等差数列的判定与证明—中项公式法

4
例题 2： (1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首、末两项的积为－8，求这四 个数． 【思路点拨】 解答本题也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求 解． 【解】 (1)设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数依次为a－d，a，a＋d， 依题意，3a＝6，且a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
总结：等差数列的设法及求解
(1)若有三个数成等差数列，则一般设为a－d，a，a＋d； (2)若有四个数成等差数列，则一般设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d； (3)若有五个数成等差数列，则一般设为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.
等差中项的应用
1 1 1 例 3：已知 a 、b 、c 成等差数列．求证： ， ， b＋c c＋a a＋b 成等差数列． 1 2 2 2 2 2 2 解：∵a 、b 、c 成等差数列，∴b ＝2(a ＋c )． a＋c＋2b a＋c＋2b 1 1 ∴ ＋ ＝ ＝ b＋c a＋b b＋ca＋b ab＋bc＋ca＋b2 a＋c＋2b 2a＋c＋2b ＝ 1 2 2 ＝a＋c2b＋a＋c ab＋bc＋ca＋2a ＋c 2 ＝ . a＋c 1 1 1 ∴ ， ， 成等差数列． b＋c c＋a a＋b
例1．已知数列的通项公式为 ，其中 p, q, 是 n 常数，且 ， 那么这个数列是否一定是等差数 列？如果是，其首项与公差是什么？
a pn q
p0
分析：由等差数列的定义，要判断 是来自是等差数列， 只要看 是不是一个与n 无关的 常数就行了.
a n a n 1(n 2)
与
{a n }
5
化简得d2＝16，于是d＝±4， 故这三个数依次为－2,2,6或6,2，－2. (2)设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列， ∴d>0，∴d＝1， 故所求的四个数依次为－2,0,2,4.
2 2 2
8
等差数列的判定与证明—中项公式法
等差中项的定义
如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 .
由等差中项的定义可知， a, A, b 满足关系：
ab bA Aa A b 2A a(或a 2A b) 2 意义：
任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯一的.当 a=b 时，A = a = b .
解：取数列
a n 1 a n (n 2), {a n } a n a n 1 (pn q) [p(n 1) q] pn q (pn p q)
中的任意相邻两项
p.
3
这是一个与 n 无关的常数，所以 在通项公式中令 n＝1，得 等差数列的首项是 p+q，公差是 p.
是等差数列，公差是p. ，所以这个 n
{a }
a1 p q
注：等差数列的通项公式可以表示为 ， 其中 p, q 是常数. 当 时，它是关于 n 的一次式， 因此从图像上看，表示这个数列的各点均在一次函 数 的图像上，其坐标为 .
a n pn q
p0
y px q
(n, a n )