高等量子力学 第二章 算符(课堂PPT)
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（1） 在 A 中对于每一个 , 总有 存在；
（2） 若 A1 A 2 ，则必有 1 2 。
这两条须同时满足，对于每一个 ，条件(1)要求有 ，条件(2)
要求只有一个 。
9
定理 设A是一个定义域和值域都在全空间的线性算符，若有另 外两个线性算符B和C存在，满足
AB=1, CA=1
(2.4)
则算符A有逆，而且
A1 B C
证明: 我们证明这样的A满足有逆条件(1)和(2)。
条件（1）：在值域中取一任意 ，证明在定义域有 存在：
1 AB AB
可见对于任意 ，确有 存在，这个 就是 B 。
10
条件（2）：若 A1 A 2 ，用 C 作用在此式两边： CA1 CA 2
复数都可以看成一个算符；其定义域和值域均为全空间：
a a
其中两个特殊的算符： ，1，1
对一切 成立；前者称为零算符，后者称为单位算符。4
两个算符 A与B 的和 A B 及乘积 BA的定义是：
A B A B
BA BA
A B 的定义域是 A与B 两算符的定义域的共同部分（数学上称
AB C AB AC ABC ABC
等等。
A3 AAA
可以用算符和复数构成一个多项式作为算符的函数：
F A a0 a1 A a2 A2 an An
甚至可以构成无穷级数（我们不去仔细考察由此引起的数学问
题），例如可以写
1
aA
1 a2 2!
Hale Waihona Puke Baidu
A2
31！a3 A3
1 an An n0 n!
[FˆGˆ , Mˆ ] Fˆ [Gˆ , Mˆ ] [Fˆ , Mˆ ]Gˆ [ Aˆ ,[Bˆ , Cˆ ]] [Bˆ ,[Cˆ , Aˆ ]] [Cˆ , [ Aˆ , Bˆ ]] 0 (Jacobi恒等式）
6
由上述定义可知，除交换律不一定成立外，算符之间服从 一般的加、减、乘和幂次的代数运算法则：
够的。但当 A 的定义域为有限维时，可以证明 B 与 C 二者中存
在一个，即可断定算符 A 有逆。
11
§2-2 算符的代数运算
在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数运算， 在这一小节里，我们举几个较复杂的运算例子；并且用代数方 法证明两个常用的算符等式（2.9）和（2.14）两式。
则说这两个算符是可对易的，或称为两个算符对易。
定义：
[A, B] AB BA
(2.2)
经常使用的几个对易关系：
[Fˆ , Gˆ ] [Gˆ , Fˆ ]
[Fˆ , Gˆ Mˆ ] [Fˆ , Gˆ ] [Fˆ , Mˆ ] [Fˆ , GˆMˆ ] Gˆ[Fˆ , Mˆ ] [Fˆ , Gˆ ]Mˆ
e aA
(2.3)
7
注意上式是算符的指数函数的定义式。在此定义下，关系式
e Ae B e AB (当[A,B]=0 时成立)
而当[A, B] 0 时是不成立的（参见本节§2-2）。 逆算符 设在一个右矢空间中，算符 A 把定义域中的一个右矢
变为值域中的一个右矢 ：
A
若算符 A 所建立的这个关系是一一对应的，即对应值域中的
但此式就是 1 2 ，条件(2)也得到满足，因此 A1 存在。
A1 既然存在，将 AB=1 用 A1 左乘，得
A1 B
将 CA 1用A1 右乘得 A1 C
定理证毕。
在 A 的定义域为无穷维空间的情况，此定理指出：当(2.4)
式中 B和C 都存在时，才能说 有A1 存在， B和C 中只有一个是不
为交）；至于 BA的定义域，若 A 的值域在 B 的定义域之内，则 BA 的定义域就是 A 的定义域，若 A 的值域只有一部分在 B 的定义 域内，则 BA的定义域要比 A 的定义域小。
两个算符相等的定义是： A与B 有相同的定义域并且对域内
任意矢量 有
A B
这时我们记作
AB
5
若两个算符 A和B 满足 AB BA
每一个 ，在定义域中有且只有一个 ，则由 到 的逆对
应关系存在，这种关系称为 A 的逆算符，用 A1 表示：
A1 8
逆算符 A1 满足
A1 A AA1 1
逆算符 A1 的定义域和值域分别是 A 的值域和定义域。逆算符相
当于算符的除法，有时也写成 A1 1 A
不是所有的算符都有逆。一个算符A有逆的条件如下：
完全重合。通常算符的定义域与值域都是整个空间。
2
一个算符A，其定义域是一个矢量空间，而又满足下列条件的， 称为线性算符：
A A A
A a A a
(2.1)
满足下列二条件的，称为反线性算符：
A A A
A a A a*
(2.2)
其中a是任意常数。在量子力学中出现的算符，绝大多数都是线 性算符，下面我们只讨论线性算符。
算符对其定义域中每一个右矢作用，都应有确定的结果。
定义一个具体的算符应当规定其定义域，并指出它对其定义域
中每一个矢量作用的结果。而确定一个具体的线性算符，只须
规定它对其定义域中的一组线性无关的右矢（例如一组基矢）
中每个右矢的作用结果即可。
3
线性算符的定义域，可以是整个右矢空间本身，也可以是 它的一个子空间。
可以证明，线性算符具有下列性质：
（1）线性算符的值域也是右矢空间（大空间本身或其子空间）。 （2）若定义域是有限维的空间，则值域空间的维数等于或小于
定义域空间的维数。 （3）在定义域中，那些受A的作用得到零矢量的右矢全体，也
构成一个右矢空间（定义域的子空间）。 复数对右矢的数乘，可以看成算符对右矢的作用，每一个
§2-1 定义
规定一个具体的对应关系，用 A 来表示。使右矢空间中的某
些右矢与其中一些右矢相对应，例如使 与 相对应，记为
A
这样的对应关系 A 称为算符。我们说算符 A 作用于右矢 ，
得到右矢 。
在算符的定义中，被算符A作用的右矢全体，称为A的定义
域；得出的右矢全体称为值域。二者可以不同，也可以部分或
§2 算符
主要内容： §2-1 定义 §2-2 算符的代数运算 §2-3 作用于左矢的算符 §2-4 厄米算符和幺正算符 §2-5 投影算符
1
算符是矢量空间中又一重要概念。在这一节里，我们在右 矢空间中引入算符，并从左右矢空间的对应关系去讨论算符及 其性质。这些性质很容易回到单一空间的表示方法中去。
（2） 若 A1 A 2 ，则必有 1 2 。
这两条须同时满足，对于每一个 ，条件(1)要求有 ，条件(2)
要求只有一个 。
9
定理 设A是一个定义域和值域都在全空间的线性算符，若有另 外两个线性算符B和C存在，满足
AB=1, CA=1
(2.4)
则算符A有逆，而且
A1 B C
证明: 我们证明这样的A满足有逆条件(1)和(2)。
条件（1）：在值域中取一任意 ，证明在定义域有 存在：
1 AB AB
可见对于任意 ，确有 存在，这个 就是 B 。
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条件（2）：若 A1 A 2 ，用 C 作用在此式两边： CA1 CA 2
复数都可以看成一个算符；其定义域和值域均为全空间：
a a
其中两个特殊的算符： ，1，1
对一切 成立；前者称为零算符，后者称为单位算符。4
两个算符 A与B 的和 A B 及乘积 BA的定义是：
A B A B
BA BA
A B 的定义域是 A与B 两算符的定义域的共同部分（数学上称
AB C AB AC ABC ABC
等等。
A3 AAA
可以用算符和复数构成一个多项式作为算符的函数：
F A a0 a1 A a2 A2 an An
甚至可以构成无穷级数（我们不去仔细考察由此引起的数学问
题），例如可以写
1
aA
1 a2 2!
Hale Waihona Puke Baidu
A2
31！a3 A3
1 an An n0 n!
[FˆGˆ , Mˆ ] Fˆ [Gˆ , Mˆ ] [Fˆ , Mˆ ]Gˆ [ Aˆ ,[Bˆ , Cˆ ]] [Bˆ ,[Cˆ , Aˆ ]] [Cˆ , [ Aˆ , Bˆ ]] 0 (Jacobi恒等式）
6
由上述定义可知，除交换律不一定成立外，算符之间服从 一般的加、减、乘和幂次的代数运算法则：
够的。但当 A 的定义域为有限维时，可以证明 B 与 C 二者中存
在一个，即可断定算符 A 有逆。
11
§2-2 算符的代数运算
在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数运算， 在这一小节里，我们举几个较复杂的运算例子；并且用代数方 法证明两个常用的算符等式（2.9）和（2.14）两式。
则说这两个算符是可对易的，或称为两个算符对易。
定义：
[A, B] AB BA
(2.2)
经常使用的几个对易关系：
[Fˆ , Gˆ ] [Gˆ , Fˆ ]
[Fˆ , Gˆ Mˆ ] [Fˆ , Gˆ ] [Fˆ , Mˆ ] [Fˆ , GˆMˆ ] Gˆ[Fˆ , Mˆ ] [Fˆ , Gˆ ]Mˆ
e aA
(2.3)
7
注意上式是算符的指数函数的定义式。在此定义下，关系式
e Ae B e AB (当[A,B]=0 时成立)
而当[A, B] 0 时是不成立的（参见本节§2-2）。 逆算符 设在一个右矢空间中，算符 A 把定义域中的一个右矢
变为值域中的一个右矢 ：
A
若算符 A 所建立的这个关系是一一对应的，即对应值域中的
但此式就是 1 2 ，条件(2)也得到满足，因此 A1 存在。
A1 既然存在，将 AB=1 用 A1 左乘，得
A1 B
将 CA 1用A1 右乘得 A1 C
定理证毕。
在 A 的定义域为无穷维空间的情况，此定理指出：当(2.4)
式中 B和C 都存在时，才能说 有A1 存在， B和C 中只有一个是不
为交）；至于 BA的定义域，若 A 的值域在 B 的定义域之内，则 BA 的定义域就是 A 的定义域，若 A 的值域只有一部分在 B 的定义 域内，则 BA的定义域要比 A 的定义域小。
两个算符相等的定义是： A与B 有相同的定义域并且对域内
任意矢量 有
A B
这时我们记作
AB
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若两个算符 A和B 满足 AB BA
每一个 ，在定义域中有且只有一个 ，则由 到 的逆对
应关系存在，这种关系称为 A 的逆算符，用 A1 表示：
A1 8
逆算符 A1 满足
A1 A AA1 1
逆算符 A1 的定义域和值域分别是 A 的值域和定义域。逆算符相
当于算符的除法，有时也写成 A1 1 A
不是所有的算符都有逆。一个算符A有逆的条件如下：
完全重合。通常算符的定义域与值域都是整个空间。
2
一个算符A，其定义域是一个矢量空间，而又满足下列条件的， 称为线性算符：
A A A
A a A a
(2.1)
满足下列二条件的，称为反线性算符：
A A A
A a A a*
(2.2)
其中a是任意常数。在量子力学中出现的算符，绝大多数都是线 性算符，下面我们只讨论线性算符。
算符对其定义域中每一个右矢作用，都应有确定的结果。
定义一个具体的算符应当规定其定义域，并指出它对其定义域
中每一个矢量作用的结果。而确定一个具体的线性算符，只须
规定它对其定义域中的一组线性无关的右矢（例如一组基矢）
中每个右矢的作用结果即可。
3
线性算符的定义域，可以是整个右矢空间本身，也可以是 它的一个子空间。
可以证明，线性算符具有下列性质：
（1）线性算符的值域也是右矢空间（大空间本身或其子空间）。 （2）若定义域是有限维的空间，则值域空间的维数等于或小于
定义域空间的维数。 （3）在定义域中，那些受A的作用得到零矢量的右矢全体，也
构成一个右矢空间（定义域的子空间）。 复数对右矢的数乘，可以看成算符对右矢的作用，每一个
§2-1 定义
规定一个具体的对应关系，用 A 来表示。使右矢空间中的某
些右矢与其中一些右矢相对应，例如使 与 相对应，记为
A
这样的对应关系 A 称为算符。我们说算符 A 作用于右矢 ，
得到右矢 。
在算符的定义中，被算符A作用的右矢全体，称为A的定义
域；得出的右矢全体称为值域。二者可以不同，也可以部分或
§2 算符
主要内容： §2-1 定义 §2-2 算符的代数运算 §2-3 作用于左矢的算符 §2-4 厄米算符和幺正算符 §2-5 投影算符
1
算符是矢量空间中又一重要概念。在这一节里，我们在右 矢空间中引入算符，并从左右矢空间的对应关系去讨论算符及 其性质。这些性质很容易回到单一空间的表示方法中去。