；(4)P(a X b) F(b) F(a)，特别P(X a) 1 F(a)；(5)对离散随机变量，F(x) P i ；i:为x(6)对连续随机变量，F(x) x'f(t)dt为连续函数，且在f (x)连续点上，F (x) f (x)5.正态分布的概率计算以(x)记标准正态分布N (0,1)的分布函数，则有(1)(0) 0.5 ; (2)(2 x x) 1 (x) ； (3)若X ~ N(,)，则F(x) ((4)以u记标准正态分布N(0,1)的上侧分位数，则P(X u ) 1 (u )6.随机变量的函数Y g(X)(1)离散时，求Y的值，将相同的概率相加；(2)X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则f Y(y) f x(g 1(y)) |(g 1(y))' |单调，先求分布函数，再求导。
《概率论与数理统计》
《概率论与数理统计》综合复习资料一、填空题1．由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A ）的概率为4/15，刮风（记作事件B ）的概率为7/15，刮风又下雨（记作事件C ）的概率为1/10。
则：=)|(B A P ； =)(B A P 。
2．一批产品共有8个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。
则： （1）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为 ； （2）恰有一次取到次品的概率为 。
3．设随机变量)2,1(~2N X 、)3(~P Y （泊松分布），且相互独立，则：)2(Y X E += ； )2(Y X D + 。
4．设随机变量X 的概率分布为X －1 0 1 2 p k 0.1 0.2 0.3 p 则： =EX ；DX = ；Y X =-21的概率分布为。
5．设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为 。
6．设Y X 、相互独立，且概率分布分别为 2)1(1)(--=x e x f π (-∞<<+∞x ) ； ⎩⎨⎧≤≤=其它，，0312/1)(y y ϕ 则：)(Y X E += ； )32(2Y X E -= 。
7．已知随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 P k 0.3 0.5 0.2 则：随机变量X 的期望EX = ；方差DX = 。
8．已知工厂A B 、生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由A B 、工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是B 工厂的概率为 。
9．设Y X 、的概率分布分别为⎩⎨⎧≤≤=其它，，0514/1)(x x ϕ； ϕ()y e y y y =>≤⎧⎨⎩-40004，，则：)2(Y X E += ；)4(2Y X E -= 。
10．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤=其它，，02cos )(πx x A x f ，则：系数A = 。
概率论与数理统计
《概率论与数理统计》综合复习资料一、填空题1、一个盒子中有10个球，其中有3个红球，2个黑球，5个白球，从中取球两次，每次取一个（无放回），则：第二次取到黑球的概率为 ；取到的两只球至少有一个黑球的概率为 。
2、的概率密度为()，则=DX 。
3、已知随机变量且与相互独立，设随机变量52+-=Y X Z ，则=EX ；=DX 。
4、已知随机变量X 的分布列为 -1 0 20.4 0.2 p则： EX = ；= 。
5、设与独立同分布，且)2,2(~2N X ，则(= 。
6、设对于事件、有，121)(=ABC P ，81)()()(===AC P BC P AB P ，则、都不发生的概率为 。
7、批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为 。
8、相互独立，且概率分布分别为 2)1(1)(--=x ex f π() ； ⎩⎨⎧≤≤=其它，，0312/1)(y y ϕ则：)(Y X E += ； )32(2Y X E -= 。
9、已知工厂生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是B 工厂的概率为 。
10、设Y X 、的概率分布分别为⎩⎨⎧≤≤=其它，，0514/1)(x x ϕ；则：)2(Y X E += ；)4(2Y X E -= 。
二、选择题1、设X 和Y 相互独立，且分别服从)2,1(2N 和)1,1(N ，则 。
．2/1}1{=≤+Y X P ．2/1}0{=≤+Y X P．2/1}0{=≤-Y X P．2/1}1{=≤-Y X P2、已知4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，5.0)|(=A B P ，则=)(B A P 。
A ． 1B ． 0.7C ． 0.8D ． 0.53、设某人进行射击，每次击中的概率为1/3，今独立重复射击10次，则恰好击中3次的概率为 。
概率论与数理统计复习资料知识点总结
《概率论与数理统计》第一章 随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =⋃=⋃（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率 6．条件概率（1） 定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）第二章 随机变量与概率分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； （5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有 （1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6． 随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理2010-2011学年第一学期期末复习资料概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量XP{X x1}p,P{X x2}1p只有两个可能取值，且其分布为(0p1)，则称X服从x1,x2处参数为p的两点分布。
两点分布的概率分布：两点分布的期望：（2）二项分布：P{X x1}p,P{X x2}1p(0p1) E(X)p；两点分布的方差：D(X)p(1p)若一个随机变量X的概率分布由式给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：二项分布的期望：（3）泊松分布：P{x k}Cnp(1p)kkn kkkn k,k0,1,...,n. P{x k}Cnp(1p),k0,1,...,n. E(X)np；二项分布的方差：D(X)np(1p)kP{X k} e若一个随机变量X的概率分布为数为的泊松分布，记为X~P () k!,0,k0,1,2,...，则称X服从参P{X k} e泊松分布的概率分布：泊松分布的期望：4.连续型随机变量：kk!,0,k0,1,2,... E(X)；泊松分布的方差：D(X)如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数F(x)P{X x}f(x)，使得对于任意实数x，有xf(t)dt，则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度函数。
2010-2011学年第一学期期末复习资料5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：1,若连续型随机变量X的概率密度为f(x)b a 0,a x b其它，则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)1,均匀分布的概率密度：f(x)b a0,a b2a xb 其它均匀分布的期望：（2）指数分布：E(X)；均匀分布的方差：D(X)(b a)122e xf(x)0若连续型随机变量X的概率密度为x00，则称X服从参数为的指数分布，记为X~e ()x0e xf(x)0指数分布的概率密度：指数分布的期望：（3）正态分布：E(X)1；指数分布的方差：D(X)2f(x)(x)222x若连续型随机变量X的概率密度为则称X服从参数为和22的正态分布，记为X~N(,)(x)222f(x)正态分布的概率密度：正态分布的期望：E(X)xD(X)x22；正态分布的方差：（4）标准正态分布：0,21(x)，2(x)xet22标准正态分布表的使用：（1）x0(x)1(x)2010-2011学年第一学期期末复习资料X~N(0,1)P{a x b}P{a x b}P{a x b}P{a x b}(b)(a)X~N(,),Y2（2）X（3）P{a X b}P{a~N(0,1),F(x)P{X x}P{X故b}(b)(a)x(x) Y2Y定理1：设X~N(,),则X~N(0,1)6.随机变量的分布函数：设X是一个随机变量，称分布函数的重要性质：0F(x) 1P{x1X x2}P{X x2}P{X x1}F(x2)F(x1)x1x2F(x1)F(x2)F()1,F()0F(x)P{X x}为X的分布函数。
概率论与数理统计复习资料
2）矩估计、最大似然估计；
3)无偏估计、有效估计 ； 4)求置信区间； 5)假设检验。
概率论与数理统 计复习课
（统计部分）
第五章
“大数定律和中心极限定理”
“切比雪夫不等式”
16 ♀设 n 是 n 次独立重复试验中事件A出现的次数，
♀随机变量X 满足：E(X)=，D(X)=2,则由切比雪夫 1 不等式有 P{| X | 4}
2
（Ｃ） S
2 2
2 （Ｄ） vS 服从自由度为v的分布
服从自由度为 n 的分布
2
2
2
7.设随机变量 X ~ N 0,1和Y ~ N 0,2,并相互独 立, 则（ ） 2 1 2 2 2 (Ａ) X Y 服从 分布 3 3 2 1 1 (Ｂ) X 2 Y 2 服从 分布 2 2 2 1 2 (Ｃ) X Y 服从 分布
本，则 ( X i X ) /
2 2 i 1
( n 1)
2
2
2.设总体X N (0,22 ) , X 1 , X 2 , X 3 , X 4 为来自
X的一个样本,设 Y a( X1 2 X 2 ) b(3 X 3 4 X 4 ) ,
2
则当a =1/20，b=1/100 时Y 服从
1 n
i 1
n
( X i ) 2 是2的最大似然估
计量
2e 2( x ) , x 13 设总体X的概率密度为 f ( x ) 0, x 其中 > 0是未知参数. X1, X2,…,Xn 是来自X的样本.
求 的矩 估计量及最大似然估计量, 并判断它们是否 是 的无偏估计量.
概率论与数理统计复习资料
ˆ ( B) 2
1 3 X 1 X 4 4
2
ˆ (C ) 3
1 ˆ4 ( X1 X 2 ) ( D) 2
5、假设检验问题中，第一类错误是指 （A）原假设 H 0 为真，经检验后接受 H 0 （B）原假设 H 0 为真，经检验后拒绝 H 0 （C）原假设 H 0 为伪，经检验后接受 H 0 （D）原假设 H 0 为伪，经检验后拒绝 H 0
解： 因为， 2 未知，所以 的 95%的置信区间为
S S ( X t0.025 (8) , X t0.025 (8) ) n n 用 n 9, x 57.5, s 8.3, t0.025 (8) 2.306 代 入 得
的 95%的置信区间为 (51.12, 63.88)
2
x 2334
当 H 0成立时，统计量
11.25 9 对于 0.05 ，查表得分位数，u0.025 1.96 ，因此这一
W {| u | 1.96}
u
X 2350
~ N (0.1),
假设检验问题的拒绝域为
由 x 2334, 得 2334 2350 U 4.24 1.96 11.25 3
5、设总体 X ~ N ( , 2 ) ， X 1 , X 2 为来自总体 X 的样本，
1 1 1 2 ˆ 则估计量 1 X 1 X 2 ，ˆ 2 X 1 X 2 中是 的无 2 3 3 3
偏估计量的为 .
6、设总体 X ~ N ( , 2 ) ， X1 , X 2 , X 3 是来自总体 X 的样本，
t0.05 (35) 1.6896 ,
t0.05 (36) 1.6883 , t0.025 (35) 2.0301 , t0.025 (36) 2.028
《概率论与数理统计》总复习资料
《概率论与数理统计》总复习资料概率论部分1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。
例1：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B ＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝样本空间的样本点总数：915C n ==5005事件B 包含的样本点：563514C C C r ==240，则P (B )=240/5005=0.048例2：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序.基本事件总数为：410A =5040，设B ={能排成一个四位偶数}。
若允许千位数为0，此时个位数可在0、2、4、6、8这五个数字中任选其一，共有5种选法；其余三位数则在余下的九个数字中任选，有39A 种选法；从而共有539A =2520个。
其中，千位数为0的“四位偶数”有多少个？此时个位数只能在2、4、6、8这四个数字中任选其一，有4种选法；十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个，有28A 种选法；从而共有428A =224个。
因此410283945)(A A A B P -==2296/5040=0.4562．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。
例1：事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.5，P (B )=0.6，求：P (AB )，P (A －B )，P (A B )解：P (AB )=P (A )P (B )=0.3，P (A －B )=P (A )－P (AB )=0.2，P (A B )=P (A )＋P (B )－P (AB )=0.8例2：若P (A )=0.4，P (B )=0.7，P (AB )=0.3，求：P (A －B )，P (A B )，)|(B A P ，)|(B A P ，)|(B A P 解：P (A －B )=0.1，P (A B )=0.8，)|(B A P =)()(B P AB P =3/7，)|(B A P =)()()()()(B P AB P B P B P B A P -==4/7，|(B A P =)(1)()()(B P B A P B P B A P -==2/33．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。
《概率论与数理统计》复习-知识归纳整理
《概率论与数理统计》复习大纲第一章 随机事件与概率基本概念随机试验E----指试验可在相同条件下重复举行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果闪现，且事先知道试验可能闪现的一切结果，但不能预知每次试验确实切结果。
样本点ω ---随机试验E的每一具可能闪现的结果样本空间Ω----随机试验E的样本点的全体随机事件-----由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一具子集。
必然事件---每次试验中必然发生的事件。
不可能事件∅--每次试验中一定不发生的事件。
事件之间的关系包含A⊂B相等A=B对立事件，也称A的逆事件互斥事件AB=∅也称不相容事件A，B相互独立P(AB)=P(A)P(B)例1事件A，B互为对立事件等价于（ D ）A、A，B互不相容B、A，B相互独立C、A∪B＝ΩD、A，B构成对样本空间的一具剖分例2设P(A)=0，B为任一事件，则（C ）A、A=∅B、A⊂BC、A与B相互独立D、A与B互不相容事件之间的运算事件的交AB或A ∩B 例1设事件A、B满足A B¯=∅，由此推导不出(D)A、A⊂BB、A¯⊃B¯C、A B=BD、A B=B例2若事件B与A满足B – A=B，则一定有(B)A、A=∅B、AB=∅C、AB¯=∅D、B=A¯事件的并A∪B事件的差A-B 注意：A-B= A B= A-AB = (A∪B)-BA1,A2,…,An构成Ω的一具完备事件组(或分斥)−−指A1,A2,…,An两两互不相容，且∪i=1nAi=Ω运算法则交换律A∪B=B∪A A∩B=B∩A结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)分配律(A∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) 对偶律A∪B=A∩B A∩B=A∪B文氏图事件与集合论的对应关系表记号概率论集合论Ω样本空间，必然事件全集∅不可能事件空集ω基本事件元素A 事件全集中的一具子集A A的对立事件A的补集A⊂B 事件A发生导致事件B发生A是B的子集A=B 事件A与事件B相等A与B相等A∪B 事件A与事件B至少有一具发生A与B的并集AB 事件A与事件B并且发生A与B的交集知识归纳整理A-B事件A 发生但事件B 不发生A 与B 的差集 AB=∅ 事件A 与事件B 互不相容（互斥） A 与B 没有相同的元素古典概型 古典概型的前提是Ω={ω1,ω2, ω3,…, ωn ,}, n 为有限正整数，且每个样本点ωi 出现的可能性相等。
概率论与数理统计期末复习资料
概率论与数理统计期末复习资料概率论与数理统计期末复习资料⼀填空1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发⽣必然导致B 发⽣，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独⽴，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______．3．⼰知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到⼀件次品的概率等于______．4．已知某地区的⼈群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使⼈患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使⼈患该种疾病的概率是0.001，则该⼈群患这种疾病的概率等于______．5．设连续型随机变量X 的概率密度为?≤≤=,,0;10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______．6．设随机变量X ～N (1，32)，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设⼆维随机变量(X ，Y )的分布律为则P {X <1,Y 2≤}=______．8．设随机变量X 的期望E (X )=2，⽅差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，⽅差D (Y )=9，⼜E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______．9．设随机变量X 服从⼆项分布)31,3(B ，则E (X 2)= ______．10．中⼼极限定理证明了在很⼀般条件下，⽆论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=ni iX1的极限分布是_________________11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来⾃该总体的样本，∑==101101i ixx ，则)(x D = ______.·12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来⾃该总体的样本，则∑=512i ix服从⾃由度为______的2χ分布．13．E （x ）=5，E （5x ）=________14．估计量的评选标准有______、_______、_______15．对假设检验问题H 0：µ=µ0，H 1：µ≠µ0，若给定显著⽔平0.05，则该检验犯第⼀类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独⽴，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________.17．盒中有4个棋⼦，其中2个⽩⼦，2个⿊⼦，今有1⼈随机地从盒中取出2个棋⼦，则这2个棋⼦颜⾊相同的概率为_________.18．设随机变量X 的概率密度??≤≤=,,0;10,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.19．设离散型随机变量X 的分布律为,则常数C=_________.20．设离散型随机变量X 的分布函数为F （x ）=≥<≤<≤<≤--<,2,1;21,6.0;10,3.0;01,2.0;1,0x x x x x 则P{X>1}=_________. 21．相关系数ρxy _______时，X 与Y 正相关，相关系数ρxy _______时，X与Y 负相关，相关系数ρxy _______时，X 与Y 不相关。
概率论与数理统计要点复习
概率论与数理统计 复习资料第一章随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A(1) 包含：若事件A 发生，一定导致事件B 发生，那么，称事件B 包含事件A ，记作A B ⊂(或B A ⊃)． (2) 相等：若两事件A 与B 相互包含，即A B ⊃且B A ⊃，那么，称事件A 与B 相等，记作A B =． (3) 和事件：“事件A 与事件B 中至少有一个发生”这一事件称为A 与B 的和事件，记作A B ⋃；“n 个事件1,2,,nA A A 中至少有一事件发生”这一事件称为1,2,,nA A A 的和，记作12n A A A ⋃⋃⋃（简记为1nii A =）． (4) 积事件：“事件A 与事件B 同时发生”这一事件称为A 与B 的积事件，记作A B ⋂(简记为AB )；“n 个事件1,2,,nA A A 同时发生”这一事件称为1,2,,nA A A 的积事件，记作12n A A A ⋂⋂⋂（简记为12n A A A 或1nii A =)．(5) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即AB φ=，那么称事件A 与B互不相容(或互斥)，若n 个事件1,2,,nA A A 中任意两个事件不能同时发生，即i j A A φ=(1≤i<j ≤几)，那么，称事件 1,2,,n A A A 互不相容． (6) 对立事件：若事件A 和B 互不相容、且它们中必有一事件发生，即AB φ=且A B ⋃=Ω，那么，称A 与B 是对立的．事件A 的对立事件(或逆事件)记作A ． (7) 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生，那么，称这个事件为事件A 与B 的差事件，记作A B -(或AB ) ．2．运算规则 （1）交换律：BA AB A B B A =⋃=⋃（2）结合律：)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃ （3）分配律))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）德摩根（De Morgan ）法则：B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率： 如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件Ａ的概率为()A P A =的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）·6．条件概率（1） 定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(（5）贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率()(01)P A p p =<<，则在n 次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生k 次的概率为()(1),0,1,,k n k n n P k p p k nk -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）下列四个命题是等价的：(i) 事件A 与B 相互独立； (ii) 事件A 与B 相互独立； (iii) 事件A 与B 相互独立；(iv) 事件A 与B 相互独立．8、思考题１．一个人在口袋里放2盒火柴，每盒n 支，每次抽烟时从口袋中随机拿出一盒（即每次每盒有同等机会被拿到）并用掉一支，到某次他迟早会发现：取出的那一盒已空了．问：“这时另一盒中恰好有m 支火柴”的概率是多少？２．设一个居民区有n 个人，设有一个邮局，开c 个窗口，设每个窗口都办理所有业务．c 太小，经常排长队；c 太大又不经济．现设在每一指定时刻，这n 个人中每一个是否在邮局是独立的，每个人在邮局的概率是p ．设计要求：“在每一时刻每窗口排队人数（包括正在被服务的那个人）不超过m ”这个事件的概率要不小于a （例如，0.8,0.9.95a o =或），问至少须设多少窗口？ ３．设机器正常时，生产合格品的概率为９５％，当机器有故障时，生产合格品的概率为５０％，而机器无故障的概率为９５％．某天上班时，工人生产的第一件产品是合格品，问能以多大的把握判断该机器是正常的？第二章 随机变量与概率分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P标准正态分布的分布函数记作，即()x Φ22()t xx dt-Φ=⎰，当出0x ≥时，()x Φ可查表得到；当0x <时，()x Φ可由下面性质得到()1()x x Φ-=-Φ．设2~(,)X N μσ，则有()()x F x μσ-=Φ；()()()b a P a X b μμσσ--<≤=Φ-Φ．4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； 特别的 ()()(0)P X a F a F a ==-- （5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有 （1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6． 随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值围严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。
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《概率论与数理统计》综合复习资料一、填空题1、一个盒子中有10 个球，其中有 3 个红球， 2 个黑球， 5 个白球，从中取球两次，每次取一个（无放回），则：第二次取到黑球的概率为；取到的两只球至少有一个黑球的概率为。
2、 X 的概率密度为 f ( x)1 e x2 2 x 1(x) ，则DX。
3、已知随机变量X ~N(1，1)，Y~N(3，1) 且 X 与Y 相互独立，设随机变量Z 2X Y 5，则EX；DX。
4、已知随机变量X 的分布列为X-102P k0.40.2p则： EX=；DX =。
5、设X与Y独立同分布，且X~N(2,22) ，则D( 3X2Y) =。
6、设对于事件A、B、 C有 P(A)P(B)1，P(ABC)1P(C)，412P( AB) P( BC )P(AC)1。
，则 A 、 B、 C 都不发生的概率为87、批产品中一、二、三等品各占60% 、30%、 10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为。
8、相互独立，且概率分布分别为1，1 y 3f (x)e ( x 1)x) ；( y)(，其它则：E(X Y)=；E(2X3 2 )=。
Y9 、已知工厂A、 B 生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由A、 B 工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是 B 工厂的概率为。
10、设X、Y的概率分布分别为， 1 x 54e4 y，y01/ 4( x)；( y)，，其它0y0则： E(X 2Y) =；(X 2 4 ) =。
E Y二、选择题1、设X 和 Y 相互独立，且分别服从N(1,22) 和N (1,1)，则。
A ．P{ X Y 1}1/ 2B．P{ X Y0}1/ 2C ．P{ X Y0}1/ 2D．P{ X Y 1}1/ 22、已知P( A)0.4，P(B)0.6，P(B | A)0.5 ，则P( A B)。
A ．1B．0.7C ．0.8D ．0.53、设某人进行射击，每次击中的概率为1/3，今独立重复射击10 次，则恰好击中 3 次的概率为。
A ．( 1)3(2)73 3B ．C103 (1)33( 2)73C ．C103 (1)73(2)33D ．(1)334、甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6 和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是。
(A)0.6( B) 5/11( C) 0.75( D) 6/115、设事件 A 、B、C满足AB C ，则下列结论正确的是。
( ) ( C )P(C)P(C)P( A)P( AB)P( B)1( )( D )P(C)P( C)P( A)P( AP(B)B)16、设DX4，DY1，xy0.6，则 D(3X2Y) =。
( A )40( B )34( C )25.6(D) 17.67、设X1，X2，，X n为来自总体X 的一个样本， X 为样本均值， EX 未知，则总体方差 DX 的无偏估计量为。
( A)1n( X i X )2(B)1n( X i X )2 n1i 1ni 1(C )1nEX)2(D )1nEX )2 ( X in 1 i( X ini 118、设每次试验成功的概率为2/3，则在三次独立重复试验中至少失败一次的概率为。
( A )(2/ 3)3(B) 1(2/ 3)3(C )(1/ 3)3(D)1(1/ 3)39、设X是随机变量，EX, DX2 ( ,0常数），对任意常数C ，则必有。
( A)E(X C)2E( X)2(B)E(X C)2 E ( X)2(C )E(X C)2 E ( X) 2(D)E(X C)2EX 2C三、解答题0， x01、设X的分布函数为F ( x)1/3， 0x11/2， 1x ，求：21， x2（ 1）X的概率分布；（2）P{X 133 }、P{1 X}、P{1 X} 。
2222、设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2 是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4 ，又知第一、二家工厂生产的产品有2%的次品，第三家工厂生产的产品有4%的次品，现从箱中任取一件，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品 , 它是第一家工厂生产的概率。
3、设随机向量( X , Y ) 的概率密度为C, 0 x 1,0y 2xf ( x, y)其他0,求：（ 1）常数C；（ 2）关于X、Y的边缘概率密度，并判断X 与 Y 是否相互独立。
4 、已知r v X 、 Y 分别服从正态分布N(0, 32) 和 N(2,42) ，且 X 与 Y 的相关系数XY1/2，设Z X/3Y/ 2，求：（1）数学期望EZ ，方差 DZ ；（2）X与Z的相关系数XZ。
5、设X1, X2,L , X n为X的一个样本，(1) x ,0 x 1X ~ f ( x,)0,其它其中1为未知参数，求的极大似然法估计量。
6、已知工厂A、 B 生产产品的次品率分别为1%和 2%，现从由A、B的产品分别占60%和 40%的一批产品中随机抽取一件，求：（1）该产品是次品的概率；（2）若取到的是次品，那么该产品是B 工厂的概率。
7、设X、Y的概率分布为(x)1， 1x5,( y)4e 4 y， y 0, 4，0，其它,0y 0,求： E(X Y) 和E (2X3 2 )。
Y8 、一口袋中装有四只球，分别标有数字1， 2， 2， 3。
现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X 、 Y 分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。
求：（ 1）X 和 Y 的联合概率分布；（ 2）关于X和关于Y 边缘概率分布。
9、设总体X的分布列为X10p k p1pX1，X2，， X n为X的一个样本，求p 的极大似然估计。
10、设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03、0.04、 0.06的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。
11、设X随机地在 1， 2， 3 中任取一值，Y 随机地在1 ~ X 中任取一整数值, 求：（1）( X，Y)的分布律；（2）关于X和Y的边缘分布律。
12、设 X1， X 2，，X n为X的一个样本，且X 的概率分布为ax a 1 e x a, x0f (x, )x00,其中为未知参数， a 0 为常数，求的极大似然估计。
13、在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1， 2，3 路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从 [0，5] 上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过 2 分钟的概率。
14、一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1，2， 2。
现从袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以 X 、 Y 分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。
求：（ 1） X 和 Y 的联合概率分布； （ 2）关于 X 和 Y 边缘分布；（ 3） X 和 Y 是否相互独立？为什么？15、设 X 1，X 2，X 3 为来自总体 X ~ N(,2 )的一个样本，且EX 存在，验证统计量（ 1）、（ 2）都是 的无偏估计，并指出哪一个更好。
（1） 1 X 13 X 21X 3；5 102 （2） 1X 11X 21X 3。
36216 、设随机变量（X ， Y ）具有概率密度f ( x, y)Ce ( x y) , x 0, y 0 ，0,其它求（ 1）常数 C ；（ 2）关于 X 和关于 Y 的边缘分布密度。
17、设22是来自总体 N2 的简X a( X 12X 2)b(3X 3 4X 4 )，其中X ，，X 3 ，X 4，1X 2(02 )单随机样本。
试问当 a 、 b 各为何值时，统计量 X 服从2分布，并指出其自由度。
《概率论与数理统计》答案一、填空题1． 1/517/452． 1/2 3．0 54． 0.41.845． 52 6． 13/24 7． 1/3 8． 3 -119． 7/13 10． 319123二、选择题1． C2． C3． B4． C5． B 6． C7． A 8． B 9． A 三、解答题1、设 X 的分布函数为0， xF （ x ） P{ X x}1/3， 0 x 1 1/2， 1x 21， x 2求：（ 1） X 的概率分布； （ 2） P{ X1 3 3 }、 P{1X}、P{1 X} ；222解：（ 1） X 的概率分布列为X0 1 2P 1/3 1/6 1/2（2） P{ X1} F （ 1）12 2 3P{1X3} P{X3} P{X }12216P{1X3} P{1X3} P{X3} 1222 62、设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中 1/2 是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4 ，又知第一、二家工厂生产的产品有2%的次品，第三家工厂生产的产品有4%的次品，现从箱中任取一件，求： （ 1）取到的是次品的概率； （ 2）已知取到的是次品，它是第一家工厂生产的概率。
解：设事件 A 表示：“取到的产品是次品” ；事件 A i 表示：“取到的产品是第 i 家工厂生产的”（ i1， 2， 3 ）。
则 A 1 A 2A 3，且 P( A i )0 ， A 1、 A 2 、 A 3 两两互不相容。
（ 1） 由全概率公式得3P( A)P( A i ) P( A | A i )i 11 2 1 2 1 4 0.0252 100 4100 4 100（2）由贝叶斯公式得P( A 1 )P( A | A 1)1 2P( A 1| A) =21000.430.025P( A j ) P( A | A j )j 13、设随机向量 ( X , Y ) 的概率密度为f ( x, y)C, 0 x 1,0y2x0, 其他求：（ 1）常数 C ；（ 2）关于 X 、Y 的边缘概率密度，并判断X 与 Y 是否相互独立。
解：（ 1）利用归一性知： f ( x, y)dxdy1C 1（ 2） f X xf x, y dy ，当 0 x 1时，有 f X2 xxf x, y dydy2x ；其他情况时， f X x 0综合知 f X x2x,0 x 10,其他 ，同理 f Y y1y,0 y220,其他由于f (x, y)f X x f Y y 知 X 与 Y 不相互独立。
4、已知 r v X 、 Y 分别服从正态分布N(0,32) 和 N(2, 42) ，且 X 与 Y 的相关系数XY1/2，设 Z X / 3 Y/ 2，求：（1）数学期望 EZ ，方差 DZ ；（ 2） X 与 Z 的相关系数 XZ。
解：（ 1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得EZE(X Y) E(X ) E(Y)1 0 12 13 2323 2DZD (XY ) D(X)D(Y)2Cov ( X ， Y)323232 1DX 1DY 2 1 1XYDXDY32223 21 321 422 1 1 (1)3414233222322（2） Cov ( X ， Z)Cov ( X ， 1X1Y)1Cov ( X , X )1Cov ( X , Y)3 2321 1DXDY0 DX 2XY3从而有 X 与 Z 的相关系数XZCov( X , Z) 0DXDZ5、设 X 1，X 2，， X n 为 X 的一个样本，X ~ f ( x, ) ( 1) x ,0 x10,其它其中 1的极大似然法估计量。