函数极限 x趋于一点

各种极限共同的定义与定理（性质）
n x , x , x , x x0 , x x0 , x x0
lim un , f ( x) A
0, , when , then | un , f ( x) A |
• 定理： • 极限唯一性，局部有界性，局部保号性（两款） • （板书）
x x0
时, 有 f ( x ) A
时的极限, 记作
当
lim f ( x) A 或
当
即 几何解释: y A A A
O
时, 有
y f ( x)
这表明: 极限存在 函数局部有界
x0
x
(P36定理2)
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定义3 . 设函数
若 0 , 0 , 当 x x0 0 时, 有 f ( x) A 则称常数 A 为函数
x x0
x x0
( P39 题*11 )
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例1. 给定函数 x 1, f ( x) 0 , x 1 ,
y
x0 x0 x0
y x 1
1 O 1
y x 1
x
讨论 x 0 时 f ( x) 的极限是否存在 .
解: 利用定理 3 . 因为
lim f ( x) A 或
当 时, 有
即 几何解释: y A A A
O
y f ( x)
Hale Waihona Puke Baidu
这表明: 极限存在 函数局部有界
x0
x
(P36定理2)
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定义2 . 设函数
若 0 , 0 , 当 0 x x0 则称常数 A 为函数
x 0 x 0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0 x 0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f ( x) 不存在 .
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例2. 证明
x x0
当
时的极限, 记作
lim f ( x) A 或
当
即 几何解释: y A A A
O
时, 有
y f ( x)
这表明: 极限存在 函数局部有界
x0
x
(P36定理2)
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定理
x x0
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
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证:
f ( x) A
时,
故 0 , 对任意的 0 , 当 总有 因此
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例3. 证明 证: f ( x ) A 故 0 , 取 , 当 时, 必有
x 1 2 x 1
因此
2
x2 1 lim 2 x 1 x 1
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第三节 函数的极限
第一章
自变量变化过程的另三种形式:
本节内容 : 自变量趋于有限值时
函数的极限
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定义1 . 设函数
则称常数 A 为函数
x x0
在点
当
的某去心邻域内有定义 ,
时的极限, 记作
若 0 , 0 , 当 0 x x0 时, 有 f ( x) A