高等数学微积分习题册上册答案
高等数学教材微积分课后答案
高等数学教材微积分课后答案第一章微积分基本概念1. 第一节课后习题答案1.1 单项选择题1. A2. B3. C4. D5. A1.2 填空题1. 42. 273. 184. 05. 21.3 解答题1. (a) 首先将函数对x求导，得到f'(x) = 6x^2 + 12x - 8。
令f'(x) = 0，解得x = -2和x = 2/3。
然后再带入原函数，得到f(-2) = 0和f(2/3) = -1/27。
因此，函数在x = -2和x = 2/3处取得极值，极大值为0，极小值为-1/27。
(b) 由于f'(x) = 6x^2 + 12x - 8 > 0，说明函数在(-∞, -2)和(2/3, +∞)上为增函数；当-2 < x < 2/3时，f'(x) < 0，说明函数在(-2, 2/3)上为减函数。
结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, -2)上递增，在(-2, 2/3)上递减，在(2/3, +∞)上递增。
2. 第二节课后习题答案2.1 单项选择题1. C2. A3. D4. B5. C2.2 填空题1. 82. 123. 04. -∞5. +∞2.3 解答题1. (a) 首先求函数的导数，得到f'(x) = 2e^x - 12x。
令f'(x) = 0，解得x = ln6。
然后带入原函数，得到f(ln6) = 4ln6 - 6ln^2(6)。
因此，函数在x = ln6处取得极值。
(b) 由于f'(x) = 2e^x - 12x > 0，说明函数在(-∞, ln6)上为增函数；当x > ln6时，f'(x) < 0，说明函数在(ln6, +∞)上为减函数。
结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, ln6)上递增，在(ln6, +∞)上递减。
第二章微分学中值定理1. 第三节课后习题答案1.1 单项选择题1. B2. D3. C4. A5. D1.2 填空题1. 42. 53. π/24. √35. 01.3 解答题1. 根据罗尔定理，首先证明f(x)在区间[0, 1]上连续。
微积分(上)练习参考答案
13. f ( x) + C
1 2 14. ln x 2
15. 2 ln x − ln x + C
17. ln | x | −
1 ln(1 + x 2 ) + C 2
f (c) − f (0) , c−0 由于点 C 在弦 AB 上,故有 f (c) − f (0) f (1) − f (0) = = f (1) − f (0) , 即 f ′(ξ1 ) = f (1) − f (0) . c−0 1− 0 同理可证,存在一点 ξ 2 ∈ (c,1) ,使得 f ′(ξ 2 ) = f (1) − f (0) , f ′(ξ1 ) =
1 2
1 > 0 .故由零点定 2
1 , 1) ,使 G (η ) = 0 ,即 f (η ) = η . 2
− λx
(2) 设 F ( x) = e
G ( x) = e − λx [ f ( x) − x] ,则 F ( x) 在 [0,η ] 上连续,在 (0,η ) 内可导,且 F ( 0) = 0 ,
F (η ) = e − λη G (η ) = 0 , 对 F ( x) 在 [0,η ] 上应用 Rolle 定理知, ∃ ξ ∈ (0,η ) ,使 F ′(ξ ) = 0 ,即 e − λx [ f ′(ξ ) − λ ( f (ξ ) − ξ ) − 1] = 0 ,
从而 f ′(ξ ) − λ[ f (ξ ) − ξ ] = 1 . 6. 因为 f ( x) 在 [0, c] 上满足拉格朗日中值定理,所以存在 ξ1 ∈ (0, c ) ,使得
《微积分》上册部分课后习题答案
《微积分》上册部分课后习题答案习题五（A）1．求函数 f x ，使 f ′ x x 23 x ，且 f 1 0 .解：f ′ x x 2 5x 6 1 5 f x x3 x 2 6 x C 3 2 1 5 23 f 1 0 6 C 0 C 3 2 6 15 23 f x x3 x 26 x 3 2 6 12．一曲线y f x 过点（0，2），且其上任意点的斜率为x 3e x ，求 f x . 2 1解：f x x 3e x 2 1 2 f x x 3e x C 4 f 0 2 3 C 2 C 1 1 2 f x x 3e x 1 4 ∫ 23．已知f x 的一个原函数为 e x ，求 f ′ xdx . 2 2解：f x e x ′ 2 xe x∫ f ′ xdx 2 f x C 2 xe x C dx4．一质点作直线运动，如果已知其速度为3t 2 sin t ，初始位移为s0 2 ，求s 和t 的函dt数关系.解：S t 3t 2 sin t S t t 3 cos t CS 0 2 1 C 2 C 1 S t t 3 cos t 15．设ln f x′ 1 ，求f x . 1 x2解：ln f x′ 1 ln f x arctan x C11 x2 f x earctan x C1 Cearctan x C gt 0 1 16．求函数f x ，使f ′ x e 2 x 5 且f 0 0 . 1 x 1 x 2 1 1 1解：f x e x 5 f x ln x 1 arcsin x e 2 x 5 x C 1 x 1 x 2 2 1 1 f 0 0 0 0C 0 C 2 2 1 2x 1 f x ln x 1 arcsin x e 5x 2 27．求下列函数的不定积分x x2 ∫ ∫ dt（1）dx （2）x a t 1 x2 1 ∫ ∫x m n（3）x dx （4）dx 2 1 x4 1 1 sin 2 x（5）∫x 2 1 dx （6）∫ sin x cos x dx 1 cos 2 x ∫ ∫ cos 2 x （7）dx （8）dx sin x cos x 1 cos 2 x ∫ sin （10）cos 2 sin 2 x dx ∫ cos 2 x x（9）2 2 dx x cos x 2 cos 2 x 1 2x 1 ∫ sin ∫e e （11）dx （12）dx 2 x cos x 2 x 1 2 × 8x 3 × 5x 2 x 1 5 x 1（13）∫ 8x dx （14）∫ 10 x dx e x x e-x （15）∫ x dx ∫ （16）e x 2 x 1 3x dx 1 x 1 x x 2 1 1 x 2 5 x（17）∫ dx 1 x 1 x （18）∫ x 1 x2 dx 1 x2 1 cos 2 x（19）∫ 1 x4 dx （20）∫ 1 cos 2 x sin2 x dx x3 x 1 x4 x2（21）∫ x 1 x 2 2 dx （22）∫ 1 x 2 dx 1 3 35 ∫ 2 2解：（1）x 2 x 2 dx x 2 x 2 C 3 5 1 d t 1 ∫ 1 2（2）. 1 t 1 2 C a a t 1 2 n nm ∫ x m dx m x m C m ≠ n m ≠ 0 nm n ∫（3）x m dx In x C m n dx x C ∫ m0 2（4）1 ∫ x2 1 dx x 2 arctan x C x 2 x 2 1 x 2 1 x3（5）∫ x 1 2 dx 3 x 2 arctan x C sin 2 x cos 2 x 2 sin x cos x sin x cos x 2（6）∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos xdx sin x cos x C cos 2 x sin 2 x（7）∫ sin x cos x dx cos x sin xdx ∫ sin x cos x C 1 cos 2 x ∫ 2 cos ∫ cos 1 1 1 x（8）2 dx 2 1 dx tan x C x 2 x 2 2 cos 2 x sin 2 x 1 1（9）∫ sin 2 x cos 2 x dx 2 ∫ sin x cos 2 x dx cot x tan x C cos x 1 1 cos 2 x cos x cos 2 x（10）∫ 2 2 dx 2 2 1dx ∫ 1 1 x sin x sin 2 x C 2 4 cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x ∫ ∫ cos 1（11）2 2 dx 2 2 dx 2 tan x C sin x cos x x ∫（12）e x 1 dx e x x C x 5 x 5（13）2 dx 3 dx 2 x 3 8 C ∫ ∫ 8 5 ln 8 x x（14）2 dx dx ∫ 5 ∫ 1 1 1 2 x 1 5 2 x C 5 2 ln 5 5 ln 2（15）e x dx e x ln x C ∫ 1 x ∫ 2x 3e x 6x（16）e x6 x 2 x 3e x dx e x C ln 2 l ln 3 ln 6 1 x 1 x ∫ ∫ 1（17）dx 2 dx 2 arcsin x C 1 x 2 1 x2 x2 1（18）∫ dx 1 x 2 ln x 5 arcsin x C 5 x 2 1 x 2 ∫ 1（19）dx arcsin x C 1 x2 1 cos 2 x 1 1 ∫ 2 cos ∫ 1 x（20）dx 1dx tan x C 2 x 2 cos 2 x 2 2 x x 2 1 1 1 1 1 ∫ ∫ 1（21）dx 2 x dx ln x arctan x C x 2 1 x 2 x 1 x2 x x 4 1 x 2 1 2 2 x3（22）∫ 1 x 2 d x x 2 2 ∫ 2 1 x dx 3 2 x 2 arctan x C8．用换元积分法计算下列各题. x4（1）∫ x2 dx ∫ （2）3x 28 dx .。
大一上学期微积分练习题带答案
(A)连续；(B)可导；(C)可微；(D)连续、不可导.
20.若在 内 ，在 内， 且 ，则在 内有（）
（A） 且 ；（B） 且 ；
（C） 且 ；（D） 且 .答案C
21．若周期为4的函数 在 内可导且 ，则曲线
在点 处的切线斜率是（）
（A） ；（B）0；（C） ；（D） .答案(D)
11.当 时，若 ，则 之值一定为( ).
（A） ;( B ) 为任意常数;
( C ) 为任意常数;( D ) 为任意常数.答案：（B）
12.当 时，若 ，则 之值一定为().
（A） ;( B ) 为任意常数;
( C ) 为任意常数;( D ) 为任意常数.答案 （C）
13．设 在 上定义，在点 连续， ，则 是函数
（A） (B) (C) (D) 答案B
5．设函数 ， ，则 （）
(A) 0；(B) 1；(C) ；(D) 2.答案A
6.设 是偶函数， 是奇函数，则 是（）.
（A）奇函数 (B） 偶函数 (C)非奇非偶函数（D)不能确定答案B
7.若 ,则 ( ).
(A) ；(B) ；(C) ；(D) .答案(A).
32.设 ,下列命题中正确的是().
(A) 是极大值, 是极小值；(B) 是极小值, 是极大值；
(C) 是极大值, 也是极大值；(D) 是极小值, 也是极小值.答案：（B）
33.下列结论不正确的是（）
（A） ;(B) ;(C) ;(D) .答案：（C）
34.设 二阶可导, ,则 ().
(A) ；(B) ；(C) ；(D) .答(D).
答案： 在 上增，在 上减.
21．设某厂每月生产产品的总成本 是产量 的函数且 （元），若每单位
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案前言数学是一门抽象的学科，需要大量的练习才能真正理解和掌握。
微积分作为数学中的基础学科，更是如此。
本文将为大家提供大学数学微积分第二版上册的课后习题及其答案，供大家参考和练习。
课后习题及答案第一章函数与极限习题1.11.计算以下极限:1.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 1}\\frac{x-1}{x^2-1}$2.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}\\frac{\\sqrt{1+x}-1}{x}$3.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}(\\frac{1}{\\sin{x}}-\\frac{1}{x})$答案：1.$\\frac{1}{2}$2.$\\frac{1}{2}$3.02.求曲线$y=\\frac{1}{x}$与直线y=x在第一象限中形成的夹角。
答案：$\\frac{\\pi}{4}$3.证明：$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}x\\sin\\frac{1}{x}=0$答案：对任意$\\epsilon>0$，取$\\delta=\\epsilon$，则当$0<|x|<\\delta$时，有$|x\\sin\\frac{1}{x}-0|<|x|<\\delta=\\epsilon$ 习题1.21.求下列函数的导数：1.y=2x3+3x2−4x+12.$y=\\frac{1}{2}x^3-x^2+2x-1$3.$y=\\frac{1}{\\sqrt{x}}+x\\ln{x}$答案：1.y′=6x2+6x−42.$y'=\\frac{3}{2}x^2-2x+2$3.$y'=-\\frac{1}{2x^{\\frac{3}{2}}}+\\ln{x}+1$2.求函数y=xe x在x=1处的导数。
答案：y′=e+13.求f(x)=|x−2|的导函数。
微积分上册试题及答案
dy
dt dx
பைடு நூலகம்
t4 ln t
2
t
2t
t 4 ；
dx ln t
d 2 y 4t3 4t2 ln t ； dx2 t
d 2 y 4e2 dx 2
t e
ln t
2、 求不定积分 I
x2 dx .
x 1
I
3
1
1
[( x 1) 2 2(x 1) 2 (x 1) 2 ]dx 或（令
x 1 u）I 2
(u4 2u2 1)du
2 (x
5
1) 2
4
(x
3
1) 2
2( x
1
1) 2
C
5
3
1、 求定积分 I
2
(|
x
|
x)
sin 2
xdx
2
I
2
|
x
|
sin 2
xdx
2
2 x sin 2 xdx
0
2
2
x2
2 0
x(1
cos2x)dx
2
0
2
x 2
sin
2x
1 4
c
os2x
0
2
解： 设直杆长为 x ，则目标函数 L x 2 (16 x)2 36 （ 0 x 16 ）
dL 1 2 x 16 ，
dx
(16 x)2 36
令
dL dx
0 ，得驻点 x0
16 2
3
比较： L(0) 4 73 ， L(x0 ) 16 6 3 ， L(16) 28
故直杆长为16 2 3 ，斜臂长为 4 3 时， L 有最小值.
《微积分》上册部分课后习题答案
微积分上册 一元函数微积分与无穷级数第2章 极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )． 证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim． 解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→． 解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限． 证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解： 原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→． 解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =． 解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章 导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1） 原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2） 原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='． 解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=， 又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解： 令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '； （3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy． 解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =． 解 （1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解 以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足 （1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解 （1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。
微积分课后题答案 高等教育出版社1
习 题 一 （A ）1．解下列不等式，并用区间表示不等式的解集：（1）74<-x ； （2）321<-≤x ；（3）)0(><-εεa x ； （4）)0,(0><-δδa x ax ；（5）062>--x x ； （6）022≤-+x x ．解：1)由题意去掉绝对值符号可得：747<-<-x ，可解得j .113．x <<-即)11,3(-. 2）由题意去掉绝对值符号可得123-≤-<-x 或321<-≤x ，可解得11≤<-x ,53<≤x .即]5,3[)1，1(⋃-3）由题意去掉绝对值符号可得εε<-<-x ,解得εε+<<-a x a .即)a , (εε+-a ； 4）由题意去掉绝对值符号可得δδ<-<-0x ax ,解得ax x ax δδ+<<-00，即ax ax δδ+-00 , ()5）由题意原不等式可化为0)2)(3(>+-x x ,3>x 或2-<x 即）（3， 2） ， (∞+⋃--∞. 6）由题意原不等式可化为0)1)(2(≤-+x x ,解得12≤≤-x .既1] , 2[-.２．判断下列各对函数是否相同，说明理由： （1）x y =与x y lg 10=； （2）xy 2cos 1+=与x cos 2；（3）)sin (arcsin x y =与x y =；（4）)arctan (tan x y =与x y =；（5）)1lg(2-=x y 与)1lg()1lg(-++=x x y ； （6）xx y +-=11lg 与)1lg()1lg(x x x +--=．解：1)不同，因前者的定义域为) , (∞+-∞，后者的定义域为) , 0(∞+； 2)不同,因为当))(2 , )212((ππ23k k x k ++∈+∞-∞-时，02cos 1 >+x ,而0cos 2<x ；3）不同，因为只有在]2, 2[ππ-上成立；4）相同；5)不同，因前者的定义域为) , (11) , (∞+⋃--∞)，后者的定义域为) , 1(∞+；6）相同3．求下列函数的定义域（用区间表示）： （1）1)4lg(--=x x y ；（2）45lg2x x y -=；（3）xx y +-=11； （4）)5lg(312x x x y -+-+-=； （5）342+-=x x y ；（6）xy xlg 1131--=；（7）xy x-+=1 lg arccos 21； （8）6712arccos2---=x x x y ．解：1)原函数若想有意义必须满足1>-x 和4>-x 可解得⎩⎨⎧<<-<41 1x x ,即)4 , 1()1 , (⋃--∞.2)原函数若想有意义必须满足0452>-x x ,可解得 50<<x ,即)5 , 0(.3)原函数若想有意义必须满足011≥+-xx,可解得 11≤<-x ,即)1 , 1(-.4)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-≥-050302x x x ,可解得 ⎩⎨⎧<<<≤5332x x ,即) 5 , 3 (] 3 , 2 [⋃,3]. 5)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥+-0)1)(3(0342x x x x,可解得 ⎩⎨⎧≥-≤31x x ,即(][) , 3 1 , ∞+⋃-∞.6)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠>0lg 100x x x ,可解得⎩⎨⎧><<10100x x ,即) , 10()10 , 0(∞+⋃. 7)原函数若想有意义必须满足01012≤≤-x 可解得21010--≤<x 即]101 , 0()0 , 101[22--⋃- 8)原函数若想有意义必须满足062>--x x ,1712≤-x 可解得) 4 , 3 (] 2 , 3 [⋃--.4．求下列分段函数的定义域及指定的函数值，并画出它们的图形： （1）⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<-=43,13,922x x x x y ，求)3( , )0(y y ；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞<<+-≤≤-<=x x x x x x y 1, 1210, 30,1，求)5( , )0( , )3(y y y -．解：1）原函数定义域为：)4 , 4(-3)0(==y 8)3(==y .图略2)原函数定义域为：) , (∞+-∞31)3(-=-y 3)0(-==y 9)5(-=y y(5)＝-9.图略5．利用x y sin =的图形，画出下列函数的图形：(1)1sin +=x y ； （2）x y sin 2=； （3）⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y ．解：x y sin =的图形如下(1)1sin +=x y 的图形是将x y sin =的图形沿沿y 轴向上平移1个单位(2)x y sin 2=是将x y sin =的值域扩大2倍。
高等数学微积分上C答案
任课教师：张艳芳任课教师：张艳芳 第 1 页 共 4 页 教研室主任：教研室主任：C一、 填空题（10分/2分） 1、a=12、2e3、(sin 22cos 2)x x x +4、01=+-y x 或11(0)y x -=-5、0二、 选择题（20分/2分）.1、A2、D3、B4、C5、A6、C7、B8、A9、D1010、、C三、 计算题（每小题7分，共35分）.1.1. 223lim()21x x x x +®¥++； 解: 223lim()21x x x x +®¥++2212lim()21x x x x +®¥++=+ 22lim(1)21x x x +®¥=++ （这是¥1型，设法将其化为口口）口（11lim+¥®）---3分13221lim(1)12x x x ++®¥=++————————————————————————————————————————————55分132211lim(1)lim(1)1122x x x x x +®¥®¥=+×+++13221211lim (1)[lim(1)]1122x x x x x +®¥+®¥=++++32e 1=×e =．——————————————————————．——————————————————————77分 2.2. 202lim(sin )xxx t dtt t t dt®+òò任课教师：张艳芳任课教师：张艳芳 第 2 页 共 4 页 教研室主任：教研室主任：202002lim (sin )2lim (sin )2lim sin11xx x x x t dtt t t dtx x x x x x®®®+=+=+=òò————————————55分 ——————————————————————77分3.3. 设242arcsin x xx y -+=，求y ¢.解：22242)4(22112arcsin x x x x x x y -¢-+¢÷øöçèæ×÷øöçèæ-×+=¢ ---3分 2242)2(212112arcsin x x x x x --+÷øöçèæ×÷øöçèæ-×+= ---5分 22442arcsin x xx xx---+=2arcsin x =.——————————————————————77分 4. 4.ò-12x x dx =211sec sec tan sec tan 1arccos dxxx x tt tdt t t dt t C Cx-=××==+=+òòò令---5分——————————————————————77分5.5. 1x e dx ò令t x =,则2,2x t dx tdt ==，当0x =时，0t =；当1x =时，1t =。
微积分(上)习题200题及答案
填空题：（30题）1.()___________2则20102sin 设函数2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧<≤+<<-=πf x xx xx f代入函数可得答案,220≤≤π答案：412π+2._________的定义域是24函数2--=x x y即可得到答案且由02-04-2≠≥x x答案：](()∞+⋃-∞-,22, 3.()[]()的定义域求,1,0的定义域是设2x f x fy =[]的范围，进而得到的范围是者函数由原函数定义域知道后x x 1,02 答案：[]1,1-4.()()()[]______则1,ln 1已知=+=+=x g f x x g x x f()()[][]()1ln 11,1++=+=+=x x fx g f x x g5.()()()x f d c b a dcx b ax x f1求反函数为常数,,,设-++=()可知反函数,--,--,0--,acy dyb x dy b x a cy b ax dy cxy d cx b ax y ===+++=答案：acx dxb -- 6._________1sinlim 3310=→x xx答案：07.______sin lim=+∞→xxx x答案:是有界的由于x x xx x sin 1sin lim =+∞→ 8.()0______1lim 0>=-→a x a x x答案:a aa x a x x x x ln 1ln lim 1lim00==-→→ 9.()_____1lim 1=-→xx x答案：1-e10._____则,22sin sin lim 若0==→m xmxx答案：411.()()_____则在其定义域内连续若函数011sin 00sin 1设=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=<=k x f x x x x k x xx x f 解：因为()在其定义域内连续函数x f ，所以1sin limk 0==→xxx12.()()_____的间断点是412函数+++=x x x y 答案：1-=x 13._____的连续区间是321函数2--=x x y答案：()()()∞+⋃-⋃-∞-,33,11,14.__________,则,14lim设21===+++-→b a b x ax x x 解：()34lim 145lim,5,04lim 12121=+=+++===++-→-→-→x x x x b a ax x x x x 。
高等数学微积分习题册上册答案
（2） lim cos x = 0 ； x x → +∞
证明：对任意ε>0，解不等式
| cos x − 0 |≤ x
1 x
<
ε
→
x
>
1 ε2
取
X
=
1 ε2
，当
x
>
X
,|
cos x x
− 0 |<
ε
，所以
lim
x → +∞
cos x x
=
0。
（3）
lim
x→∞
x2 2x2 +1
=
1 2
.
证明：对任意ε>0，解不等式
lim
n→∞
|
xn
|=|
a
|
。
（2）不成立。例如 lim | (−1)n |= 1, lim(−1)n 不存在。
n→∞
n→∞
三、判断下列命题的正误：
（1）若数列{xn} 和{yn} 都收敛，则数列{xn + yn} 必收敛.（√ ）
（2）若数列{xn} 和{yn} 都发散，则数列{xn + yn} 必发散.（× ）
且相等，即 lim f (x) = A ⇔ lim f (x) = A = lim f (x) .
x → x0
x → x0−
x
→
x
+ 0
证明：(充分性)根据
lim
x→ x0−
f (x) =
A=
lim
x→ x0+
f ( x) .对任意ε>0，存在 δ1
> 0,δ 2
> 0 ，当
−δ1 < x − x0 < 0 或 0 < x − x0 < δ 2 时 ， | f ( x) − A |< ε 。 取 δ = min(δ1 ,δ 2 ) ， 当
微积分上册部分课后习题答案
《微积分》上册部分课后习题答案习题五（A）1．求函数 f x ，使 f ′ x x 23 x ，且 f 1 0 .解：f ′ x x 2 5x 6 1 5 f x x3 x 2 6 x C 3 2 1 5 23 f 1 0 6 C 0 C 3 2 6 15 23 f x x3 x 26 x 3 2 6 12．一曲线y f x 过点（0，2），且其上任意点的斜率为x 3e x ，求 f x . 2 1解：f x x 3e x 2 1 2 f x x 3e x C 4 f 0 2 3 C 2 C 1 1 2 f x x 3e x 1 4 ∫ 23．已知f x 的一个原函数为 e x ，求 f ′ xdx . 2 2解：f x e x ′ 2 xe x∫ f ′ xdx 2 f x C 2 xe x C dx4．一质点作直线运动，如果已知其速度为3t 2 sin t ，初始位移为s0 2 ，求s 和t 的函dt数关系.解：S t 3t 2 sin t S t t 3 cos t CS 0 2 1 C 2 C 1 S t t 3 cos t 15．设ln f x′ 1 ，求f x . 1 x2解：ln f x′ 1 ln f x arctan x C11 x2 f x earctan x C1 Cearctan x C gt 0 1 16．求函数f x ，使f ′ x e 2 x 5 且f 0 0 . 1 x 1 x 2 1 1 1解：f x e x 5 f x ln x 1 arcsin x e 2 x 5 x C 1 x 1 x 2 2 1 1 f 0 0 0 0C 0 C 2 2 1 2x 1 f x ln x 1 arcsin x e 5x 2 27．求下列函数的不定积分x x2 ∫ ∫ dt（1）dx （2）x a t 1 x2 1 ∫ ∫x m n（3）x dx （4）dx 2 1 x4 1 1 sin 2 x（5）∫x 2 1 dx （6）∫ sin x cos x dx 1 cos 2 x ∫ ∫ cos 2 x （7）dx （8）dx sin x cos x 1 cos 2 x ∫ sin （10）cos 2 sin 2 x dx ∫ cos 2 x x（9）2 2 dx x cos x 2 cos 2 x 1 2x 1 ∫ sin ∫e e （11）dx （12）dx 2 x cos x 2 x 1 2 × 8x 3 × 5x 2 x 1 5 x 1（13）∫ 8x dx （14）∫ 10 x dx e x x e-x （15）∫ x dx ∫ （16）e x 2 x 1 3x dx 1 x 1 x x 2 1 1 x 2 5 x（17）∫ dx 1 x 1 x （18）∫ x 1 x2 dx 1 x2 1 cos 2 x（19）∫ 1 x4 dx （20）∫ 1 cos 2 x sin2 x dx x3 x 1 x4 x2（21）∫ x 1 x 2 2 dx （22）∫ 1 x 2 dx 1 3 35 ∫ 2 2解：（1）x 2 x 2 dx x 2 x 2 C 3 5 1 d t 1 ∫ 1 2（2）. 1 t 1 2 C a a t 1 2 n nm ∫ x m dx m x m C m ≠ n m ≠ 0 nm n ∫（3）x m dx In x C m n dx x C ∫ m0 2（4）1 ∫ x2 1 dx x 2 arctan x C x 2 x 2 1 x 2 1 x3（5）∫ x 1 2 dx 3 x 2 arctan x C sin 2 x cos 2 x 2 sin x cos x sin x cos x 2（6）∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos xdx sin x cos x C cos 2 x sin 2 x（7）∫ sin x cos x dx cos x sin xdx ∫ sin x cos x C 1 cos 2 x ∫ 2 cos ∫ cos 1 1 1 x（8）2 dx 2 1 dx tan x C x 2 x 2 2 cos 2 x sin 2 x 1 1（9）∫ sin 2 x cos 2 x dx 2 ∫ sin x cos 2 x dx cot x tan x C cos x 1 1 cos 2 x cos x cos 2 x（10）∫ 2 2 dx 2 2 1dx ∫ 1 1 x sin x sin 2 x C 2 4 cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x ∫ ∫ cos 1（11）2 2 dx 2 2 dx 2 tan x C sin x cos x x ∫（12）e x 1 dx e x x C x 5 x 5（13）2 dx 3 dx 2 x 3 8 C ∫ ∫ 8 5 ln 8 x x（14）2 dx dx ∫ 5 ∫ 1 1 1 2 x 1 5 2 x C 5 2 ln 5 5 ln 2（15）e x dx e x ln x C ∫ 1 x ∫ 2x 3e x 6x（16）e x6 x 2 x 3e x dx e x C ln 2 l ln 3 ln 6 1 x 1 x ∫ ∫ 1（17）dx 2 dx 2 arcsin x C 1 x 2 1 x2 x2 1（18）∫ dx 1 x 2 ln x 5 arcsin x C 5 x 2 1 x 2 ∫ 1（19）dx arcsin x C 1 x2 1 cos 2 x 1 1 ∫ 2 cos ∫ 1 x（20）dx 1dx tan x C 2 x 2 cos 2 x 2 2 x x 2 1 1 1 1 1 ∫ ∫ 1（21）dx 2 x dx ln x arctan x C x 2 1 x 2 x 1 x2 x x 4 1 x 2 1 2 2 x3（22）∫ 1 x 2 dx x 2 2 ∫ 2 1 x dx 3 2 x 2 arctan x C8．用换元积分法计算下列各题. x4（1）∫ x2 dx ∫ （2）3x 28 dx .。
《高等数学》第一部分微积分习题参考答案
文 科 高 等 数 学第一部分 微 积 分习题一：1.（1）是；（2）不是；（3）不是。
2.（1）(,2)(2,1)(1,)-∞----+∞ ；（2）(3,1][1,)--+∞ ；（3）[1,3]； （4）(1,0)(0,1]- 。
3. sin ,,sin(),sin(sin )xe x x e e e x 。
4. 1()2f x x=+ (0)x ≠。
5．（1）0][0,)x ∈-∞∈+∞当（，时，函数单调减少；当x 时，函数单调增加。
(2 ) ][1,)x ∈-∞∈+∞当（，1时，函数单调减少；当x 时，函数单调增加。
（3）[0,][,]332x x πππ∈∈当时，函数单调增加；当时，函数单调减少。
6.（1）奇；（2）奇；（3）非奇非偶；（4）偶；（5）非奇非偶。
7.（1）24y x =- (02)x ≤≤；(2)3arcsin 2xy = (03)x ≤≤(3)41116ln xx y x x x x e <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩。
8. 211966R x x =-+。
9. (1000)(60.002)y x x =+- (03000,)x x N ≤<∈。
10. 题目有问题。
习题二：1.（1）存在；（2）不存在；（3）存在；（4）存在；（5）不存在。
2. 不能，如1(1),(1)nn n n a b +=-=-。
3. 能，用反证法证明。
4.（1）2；（2）0；（3）2；（4）15；（5）75；（6）0；（7）1；（8）0; （9）12；（10）n;（11）12x；（12）23；（13）12；（14）1；（15）1；（16）cos a ；（17）23；（18）2e ； （19）e ；（20）1e；（21）3e -；（22）2。
5.（1）错；（2）错；（3）错；（4）正确；（5）错。
6.（1）不连续；（2）不连续；（3）连续。
7. 略。
8.（1）约为7950.0元；（2）约为61391元。
微积分习题答案(上)
习题 3.3
1.（1） y′ = 6x + 5 ；
（2） =y′
3 x2
−
2 x3
；
（3） y′ = x(1 + 2 ln x) ；
（4） y′ = 6e x cos x ；
（5） y′ =
x cos x − sin x ； x2
（6） y′ = −
1 x (1 +
. x)2
2. f ′(0) = 3 ； f ′(2) = 17 .
（2）在 (−∞ , − 1],[11 , + ∞) 上单调递增，在 (− 1 , 11) 上单调递减；
2 18
2 18
（3）在 (−∞ , 0), (0, 1],[1, + ∞) 上单调递减，在 (1 ,1) 上单调递增；
第二章
习题 2.1
1．（1）
lim
n→∞
1 3n
=0；
（3） lim(−1)n n 不存在； n→∞
（2） lim(2 + 1 ) = 2 ；
n→∞
n2
（4） lim 1 + (−1)n 不存在. n→∞ 1000
2. 略
3.提示：利用数列极限的 ε − N 定义证明，考虑数列 an = (−1)n .
23
n
3. 提示：利用恒等式 f (x)g(x) = eg(x)ln f (x)
4. （1）3； (2) 1； (3) 2； （4） e2 ；
（5） e−2 ； (6) ex+1 ； （7） e−1 ； （8） e3 .
5. (1) x → 0 时， x3 是比 x2 + 3x 的高阶无穷小；
(2) x → 1 时， 1− x 是1− x3 的同阶无穷小，但不是等价无穷小.
微积分大学练习册及答案
微积分大学练习册及答案# 微积分大学练习册及答案## 第一章：极限与连续性### 练习一：极限的概念与性质1. 求极限：计算下列极限（若存在）：- \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)- \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2}\)- \(\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 1)\)2. 使用极限的性质：证明以下极限等式：- \(\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) +\lim_{x \to a} g(x)\)- \(\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)\)### 练习二：连续性1. 判断函数的连续性：- 判断函数 \(f(x) = \sqrt{x}\) 在 \(x = 0\) 处是否连续。
- 判断函数 \(g(x) = \frac{1}{x}\) 在 \(x = 1\) 处是否连续。
2. 连续函数的性质：- 证明连续函数在闭区间上的有界性和最值定理。
## 第二章：导数与微分### 练习一：基本导数公式1. 求导数：- 计算函数 \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 7\) 的导数。
- 求函数 \(g(x) = \sin(x) + \cos(x)\) 的导数。
2. 使用导数公式：- 利用导数公式求 \(h(x) = (x^2 + 1)^3\) 的导数。
### 练习二：高阶导数与隐函数求导1. 求高阶导数：- 求函数 \(f(x) = \ln(x)\) 的二阶导数。
2. 隐函数求导：- 给定 \(x^2 + y^2 = 1\)，求 \(y\) 关于 \(x\) 的导数。
## 第三章：积分学### 练习一：不定积分1. 求不定积分：- 计算 \(\int x^2 dx\)。
微积分第四版习题答案
微积分第四版习题答案微积分第四版是一本广泛使用的高等数学教材，它涵盖了微积分的基本概念、定理和应用。
习题答案对于学生理解和掌握微积分的知识点至关重要。
以下是一些习题的答案示例，请注意，这些答案仅为示例，具体习题答案可能因版本和习题编号的不同而有所差异。
第一章：函数、极限与连续性1. 求函数\( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)在\( x = 2 \)处的极限。
解：\( \lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0 \)。
2. 判断函数\( g(x) = \frac{3x}{x-1} \)在\( x = 1 \)处是否连续。
解：由于\( g(x) \)在\( x = 1 \)处未定义，所以该函数在\( x= 1 \)处不连续。
第二章：导数1. 求函数\( h(x) = 5x^3 + 2x^2 - 4x + 7 \)的导数。
解：\( h'(x) = 15x^2 + 4x - 4 \)。
2. 利用导数求函数\( f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5 \)在\( x = 1 \)处的切线斜率。
解：\( f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \)，\( f'(1) = 3 \cdot 1^2 -4 \cdot 1 + 1 = 0 \)。
第三章：积分1. 计算定积分\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)。
解：\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \)。
2. 求由曲线\( y = x^2 \)，直线\( x = 2 \)和\( x = 0 \)围成的面积。
解：\( \text{面积} = \int_{0}^{2} x^2 dx =\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{8}{3} \)。
微积分(上册)习题参考答案
参考答案0. 预备知识习题0.11.（a ）是 （b ）否 （c ）是 （d ）否2.（a ）否 （b ）否 （c ）否 （d ）是 （e ）否 （f ）否 （g ）是 （h ）否 （i ）是3. {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{},1,2,3,4,1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4,1,2,3,1,2,4,1,3,4f , {}{}2,3,4,1,2,3,4.4. 11,,0,1,2,3,4A B禳镲?--睚镲铪 ，10,1,4A C 禳镲-=--睚镲铪 ，11,,0,1,2,74A D A 禳镲?=--睚镲铪.5. 1,32A Bx x R x 禳镲??<睚镲铪， {,12}A B x x R x =危 ，{},23A B x x R x -=?<.6~15. 略。
16. 证明：先证()()()A B C A B A C --?惹.若()x A B C ?-，则,x A x B C 蜗-①如果x C Î，则,x A B C 蜗-;②如果x C Ï，则x B Ï，所以x AB ?，也有()()x A B AC ?惹，因此有()()()A B C A B A C --?惹.再证()()()A B C A C A B C --惹?-.若()()x A B A C ¢?惹，则，x A B ¢?或x A C ¢吻.①如果x A C ¢吻，有x C ¢Î，所以，x B C ¢?，又x A ¢Ï，于是()x A B C ¢?- ②如果x A C ¢锨，x A B ¢?，则有x A ¢Î，x C ¢Ï，x B ¢Ï，所以，x B C ¢?，于是()x A B C ¢?-. 因此有()()()A B A C A B C -惹?-.综上所述，()()()A B C A B A C --=-惹，证毕. 17~19. 略。
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|
x2 − 2x2 +1
1 |= 2
1 2(2 x2
+ 1)
<
1 x2
<ε
→
x>
1 ε
取X =
1 ε
，当| x |>
X
,
|
2
x2 x2 +
1
−
1 2
|<
ε
，所以
lim
x→∞
x2 2x2 +
1
=
1。 2
四、证明 lim x = 1，并求正数 X ，使得当 x > X 时，就有| x −1|< 0.01 .
;
根据
lim
k→∞
x2k
= a ,存在 N2>0,
当 k>N2 时 | x2k
− a |< ε
.
取N
=
2max( N1, N 2) + 1，当
n>N
时|
xn
− a |<
ε
，所以
lim
n→∞
xn
=
a。
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2
学院
姓名
学号
一、根据函数极限的定义证明下列极限：
日期
1.3 函数的极限
证明：对任意ε，解不等式 | 2n − 3 − 2 |= 17 < 1 < ε → n > 1
5n + 1 5 5(5n + 1) n
ε
取 N = [ 1 ]，当 n>N 时| 2n − 3 − 2 |< ε ，所以 lim 2n − 3 = 2 。
ε
5n + 1 5
n→∞ 5n + 1 5
（3） lim( n + 1 − n) = 0 ； n→∞
时， lim x sin 1 = 0 ，即 f (x) = x sin 1 为无穷小；
0 <|
x−
x0
|< δ
,|
f (x)−
A |< ε
，所以 lim x→ x0
f (x) =
A。
(必要性)显然
九、设 f (x) =| x | ，求 lim f (x) ， lim f (x) 和 lim f (x) .
x→0−
x→0+
x→0
解 ： lim f (x) = 1, lim f (x) = 1, lim f (x) = 1.
证明：对任意ε， 解不等式 | 4x − 1 − 11 |= 4 | x − 3 |< ε ⇒| x − 3 |< ε 4
取δ = ε ，当 0 <| x − 3 |< δ , | 4x − 1 − 11 |< ε ，所以 lim(4x −1) = 11。
4
x→3
当ε=0.0001，δ = 0.000025
证明：设 lim x→ x0
f (x) =
A ，.对ε=1，存在δ
>
0, 当 0 <|
x−
x0
|< δ
时， |
f (x)−
A |< 1。
即1 − A < f ( x) < 1 + A ，函数 f (x) 在 x0 的某个去心邻域内有界.
八、证明：函数 f (x) 当 x → x0 时的极限存在的充分必要条件是左极限、右极限均存在并
证明：对任意ε>0， 解不等式 | x2 − 4 + 4 |=| x + 2 |< ε x+ 2
取δ = ε ，当 0 <| x + 2 |< δ , | x2 − 4 + 4 |< ε ，所以 lim x2 − 4 = −4 。
x+2
x→−2 x + 2
二、证明 lim(4x −1) = 11，并求正数δ ，使得当| x − 3 |< δ 时，就有| (4x −1) −11|< 0.001. x→3
（1） lim(5x + 2) = 12 ； x→2
证明：对任意ε>0，解不等式 | 5x + 2 − 12 |= 5 | x − 2 |< ε →| x − 2 |< ε 5
取δ = ε ，当 0 <| x − 2 |< δ , | 5x + 2 − 12 |< ε ，所以 lim(5x + 2) = 12 。
5
学院 一、填空题
姓名
学号
日期
1.4 无穷小与无穷大
（1）当 x → ∞ 时， 1 是无穷小；当 x → 1 时， 1 是无穷大.
x −1
x −1
1
1
（2）当 x → 0− 时， e x 是无穷小；当 x → 0+ 时， e x 是无穷大.
（3）当 x → 1 时， ln x 是无穷小；当 x → 0+ 时， ln x 是负无穷大；
x→0−
x→0+
x→0
十、设 f (x) = sgn x ，求 lim f (x) ， lim f (x) 和 lim f (x) .
x→0−
x→0+
x→0
解 ： lim f (x) = −1, lim f (x) = 1, lim f (x) 不存在.
x→0−
x→0+
x→0
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5
x→2
（2） lim x2 = 4 ； x→2
证明：对任意ε>0，(| x − 2 |< 1 ) 解不等式 | x2 − 4 |<| x − 2 |< ε
取δ = min(1,ε ) ，当 0 <| x − 2 |< δ , | x2 − 4 |< ε ，所以 lim x2 = 4 。 x→2
（3） lim x2 − 4 = −4 . x→−2 x + 2
x→−∞
x→+∞
x→∞
解: lim arctan x = − π , lim arctan x = π , lim arctan x 不存在
x→−∞
2 x→+∞
2
x→∞
（2） lim sgn x ， lim sgn x 和 lim sgn x
x→−∞
x→+∞
x→∞
解: lim sgn x = −1 ， lim sgn x = 1 ， lim sgn x 不存在
（√）
（2）两个无穷大的和也是无穷大.
（×）
（3）无穷小与无穷大的和一定是无穷大.
（√）
（4）无穷小与无穷大的积一定是无穷大.
（×）
（5）无穷小与无穷大的积一定是无穷大.
（×）
（6）无穷大与无穷大的积也是无穷大.
（√）
五、举例说明：
（1）两个无穷小的商不一定是无穷小； （2）无限个无穷小的和不一定是无穷小.
| x |> X ,| f ( x) − A |< ε ，所以 lim f (x) = A 。 x→∞
(必要性)显然
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4
学院
姓名
学号
日期
六、根据函数的图形写出下列极限（如果极限存在）：
1.3 函数的极限
（1） lim arctan x ， lim arctan x 和 lim arctan x ；
x→−∞
x→+∞
x→∞
（3） lim ex ， lim ex 和 lim ex .
x→−∞
x→+∞
x→∞
解: lim ex = 0 ， lim ex = +∞ ， lim ex 不存在
x→−∞
x→+∞
x→∞
七、证明：若 lim x → x0
f (x) 存在，则函数
f (x) 在 x0 的某个去心邻域内有界.
证明:
取 xk
= 2kπ
+ π ,(k 2
> 0),
f (xk ) = 2kπ
→ +∞ ，f (x) =
xsin x 在 (0，+ ∞) 内无界；
取 xk = 2kπ , (k > 0), f (xk ) = 0 ，当 x → +∞ 时， f (x) 不是无穷大.
四、判断下列命题的正确性：
（1）两个无穷小的和也是无穷小.
x→∞
x → −∞
x → +∞
证明：(充分性)根据 lim f (x) = A ， lim f (x) = A .对任意ε>0，存在 X 1 > 0, X 2 > 0 ，
x → −∞
x → +∞
当 x > X 1 或 x < − X 2 时 ， | f ( x) − A |< ε 。 取 X = max( X1, X 2) ， 当
当 x → __+∞ 时， ln x 是正无穷大.
二、选择题
当 x → 0 时，函数 1 cos 1 是（ D ）. xx
（A）无穷小；
（B）无穷大；
（C）有界的，但不是无穷小； （D）无界的，但不是无穷大.
三、证明函数 f (x) = x sin x 在 (0，+ ∞) 内无界，但当 x → +∞ 时， f (x) 不是无穷大.
证明：对任意ε，解不等式
|
n+1−
n − 0 |=
1 n+1+
< n
1 n
<
ε
→
n
>