0-1背包问题求解方法综述

算法分析与设计大作业

实验题目：0-1背包问题求解方法综述组员：

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0-1背包问题求解方法综述

【摘要】：0-1背包问题是一个经典的NP-hard组合优化问题，现实

生活中的很多问题都可以以它为模型。本文首先对背包问题做了阐

述，然后用蛮力解法、动态规划算法、贪心算法和回溯解法对背包问

题进行求解，分析了0-1背包问题的数学模型,刻划了最优解的结构

特征,建立了求最优值的递归关系式。最后对四种算法从不同角度进

行了对比和总结。

【关键词】：0-1背包问题；蛮力解法；动态规划算法；贪心算法；回溯解法。

0.引言

0-1背包问题是指给定n个物品,每个物品均有自己的价值vi和重量

wi(i=1,2,…,n),再给定一个背包,其容量为W。要求从n个物品中选出一部分物

品装入背包,这部分物品的重量之和不超过背包的容量,且价值之和最大。单个物

品要么装入,要么不装入。很多问题都可以抽象成该问题模型,如配载问题、物资

调运[1]问题等,因此研究该问题具有较高的实际应用价值。目前,解决0-1背包

问题的方法有很多,主要有动态规划法、回溯法、分支限界法、遗传算法、粒子

群算法、人工鱼群算法、蚁群算法、模拟退火算法、蜂群算法、禁忌搜索算法等。

其中动态规划、回溯法、分支限界法时间复杂性比较高,计算智能算法可能出现

局部收敛,不一定能找出问题的最优解。文中在动态规划法的基础上进行了改进,

提出一种求解0-1背包问题的算法,该算法每一次执行总能得到问题的最优解,

是确定性算法,算法的时间复杂性最坏可能为O(2n)。

1.0-1背包问题描述

0-1背包问题(KP01)是一个著名的组合优化问题。它应用在许多实际领域,

如项目选择、资源分布、投资决策等。背包问题得名于如何选择最合适的物品放

置于给定背包中。本文主要研究背包问题中最基础的0/1背包问题的一些解决方

法。

为解决背包问题，大量学者在过去的几十年中提出了很多解决方法。解决背

包问题的算法有最优算法和启发式算法[2]，最优算法包括穷举法、动态规划法、

分支定界法、图论法等，启发式算法包括贪心算法、遗传算法、蚁群算法、粒子

算法等一些智能算法。

0-1背包问题一般描述为：给定n 种物品和一个背包。物品i 的重量是w(i)，其价值为v(i)，背包的容量为c 。问应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？

在选择装入背包的物品时，对每种物品i 只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i 装入背包多次，也不能只装入部分的物品i 。因此，该问题称为0-1背包问题。

此问题的形式化描述是，给定n i v w c i i ≤≤>>>1000，，，，要求找出一个n

元0-1向量

n i x x x x i n ≤≤∈1}1,0{21，），，，，（ ，使得c x w i i i ≤∑=n 1，而且i n

i i x v ∑=1达到最大。

数学模型：∑=n i i i x v 1max

约束条件： c x w i

i i ≤∑=n

1， n i x i ≤≤∈1},1,0{ 2.0-1背包问题的求解算法

2.1蛮力算法（brute force method ）

2.1.1基本思想：

对于有n 种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n 的0-1向量组成,可用子集数表示。在搜索解空间树时，深度优先遍历，搜索每一个结点，无论是否可能产生最优解，都遍历至叶子结点，记录每次得到的装入总价值，然后记录遍历过的最大价值。

2.1.2代码实现:

#include

#include

using namespace std;

#define N 100 //最多可能物体数

struct goods //物品结构体

{

int sign; //物品序号

int w; //物品重量

int p; //物品价值

}a[N];

bool m(goods a,goods b)

return (a.p/a.w)>(b.p/b.w);

}

int max(int a,int b)

{

return a

}

int n,C,bestP=0,cp=0,cw=0;

int X[N],cx[N];

/*蛮力法求解0/1背包问题*/

int Force(int i)

{

if(i>n-1){

if(bestP

for (int k=0;k

}

return bestP;

}

cw=cw+a[i].w;

cp=cp+a[i].p;

cx[i]=1; //装入背包

Force(i+1);

cw=cw-a[i].w;

cp=cp-a[i].p;

cx[i]=0; //不装入背包

Force(i+1);

return bestP;

}

int KnapSack1(int n,goodsa[],int C,int x[])

{

Force(0);

return bestP;

}

int main()