积分学小结——二重积分、三重积分,线积分、面积分
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D
(2) 曲面积 设S曲面的方程为： z f ( x , y ). 曲面S的面积为 A 1
Dxy z 2 x
dxdy;
z 2 y
三重积分的计算
先一后二（穿线法）:
闭区域 在 xoy 如图， 面上的投影为闭区域D, S1 : z z1 ( x , y ), S2 : z z2 ( x , y ),
D
曲线积分 当 R2上平面曲线L时, f ( M )d f ( x , y )ds.
L
曲线积分 当 R 上空间曲线时, f ( M )d f ( x , y, z )ds. 3
曲面积分
当 R3上曲面S时, f ( M )d f ( x , y , z )dS .
y x2 L
1 (1 4x 2 ) 12 1 ( 5 5 1) 12
x d x d y d z
x d x
0 1
1 (1 x ) 2
0
0
1 x 2 y
dz
(1 x 2 y )d y
1 1 1 2 3 ( x 2 x x )d x 4 0 48
(２) 柱面坐标
x r cos , y r sin , z z.
dv rdrddz,
f ( x, y, z )dv
f ( r cos , r sin , z )rdrddz.
(３) 球面坐标
x r sin cos , y r sin sin , z r cos .
dv r 2 sindrdd ,
rR
2 0
( x 2 y 2 z 2 )d xd yd z
0 4 sin d
4
d
R 4 r dr 0
x
o
y
1 R 5 (2 2) 5
dv r 2 sin dr d d
曲线积分
对弧长的曲线积分
定 义 联 系
对坐标的曲线积分
L
f ( x , y )ds lim f ( i , i )si
Pdydz Qdzdx Rdxdy
( P cos Q cos R cos )dS
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系（牛顿--莱布尼茨公式）
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
( F ( x ) f ( x ))
2.二重积分与曲线积分的联系（格林公式）
1 ( x ) y 2 ( x ).
特点： 平行于y轴的直线与区域边界交点不多于两个.
y y=2(x)
y=1(x) o a x b x
f ( x , y )dxdy a dx ( x )
D
1
b
2 ( x)
f ( x , y )dy .
例1. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y
x2+y2 1
D*: 0 r 1, 0 2
0
x
D
1 x 2 y 2 dxdy
d 1 r 2 cos2 r 2 sin 2 rdr
0 0
2
1
d 1 r rdr
2 0 0
2
1
1 1 2 2 2 [ 1 r d (r )] 2 0
z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz].
面及平面 x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
例1. 计算三重积分 xd xd yd z , 其中 为三个坐标
0 z 1 x 2y 解: : 0 y 1 (1 x) 2 0 x 1
S
计算上的联系
f ( x, y )d [
D a
b
y2 ( x )
y1 ( x )
f ( x , y )dy ]dx , (d面元素)
dy
z2 ( x , y )
f ( x, y, z )dV
b
a
dx
y2 ( x )
y1 ( x )
z1 ( x , y )
LPdx Qdy
[ P (, y ) Q(, y )y]dt
f [ ,y ] y dt
算
三代一定
( )
二代一定 (与方向有关)
各种积分之间的联系
计算 曲线积分 计算 二重积分 定积分
二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分
D1
d
2 ( )
1 ( )
f ( r cos , r sin )rdr .
例3.求
D
1 x 2 y 2 dxdy , 其中D：x2+y2 1
解： 一般 , 若 D 的表达式中含有 x2+y2 时，考虑用
极坐标.
令x=rcos, y=rsin, 则 x2+y2 1的极坐标方程为r = 1. 由(2)
D
y＝x 所围的闭区域.
1 y x 解：将D看作X - 型区域, 则 D : 1 x 2
y
x 2 2 x 1 I d x x yd y 2 x y d x 1 1 1 1 2 9 3 1 1 2 x 2 x d x 1 8
2
2y x 1
2 (1 r ) 3
2 3
另由几何意义：
D
31 2 2 0
1 2 1 x y d (单位球体积) 2 3
2 2
重积分的应用
(1)体积
以曲面 z f ( x, y) 为顶，以区域 D 为底的柱体 的体积为
V f ( x , y )dxdy.
0
i 1
n
定积分 当 R1上区间 [a, b]时, f ( M )d f ( x )dx.
a
b
二重积分 当 R2上区域D时, f ( M )d f ( x , y )d . 三重积分 当 R3上区域时, f ( M )d f ( x , y, z )dv
转化
计算定积分
计算方法：
（一）如果积分曲线为：
则
L
f ( x, y ) d s f [ (t ) , y (t )] 2 (t ) y 2 (t ) d t
(二）如果曲线 L 的方程为
则
f ( x,y ( x) ) 1 y 2 ( x) d x
a
b
（三）如果曲线 L 的方程为
例2
改变积分 dx
0
1
1 x
0
f ( x , y )dy的次序.
解 积分区域如图
y 1 x
原式 dy
0
1
1 y
0
f ( x , y )dx .
（２）极坐标系下
D1 : ,
1 ( ) r 2 ( ).
f (r cos , r sin )rdrd
过点 ( x , y ) D 作直线, 从 z1 穿入，从 z2 穿出．
x
b
z
z z2 ( x , y )
z2 S 2
z1
S1
z z1 ( x , y )
a
o
( x, y)
D
y
y y2 ( x )
y y1 ( x )
F ( x, y )d dxdy[
D D
z2 ( x , y )
则
f ( ( y ), y )
c
d
1 y 2 ( x) d x
例1. 计算
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0)
与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: L : y x 2 ( 0 x 1 )
x x 1 4 x 2 dx
0 0 1
1
y
B(1,1)
1 1 xa dx ln | | C x2 a2 2a xa
(18)
tan xdx ln | cos x | C
(19)
cot xdx ln | sin x | C
积分概念的联系
f ( M )d lim f ( M ) i , f ( M )点函数
f ( x, y, z )dxdydz
2 f ( r sin cos , r sin sin , r cos ) r sindrdd .
例. 计算三重积分
与球面
其中
所围立体.
z
解: 在球面坐标系下
0r R : 0 4 0 2
cos xdx sin x C
(12)
ax (13) a dx C ln a
x
(14)
1 1 x dx arctan C a2 x2 a a
(15)
(16 )
(17 )
Leabharlann Baidu
1 a2 x2
dx arcsin
x C a
1 1 ax dx ln | | C a2 x2 2a ax
O
1 x2 x
Y－型区域为：
c yd D ( x, y ) y 1 ( y) x y 2 ( y)
y
特点：平行于x轴的直线与区域边界交点不多于两个.
d
x=y1(y)
x=y2(y)
c
x
y
y 2 ( y)
1 ( y)
f ( x, y ) d x
例1. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
f ( x , y , z )dz , (dV体元素)
L
f ( x , y )ds f [ x , y( x )] 1 y 2 dx , (ds线元素(曲))
a
b
L f ( x, y )dx a
b
f [ x , y( x )]dx , (dx线元素(投影))
f ( x, y, z )dS f [ x, y, z( x, y)]
基本积分表
(1)
kdx kx C
( k 是常数)
(7)
sin xdx cos x C
1 dx x 2 ( 8 ) sec xdx tan x C ( 2) x dx C ( 1) 2 cos x 1 dx dx 2 ( 9 ) csc xdx cot x C ( 3) ln | x | C 2 sin x x
Dxy
1 z x z y dxdy
( dS面元素(曲))
2
2
R( x , y , z )dxdy f [ x , y , z ( x , y )]dxdy D
xy
(dxdy面元素(投影))
其中
L Pdx Qdy L ( P cos Q cos )ds
Q P ( )dxdy Pdx Qdy (沿L的正向) L x y D
3.三重积分与曲面积分的联系（高斯公式）
P Q R ( )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z
取的外侧
X-型区域：a x b,
D
y＝x 所围的闭区域.
1 y 2 解法2. 将D看作Y - 型区域, 则 D : y x 2
I
2
2
1
2 2 2 2 1 d y x yd x 2 x y dy 1 y y
y
1
2y 1 2
9 y dy 8
3
2 yx 1
O
1 2x
0 i 1
n
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
n 0 i 1
lim [ P ( i , i )xi Q( i , i )yi ]
L Pdx Qdy L ( P cos Q cos )ds
L
计
f ( x , y )ds
2 2
1 ( 4) dx arctan x C 2 1 x
(10) (11)
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx
x x e dx e C
( 5)
1 dx arcsin x C 2 1 x
csc x C
( 6)
(2) 曲面积 设S曲面的方程为： z f ( x , y ). 曲面S的面积为 A 1
Dxy z 2 x
dxdy;
z 2 y
三重积分的计算
先一后二（穿线法）:
闭区域 在 xoy 如图， 面上的投影为闭区域D, S1 : z z1 ( x , y ), S2 : z z2 ( x , y ),
D
曲线积分 当 R2上平面曲线L时, f ( M )d f ( x , y )ds.
L
曲线积分 当 R 上空间曲线时, f ( M )d f ( x , y, z )ds. 3
曲面积分
当 R3上曲面S时, f ( M )d f ( x , y , z )dS .
y x2 L
1 (1 4x 2 ) 12 1 ( 5 5 1) 12
x d x d y d z
x d x
0 1
1 (1 x ) 2
0
0
1 x 2 y
dz
(1 x 2 y )d y
1 1 1 2 3 ( x 2 x x )d x 4 0 48
(２) 柱面坐标
x r cos , y r sin , z z.
dv rdrddz,
f ( x, y, z )dv
f ( r cos , r sin , z )rdrddz.
(３) 球面坐标
x r sin cos , y r sin sin , z r cos .
dv r 2 sindrdd ,
rR
2 0
( x 2 y 2 z 2 )d xd yd z
0 4 sin d
4
d
R 4 r dr 0
x
o
y
1 R 5 (2 2) 5
dv r 2 sin dr d d
曲线积分
对弧长的曲线积分
定 义 联 系
对坐标的曲线积分
L
f ( x , y )ds lim f ( i , i )si
Pdydz Qdzdx Rdxdy
( P cos Q cos R cos )dS
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系（牛顿--莱布尼茨公式）
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
( F ( x ) f ( x ))
2.二重积分与曲线积分的联系（格林公式）
1 ( x ) y 2 ( x ).
特点： 平行于y轴的直线与区域边界交点不多于两个.
y y=2(x)
y=1(x) o a x b x
f ( x , y )dxdy a dx ( x )
D
1
b
2 ( x)
f ( x , y )dy .
例1. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y
x2+y2 1
D*: 0 r 1, 0 2
0
x
D
1 x 2 y 2 dxdy
d 1 r 2 cos2 r 2 sin 2 rdr
0 0
2
1
d 1 r rdr
2 0 0
2
1
1 1 2 2 2 [ 1 r d (r )] 2 0
z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz].
面及平面 x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
例1. 计算三重积分 xd xd yd z , 其中 为三个坐标
0 z 1 x 2y 解: : 0 y 1 (1 x) 2 0 x 1
S
计算上的联系
f ( x, y )d [
D a
b
y2 ( x )
y1 ( x )
f ( x , y )dy ]dx , (d面元素)
dy
z2 ( x , y )
f ( x, y, z )dV
b
a
dx
y2 ( x )
y1 ( x )
z1 ( x , y )
LPdx Qdy
[ P (, y ) Q(, y )y]dt
f [ ,y ] y dt
算
三代一定
( )
二代一定 (与方向有关)
各种积分之间的联系
计算 曲线积分 计算 二重积分 定积分
二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分
D1
d
2 ( )
1 ( )
f ( r cos , r sin )rdr .
例3.求
D
1 x 2 y 2 dxdy , 其中D：x2+y2 1
解： 一般 , 若 D 的表达式中含有 x2+y2 时，考虑用
极坐标.
令x=rcos, y=rsin, 则 x2+y2 1的极坐标方程为r = 1. 由(2)
D
y＝x 所围的闭区域.
1 y x 解：将D看作X - 型区域, 则 D : 1 x 2
y
x 2 2 x 1 I d x x yd y 2 x y d x 1 1 1 1 2 9 3 1 1 2 x 2 x d x 1 8
2
2y x 1
2 (1 r ) 3
2 3
另由几何意义：
D
31 2 2 0
1 2 1 x y d (单位球体积) 2 3
2 2
重积分的应用
(1)体积
以曲面 z f ( x, y) 为顶，以区域 D 为底的柱体 的体积为
V f ( x , y )dxdy.
0
i 1
n
定积分 当 R1上区间 [a, b]时, f ( M )d f ( x )dx.
a
b
二重积分 当 R2上区域D时, f ( M )d f ( x , y )d . 三重积分 当 R3上区域时, f ( M )d f ( x , y, z )dv
转化
计算定积分
计算方法：
（一）如果积分曲线为：
则
L
f ( x, y ) d s f [ (t ) , y (t )] 2 (t ) y 2 (t ) d t
(二）如果曲线 L 的方程为
则
f ( x,y ( x) ) 1 y 2 ( x) d x
a
b
（三）如果曲线 L 的方程为
例2
改变积分 dx
0
1
1 x
0
f ( x , y )dy的次序.
解 积分区域如图
y 1 x
原式 dy
0
1
1 y
0
f ( x , y )dx .
（２）极坐标系下
D1 : ,
1 ( ) r 2 ( ).
f (r cos , r sin )rdrd
过点 ( x , y ) D 作直线, 从 z1 穿入，从 z2 穿出．
x
b
z
z z2 ( x , y )
z2 S 2
z1
S1
z z1 ( x , y )
a
o
( x, y)
D
y
y y2 ( x )
y y1 ( x )
F ( x, y )d dxdy[
D D
z2 ( x , y )
则
f ( ( y ), y )
c
d
1 y 2 ( x) d x
例1. 计算
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0)
与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: L : y x 2 ( 0 x 1 )
x x 1 4 x 2 dx
0 0 1
1
y
B(1,1)
1 1 xa dx ln | | C x2 a2 2a xa
(18)
tan xdx ln | cos x | C
(19)
cot xdx ln | sin x | C
积分概念的联系
f ( M )d lim f ( M ) i , f ( M )点函数
f ( x, y, z )dxdydz
2 f ( r sin cos , r sin sin , r cos ) r sindrdd .
例. 计算三重积分
与球面
其中
所围立体.
z
解: 在球面坐标系下
0r R : 0 4 0 2
cos xdx sin x C
(12)
ax (13) a dx C ln a
x
(14)
1 1 x dx arctan C a2 x2 a a
(15)
(16 )
(17 )
Leabharlann Baidu
1 a2 x2
dx arcsin
x C a
1 1 ax dx ln | | C a2 x2 2a ax
O
1 x2 x
Y－型区域为：
c yd D ( x, y ) y 1 ( y) x y 2 ( y)
y
特点：平行于x轴的直线与区域边界交点不多于两个.
d
x=y1(y)
x=y2(y)
c
x
y
y 2 ( y)
1 ( y)
f ( x, y ) d x
例1. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
f ( x , y , z )dz , (dV体元素)
L
f ( x , y )ds f [ x , y( x )] 1 y 2 dx , (ds线元素(曲))
a
b
L f ( x, y )dx a
b
f [ x , y( x )]dx , (dx线元素(投影))
f ( x, y, z )dS f [ x, y, z( x, y)]
基本积分表
(1)
kdx kx C
( k 是常数)
(7)
sin xdx cos x C
1 dx x 2 ( 8 ) sec xdx tan x C ( 2) x dx C ( 1) 2 cos x 1 dx dx 2 ( 9 ) csc xdx cot x C ( 3) ln | x | C 2 sin x x
Dxy
1 z x z y dxdy
( dS面元素(曲))
2
2
R( x , y , z )dxdy f [ x , y , z ( x , y )]dxdy D
xy
(dxdy面元素(投影))
其中
L Pdx Qdy L ( P cos Q cos )ds
Q P ( )dxdy Pdx Qdy (沿L的正向) L x y D
3.三重积分与曲面积分的联系（高斯公式）
P Q R ( )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z
取的外侧
X-型区域：a x b,
D
y＝x 所围的闭区域.
1 y 2 解法2. 将D看作Y - 型区域, 则 D : y x 2
I
2
2
1
2 2 2 2 1 d y x yd x 2 x y dy 1 y y
y
1
2y 1 2
9 y dy 8
3
2 yx 1
O
1 2x
0 i 1
n
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
n 0 i 1
lim [ P ( i , i )xi Q( i , i )yi ]
L Pdx Qdy L ( P cos Q cos )ds
L
计
f ( x , y )ds
2 2
1 ( 4) dx arctan x C 2 1 x
(10) (11)
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx
x x e dx e C
( 5)
1 dx arcsin x C 2 1 x
csc x C
( 6)