测量计算

一、水准测量内业的方法：
水准测量的内业即计算路线的高差闭合差，如其符合要求则予以调整，最终推算出待定点的高程。

1.高差闭合差的计算与检核
附合水准路线高差闭合差为：
＝－ () (2-8)
闭合水准路线高差闭合差为：
＝(2-9)
为了检查高差闭合差是否符合要求，还应计算高差闭合差的容许值（即其限差）。

一般水准测量该容许值规定为
平地＝mm
山地＝mm (2-11)
式中，―水准路线全长，以km为单位；―路线测站总数。

2.高差闭合差的调整
若高差闭合差小于容许值，说明观测成果符合要求，但应进行调整。

方法是将高差闭合差反符号，按与测段的长度(平地)或测站数(山地)成正比，即依下式计算各测段的高差改正数，加入到测段的高差观测值中：
⊿= -(平地)
⊿= - (山地)
式中，―路线总长；―第测段长度 (km) (＝1、2、3．．．)；
―测站总数；―第测段测站数。

3.计算待定点的高程
将高差观测值加上改正数即得各测段改正后高差：
h i改=hi+⊿h i i＝1，2，3，……
据此，即可依次推算各待定点的高程。

如上所述，闭合水准路线的计算方法除高差闭合差的计算有所区别而外，其余与附合路线的计算完全相同。

二、举例
1.附合水准路线算例
下图2-18所示附合水准路线为例，已知水准点A、B和待定点1、2、3将整个路线分为四个测段。

表2-2 附合水准路线计算
测段号点名测站
数
观测高
差/m
改正数
/m
改正后高
差/m
高程/m 备注
1 2 3 4 5 6 7 8
1 BM1
8 +8.364 －0.014 +8.350
39.833 1 48.183
2 3 －1.433 －0.005 －1.438
2 46.745
3 4 －2.745 －0.007 －2.752
3 43.993
4 5 +4.661 －0.008 +4.653
BM2 48.646
20 + 8.847 －0.034 +8.813
辅助计算＝+ 0.034m
＝= 54mm
1）将点名、各测段测站数、各测段的观测高差、已知高程数填入表2-2内相应栏目2、3、4、7(如系平地测量，则将测站数栏改为公里数栏，填入各测段公里数；表内加粗字为已知数据)。

2）进行高差闭合差计算：
＝－ () ＝8.847－(48.646－39.833)＝+ 0.034m
由于图中标注了测段的测站数，说明是山地观测，因此依据总测站数计算高差闭合差的容许值为：
＝＝= 54mm
计算的高差闭合差及其容许值填于表2-2下方的辅助计算栏。

3）高差闭合差的调整
fh≤fh容，故其精度符合要求。

本例中，将高差闭合差反符号，按下式依次计算各测段的高差改正数：
⊿= -（―测站总数，―第测段测站数）
第一测段的高差改正数为：
⊿=－14mm
同法算得其余各测段的高差改正数分别为－5、－7、－8mm，依次列入表2-2中第5栏。

注：1、所算得的高差改正数总和应与高差闭合差的数值相等，符号相反，以此对计算进行校核。

如因取整误差造成二者出现小的较差可对个别测段高差改正数的尾数适当取舍1mm，以满足改正数总和与闭合差数值相等的要求。

2、若为平地，高差改正数按各测段长度比例分配：用公式⊿＝-计算，式中，―路线总长；―第测段长度 (km) (＝1、2、3．．．)。

4）计算待定点的高程
将高差观测值加上改正数即得各测段改正后高差：
h i改=hi+⊿h i i＝1，2，3，4
据此，即可依次推算各待定点的高程。

（上例计算结果列入表2-2之第6、7栏）。

H1=HA+H1改
H2=H1+H2改
……
HB（算）=HB(已知)
注：改正后的高差代数和，应等于高差的理论值（HB-HA），即: ∑h改=HB-HA 。

如不相等，说明计算中有错误存在。

最后推出的终点高程应与已知的高程相等。

2 闭合水准路线算例
闭合水准路线的计算方法除高差闭合差的计算有所区别而外，其余与附合路线的计算完全相同。

计算时应当注意高差闭合差的公式为：ｆｈ＝∑ｈ测。

如图2所示一闭合水准路线，A为已知水准点，A点高程为51.732m，，其观测成果如图中所示，计算1、2、3各点的高程。

将图中各数据按高程计算顺序列入表2进行计算：
表2 水准测量成果计算表
测段号点名测站数观测高差
/m 改正数
/mm
改正后
高差/m
高程
/m
1 2 3 4 5 6 7
1 BMA
11 －1.352 0.006 －1.346
51.732 1 50.386
2 8 2.158 0.004 2.162
2 52.548
3 6 2.57
4 0.003 2.577
3 55.125
4 7 －3.397 0.004 －3.393
BMB 51.732
32 －0.017 0.017 0
辅助
＝30mm
计算
＝mm＝±68mm
计算步骤如下：
⑴计算实测高差之和∑h测=3.766m
＝3.766－3.736＝0.030m＝30mm
⑶计算容许闭合差fh容==±68mm
fh≤fh容，故其精度符合要求，可做下一步计算。

⑷计算高差改正数
高差闭合差的调整方法和原则与符合水准路线的方法一样。

本例各测段改正数vi计算如下：
⊿=－(fh/∑n)×n1=－(－17/32)×11=6mm
⊿h2=－(fh/∑n)×n2=－(－17/32)×8=4mm
……
检核∑⊿h =－fh=－0.030m
⑸计算改正后高差 h改
各测段观测高差hi分别加上相应的改正数后⊿hi，即得改正后高差：
h1改=h1+⊿h 1=－1.352+0.006=-1.346m
h2改=h2+⊿h 2=2.158+0.004=2.162m
……
注：改正后的高差代数和，应等于高差的理论值0，即：∑h改=0 ，如不相等，说明计算中有错误存在。

⑹高程计算
测段起点高程加测段改正后高差，即得测段终点高程，以此类推。

最后推出的终点高程应与起始点的高程相等。

即：
H1=HA+h1改=51.732-1.346=50.386m
H2=H1+h2改=50.386+2.162=52.548m
……
HA（算）=HA(已知)=51.732m
计算中应注意各项检核的正确性。

一、经纬仪测回法测水平角
1、基本数据：
设、、为地面三点，为测定、两个方向之间的水平角，在O点安置经纬仪(图3-7)，采用测回法进行观测。

1）上半测回(盘左)水平度盘读数：
目标：＝0°02′06″，
目标：＝68°49′18″；
2)下半测回(盘右)水平度盘读数：
目标：＝248″49′30″，
目标：＝180°02′24″。

2、填表与计算：
1）将目标A、目标B水平度盘读数填入表3－1第4栏。

表3-1 水平角观测手簿(测回法)
测站目标竖盘
位置
水平度盘读
数
° ′ ″
半测回角
值
° ′ ″
一测回角值
° ′ ″ 备注
1 2 3 4 5 6 7
左0 02 06
68 47 12
68 47 09 68 49 18
右180 02 24
68 47 06 248 49 30
2）计算半测回角，并将结果填入表3－1第5栏：
盘左：=＝
盘右：
注：计算角值时，总是右目标读数减去左目标读数，若<，则应加。

3）计算测回角值，并填入表3－1第6栏。

＝
注：1．同一方向的盘左、盘右读数大数应相差；
2．半测回角值较差的限差一般为；
3．为提高测角精度，观测个测回时，在每个测回开始即盘左的第一个方向，应旋转度盘变换手轮配置水平度盘读数，使其递增。

各测回平均角值较差的限差一般为。

水平角取各测回角的平均值。

二、经纬仪测竖直角
竖直角(简称竖角)是同一竖直面内目标方向和水平方向之间的角值，仰角为正，俯角为负，其绝对值为。

1、竖盘构造
经纬仪竖直度盘固定在横轴一端，随望远镜一道转动，竖盘指标线受竖盘指标水准管控制，当指标水准管气泡居中时，指标线应在铅垂位置。

目标方向可通过竖直度盘(简称竖盘)读取读数（始读数），而水平方向的读数已刻在竖盘上。

2、竖直角的计算公式
图3-9所示竖盘按顺时针方向注记，且望远镜水平时竖盘读数为：盘左为，盘右为。

盘左(3-4)
盘右＝ (3-5)
其平均值为 (3-6)
注：竖盘注记形式不同，计算公式也不同。

3、竖直角记录整理举例：
设点安置经纬仪观测目标、C目标的竖角，观测值如下：目标：盘左：竖盘读数为(设为)；
盘右：竖盘读数为(设为)。

目标C：盘左：竖盘读数为(设为99°41′12″)；
盘右：竖盘读数为(设为260°18′00″)。

1）将竖盘读数填入下表3－4第4栏。

表3-4 竖直角观测手簿
测站目
标
竖盘
位置
竖盘读数半测回竖角指标差一测回竖角备注
° ′ ″ ° ′ ″ ()”° ′ ″
1 2 3 4 5 6 7 8
左82 37 12 +7 22 48
+ 3 +7 22 51
右277 22 54 +7 22 54
左99 41 12 －9 41 12
－24 －9 41 36
右260 18 00 －9 42 00
注：盘左视线水平时，竖盘读数为90°，视线上斜读数减少。

2）计算半测回角，并填入表3－4第5栏中。

盘左(3-4)
盘右＝(3-5)
3）计算指标差x，填入表3－4第6栏。

指标水准管气泡居中时，指标线如果偏离正确位置，则指标线的偏离角值称为竖盘指标差x。

指标差有两种计算方法：
方法1：＝(3-12)
方法2： (3-13)
4）计算一测回角，填入表3－4 第7栏。

(3-6)
注：1、指标差对盘左、盘右竖角的影响大小相同、符号相反，采用盘左、盘右取平均的方法就可以消除指标差对竖角的影响。

2、对同一架经纬仪而言，观测不同目标算得的竖盘指标差理应大致相同。

该例两个指标差值之所以相差较大，说明读数中含有较多的观测误差。

一、基本计算
对精度要求较高的钢尺量距，除应采用经纬仪定线、在钢尺的尺头处用弹簧秤控制拉力等措施而外，还应对丈量结果进行以下三项改正：
1、尺长改正
设钢尺名义长为，在一定温度和拉力条件下检定得到的实际长为，二者之差值即为一尺段的尺长改正：
(4-5)
2、温度改正
受热胀冷缩的影响，当现场作业时的温度与检定时的温度不同时，钢尺的长度就会发生变化，因而每尺段需进行温度改正：
(4-6)
式中C，为钢尺的膨胀系数。

3、倾斜改正
设一尺段两端的高差为，沿地面量得斜距为，将其化为平距(图4-6)，应加倾斜改正。

因为，
即有＝；又因甚小，可近似认为，所以有
＝－(4-8) 以上三项之和即为一尺段的改正数：
(4-9)
4、尺长方程式
尺长随温度变化的函数式称为尺长方程式：
(4-7)
式中―温度为度时钢尺的实际长度；―钢尺的名义长度；等式右端后两项实际上就是钢尺尺长改正和温度改正的组合。

5、相对误差
为了检核和提高精度，一般需要进行往返丈量，取其平均值作为量距的成果。

(4-3)
并以往、返丈量结果的相对误差来衡量其成果的精度。

相对误差：(4-4)
二、举例
例1：钢尺丈量AB的水平距离，往测为375.31m，返测为375.43m；丈量CD的水平距离，往测为263.37m，返测为263.47m，最后得DAB、DCD及它们的相对误差各为多少哪段丈量的结果比较精确
解：1)水平距离，由得：
AB： DAB＝（375.31＋375.43）/2＝375.37m
CD： DCD＝（263.37＋263.47）/2＝263.42m
2)相对误差，由得：
AB：KAB＝(375.43－375.31)/375.37＝1/3128
CD：KCD＝(263.47－263.37)/263.42＝1/2634
KAB＜KCD，故AB的丈量结果比较精确。

例2：一钢尺名义长=30m，实际长=30.0025m，检定温度＝C，作业时的温度和场地坡度变化都不大，平均温度＝C，尺段两端高差的平均值＝+0.272m，量
得某段距离往测长＝221.756m，返测长＝221.704m，求其改正后平均长度及其相对误差。

解：一尺段尺长改正＝30.0025-30.000=+0.0025m
温度改正=0.0000125=0.0022m
倾斜改正=－=－0.0012m
三项改正之和= 0.0025+0.0022－0.0012＝+0.0035m 往测长的改正数及往测长
==+0.026m，m 返测长的改正数及返测长
=+0.026m，m 改正后平均长：
＝221.756m
相对误差：
例3：从A点测设长度为140.685m的水平距离AB，初设B点后，测得温度t=23℃,AB 两点的高差h=－1.168m，已知尺长方程为l t=30－0.0023+1.2×10-5(t－20°C)×30m,问需沿地面测设多少长度
解：1）AB段三项改正
尺长改正＝－0.0023×140.685/30＝－0.0108m
温度改正＝1.2×10-5(23°C－20°C)×140.685＝0.0051m
倾斜改正＝－1.1682/(2×140.685)＝－0.0048m
三项之和（即AB段的改正数）：
＝－0.0108＋0.0051＋（－0.0048）
＝－0.0101m
需沿地面测设的长度DAB′＝DAB－＝140.685－(－0.0101)＝140.786m
一、基本计算
1、观测值中误差的计算
设在相同条件下对某量进行了n次观测，得一组观测值L1、L2、……Ln，x为观测值的算术平均值，表示观测值改正数，即
……
则中误差
2、相对中误差的计算
所谓相对中误差(简称相对误差)就是中误差之绝对值（设为|m|）与观测值（设为D）之比，并将分子化为1表示：
=
3、算术平均值及其中误差计算
设对某量进行次等精度观测，观测值为(=1、2……)，
其算术平均值为：
算术平均值中误差mx (其中m为观测值的中误差)
4、观测值函数中误差计算
观测值的倍数函数、和差函数、线性函数的中误差计算如下表所列。

函数
函数式函数中误差计算式
名称
倍数
= ＝
函数
和差函数
线性函数
=
二、举例
例1：对某段距离进行了六次等精度测量，观测值列于表(5-3)，试求算术平均值及其中误差、相对误差和观测值中误差。

表5-3 距离测量成果计算表
观测次数 观测值 /m /mm
1、算术平均值
2、观测值中误差：
＝±6.9mm
3、算术平均值中误差：＝±2.8mm
4、算术平均值的相对中误差
K =1/124400
1 2 3 4 5 6 348.367 348.359 348.364 348.350 348.366 348.354
+7 －1 +4
－10 +6 －6
49 1 16
100 36 36
[]=0 [
]=238 解：其计算步骤为 1.计算算术平均值
(2)计算观测值改正数
(=1、2……)
本例计算[]=0，说明检核通过。

再计算各之平方，得[
]=238。

（注：检核：计算[]，看其是否为0。

如果由于凑整误差使算得的[]为一微小数值，也应视为计算无误。

） (3)计算观测值中误差
=mm
(4)计算算术平均值中误差
=mm
(5)计算算术平均值的相对中误差
注：因本例为距离测量，所以需进行相对误差的计算，否则，该项计算免去。

例2：观测一四边形的三个内角，中误差分别±4″,±5″,±6″；则第4个角的中误差为多少？
解：第4各角计算式可写为 x4＝360－x1－x2－x3
由线性函数中误差计算公式可得：
m4=±（42＋52＋62）1/2=±9″
一、基本计算
导线内业计算包括角度闭合差的计算和调整、方位角的推算、坐标增量闭合差的计算和调整及未知点的坐标计算。

1、角度闭合差的计算和调整
1）角度闭合差计算：
a)附合导线：
CD的方位角推算值与其已知值若不等，其差值即称为角度闭合差。

= －＝－(－) (6-3)
b)闭合导线
闭合导线角度闭合差为所有内角观测值之和与闭合边形内角和理论值
之差，即
－(6-8)
2）角度闭合差的调整
如果小于限差，说明观测成果符合要求，但是需要调整。

即将角度闭合差按相反符号平均分配于各角(其分配值即称原角度观测值之改正数)。

注：分配值一般取整至秒，并使其总和与角度闭合差二者绝对值相等。

3) 根据改正后的角值，重新计算各边的坐标方位角。

根据改正后的角值，重新计算各边的坐标方位角。

、最后算得的和已知值应完全相等，可作为检核。

＝＋
＝－
注：上二式右端，若前两项计算结果<，前面用“＋”号，否则前面用“－”号。

2、坐标增量闭合差的计算合调整
1）坐标闭合差计算
坐标增量闭合差是末端已知点坐标的计算值、和已知值、之差(分别称为纵坐标增量闭合差和横坐标增量闭合差)：
a）附合导线
(6-4a)
(6-4b)
b)闭合导线
闭合导线的起、终点为同一点，故将公式(6-4)式右端之第2项均改为0，即为闭合导线坐标增量闭合差。

2）闭合差调整
a）根据、计算导线全长闭合差和全长相对闭合差K：
(6-5)
(6-6)
如果小于限差，说明观测成果符合要求，但亦需要调整。

b ）将纵、横坐标增量闭合差、反号，按与边长成比例分配于各边的坐标增量中
其分配值(即原纵、横坐标增量值之改正数)、按下式计算：
式中，为第条边边长。

注：纵、横坐标增量改正数之的总和应分别等于纵、横坐标增量闭合差，而符号相反，用于检核。

3) 计算待定导线点坐标
坐标增量闭合差调整后，根据起始点的已知坐标和经改正后的坐标增量计算各待定导线点的坐标。

注：最后算得的末端点、坐标应和其已知值完全相符合，再次检核。

二、举例
例1 已知四边形闭合导线内角的观测值见下表，试进行角度闭合差计算和调整，并推算出各边的坐标方位角。

点号观测值（右角）
( ′ ″)
改正数
( ′ ″)
改正后角值
( ′ ″)
坐标方位角
( ′ ″)
1 11
2 15 2
3 123 10 21
2 67 14 12
3 5
4 1
5 20
4 126 1
5 25
∑
fβ=
解：1）计算角度闭合差
∑βi=360°00′20″
－=20″ （n＝4）
120″
fβ＜fβ允，精度符合要求。

2）调整角度闭合差
将角度闭合差按相反符号平均分配于各角：－20″/4＝－5″。

计算改正后角值各内角值βi′＝βi＋（－5″）
3）推算各边方位角
因角度观测值为右角，故应用公式＝－推算各边方位角。

计算时应注意公式右端，若前两项计算结果<，前面用“＋”号，否则前面用“－”号。

已知α12＝100°00′00″
故α23＝α12＋β2′＝100°00′00″－67°14′07″＋180°＝212°45′53″α34＝α23＋β3′＝212°45′53″－54°15′15″＋180°＝158°30′38″
α41＝α34＋β4′＝158°30′38″－126°15′20″＋180°＝212°15′18″α12＝α41＋β1′＝212°15′18″－112°15′18″＋180°＝100°00′00″α12推算结果与已知值α12＝100°00′00″相同，说明计算无误。

如下所示，计算成果填入表中。

点号观测值（右角）
βi
( ′ ″) 改正数
″
改正后角值
βi′
( ′ ″)
坐标方位角
( ′ ″)
1 11
2 15 2
3 －5 112 15 18 100 00 00
2 67 14 12 －5 67 14 07 212 45 53
3 5
4 1
5 20 －5 54 15 15 338 30 38
4 126 1
5 25 －5 12
6 15 20 32 15 18
∑ 360 00 20 －20 360 00 00 100 00 00
－=20″
120″
一、基本计算
1、坐标反算
如图，已知A、B两点坐标值，确定直线长度和方向。

根据A、B两点坐标值，代入下面公式：
a)确定直线长度（水平距离）
=
b)确定直线方向（方位角）：
=
注：计算时往往得到的是象限角的数值，必须参照表1-5表1-4，先根据、的正、负号，确定直线所在的象限，再将象限角化为坐标方位角。

表1-4 象限角与方位角关系表
象限象限角与方位角换算公式
第一象限（NE）=
第二象限（SE）=－
第三象限（SW）=＋
第四象限（NW）=－
表1-5 不同象限坐标增量的符号
坐标方位角及其所在象限之符号之符号
（第一象限）（第二象限）（第三象限）（第四象限）＋
－
－
＋
＋
＋
－
－
2、极坐标法测设点位时放样数据的计算
设A、B两点为控制点，已知A点坐标XA，YA，直线AB方位角αAB，欲测设出P点，P点的设计坐标为：XP，YP 。

若在A点用极坐标法测设P点，则放样数据为AP间的水平距离d和AP与AB间的水平角β：
αAP=arctan(YP－YA)/( XP－XA)
β＝αAP －αAB
d＝[(XP－XA)2＋（YP－YA）2]1/2
测设方法：在A 点安置经纬仪，以B点为0方向（后视B点，将水平度盘设置为0°00′00″。

），测设水平角β（β为由0方向顺时针转向待测方向的角度），定出P 点的方向，再沿AP方向线测设水平距离d。

即可定出P点。

注：角总是自零方向起，顺时针转向待测点位方向的角度，即其计算总是
，如算得的角为负值，则应加上。

二、举例：
例1：设A、B两点为控制点，XA=50.00m，YA=80.00m，αAB=60°00′00″，现欲测设出P点，P点的设计坐标为：XP=80.00m,YP=70.00m，试计算在A点用极坐标法测设P 点的放样数据，并简述操作的步骤。

解：放样数据为AP间的水平距离d和AP与AB间的水平角β：
αAP=arctan(YP－YA)/( XP－XA)＝arctan（－10）/30
由YP－YA＜0，XP－XA＞0可知，αAP属于第四象限（=－）。

故αAP＝360°－arctan10/30＝360°－18°26′＝341°34′
β＝αAP－αAB＝
d＝[(XP－XA)2＋（YP－YA）2]1/2＝(102＋302)1/2＝31.623m
测设方法：在A 点安置经纬仪，以B点为0方向（后视B点，将水平度盘设置为0°00′00″。

），测设水平角β（β为由0方向顺时针转向待测方向的角度），定出P 点的方向，再沿AP方向线测设水平距离d。

即可定出P点。

实验二报告
实验名称：普通水准测量
实验日期_________专业_________年级____班级____小组____姓名__________
一、实验记录
表A-2 水准测量记录
___年___月___日天气_____观测___________ 记录_________ 检查__________
测站点号
后视读
数／m
前视读
数
／m
高差
／m
平均高差
／m
备注
仪高(1) 仪高(2) 仪高(1)
仪高
(2)
仪高
(1)
仪高
(2)
仪高
(1)
仪高
(2)
仪高
(1)
仪高
(2)
仪高
(1)
仪高
(2)
仪高
(1)
仪高
(2)
检核
－＝2=
二、实验计算
表A-3 高差闭合差调整及待定点高程计算计算__________检查_________
点号测站数距离
／km
实测高差
／m
改正数
／mm
改正后高差
／mm
高程
／m
辅助
计算
== (mm) 或＝ (mm)
三、实验成果
1、测站二次观测高差较差的容许值为______mm，此次实验最大测站较差为
_______mm；路线高差闭合差容许值为_______mm，此次实测路线高差闭合差为_______mm，说明实验成果______要求。

2、假设点的高程为＝_____________m，经高差闭合差调整，算得点的高程
＝___________m。

四、实验答题
1、水准测量观测时应将仪器脚架和转点上的尺垫踩实，以防止仪器或尺垫下沉，其目的是_________________；迁站时，前视尺(连同尺垫)不动，而将本站的后视尺调为下一站的前视尺，其目的是__________________________。

2、测站安置仪器时，应使前、后视距离大致相等，其目的________________。

3、观测中如果标尺偏斜，必使读数变_____，从而给测站高差带来影响，因此立尺一定要竖直。

4、在测站上由后视转向前视时，发现圆水准气泡偏离中心了，应________________，这是因为_______________，发现符合水准气泡偏离中心了，应
______________________________________________________________，这是因为
__________________________________________________________。