证明或判断等差数列的常用方法

证明或判断等差（等比）数列的常用方法

湖北省

王卫华 玉芳

翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢且听笔者一一道来． 一、 利用等差（等比）数列的定义

在

数

列

{}

n a 中，若

1n n a a d

--=（d 为常数）或1

n

n a q

a -=（q 为常数），则数列{}n

a 为等差（等比）数列．这是证明数列{}n

a 为等差（等比）数更最主要的方法．如： 例1．（2005北京卷）设数列{}n

a 的首项

11

4

a a =≠

，且

11

214

n

n n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨

⎪+⎪⎩为偶数为奇数 ，

记21

1

1234

n

n b a

n -=-=，，，，…．

（Ⅰ）求2

3

a a ，；（Ⅱ）判断数列{}n

b 是否为等比数列，并证明你的结论．

解：（Ⅰ）2

13211111

44228

a a a a a a =+

=+==+，；

（Ⅱ）4

3113

428

a

a a =+

=+Q ，所以5

4

113

2

416

a a

a ==+，

所以1

1

2

3

3

5

1111111144424444b a a b a a b a a ⎛⎫⎛⎫

=-=-=-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，，， 猜想：{}n

b 是公比为12

的等比数列． 证

明如下：因为

121221111111()424242

n n n n n b a a a b n *++-⎛⎫=-

=-=-=∈ ⎪⎝⎭N ，

所以{}n

b 是首项为14a -，公比为1

2

的等比数列．

评析：此题并不知道数列{}n

b 的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。 例2．（2005山东卷）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125()n n

S S n n *

+=++∈N （Ⅰ）证明数列{1}n

a +是等比数列；（Ⅱ）略．

解：由已知*

125()n n

S S n n N +=++∈可得2n ≥时1,24n n S S n -=++两式相减得:11

2()1n n n n S S S S +--=-+，即121n n a a +=+，从而112(1)n n

a a ++=+，

当1n =时，21215S S =++，所以211

26a a a +=+， 又15a =，所以211a =，从而21

12(1)a a +=+．

故总有112(1)n n

a

a n *

++=+∈N ，，又1

1

510a a =+≠，，从而

11

21

n n a a ++=+．

所以数列{1}n

a +是等比数列．

评析：这是常见题型，由依照含n

S 的式子再类似写出含1

n S -的式子，得到1

n n

a pa q +=+的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论．本题若是先求出通项n

a 的表达式，则较繁．

注意事项：用定义法时常采用的两个式子1

n

n a a d --=和1

n n

a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0

a 无意义，等比中一样

有：2n ≥时，有1

n

n a q

a -==L （常数0≠）；②n *

∈N 时，

有1n n

a q

a

+==L （常数0≠）．

二．运用等差或等比中项性质

2

1

2{}n

n n n

a a a a +++=⇔是等差数列，2

2

1

(0)n n n n

a a a a ++=≠{}n

a ⇔是等比数列，这是证明数列{}n

a 为等差（等比）数列的另一种主要方法． 例3．（2005江苏卷）设数列{}n

a 的前项为

n S ，已知123

1

611a a a ===，，，且1(58)(52)123n n

n S n S An B n +--+=+=L ，，，，，其中A B ，为常数．

（1）求A 与B 的值；（2）证明数列{}n

a 为等差数列；（3）略． 解：（1）由1

2

3

1611a a a ===，，，得1

2

3

1718S S S ===，，． 把12n =，分别代入 1

(58)(52)n n

n S n S +--+An B =+，得28248A B A B +=-⎧⎨

+=-⎩

，

解得，20A =-，8B =-．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，1

1

5()82208n n

n n

n S S S S n ++---=--，即

1

1

582208n n n

na S S n ++--=--，

① 又221

5(1)8220(1)8n n n n a S S n ++++--=-+-． ②

②-①得，2121

5(1)58220n n n n n a na a a +++++---=-， 即21

(53)(52)20n n n a n a ++--+=-． ③ 又32

(52)(57)20n n n a n a +++-+=-． ④

④-③得，321(52)(2)0n n n n a a a ++++-+=，∴321

20n n n a a a +++-+=， ∴3221325n n n n a a a a a a ++++-=-==-=L ，又21

5a a -=，

因此，数列{}n

a 是首项为1，公差为5的等差数列． 评析：此题对考生要求较高，通过挖掘n

S 的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算． 例4．（高考题改编）正数数列{}n a 和{}n

b 满