天津市滨海新区塘沽滨海中学2019_2020学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)

天津市滨海新区塘沽滨海中学2019_2020学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将『答案』填写在答题纸上）1.甲、乙两个元件构成一串联电路，设E=“甲元件故障”，F=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为( )A. E F⋃ B. E F C. E F⋂ D. E F⋃『答案』A『解析』由题意知，甲、乙两个元件构成一串联电路，E=“甲元件故障”，F=“乙元件故障”，根据串联电路可知，甲元件故障或者乙元件故障，都会造成电路故障，所以电路故障的事件为：E F⋃.故选：A.2.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的第80百分位是（）A. 90B. 90.5C. 91D. 91.5『答案』B『解析』把成绩按从小到大的顺序排列为：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，因为15×80%＝12，所以这15人成绩的第80百分位是909190.52+=.故选：B.3.某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出60名，其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示，由此估计此次考试成绩的中位数、众数分别是（）A. 73.3，75B. 73.3，80C. 70，70D. 70， 75『答案』A『解析』频率分布直方图是按照一定的规律排列的，一般是按照由小到大或由大到小，就把组数想成一组数字，如果它是偶数就取它相邻的那组数据的平均数，得数就是横坐标； 如果组数是奇数，就取这些组数的中间的那组的数据，那组数就是横坐标； 小于70的有24人，大于80的有18人，则在[70，80]之间18人，所以中位数为107073.33+≈；众数就是分布图里最高的那条，即[70，80]的中点横坐标75． 故选：A ．4.若样本数据x 1，x 2，…,x 10的标准差为8，则数据2x 1-1，2x 2-1，…，2x 10-1的标准差为______． 『答案』16『解析』因为样本数据1210,,...,x x x 的标准差为8，8=，即64DX =，数据121021,21,...,21x x x ---的方差为()214464D X DX -==⨯，则对应的标准差为16=，故『答案』为16.5.已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，那么向量BA 对应的复数是（ ） A. 55i -+ B. 55i - C.55i +D.55i --『答案』B『解析』向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量(2,3)OA =-，(3,2)OB =-． 由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-， 根据复向量、复数与复平面内的点一一对应， 可得向量BA 对应的复数是55i -，故选B ． 6.已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ） A.2i --B.2i -+C.2i - D. 2i +『答案』C『解析』∴(1)1z i i -=+，∴z=212(12)()2i i i i i i ++-==--，故选C. 7.若(1)(23)i i a bi -++=+（,,a b R i ∈是虚数单位），则,a b 的值分别等于( ) A. 3,2-B. 3,2C. 3,3-D. 1,4-『答案』B『解析』由题可知，(1)(23)i i a bi -++=+，即32i a bi +=+，所以3,2a b ==， 即,a b 的值分别等于3,2. 故选：B.8.下面给出的关系式中，正确的个数是（ ）（1）0·a =0 （2） a ·b =b ·a （3）22a a = （4）()()abc a b c ⋅⋅=⋅⋅ （5）a a b b ≤⋅⋅A. 0B. 1C. 2D. 3『答案』C『解析』（1）因为数与向量相乘为向量，所以0·a =0错误 （2）向量的数量积运算满足交换律， 所以a ·b =b ·a 正确（3）根据数量积的定义知22||||cos0||a a a a ==，所以22a a =，正确（4）根据数量积的定义知，数量积为一实数，所以 ()a b c ⋅⋅ 为mc ，而()a b c ⋅⋅为na ，所以()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 错误 （5）因为a b a b cos α⋅=，a b a b cos α⋅=，所以a b a b ⋅≤⋅错误.故选 C.9.已知()5,2a =-，()4,3b =--，(),c x y =，若230a b c -+=，则c 等于（ ） A. 134,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B. 81,3⎛⎫⎪⎝⎭C. 138,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 144,33⎛⎫ ⎪⎝⎭『答案』A『解析』由题知:()5,2a =-,()4,3b =--,(),c x y =,因为230a b c -+=,所以1358303263043x x y y ⎧=-⎪++=⎧⎪⇒⎨⎨-++=⎩⎪=-⎪⎩,故c =13433⎛⎫-- ⎪⎝⎭，, 故选:A. 10.若ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠60B =︒，2b ac =，则ABC一定是( )A. 底边和腰不相等的等腰三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形『答案』D『解析』由题可知，∠60B =︒，2b ac =，则在ABC 中，120A C ∠+∠=，根据余弦定理得：222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-， 则22a c ac ac +-=，即2220+-=a c ac ，即：()20a c -=，所以a c =，则60A C ∠=∠=， 所以ABC 一定是等边三角形. 故选：D.的11.已知向量a →，b →不共线，且向量a b λ→→+与()21a b λ→→+-的方向相反，则实数λ的值为( ) A. 1B. 12-C. 1或12-D. -1或12-『答案』B『解析』由题可知，a →，b →不共线，且向量a b λ→→+与()21a b λ→→+-的方向相反，则()210a b k a b k λλ⎧⎡⎤+=+-⎪⎣⎦⎨<⎪⎩，即()210a b ka k b k λλ⎧+=+-⎪⎨<⎪⎩，则()1210kk k λλ=⎧⎪=-⎨⎪<⎩，即()2110k λλλ⎧-=⎨=<⎩，解得：12λ=-或1λ=（舍去）.即实数λ的值为12-.故选：B.12.如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A.2116B.32C.2516D. 3『答案』A『解析』由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD 为等边三角形，把数量积AE BE ⋅分拆，设(01)DE tDC t =≤≤，数量积转化为关于t 函数，用函数可求得最小值。

详解：连接BD,取AD 中点为O,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD 为等边三角形，BD =(01)DE tDC t =≤≤AE BE⋅223()()()2AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+ =233322t t -+(01)t ≤≤ 所以当14t =时，上式取最小值2116 ，选A. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请将『答案』填写在答题纸上.） 13.复数534i +的共轭复数是 . 『答案』3455i +『解析』∵55(34)3434(34)(34)55i i i i i -==-++-，∴复数534i +的共轭复数是3455i + 14.若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________.『答案』3『解析』由于球的表面积与其体积在数值上相等，设球的半径为R ，则2344π3π=R R ，解得：3R =， 即此球的半径为3.故『答案』为：3.15.水平放置ABC ∆的斜二测直观图如图所示，已知3AC ''=，2B C ''=，则AB 边上的中线的长度为______.『答案』52『解析』在直观图中，3AC ''=，2B C ''=，所以在Rt ABC ∆中，3AC =，4BC =，C∠为直角，5AB ∴==，因此，AB 边上的中线的长度为1522AB =.故『答案』为：52. 16.若向量()68a =-，，则与a 同向的单位向量的坐标是___________. 『答案』(0.6，-0.8)『解析』因为()68a =-，，则(2=610a +-=， 则与a 同向的单位向量的坐标是()()1=6,80.6,0.810a a -=- 故『答案』为：(0.6，-0.8)17.已知向量3a →=，()12b →=，，且a b →→⊥，则a →的坐标是___________.『答案』或⎛ ⎝『解析』由题可知，3a →=，可设(),a x y →=3=，由于()12b →=，，且a b →→⊥，则0ab →→=，即：20x y +=，即：320x y=+=⎪⎩，解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以a →的坐标是：或⎛⎝. 故『答案』为：或⎛ ⎝.18.已知a →，3b →=，且12a b →→=-，则向量a →在向量b →上的投影向量的长度等于___________.『答案』4『解析』由于3b →=，且12a b →→=-，设a →和b →的夹角为θ，则向量a →在向量b →上的投影为：12cos 43a ba bθ→→→→-===-， 向量a →在向量b →上的投影向量的长度为：4. 故『答案』为：4.19.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A ，B ，C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘.已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立，则红队至少两名队员获胜的概率是____________.『答案』0.55『解析』由题可知，各盘比赛结果相互独立，则红队至少两名队员获胜的情况有：①甲和乙胜，丙败；②甲和丙胜，乙败；③乙和丙胜，甲败；④甲、乙、丙都胜； 而甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5， 则①甲和乙胜，丙败的概率为：()0.60.510.50.15⨯⨯-=， ②甲和丙胜，乙败的概率为：()0.60.510.50.15⨯⨯-=， ③乙和丙胜，甲败的概率为：()0.50.510.60.1⨯⨯-=， ④甲、乙、丙都胜的概率为：0.60.50.50.15⨯⨯=，则红队至少两名队员获胜的概率为：0.150.150.10.150.55+++=. 故『答案』为：0.55.20. ABC 是钝角三角形，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是____________.『答案』)『解析』因为 ABC 是钝角三角形，且最大的边为c ，所以角C 为钝角，所以222214cos 024a b c c C ab +-+-==<，解得>c又因为123c <+=3c <<，故『答案』为：)三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21.已知121232,4a e e b e e =-=+，其中()()121,0,0,1e e ==，求： （1）a b ⋅；a b +； （2）a 与b 的夹角的余弦值．解：（1）()()()31,020,13,2a =⨯-⨯=-，()()()41,00,14,1b =⨯+= ．()342110a b ⋅=⨯+-⨯=()2222213201750a b a ba ab b +=+=+⋅+=++=∴|52a b +=． （2）cos ,1317a b a b a b⋅〈〉===22.从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；（2）用分层抽样方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，写出所有可能的结果，并求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.解：（1）苹果的重量在[90,95)的频率为200.450= （2）重量在[80,85)的有541515⨯=+（个） （3）设这4个苹果中重量在[80,85)的有1个，记为1，重量在[90,95)的有3个，分别记的为2，3，4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种，设任取2 个，重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的事件为A ，则事件A 包含有（1，2），（1，3），（1，4）共3种，所以31()62P A == 23.C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．（Ⅰ）求A； （Ⅱ）若a =2b =求C ∆AB 的面积．解：（1）根据平面向量//m n ，列出方程，在利用正弦定理求出tan A 的值，即可求解角A 的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出bc 的最大值，即得ABC ∆的面积的最大值. 试题『解析』（1）因为向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B平行， 所以0asinB ＝， 由正弦定理得sinAsinB －0sinBcosA ＝，又sin 0B ≠，从而tanA ，由于0<A<π，所以A ＝3π. （2）由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，而a ，b ＝2，A ＝3π， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c>0，所以c ＝3. 故△ABC 的面积为12bcsinA 24.设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且211z -≤≤. （1）求1||z 的值以及1z 的实部的取值范围； （2）若1111z z ω-=+，求证ω为纯虚数； （3）在（2）的条件下，求22z ω-的最小值.期中考试试题1 解：（1）由1z 是虚数，设1(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则21222222111()a bi a b z z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b -=+=++=++=++-++++， 因为2z 为实数，所以220b b a b-=+且0b ≠，所以221a b += 所以11z =，此时22z a =，因为211z -≤≤，所以121a -≤≤，得1122a -≤≤ （2）因为122111()[(1)][(1)]11()(1)z a bi a bi a bi z a bi a bω--+--+-===+++++，且221a b +=， 所以1b i aω=-+， 因为0b ≠，1122a -≤≤，所以ω为纯虚数 （3）2222221112222[(1)]3(1)(1)11b a a a a a a a a z a a ω--=+=+=+=++-++++-， 由1122a -≤≤，得1(1)21a a ++≥+， 故当且仅当111a a +=+，即0a =时，22z ω-有最小值1。