不等式公式

不等式公式

常用的不等式的基本性质：a>b,b>c→a>c;

a>b →a+c>b+c;

a>b,c>0 → ac>bc;

a>b,c<0→ac

a>b>0,c>d>0 → ac>bd;

a>b,ab>0 → 1/a<1/b;

a>b>0 → a^n>b^n;

基本不等式：√(ab)≤(a+b)/2

那么可以变为 a^2-2ab+b^2 ≥ 0

a^2+b^2 ≥ 2ab

ab≤a与b的平均数的平方

扩展：若有y=x1*x2*x3.....Xn 且x1+x2+x3+...+Xn=常数P,则Y的最大值为((x1+x2+x3+.....+Xn)/n)^n

绝对值不等式公式：

| |a|-|b| |≤|a-b|≤|a|+|b|

| |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|

证明方法可利用向量，把a、b 看作向量，利用三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边。

柯西不等式：

设a1,a2,…an,b1,b2…bn均是实数，则有

(a1b1+a2b2+…+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+…an^2)*(b1^2+b2^2+…bn^2) 当且仅当ai=λbi(λ为常数，i=1,2.3,…n)时取等号。

排序不等式：

设a1,a2,…an；b1,b2…bn均是实数，且

a1≥a2≥a3≥…≥an,b1≥b2≥b3≥…≥bn;则有a1b1+a2b2+…+anbn（顺序和）≥a1b2+a2b1+a3b3+…+aibj+…+anbm（乱序和）≥a1bn+a2bn- 1+a3bn-2+…+anb1（逆序和）,仅当a1=a2=a3=…an,b1=b2=b3=…=bn时等号成立。