格点相似三角形
在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形的基本方法
在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形的基本方法随着计算机科学的发展，图形学已经成为一门重要的学科，日益受到广大研究者的关注。
在计算机图形学中有很多有趣的研究问题，其中之一是在连续正方形网格中绘制面积最大的格点相似三角形的基本方法。
本文主要讨论这一问题，首先介绍面积最大的格点相似三角形的定义和计算方法，其次探讨在正方形网格中画出面积最大的格点相似三角形的基本方法，最后小结。
一、格点相似三角形的定义和计算方法一个格点相似三角形就是由格点组成的三角形，其定义如下：定义：一个格点相似三角形由三个格点组成，每个格点之间有一条直线相连，并且每个格点之间的距离都相等。
根据定义，一个格点相似三角形的面积可以计算出来，它等于三个格点之间的距离的平方，也就是底边的长度的平方，用公式表示为： S=a2其中，S表示三角形的面积，a表示三角形的底边长度。
二、在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形的基本方法将正方形的网格分割成n行，每行有n个格子，每个格子的长度为a，最终将网格分割成均等的m个正方形小模块（m=n*n）。
那么在这样一个正方形网格中画出最大面积的格点相似三角形的最基本算法是什么呢？下面将用一个示例来说明。
假设现在要画一个面积最大的格点相似三角形，从模块（2，2）开始，分别选取模块（2，3）、模块（3，2），用它们三个模块形成的三角形就是面积最大的格点相似三角形，此时此三角形的面积为3a2。
同样的，这一算法也适用于n行n列的正方形网格，最终可以画出面积为n*(n-1)*a2的格点相似三角形。
三、小结本文介绍了在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形的基本方法。
首先介绍了面积最大的格点相似三角形的定义和计算方法，然后讨论了在正方形网格中画出面积最大的格点相似三角形的基本算法，最后总结了讨论的结果。
由上述讨论可知，在正方形网格中画出面积最大的格点相似三角形的基本算法是每行每列选取三个格子，每个格子间连线，最终得到的三角形的面积为n*(n-1)*a2。
初中数学相似三角形模型(题型)大全-值得收藏
初中数学相似三角形模型（题型）大全-值得收藏一、比的性质：特征：比的基本性质，合比性质，等比性质 例1：已知,3==d c b a ，则ddc b b a 22+=+=（ ） 例2：如果P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，则下列各等式①AB 2=AP •PB ， ②AP 2=PB •AB ，③BP 2=AP •PB ，④AP ／AB=PB ／AP 中，正确的是（ ）例3：已知k cba a cb bc a =+=+=+，则k 的值为（ ） 二、平行A 字型如图（1）DE//BC ，则△ADE ∽△ABC 特征：△ADE ∽△ABC ⇒AD AE DEAB AC BC==应用1：（求线段的长）例1． 如图（2）DE//BC,且DB=AE,若AB=5，AC=10，则AE 的长为（103） 角度：平行产生比例 DE ∥BC 51051010,103AB AC AE BD EC AE EC AE AE ⇒=∴=∴==- PB例2．如图（3）△ABC 中，BC = a 是AB 边的五等分点；1234,,,C C C C 是AC 边的五等分点，则11223344B C B C B C B C +++=（2a ）应用2：（证明比例线段）例3．如图（4），DE//BC//AF ，求证：111DE AF BC=+ 证明：分析：此题用了两个平行A 字型 在△ABC 中，DE//BC ，AD DE⇒= ①在△ABF 中，DE//AF ，DB DEAB AF⇒=② ①+②得AD DB DE DEAB BC AF+=+111()111DE BC AFDE BC AF ∴=+∴=+应用3：（证明线段相等） 例4．如图（5），一直线与△ABC 的边AB ，AC 及BC 的延长线分别交于D 、E 、F 。
求证：若AE BFEC CF=，则D 是AB 的中点。
证明：作CM//BA 与EF 交于M ，则△ADE ∽△CME//AD AEAE BF AD BFBD BFCM BD CM ECEC CF CM CFCM CF∴==∴=∴=因此,.AB AD BDAD BD CM CMD ==∴从而是的中点。
格点图中的相似问题
Ｄ．Ｐ４
【 解答 】 （ １ ）如 图 △Ａ Ｂ Ｃ 即 为 ＡＡ ＢＣ 【 分析 】 因 为Ｅ 尸 一 与Ｄ Ｅ 成 直角 ， 所 以从 两 直 角 边 对 应 成 比例 来 判 定 相 似 三 角 形 ． 从 的 位 似 图 形 ；
图 形 中 不 难 发 现 ： ＝ 寻 ， ＝ 号 ， ＝
点 到 角两 边 的距 离 相 等 ” 易 证 Ｅ ＝ Ｅ Ｎ： Ｅ Ｂ ． 贝 蚴 Ｂ 中点 ， ： 一 １
Ｃ Ｈ Ｕ Ｚ Ｈ ｏ Ｎ Ｇ Ｓ Ｈ ＥＮ Ｇ Ｓ Ｈ ｌ Ｊｌ Ｅ
格点 图 中的相似 问题
陆 中 明
网格 是 同 学 们 非 常 熟 悉 的 图 形 ， 以 网 段 之 间 的数 量 关 系 ， 也 隐 含 着 图 形 之 间 的
（ １ ）以 点 为 位 似 中 心 ， 位似 比为 ２ ，
ＥＰ３
， 一
（ ２ ） （ ３ ， ６ ） ， Ｂ （ ５ ， ２ ） ， （ １ ｌ ， ４ ） ．
【 点评 】 在 位 似 的作 图 中 ， 当 位 似 比 大
６
一
： 一
３
，
ＥＰ４
一
７
一 ，
：
：
因此 这 些 点 中
于 １时 ， 把 一 个 图形 放 大 ； 当位 似 比小 于 １
的判 定 方 法 ．
得 到 的位 似 图形 应 该 是 两 个 ．
题型三
例 ３
格 点 图 中的 阅读 理 解 题
（ ２ ０ １ ４ ・ 四 川
自贡 ） 如图３ ① 在 四边 形
ＡＢ∞ 的 边 ＡＢ上 任 取 一
题型二
格 点 图 中 的 位 似 图 形
相似三角形ppt课件
∴DE=FC,∴
=
=
.
又∵∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.
=
.
探
究
与
应
用
2.如图23-3-4,D为BA延长线上一点,作DE∥BC交直线AC于
点E,则△ADE与△ABC是否相似?为什么?
解:相似.理由:在边AB上截取AM=AD,
在边AC上截取AN=AE,
与△ABC的相似比为 1∶2
,△BAC∽ △EAF .
图23-3-2
探
究
与
应
用
探究二 相似三角形的预备定理
[猜想证明]
1.如图23-3-3所示,在△ABC中,D为边AB上的任意一点(不同
于点A,B),作DE∥BC,交边AC于点E,用刻度尺和量角器量一
量,判断△ADE与△ABC是否相似?如
果相似,请加以证明.
AC=15, DE=7,求AE和BC的长.
解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
∴
=
=
.
又∵AD=8,DB=12,AC=15,DE=7,
7
∴
=
8
8+12
=
35
,∴AE=6,BC= .
15
2
图23-3-5
探
究
与
应
用
建 模型
相似三角形判定的预备定理的基本图形
如图23-3-6,如果DE∥BC,那么△ADE∽△ABC.
图23-3-3
探
究
与
应
用
解:△ADE与△ABC相似.
中考“网格”中的相似三角形问题
中考“网格”中的相似三角形问题所谓网格中的形似三角形就是在正方形的网格中寻找三角形相似的问题.这类问题是近年来全国各地中考的一个热点和亮点，试题的特点主要是以用勾股定理等知识计算三角形的边长，再加上正方形的对角线形成的特殊角，要求能从正方形网格中挖掘出条件，灵活运用相似三角形的性质与判定解决问题.目的是要考查同学们的观察、猜想、探究问题的能力，为了帮助同学们掌握这一知识点，现以中考试题为例说明如下：例1 如图1，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的为（ ）分析 先利用勾股定理求出△ABC 的三边分别是10、2、2，再分别求出选择支中三角形的三边的长，然后分别求出对应边长的比. 解 由于正方形边长均为1，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，AB ＝10；图A 中三角形三边长为1，5，22，而与△ABC 三边的比分别为12，52，2210＝25显然它们不相等；图B 中三角形三边长为1，2，5与△ABC 的三边的比分别为12＝22，22，510＝22，故对应边的比相等；同样的道理可以得出在图C 和图D 中的两个三角形三边分别与△ABC 三边的比不相等.故选B .例 2 如图2，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、O 四点中的（ ）A.FB.GC.HD.O分析 若△DME ∽△ABC ，△ABC 又是一个等腰直角三角形，故△DME 也应是等腰直角三角形，这样观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系即可求解.解 因为△ABC 是一个等腰直角三角形，所以要使△DME ∽△ABC ，△DME 也必须是一个等腰直角三角形，所以观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系只有点H 能与D 、E 两点构成等腰直角三角形.故应选C .图4 F E D C B A O H G F E 图 3D C B A图2 B A 图2AC B CD 图1 图3例3 在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图3中5×5的方格中，作格点△ABC 和△OAB 相似(相似比不为1)，则点C 的坐标是_____.分析 由于△OAB 是直角三角形，所以求得的格点△ABC 也一定是直角三角形，而在5×5的方格中以点O 为直角顶点的格点Rt △ABC 作不出来，只有分别以点A 或B 为直角的顶点可以作出Rt △ABC .解 若以A 为直角的顶点，作格点Rt △ABC ，则点C 的坐标为(4，0)，若以B 为直角的顶点，作格点Rt △ABC ，则点C 的坐标为(3，2)，所以点C 的坐标是(4，0)或(3，2).例4 如图4，在4×4的正方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC ＝_____，BC ＝_____；（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.分析 要解答第（1）小问，只要利用正方形的特性和勾股定理即可求解；而要判断△ABC 与△DEF 是否相似，可以利用“如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且这两条边的夹角也对应相等，那么这两个三角形相似”；或“如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似”来验证.解（1）利用正方形对角线平分一组对角的性质可得∠ABC ＝180°－45°＝135°，由勾股定理得BC ＝22；（2）△DEF 中，∠DEF ＝135°，分别计算△ABC 的边AB 、BC 和△DEF 的边DE 、EF ，AB ＝2，BC ＝22；EF ＝2，DE ＝2.因为ABDE 2，BC EF ＝2， 所以AB DE ＝BC EF，且∠ABC ＝∠DEF ＝135°，所以△ABC ∽△DEF .。
在方格中如何求相似的格点三角形
在方格中如何求相似的格点三角形作者：耿冀平来源：《试题与研究·教学论坛》2017年第30期原题：已知△ABC中，AC=2AB=4，BC=6（1）如图1，点M为AC的中点，在线段AB上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长（2）在给定的方格纸中，作出和△ABC相似且面积最大的格点三角形，请你画出其中的一个，并求出它的面积（注：格点三角形是指以小正方形的顶点为顶点的三角形）分析：（1）注意找到两种对应相似，也就是我们通常所说的“正A”和“反A”型的相似。
（2）这问是个操作且设计性题，在中考中时常会出现。
很多学生一时无从下手，这个三角形怎么去确定呢，既要相似，又要面积最大。
方格中画格点三角形要通过计算和设计得出的，这就考查了学生的综合能力。
探究1：给定三条线段都能构成格点三角形吗？如右图，把题目中的△ABC放到方格中，根据题目AC=2==AB=4==，BC=6=，有一个等式6+2=8，4+0=4再结合图形来分析AD=4，BD=8，BC=6，CD=2，CD+BC=BD，AB=，恰好构成如上图的格点三角形，证明了数与形的统一性。
那么到底什么样的三条边能构成格点三角形呢？设AB=，BC=，AC=，当a+b=c且x+y=z时，三边恰好能构成格点三角形（a，b，c，x，y，z均为非负整数，且没有顺序要求）如右图，我们假设AF=a，BF=x，AB=，BE=b，CE=y，BC=，根据图形得：AD=a+b，CD=x+y，由于a+b=c，x+y=z，则AC=正好构成△ABC。
探究2：如何来确定相似且面积最大的格点三角形。
由相似，我们知道长边对长边，短边对短边，我们先来找最长边。
在10×10的方格中，最长的边是它的对角线等于10，把它看成4的对应边，根据相似比==，可得另两边为5和3。
10=，5==，3==，7+3=10，9+1=10，正好能构成格点三角形，相似且面积最大的三角形如右图。
探究3：如何来确定相似且面积最小的格点三角形。
利用方格纸画相似三角形
利用方格纸画相似三角形陈 凤 萍江苏省泰州市智堡中学 225300数学教学改革的根本目的是让学生在学习数学的过程中主动参与，充分享受到学习数学知识的快乐,树立自信，通过动手、动脑，积极主动地探索应用，形成自己独特的思维方式，并加以应用。
“相似三角形”的学习中利用学生的好奇心、求知欲，尝试着在方格纸上画出与已知的格点三角形相似的格点三角形，并试着探索其中的规律。
例1． 如图①所示，在6×6的方格纸上，请画出与已知⊿ABC 相似的格点三角形，想一想（1）可以画出多少种格点三角形？（2）你能找出最大的格点三角形吗？分析：先给出格点三角形的定义，如图①所示，我们把像⊿ABC 这样顶点在小正方形顶点上的三角形称为格点三角形，然后复习相似三角形的条件，可利用的方法有（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）平行线的性质等。
我们很容易画出图②中⊿111C B A 、⊿222C B A 、⊿333C B A ，其实我们想要找出与⊿ABC 相似的所有格点三角形，可以考虑从各种可能的相似比入手，由于要找出与⊿ABC 相似的三角形，从图形中可以看出AC 对应的边n n C A 只有两种，一种是格点的边，另一种则是格点的对角线，因此它们的相似比是整数或特殊的无理数。
解：如图②所示，与⊿ABC 相似的三角形（1）相似比是整数时，我们考虑⊿ABC 的最长边的对应边的长度：因为⊿ABC 的最长边为5，而方格图中最长边为72，我们只能画出5、22和53，而8054就无法画出了，所以相似比只能取1、2、3；（2）当相似比是无理数时，考虑到既可画出，又在格点上。
因为n n C A 昌方格中矩形的对角线长，有与（1）相同的原因只能图①B AC1B 3B 图②1A 3A 1C 2C 2A 2B 3C是2、22、5、10，相似比只能取2、22、5、10。
部编数学九年级下册专题14网格中画相似(解析版)含答案
专题14 网格中画相似1．如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC 相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是______．【答案】12##0.5【点睛】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．2．图①，图②，图③均是66´的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中．按下列要求作图．（不写作法，保留画图痕迹）(1)在图①中，在BC 上画一点D ，使ABD ACD S S =V V ；(2)在图②中，在BC 上画一点E ，使ABE S V ：2ACE S =V ：3；(3)在图③中，在ABC 内画一点F ，使ACF S △：ABF S △：2BCF S =V ：3：3．（2）在图②中，点E 即为所求；点C 下移三个单位得到点连接MN ，得到CME ∽△△32CE CM BE BN ==∴，∴ABE S V ：2ACE S =V ：3（3）在图③中，点F 即为所求．由图可知，6AC =，AB =12ABC S =∴△，∵ACF S △：ABF S △：BCF S =V 21238ACF S =´=∴△，ABF S =△【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形相似性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．3．（1）如图，4×4的正方形方格中，△ABC 的顶点A 、B 、C 在小正方形的顶点上．请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在小正方形的顶点上．并将此三角形涂上阴影（2）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹：我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．①如图1，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．②如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH（2）①如图1，点F 为所作；理由：因为三角形的三条中线交于同一点，四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点，∵E 是CD 的中点，根据三条中线交于同一点，连接BE 交AC 于P ，则点P 为三条中线的交点，作射线DP 交DP 于点F ，则点F 为BC 的中点；②如图2，找到格点D ，过A 点作AD 垂直AB ，再平移DA 得到CE ，则CE ⊥AB ，接着作MN 垂直AC ，平移MN 得到BF ，则BF ⊥AC ，BF 与CE 的交点O 为△ABC 的垂心，所以延长AO 交BC 于H ，则AH ⊥BC ，AH 为所作．理由：∵ABG DAKV V ≌∴GAB ADKÐ=Ð90GAB DAK ADK DAK \Ð+Ð=Ð+Ð=°∴90BAD Ð=°∴BA AD^平移AD 至CJ ，并延长，交AB 于点E ，∴CE AB^同理作出BF AC ^，,BF CE 交于点O根据三角形三条高所在的直线交于同一点，延长AO 交BC 于点H ，则AH 即为所求．【点睛】本题考查了画相似三角形：根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，也考查了三角形的重心和平行四边形的性质．4．在4*4的方格中，ABC V 的三个顶点都在格点上．(1)在图1中画出与ABC V 成轴对称且与ABC V 有公共边的格点三角形（画出一个即可）；(2)将图2中画一个与ABC V 相似的三角形．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）选取AC 所在的直线为对称轴作图即可；（2）保证每条边方向一致，且边长减小为原来的一半作图即可．【详解】（1）解：如下图所示，AB C ¢V 即为所求作的三角形；（答案不唯一）（2）如下图所示，DEF V 即为所求作的三角形；【点睛】本题考查轴对称作图与作相似图形，掌握两个图形关于某条直线对称的性质与相似三角形的性质是解题的关键．5．如图，ABC D 是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），请在正方形网格上按下列要求画一个格点三角形与ABC D 相似．(1)在图甲中画△111A B C ，使得△111A B C 的周长是ABC D 的周长的2倍；(2)在图乙中画出△222A B C ，使得△222A B C 的面积是ABC D 的面积的2倍．（1）A B C，即为所求；解：如图所示：△111（2）A B C，即为所求．解：如图所示：△222【点睛】此题主要考查了相似变换，正确得出对应三角形的边长是解题关键．6．如图，在8×8的正方形网格中，△ABC是格点三角形，请按以下要求作图．(1)在图1中画出格点△EDP，使得△EDP∽△ABC，且面积比为1；2(2)在图2中将△ABC绕着某格点逆向时针旋转90°得到格点△PFG，其中C与P对应．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用位似图形的性质，结合位似中心得出答案；（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．（1）如图，（案不唯一）（2）如图，【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．7．如图，在74´方格纸中，点A，B，C都在格点上（△ABC称为格点三角形，即格点△ABC），用无刻度直尺作图．(1)在图1中的线段AC上找一个点D，使25CD AC=；(2)在图2中作一个格点△CEF，使△CEF与△ABC相似．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据“8字形”相似，可得CD:AD=2:3，从而得出点D的位置；（2）根据∠ACB=90°，AC=2BC，即可画出△CEF．【详解】（1）解：如图1所示，点D即为所求，（2）如图2所示，△CEF即为所求，【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．8．如图，在7×6的正方形网格中，点A、B、C、D在格点（小正方形的顶点）上，从点A、B、C、D四点中任取三点，两两连接，得到一个三角形，请在所得的所有三角形中，写出互为相似的两个三角形及它们的相似比．∵AB=2221+=5，AC=∴55225ADBD==，ABCD=∴52 AD AB BDBD CD BC===，∴△ABD∽△DCB，相似比9．如图，在5×5的边长为1小的正方形的网格中，如图1△ABC和△DEF都是格点三角形（即三角形的各顶点都在小正方形的顶点上）．(1)判断：△ABC与△DEF是否相似？并说明理由；(2)在如图2的正方形网格中，画出与△DEF相似且面积最大的格点三角形，并直接写出其面积．【答案】(1)相似，见解析(2)图见解析，面积为5【点睛】此题考查了作图—相似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握相似变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．10．按要求作图，无需写作法：图①图②(1)如图①，已知∠AOB，OA=OB，点E 在OB 边上，四边形AEBF 是平行四边形，只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB 的平分线．(2)如图②，在边长为1个单位的方格纸上，有△ABC，请作一个格点△DEF，使它与△ABC相似，但相似比不能为1．Q即为所求\11．如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中画等腰△ABC ，使得∠CAB ＝90°；(2)在图②中画等腰△DEF ，使△ABC ∽△DEF ：1．10AB =Q ,10AC =,25BC =,5,5,10DE DF EF ===,21AB AC BC DE DF EF \===．\△ABC ∽△DEF ，且相似比为2：1．【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，掌握勾股定理与相似三角形的性质是解题的关12．图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A 、B 、C 、D 、E 、P 、Q 、M 、N 均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中，画线段AB 的中点F ．(2)在图②中，画CDE V 的中位线GH ，点G 、H 分别在线段CD 、CE 上，并直接写出CGH V 与四边形DEHG 的面积比．(3)在图③中，画PQR V ，点R 在格点上，且PQR V 被线段MN 分成的两部分图形的面积比为1：3．【答案】(1)见解析(2)见解析，面积比为1：3(3)见解析【分析】（1）根据网格的特点，找到,A B 之间单元网格的对角线，交AB 于点F ，则点F 即为所求；（2）根据（1）的方法找到,CD CE 的中点,G H ，连接GH ，根据相似三角形的性质即可求出CGH V 与四边形DEHG 的面积比；（3）根据（2）的结论，可知，只要MN 经过PQR V 的中位线，根据R 在网格上，找到符合题意的点R 即可求解．(1)如图①：13．如图，已知ABC V 和点O ．(2)用无刻度的直尺，在AC边上画出点P，使23PAPC=（要求保留作图痕迹，不写作法）．（2）解：如图，取网格点E、F，连接EF交AC14．如图，ABC V 是格点三角形（三角形的三个顶点都在格点上），每个小正方形的边长均为1．(1)在图（1）中将ABC V 绕点C 逆时针旋转90°，得到CDE V ．(2)在图（2）中找格P ，使以格点P 、C 、B 为顶点的三角形与ABC V 相似，但不全等，请画出一个符合条件的三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）找到旋转角度、旋转中心、旋转方向后可得出各点的对应点，进而顺次连接即可得出答案；（2）可找能使PCB V 是直角三角形且2PB BC =或2PC BC =的P ．(1)所作图形如下：(2)【点睛】本题考查旋转作图及相似三角形的性质，明确旋转角度、旋转中心、旋转方向是解本题的关键．15．如图是由边长为1的小正方形构成的69´网格，各个小正方形的顶点叫做格点．△ABC 的顶点在格点上，边BC 上的点D 也是一个格点．仅用无刻度的直尺在定网格中画图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中，先画出AC 的平行线DE 交AB 边于点E ，可在BC 边上画点F ，使ACF BCA ∽△△；(2)在图2中，先在边AB 找点M ，使△MDC 与△MAC 的面积相等，再在AC 上画点N ，使△CDN 的面积是△ABC 的面积的三分之一．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据格点特点画出AC 的平行线即可；根据格点特点作MA ⊥AC ，连接MC ，则△AMC16．如图，在6×7的矩形网格中，我们把顶点都在格点上的多边形称为格点多边形，点A，B，C 均在格点上，按下面要求画出格点三角形．(1)在图1中，画一个△ABD，使得△ABD与△ABC全等．(2)在图2中，画一个△ACE，使得S△ABC＝3S△ACE，且点E不在边BC上．注：图1，图2在答题纸上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）运用三角形全等判定定理SSS，在网格上构造△ABD与△ABC全等．（2）△ACE与△ABC共顶点A，因此考虑两个三角形在以A为顶点的高线相等的情况下，构造3CE=BC，从而满足S△ABC＝3S△ACE．（1）解：（2）解：【点睛】本题考查三角形全等判定定理，三角形面积计算方法，找到相应的作图依据是解题关键．17．如图，在7×8的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺完成下列作图：(1)在AC上画点E，使AE=3CE；(2)在AB上画点D，使AD=CD；(3)在BC上画点F（不与B重合），使AF^BC．(4)在AB上画点P，使tan13 ACPÐ=．(2)如图，取格点,P Q，连接PQ，交AC于点M，Q=∥,AP CQ AP CQ\APM CQM∽V VAM AP\=1=MC PQ\=AM MCM，连接根据网格的特点作正方形，同理取中点1则DM是AC的垂直平分线，\=．DA DC(3)如图，方法同（2）作正方形BXYC ，作AZ ∥(4)如图，同方法（3）作正方形，作EE AC ¢^，同方法（连接1KK 交EE ¢于点S ，作射线CS 交AB 于点13,44AE AC CE AC ==Q ，1tan 3SE ACP EC \Ð==．【点睛】本题考查了网格中无刻度直尺作图，相似三角形的性质，正方形的性质，根据相似三角形的性质确定线段的长度是解题的关键．18．如图，在6×10的方格纸ABCD中有一个格点△EFG，请按要求画线段．(1)在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与FG的一边垂直．(2)在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连结MN，使△EMN和△EFG的相似比为2：5．（保留作图痕迹）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意找到格点,P Q，画出线段PQ即可（1）如图所示，PQ即为所求，19．请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）(1)在图1中画出线段AB的中垂线AC CB=．(2)如图2，在线段AB上找出点C，使:1:2\点C 即为所求，如图所示：【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，相似三角形的应用，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题．20．如图在5×5的网格中，△ABC 的顶点都在格点上．（仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）(1)在图1中画出△ABC 的中线AD ；(2)在图2中画线段CE ，点E 在AB 上，使得ACE S V ：BCE S V ＝2：3；(3)在图3中画出△ABC 的外心点O ．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）由题知BO =CO ，取两个格点F 、G 构造CFD BGD △≌△，即可得中点D ．（2）由ACE S V ：BCE S V ＝2：3得AE ：BE =2∶3，取格点H 、J ，构造△∽△AHE BGE ，且相似比为2∶3，即可得到E 点．（3）由O 为△ABC 的外心知O 为AB 、AC 的中垂线的交点，作出两条中垂线，交点即为O ．（1）如图1中，取格点F 、G ，连接FG 交BC 于点D ，线段AD 即为所求．（2）如图2中，取格点H 、J ，连接HJ 交AB 于点E ，线段CE 即为所求．（3）如图3中，取格点K 、L 、M 、N ，连接KL 、MN 交于点O ，则点O 为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．21．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A ，B ，C 均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上．(1)在图1中以线段AB 为边画一个ABD △，使其与ABC V 相似，但不全等．(2)在图2中画一个EFG V ，使其与ABC V 相似，且面积为8．（2）如图，△EFG 即为所求．【点睛】本题考查作图-相似变换，三角形的面积，全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．22．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法）．(1)在图①中，在线段AB 上找到一点E ，使AE BE＝23；(2)在图②中，画出一个以A 、B 、C 为顶点的三角形，且cos ∠BAC (3)在图③中，画出一个四边形ACBD ，使其既是中心对称图形，又是轴对称图形，且邻边之比为12，C 、D 为格点．【答案】(1)见解析(2)见解析（2）V即为所求；如图所示，ABC（3）如图所示即为所求作【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相关知识与性质．。
相似三角形的判定十大题型
在△BPG 中，∵∠B＝45°，
∴∠AGB＝∠CPF，
∴∠BPG+∠BGP＝135°，
∵∠B＝∠C，
∴∠BGP＝∠CPF，
∴△PBG∽△FCP．
∵∠B＝∠C，
∴△PBG∽△FCP；
【题型4 利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】
【例 4】四边形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，连接 DE，CE． （1）若∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，找出图中的相似三角形，并说明理由； （2）若四边形 ABCD 为矩形，AB＝5，BC＝2，且图中的三个三角形都相似，求 AE 的 长． （3）若∠A＝∠B＝90°，AD＜BC，图中的三个三角形都相似，请判断 AE 和 BE 的数 量关系并说明理由．
解：（1）∵D、E 分别是 AC、BC 的中点， ∴DE∥AB，DE= 12AB＝5， ∵DE∥AB， ∴∠DEC＝∠B，而∠F＝∠B， ∴∠DEC＝∠F， ∴DF＝DE＝5； （2）∵AC＝BC， ∴∠A＝∠B， ∵∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B， ∴∠CDE＝∠B， ∵∠B＝∠F， ∴∠CDE＝∠F， ∵∠CED＝∠DEF， ∴△CDE∽△DFE．
出发，问在运动 5 秒钟内，以点 D，A，E 为顶点的三角形何时与△OCD 相似？（只考
虑以点 A、O 为对应顶点的情况）
解：（1）C（3，4），D（9，4）；
（2）易知：OB＝AB＝10；
∵C 点坐标为（3，4），
∴点 C 到 x 轴的距离为 4
①当点 D 在线段 OA 上，即 0＜t≤6 时，OD＝2t；
则：S=
12OD×4=
1 2
×2t×4＝4t；
②当 D 在线段 AB 上，即 6≤t＜11 时，BD＝OA+AB﹣2t＝22﹣2t；
相似三角形的性质与判定
图 22－4
图 22－5
第22课时┃ 相似三角形的性质与判定
例 5 如图 22－6，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点 均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点 P 所在的格点为( C )
A．P1
B．P2
图 22－6 C．P3 D．P4
考点●3 平行线分线段成比例定理
基本 两条直线被一组平行线所截，所得
事实
的对应线段成比例
平行于三角形一边的直线截其他
推论 两边(或两边的延长线)，所得的对 应线段_成__比__例___
第22课时┃ 相似三角形的性质与判定
考点●4 相似三角形的判定
判定 平行于三角形一边的直线和其他
定理 两边相交，所构成的三角形与原三
S△ABC
A.12
B.23
C.45
D.49
图 22－3
第22课时┃ 相似三角形的性质与判定
热考3 相似三角形判定的应用
例 4 如图 22－4，点 P 是以 O 为圆心，AB 为直径的半圆的 中点，AB＝2，等腰直角三角板 45°角的顶点与点 P 重合，当此 三角板绕点 P 旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径 AB 分 别相交于 C，D 两点．设线段 AD 的长为 x，线段 BC 的长为 y，则
热考2 相似三角形性质的应用
例 2 在某一时刻，测得一根高为 2 m 的竹竿的影长 为 1 m，同时测得一栋建筑物的影长为 12 m，那么这栋 建筑物的高度为___2_4____m.
第22课时┃ 相似三角形的性质与判定
例 3 如图 22－3，在△ABC 中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，
则S△ADE的值为( D )
3.3相似三角形的性质和判定
AD 求 DB
A D B E
C
例.四边形DEFG是△ABC 的内接矩形.AM⊥BC，若 DG=2DE,AM=18,BC=20,求 矩形的周长。
A
AN DG AM BC
D B E
N
G
C M F
相似三角形的判定定理1:
三边对应成比例的两个三角 形相似. 相似三角形的判定定理2:
两角对应相等的两个三角形 相似.
2
E
3 2
C
B
相似三角形的判定定理1:三边对应成比 例的两个三角形相似.
相似三角形的判定定理2:两角对应相 等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理3:两边对应成 比例且夹角相等的两个三角形相似.
斜边和一条直角边对应成比例 的两个直角三角形相似.
练一练
Rt△ABC与Rt△DEF中， AB=8，CB=10,∠A=90°， DE=4，FE=5，∠D=90°， 则这两个直角三角形（ ） 相似
若找不到相等的角，则判断三边是否对 应成比例。
常见图形归纳：
A D B E
E A B E A
1
A D C
B
D
A D2 1 B E C
①
A D2
C
②
C
D C
③
④
B
⑤
B C
⑥
每个基本图形两个三角 形相似的条件:图①② 为DE//BC;图③为 ∠ACB=Rt∠,CD⊥AB;图 ④⑤为 ∠1=∠B,∠2=∠C;图⑥ 为∠C=∠D或∠B=∠E
练一练
AE 1.若 AB
F A E
则△AEF∽△ABC
B
C
AF AC
练一练
2.请你填入一个比例 式，使△ACD∽△BCA
在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形的基本方法
在最近的年份间，在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形的基本方法受到了广泛的关注。
随着技术的发展，众多的研究者和机构着手研究这一技术，并且取得了巨大的进步。
正方形网格中画面积最大的格点相似三角形的方法在工程、设计以及建筑领域都有着广泛的应用，在实现对三角形形状面积进行最优化的过程中发挥了重要的作用。
首先，在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形，必须先确定正方形的参数，考虑网格的大小，以及划分的粒度等。
这是为了在确定三角形的面积大小时要充分考虑到参数的变化情况。
然后，在正方形网格中选出三个点，计算出三个点的距离，再结合三角形的相似原理，以最大面积的方式画出三角形。
此外，在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形，还需要考虑三角形的位置，即角度和边长。
必须考虑网格的结构以及三角形的角度以及边长，确保相似三角形的准确性及面积最大化。
另外，在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形，在计算三角形面积时也需要考虑长方形的位置，以最大面积的方式画出长方形，有助于将最大面积的三角形面积转换为最大面积的正方形面积。
最后，在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形，需要考虑三角形的形状。
由于格点是正方形，所以三角形的形状必须与正方形的形状保持一致，因此，需要调整三角形的形状，以实现最大面积的三角形。
方法包括确定正方形的参数、选出三个点、考虑三角形的位置以及角度、考虑三角形的形状等。
这些步骤的完成有助于在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形，在实现对三角形形状面积进行最优化的过程中发挥了重要作用，同时也提高了网格在工程、设计以及建筑领域的应用价值。
相似三角形的判定一
ABC DEF相似三角形的判定(一)掌握相似三角形的判定方法：1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
2、如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
3、如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
4、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 重点难点:相似三角形判定条件 【知识点回顾】 相似三角形的判定 1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
即：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
即：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例1、△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2=AD •AB ，那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理由．例2、如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形。
（1）当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时，△ACP ∽△PDB ？ （2）当△ACP ∽△PDB 时，求∠APB 的度数。
判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．不相似，请说明理由。
，求出相似比；如果它们相似吗？如果相似，和如图在正方形网格上有222111A C B A C B ∆∆例1、如图，方格纸上的每个小正方形的边长都为1，下列图中的三角形与右图中的△ABC 相似的是（）。
例2、如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=3，CD=6，AC=4，DA=8.AC平分∠BAD 吗？为什么？例3、方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点之间的连线为边的三角形叫做格点三角形。
相似三角形(含练习有答案、 例题和知识点)
第27章：相似一、基础知识(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：（2）合比定理：（3）等比定理：3.黄金分割：如图，若，则点P为线段AB的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4.相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等.（2）相似三角形的周长比等于相似比.（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
(三)位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。
这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似位似比二、经典例题例1.如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．（1）填空：∠ABC=______，BC=_______．（2）判定△ABC与△DEF是否相似？[考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.[参考答案] ①135°，2 ②能判断△ABC与△DEF相似，∵∠ABC=∠DEF=135°，=【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断．例2. 如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．[考点透视]本例主要是考查相似的判定[参考答案] ∠1=∠B或∠2=∠C，或点评：结合判定方法补充条件．例3. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（ ）A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米[考点透视]本例主要是考查相似的应用[参考答案] B【点评】在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中“”．例4. 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？[考点透视]本例主要是考查相似的实际应用[参考答案] 48mm【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问题，一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答．例5.如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由．[考点透视]本例主要是考查相似与函数的综合运用.[参考答案]解:在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°，∠ABC=∠ACB=75°，∠ABD=∠ACE=105°．又∠DAE=105°，∴∠DAB+∠CAE=75°．又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°，∴∠CAE=∠ADB，∴△ADB∽△EAC，∴，∴y=．当α1β满足β- =90°，y=仍成立．此时∠DAB+∠CAE=β-α，∴∠DAB+∠ADB=β-α，∴∠CAE=∠ADB．又∵∠ABD=∠ACE，∴△ADB∽△EAC，∴y=．【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系．例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答．[考点透视]本例主要是考查位似的性质.[参考答案] m【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质．三．适时训练（一）精心选一选1．梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（ ）（A） （B） （C） （D）2．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则（ ）（A）△AED∽△BED（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD（D）△BAD∽△BCD题2 题4 题53．P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条4．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）55．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（ ）（A）∠APB＝∠EPC （B）∠APE＝90°（C）P是BC的中点（D）BP ︰BC＝2︰36．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：（1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）＝；（4）AB2＝BD·BC其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（ ）（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个题6 题7 题87．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（ ）（A）AE⊥AF （B）EF︰AF＝︰1（C）AF2＝FH·FE （D）FB ︰FC＝HB︰EC8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（ ）（A）△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长（B）△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积（C）△ABE∽△DEC（D）△ABE∽△EBC9．如图，在□ABCD中，E为AD上一点，DE︰CE＝2︰3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于（ ）（A）4︰10︰25 （B）4︰9︰25 （C）2︰3︰5 （D）2︰5︰25题9 题10 题1110．如图，直线a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则AE︰EC为（ ）．（A）5︰12 （B）9︰5 （C）12︰5 （D）3︰2 11．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC︰CD为（ ）（A）2︰1 （B）3︰2 （C）3︰1 （D）5︰212．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9 cm，宽AB＝3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（ ）（A）4 cm、cm （B）5 cm、cm（C）4 cm、2 cm （D）5 cm、2 cm题12（二）细心填一填13．已知线段a＝6 cm，b＝2 cm，则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm，a＋b与a－b的比例中项是_____cm．14．若＝＝＝－m2，则m＝______．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_______．16．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______．题16 题17 题1817．如图，AB∥CD，图中共有____对相似三角形．18．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF ＝4，则DE的长等于________．题19 题20 题2120．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE ＝15，则△ABC的面积是______．21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD面积是_________．22．如图，已知AD∥EF∥BC，且AE＝2EB，AD＝8 cm，AD＝8 cm，BC＝14 cm，则S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝____________．(三)认真答一答23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．24.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，求证＝．25.如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使得CD＝BC，CE⊥BD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AF＝FC．26.已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．求证：＋＝1．27.如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．28.如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB．求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）．29.如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．30.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，CA＝8 cm，动点PC出发，以每秒2 cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使S△BCP＝S△ABC31. 如图，小华家（点A处）和公路（L）之间竖立着一块35m长且平 行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）．32. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，试问：△AOB和△DOC是否相似？某学生对上题作如下解答：答：△AOB∽△DOC．理由如下：在△AOB和△DOC中，∵AD∥BC，∴，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC．请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由．33. 如图：四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，①过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：；②如图：若过BD上另一点E作BD的垂线交BA、BC延长线于F、G，又有什么结论呢？你会证明吗？34.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.35. （1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。
在方格中如何求相似的格点三角形
图3Leabharlann 探究4： 除了上面找的 2个外， 还有没有和△A BC 相似的格点三角形呢？ 要是按照取面积最小的找法，肯定很麻烦且不 可取。 我们假设最长边4 √ 5 的对应边为 √ a ， 根据 6 4 5 2 5 相 似 比 √ = √ = ，得 另 两 边 为 √ a 和 x y 2 √a √ a 和 3 √5a 三边 构 成 格 点 三角 形， 则 a必 √a、 2 10 3 √ 5a 。由 于 √ a = 10 2
A
设A B= √a2+x2 ， 当 a+ BC= √b 2+y2 ， A C= √c 2+z 2 ， （a， 三边恰好能构成格点三角形 b=c 且x+y=z 时， b， c， 且没有顺序要求） x， y， z 均为非负整数， A D=a+b ， BE=b ， CE=y， BC= √b 2+y2 ， 根据图 形 得 ： 由于a+b=c ， 则A C= √c 2+z 2 正 好构 成 CD=x+y， x+y=z ， 。 △A BC
教师结合学生的接受能力把问题设计得层层递进力求让数学概念自然生成在思考这些问题的过程中学生体会到了数学知识间的紧密联系经历了数学概念的生成过程自然能够很好地理解这一数学概念后面的知识应用环节也进行得非常顺利
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备考方略
在方格中如何求相似的格点三角形
■ 耿冀平
原 题 ： 已 知 △A BC 中， A C=2 √ 5 A B=4 √ 5 ， BC=6 （1） 如图 1， 点 M 为 A C 的中 点 ， 在线 段 A B 上 取点 使△A MN与△A BC相似， 求线段MN的长 N， 作出和△A BC相似且面 （2） 在给定的方格纸中， 并求出 积最大的格点三角形， 请你画出其中的一个， 它的面积 （注： 格点三角形是指以小正方形的顶点为 顶点的三角形） （1） 也 就 是我 们 分析： 注意找到 两 种 对 应 相似 ， “正A ” 通常所说的 和 “反A ” 型的相似。 在中考中时常会 （2） 这问是个操作且设计性题， 这个三角形怎么去确 出现。 很多学生一时无从下手， 定呢， 既要相似， 又要面积最大。方格中画格点三角 形要通过计算和设计得出的，这就考查了学生的综 合能力。 探究1： 给定三条线段都能构成格点三角形吗？ 2.情境2： 教师提问：我们知道二元一次不等式组确定一 个平面区域， 运用这一知识点能否解决这一思考题？ 怎么确定4x+2y的取值范围呢？ 教师追问： 促进 设计意图： 引出线性目标函数的几何意义， 学生 加 深 理 解 二 元 一 次 不 等 式 组对 两 个 变 量 的 制 约， 进而理解线性规划问题的概念。 (二)案例分析 本案例通过设置疑惑陷阱的情境，引起学生的 思想冲突， 引发学生思维的碰撞， 促使学生进行辨析 反思，进而理解数学概念是怎样生成的。在此基础 在实 际 问题 上， 教师联系上节内容， 引出本节知识， 情境中应用本节知识， 学生体会到数学是很有用的， 事半功倍。 加大了学习的兴趣和积极性， (三)启发和反思 教师要合理创设情境， 在情境中生成数学概念： 把数学概念的生成过程分解在一个个情境中，通过 调动学生学习的兴趣； 通 情境烘托良好的课堂氛围， 通过情境， 过情境， 设置疑问， 激发学生学习的动机； 引起思维冲突， 促进学生主动思考问题， 主动寻求解 学习 决问题的方法。 学生学习的积极性调动起来了， 效果自然就好了。 ， 揭 示 数 学概 念 总说 “授之以鱼不如 授 之以 渔” 的生成过程就是 “渔” ， 要揭示数学 概 念 的生成过程 多一点精心预 设 ， 就能 够 有很多方法， 教师要相信， 多一份惊喜发现。 参考文献: 1.中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课 程标准 ［S］ 人民教育出版社， .北京： 2003. 2.济南市教研室.高中新课程教学启示录数学案 例分析 ［M］ 山东教育出版社， .济南： 2005. 作者 单位:河南省洛阳市第十二中学) (
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格点相似三角形
在方格纸中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，以网格为背景的相似三角形问题，在中考试题中时有出现．解决格点三角形相似问题，要依据网格的特征，并结合相似三角形的有关判定方法去思考．
例1（安徽省）如图1是一个10×10格点正方形组成的网格．△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面两个问题:
在图2中画出与△ABC相似的格点△ABC和△ABC，且△ABC与△ABC的相似121121112 2．ABC 的相似比是△ABC与△比是2，2222
析解：要作与△ABC相似的三角形，首先找到△ABC的特征，AB=BC=2，∠B=90°，因为△ABC与△ABC的相似比是2，所以AB=BC=4，∠B=90°；因为△ABC与△ABC21121111211
2AB?BC?2，∠B=90°．所作的三角形如图2的相似比是所示．．所以22222评注：作已知三角形的相似三角形的关键是确定已知三角形的特征，根据条件找到要作三角形的对应特征．本题也可以从三边对应成比例考虑作相似三角
形．
DEF△ABC和4×4的正方形方格中，△，例2（台州市）如图3在1的小正方形的顶点上．的顶点都在边长为=_____；=_____°，BC（1）填空：∠ABC 是否相似，并说明你的结论．△DEFABC（2）判断△与
析解：本题是一道和网格有关的相似三角形探索题．
以，EBC，ABE知形察，度ABC角）（1求∠的数观图可∠=90°∠=45°所- 1 -
∠ABC=90°+45°=135°；
22?2?2BC?22．根据网格的特征，利用勾股定理可得
（2）要判断△ABC和△DEF是否相似，则应根据三角形相似的判定方法，从对应边ABBC
??2，所，以为∠ABC =∠DEF = 135°入比成例，对应角相等手．因DEEF△ABC ∽△DEF．评注：说明网格中的三角形相似，一般根据三边对应成比例，或
两边对应成比例、夹角相等进行推理．、甲、乙、丙、丁、PQ，若例3（资阳市）如图4A、B、C、乙、丙、应是甲、，则点都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABCR ）丁四点中的（
Ａ．甲Ｂ．乙Ｄ．丁Ｃ．丙
10BC??AC，则∽△PQR，=4，要使△ABC，PQ=2析解：从已知条件可知AB BCAB?，QRPQ10210210?QR2?RQ即，通过计算可得点，可求得，所以到丙的距离为QR4 C应是点丙，选．根据相似三角形的对应边成比例计ABC△的各边的长，根据直角三角形计算出评注：QR算出的长是解决问题的关键．还有其它方法，请同学们自己探讨．- 2 -
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