年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解六

年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解

六

TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解六

1．（本小题满分14分）

如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.

（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.

解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(012112

x x x x x x ≠和， ∴切线AP 的方程为：;022

0=--x y x x 切线BP 的方程为：;02211=--x y x x 解得P 点的坐标为：101

0,2

x x y x x x P P =+=

所以△APB 的重心G 的坐标为 P P

G x x x x x =++=

3

10， 所以2

43G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：

（2）方法1：因为).4

1,(),41,2(),41,(2

111010

200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，则.0||≠FP

∴||41)1)(1(||||cos 102

010010FP x x x x x x x x FA FP AFP +

=--+⋅+==

∠

同理有||41)1)(1(||||cos 102

110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +

=--+⋅+==

∠ ∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为

)0,2

(

1

x ，则P 点到直线AF 的距离为：,41

4

1

:;2||1

2111x x x y BF x d -=-=

的方程而直线

即.04

1

)41(1121=+--x y x x x

所以P 点到直线BF 的距离为：2||412|

|)41()()4

1(|42)41(|1211

212

122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=

所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.

②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,04

1)41(),0(041

410

02002

0=+-----

=-x y x x x x x x y 即 直线BF 的方程：,04

1)41(),0(041

411

121121=+-----

=-x y x x x x x x y 即 所以P 点到直线AF 的距离为：

2||41)

41)(2|)4

1(|41)2)(41(|1020

2010202200120102

01x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=

+-+-+-=，同理可得到P 点到直线BF 的距离2

|

|012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB. 2．（本小题满分12分）

设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB

的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.

（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.

（此题不要求在答题卡上画图）

本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合

解决问题的能力.

（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整

理得 .0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ① 设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根， ∴,0])3(3)3([422>--+=∆k k λ ② 且,3

)

3(22

21+-=

+k k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得 解得k=－1，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设),,(),,(2211y x B y x A 则有 依题意，.)

(3,2

12121y y x x k x x AB ++-

=∴≠

∵N （1，3）是AB 的中点， ∴.1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而 又由N （1，3）在椭圆内，∴,1231322=+⨯>λ ∴λ的取值范围是（12，+∞）.

直线AB 的方程为y －3=－（x －1），即x+y －4=0.

（Ⅱ）解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y －3=x －1，即x －y+2=0，

代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x

又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为4300,),,(x x y x C 则是方程③的两根， ∴).2

3,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=

-=+M x y x x x x x 即且 于是由弦长公式可得 .)3(2||)1

(1||432-=-⋅-+=λx x k

CD ④