11.4-11.6 麦克斯韦速率分布规律 麦克斯韦-波尔兹曼分布律、分子平均碰撞次数和平均自由程
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N
dN
0
dN
f ()d
N
0N 0
8kT 8RT 1.60 RT
m
M mol
M mol
3、方均根速率
2
大量分子速率的平方平均值的平方根
2
2dN
0
2
f
(
)d
N
0
或由w 1 m2 3 kT
2
2
可得 2 3kT
v1~v2
v2 f ()d
v1
v2 f ()d
v1
v v1~v2
v2 vf (v)dv
v1
对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为
g()dN g()Nf ()d g() f ()d
g() 0
0
=0
0 dN
f () 4 (
m
) e 3 2
m2 2kT
2
1、最概然速率(也称最可几速率)
2 kT
p
与分布函数 f(υ)的极大值相对应的速率，表示
对所有相同的速率区间内，速率含有vp的那个
区间内的分子数占总分子数的百分比最大。P80
极值条件 df () 0
f (v)
d p
p
解： (1)气体分子的分布曲线如图
由归一化条件
f ()d 1
0
f ()
v0 0
A(0
)d
A 6
03
1
6 A
03
f ()
6
03
(0
)
0 0 o
M mol
M mol
f(v) f(vp1)
Mmol1
在相同温度下，分子质量越大，分
布曲线中的最概然速率vp 越小，但 归一化条件要求曲线下总面积不变，
因此分布曲线宽度变窄，高度增大，
f(vp2)
整个曲线比质量小的显得陡些，即 Mmol2 曲线随着分子质量变大而左移。P81
f(vp3)
Mmol3 T相同
1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他 的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论 的经典巨著《论电和磁》，并于1873年出版。 1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什实验 物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室， 1874 年 建 成 后 担 任 这 个 实 验 室 的 第 一 任 主 任 ， 直到1879年11月5日在剑桥逝世。
m
) e 3 2
m2 2kT
2
麦克斯韦速率分布函数
2 kT
玻耳兹曼常量 k R 1.381023 J/K
N0
一个分子处于v~v+dv区间内的概率
dN f ()d
N
4 (
m
)3
2
e
m 2
2kT
2d
2 kT
这就是麦克斯韦 速率分布定律 P79
麦克斯韦速率分布曲线 f (v)
下面哪种表述正确？
v （A） p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. v （B） p 是速率最大的速度值. v （C） p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比
率最大.
思考题：P96习题11.4
说明下列各量的物理意义：
1. f (v)dv 3.Nf (v)dv
o
2000 v / m s1
vp (H2 ) vp (O2 )
vp (H2 ) 2000m/s
vp (H2 ) vp (O2 )
M mol (O2 ) M mol (H2 )
32 4 2
vp (O2 ) 500m/s
讨 速率介于v1~v2之间的气体分子的平均速率的计算 论
m
2 3kT 3RT 1.73 RT
m
M mol
M mol
三种速率的比较
vp
2kT m
2RT M mol
p , , 2
f ()
v 8kT 8RT
πm
M mol
v2 3kT 3RT
m
M mol
都与 T成正比， 与 m（或 M mol ）成反比
RT kT
内分子出现的概率。或表示在速率v附近，速率区间 dv内的分子数占总分子数的百分比.
(2)nf ()d
表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数密度．
(3)Nf ()d dN
表示分布在速率v附近，dv速率区间内分子数。
(4) 2 f ()d N
1
N
表示在速率v1~v2区间内，分子出现的概率。
麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、 统计物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究。 尤其是他建立的电磁场理论，将电学、磁学、光 学统一起来，是19世纪物理学发展的最光辉的成 果，是科学史上最伟大的综合之一。
1859年麦克斯韦推导出理想气体的速率分布律： 理想气体处于平衡态且无外力场
f () 4 (
或表示分布在区间 v1 ~ v2 内的分子数占总分子数的百分比。
(5) 0 f ()d
表示分布在 0 ~ 的速率区间内所有分子，其与 总分子数的比值是1。
(6) 2 Nf ()d N 1
表示在v1~v2速率区间内，分子出现的个数。
7.
2
f
( )d
0
表示分布在速率0 ~ ∞区间内，分子速率平方的平均值。
2kT m
2RT
RT
1.41
M mol
M mol
o
vp
v
k R NA 1.381023 J K 1 玻尔兹曼常数
2、平均速率
g()dN g() f ()d
g() 0
0
0 dN
0 f ()d
大量分子速率的统计平均值
对于连续分布
iNi
圆筒不转，分子束的 分子都射在P处
圆筒转动，分子束中速率不同的分子将射在不同位置
t D v
D
v
l D
2
l D2
2v
测量不同弧长 l 处沉积在检测器上的金属层厚度，即
可求得分子束中各种速率 v 附近的分子数占总分子数
的比率，从而得到分子速率的分布率。
四、分子速率的三种统计平均值
麦克斯韦在 1859 年 从 理 论 上 预 言了理想气体的速率 分 布 律 。 60 年 后 ， 也就是1920年斯特恩 通过实验验证了这一 规律，后来拉美尔将 实验进一步完善。
测定分子速率分布的实验装置
真空室 B
A
S P
CP
分子源 狭缝 圆筒
C — 弯曲玻璃板，可沉积射 到它上面的各种速率的分子
2.nf (v)dv
4. v2 f (v)dv v1
(n为分子数密度)
5.0 f (v)dv
6. v2 Nf (v)dv v1
7. v 2 f (v)dv 0
答：由速率分布函数可知
f () dN Nd
f (v):表示在速率v附近的单位速率区间的分子数
占总分子数的百分比。
(1) f ()d dN / N : 表示在速率v附近，速率区间dv
M mol1 M mol 2 M mol3
O vp1 vp2 vp3
v
与P97习题11.7类似
vp
2kT m
2RT M mol
f (v) T1 300K
T2 1200K
f (v) O2 H2
o vp1 vp2
v
H2 分子在不同温度 （300K,1200K）下的速率分布
o vp0 vpH
1）
v
vp
Nf
(v)dv
2）
vp
1 2
mv 2
Nf
(v)dv
例 如图示两条 f (v) ~ v 曲线分别表示氢气和
氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图
上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .
f (v) O2
H2
vp
2RT M mol
M mol (H2 ) M mol (O2 )
11.4 麦克斯韦速率分布定律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速 度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
一、气体分子的速率分布函数 研究气体分子的速率分布 •把速率分成若干相等区间 •求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数 •各区间的分子数占气体分子总数的百分比 描述速率分布的方法有三种： 分布表 分布曲线 分布函数
v
同一温度下不同气体（如 O2和H2 ）的速率分布
说明:
P97习题11.5
1．三种统计速率都反映了大量分子作热运动的统计
规律，它们都与温度 T 成正比，与分子质量 m
(或
M
)成反比，且
mol
2 p 。在室温下，对
中等质量的分子来说，三种速率数量级一般为每秒几
百米。最概然速率最小，方均根速率最大。
dN f ()d
N
f ()
物理意义：在v ~ v+dv 区
间内,曲线下的面积表示速 o d
v
率分布在v ~ v+dv 之间的
分子数与总分子数的比率
曲线下面的总面积，等于分 布在整个速率范围内所有各 个速率间隔中的分子数与总 分子数的比率的总和
0 f ()d 1
归一化条件
麦克斯韦速率分布律的验证
f (v) dv dN dv dN
Ndv
N
v
f ()d 1
归一化条件
0
二、麦克斯韦速率分布规律
单个分子速率不可预知，大量分子的 速率分布遵循统计规律，是确定的，这个 规律也叫麦克斯韦速率分布律。
麦克斯韦是在1859年用统计概念导出
1920年斯特恩从实验上测出气体分子的 的速率分布
麦克斯韦是19世纪英国伟大的物理学家、 数学家。1831年11月13日生于苏格兰的爱丁堡， 自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克 斯韦从小受到良好的教育。10岁时进入爱丁堡 中学学习，14岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发 表了一篇关于二次曲线作图问题的论文，已显 露出出众的才华。1847年进入爱丁堡大学学习 数学和物理。1850年转入剑桥大学三一学院数 学系学习。1856年在苏格兰阿伯丁的马里沙耳 任自然哲学教授。1860年到伦敦国王学院任自 然哲学和天文学教授。1861年选为伦敦皇家学 会会员。
469.1m / s
由公式
v2 3RT M mol
v2
38.31 300 29 103
507.1m
/
s
例 已知分子数 N ，分子质量 m ，分布函数
f (v) 求 1） 速率在vp ~ v 间的分子数； 2）速率
在 vp ~ 间所有分子动能之和 .
解：速率在v v dv 间的分子数 dN Nf (v)dv
2．三种速率应用于不同问题的研究中。例如：
2 ──用来计算分子的平均平动动能，
在讨论气体压强和温度的统计规律中使用。
──用来讨论分子的碰撞，
计算分子运动的平均自由程，平均碰撞次数等。
P ──由于它是速率分布曲线中极大值所对应的
速率，所以在讨论分子速率分布时常被使用。
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 v p 的概念
M mol
m
o
p 2
五、麦克斯韦分布曲线的性质
vp
2kT m
2RT M mol
v 8kT 8RT
πm
M mol
v2 3kT 3RT
m
M mol
1、温度与分子速率
p
2kT m
2RT 1.41 RT
M mol
M mol
f(v)
f(vp1)
T1
f(vp2)
例：求空气分子在27°C时的最概然速率vP和平均速
率、方均根速率
解：由公式
vp
2RT M mol
T 300 K
M mol 29 10-3 kg/mol
vp
2
8.31 300 29 103
=414m
/
s
由公式
8RT v
M mol
v
8 8.31 300
29 103
T2
f(vp3)
在分子质量相同的条件下，温度越 高，分布曲线中的最概然速率υp 增 大，但归一化条件要求曲线下总面 积不变，因此分布曲线宽度增大，
T3 高度降低，整个曲线变得较平坦些。
m相同 T1 T2 T3
O vp1 vp2 vp3
v
2、质量与分子速率
p
2kT m
2RT
RT
1.41
N
N
Nv
Nv
v
v
O
O
定义：速率分布函数
பைடு நூலகம்
f ( v ) dN Ndv
物理意义：它表示在速率 v 附近的单位速率区间的
分子数占总分子数的百分比。
P78
或表示在速率 v 附近，单位速率区间内分子出现
的概率，即概率密度。
f ( v ) dN Ndv
vp
Ov
面积大小代表速率在v 附近dv区间内的分子 数占总分子数的比率
0 Nf ()d
0 f ()d
例题：设想有N个气体分子，其速率分布函数为
f
(
)
A
(0
0
)
0 0 0
试求: (1)常数A；(2)最可几速率，平均速率和方均根
速率；(3)速率介于0~v0/3之间的分子数；(4)速率介于 0~v0/3之间的气体分子的平均速率。
dN
0
dN
f ()d
N
0N 0
8kT 8RT 1.60 RT
m
M mol
M mol
3、方均根速率
2
大量分子速率的平方平均值的平方根
2
2dN
0
2
f
(
)d
N
0
或由w 1 m2 3 kT
2
2
可得 2 3kT
v1~v2
v2 f ()d
v1
v2 f ()d
v1
v v1~v2
v2 vf (v)dv
v1
对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为
g()dN g()Nf ()d g() f ()d
g() 0
0
=0
0 dN
f () 4 (
m
) e 3 2
m2 2kT
2
1、最概然速率(也称最可几速率)
2 kT
p
与分布函数 f(υ)的极大值相对应的速率，表示
对所有相同的速率区间内，速率含有vp的那个
区间内的分子数占总分子数的百分比最大。P80
极值条件 df () 0
f (v)
d p
p
解： (1)气体分子的分布曲线如图
由归一化条件
f ()d 1
0
f ()
v0 0
A(0
)d
A 6
03
1
6 A
03
f ()
6
03
(0
)
0 0 o
M mol
M mol
f(v) f(vp1)
Mmol1
在相同温度下，分子质量越大，分
布曲线中的最概然速率vp 越小，但 归一化条件要求曲线下总面积不变，
因此分布曲线宽度变窄，高度增大，
f(vp2)
整个曲线比质量小的显得陡些，即 Mmol2 曲线随着分子质量变大而左移。P81
f(vp3)
Mmol3 T相同
1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他 的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论 的经典巨著《论电和磁》，并于1873年出版。 1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什实验 物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室， 1874 年 建 成 后 担 任 这 个 实 验 室 的 第 一 任 主 任 ， 直到1879年11月5日在剑桥逝世。
m
) e 3 2
m2 2kT
2
麦克斯韦速率分布函数
2 kT
玻耳兹曼常量 k R 1.381023 J/K
N0
一个分子处于v~v+dv区间内的概率
dN f ()d
N
4 (
m
)3
2
e
m 2
2kT
2d
2 kT
这就是麦克斯韦 速率分布定律 P79
麦克斯韦速率分布曲线 f (v)
下面哪种表述正确？
v （A） p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. v （B） p 是速率最大的速度值. v （C） p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比
率最大.
思考题：P96习题11.4
说明下列各量的物理意义：
1. f (v)dv 3.Nf (v)dv
o
2000 v / m s1
vp (H2 ) vp (O2 )
vp (H2 ) 2000m/s
vp (H2 ) vp (O2 )
M mol (O2 ) M mol (H2 )
32 4 2
vp (O2 ) 500m/s
讨 速率介于v1~v2之间的气体分子的平均速率的计算 论
m
2 3kT 3RT 1.73 RT
m
M mol
M mol
三种速率的比较
vp
2kT m
2RT M mol
p , , 2
f ()
v 8kT 8RT
πm
M mol
v2 3kT 3RT
m
M mol
都与 T成正比， 与 m（或 M mol ）成反比
RT kT
内分子出现的概率。或表示在速率v附近，速率区间 dv内的分子数占总分子数的百分比.
(2)nf ()d
表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数密度．
(3)Nf ()d dN
表示分布在速率v附近，dv速率区间内分子数。
(4) 2 f ()d N
1
N
表示在速率v1~v2区间内，分子出现的概率。
麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、 统计物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究。 尤其是他建立的电磁场理论，将电学、磁学、光 学统一起来，是19世纪物理学发展的最光辉的成 果，是科学史上最伟大的综合之一。
1859年麦克斯韦推导出理想气体的速率分布律： 理想气体处于平衡态且无外力场
f () 4 (
或表示分布在区间 v1 ~ v2 内的分子数占总分子数的百分比。
(5) 0 f ()d
表示分布在 0 ~ 的速率区间内所有分子，其与 总分子数的比值是1。
(6) 2 Nf ()d N 1
表示在v1~v2速率区间内，分子出现的个数。
7.
2
f
( )d
0
表示分布在速率0 ~ ∞区间内，分子速率平方的平均值。
2kT m
2RT
RT
1.41
M mol
M mol
o
vp
v
k R NA 1.381023 J K 1 玻尔兹曼常数
2、平均速率
g()dN g() f ()d
g() 0
0
0 dN
0 f ()d
大量分子速率的统计平均值
对于连续分布
iNi
圆筒不转，分子束的 分子都射在P处
圆筒转动，分子束中速率不同的分子将射在不同位置
t D v
D
v
l D
2
l D2
2v
测量不同弧长 l 处沉积在检测器上的金属层厚度，即
可求得分子束中各种速率 v 附近的分子数占总分子数
的比率，从而得到分子速率的分布率。
四、分子速率的三种统计平均值
麦克斯韦在 1859 年 从 理 论 上 预 言了理想气体的速率 分 布 律 。 60 年 后 ， 也就是1920年斯特恩 通过实验验证了这一 规律，后来拉美尔将 实验进一步完善。
测定分子速率分布的实验装置
真空室 B
A
S P
CP
分子源 狭缝 圆筒
C — 弯曲玻璃板，可沉积射 到它上面的各种速率的分子
2.nf (v)dv
4. v2 f (v)dv v1
(n为分子数密度)
5.0 f (v)dv
6. v2 Nf (v)dv v1
7. v 2 f (v)dv 0
答：由速率分布函数可知
f () dN Nd
f (v):表示在速率v附近的单位速率区间的分子数
占总分子数的百分比。
(1) f ()d dN / N : 表示在速率v附近，速率区间dv
M mol1 M mol 2 M mol3
O vp1 vp2 vp3
v
与P97习题11.7类似
vp
2kT m
2RT M mol
f (v) T1 300K
T2 1200K
f (v) O2 H2
o vp1 vp2
v
H2 分子在不同温度 （300K,1200K）下的速率分布
o vp0 vpH
1）
v
vp
Nf
(v)dv
2）
vp
1 2
mv 2
Nf
(v)dv
例 如图示两条 f (v) ~ v 曲线分别表示氢气和
氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图
上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .
f (v) O2
H2
vp
2RT M mol
M mol (H2 ) M mol (O2 )
11.4 麦克斯韦速率分布定律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速 度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
一、气体分子的速率分布函数 研究气体分子的速率分布 •把速率分成若干相等区间 •求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数 •各区间的分子数占气体分子总数的百分比 描述速率分布的方法有三种： 分布表 分布曲线 分布函数
v
同一温度下不同气体（如 O2和H2 ）的速率分布
说明:
P97习题11.5
1．三种统计速率都反映了大量分子作热运动的统计
规律，它们都与温度 T 成正比，与分子质量 m
(或
M
)成反比，且
mol
2 p 。在室温下，对
中等质量的分子来说，三种速率数量级一般为每秒几
百米。最概然速率最小，方均根速率最大。
dN f ()d
N
f ()
物理意义：在v ~ v+dv 区
间内,曲线下的面积表示速 o d
v
率分布在v ~ v+dv 之间的
分子数与总分子数的比率
曲线下面的总面积，等于分 布在整个速率范围内所有各 个速率间隔中的分子数与总 分子数的比率的总和
0 f ()d 1
归一化条件
麦克斯韦速率分布律的验证
f (v) dv dN dv dN
Ndv
N
v
f ()d 1
归一化条件
0
二、麦克斯韦速率分布规律
单个分子速率不可预知，大量分子的 速率分布遵循统计规律，是确定的，这个 规律也叫麦克斯韦速率分布律。
麦克斯韦是在1859年用统计概念导出
1920年斯特恩从实验上测出气体分子的 的速率分布
麦克斯韦是19世纪英国伟大的物理学家、 数学家。1831年11月13日生于苏格兰的爱丁堡， 自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克 斯韦从小受到良好的教育。10岁时进入爱丁堡 中学学习，14岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发 表了一篇关于二次曲线作图问题的论文，已显 露出出众的才华。1847年进入爱丁堡大学学习 数学和物理。1850年转入剑桥大学三一学院数 学系学习。1856年在苏格兰阿伯丁的马里沙耳 任自然哲学教授。1860年到伦敦国王学院任自 然哲学和天文学教授。1861年选为伦敦皇家学 会会员。
469.1m / s
由公式
v2 3RT M mol
v2
38.31 300 29 103
507.1m
/
s
例 已知分子数 N ，分子质量 m ，分布函数
f (v) 求 1） 速率在vp ~ v 间的分子数； 2）速率
在 vp ~ 间所有分子动能之和 .
解：速率在v v dv 间的分子数 dN Nf (v)dv
2．三种速率应用于不同问题的研究中。例如：
2 ──用来计算分子的平均平动动能，
在讨论气体压强和温度的统计规律中使用。
──用来讨论分子的碰撞，
计算分子运动的平均自由程，平均碰撞次数等。
P ──由于它是速率分布曲线中极大值所对应的
速率，所以在讨论分子速率分布时常被使用。
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 v p 的概念
M mol
m
o
p 2
五、麦克斯韦分布曲线的性质
vp
2kT m
2RT M mol
v 8kT 8RT
πm
M mol
v2 3kT 3RT
m
M mol
1、温度与分子速率
p
2kT m
2RT 1.41 RT
M mol
M mol
f(v)
f(vp1)
T1
f(vp2)
例：求空气分子在27°C时的最概然速率vP和平均速
率、方均根速率
解：由公式
vp
2RT M mol
T 300 K
M mol 29 10-3 kg/mol
vp
2
8.31 300 29 103
=414m
/
s
由公式
8RT v
M mol
v
8 8.31 300
29 103
T2
f(vp3)
在分子质量相同的条件下，温度越 高，分布曲线中的最概然速率υp 增 大，但归一化条件要求曲线下总面 积不变，因此分布曲线宽度增大，
T3 高度降低，整个曲线变得较平坦些。
m相同 T1 T2 T3
O vp1 vp2 vp3
v
2、质量与分子速率
p
2kT m
2RT
RT
1.41
N
N
Nv
Nv
v
v
O
O
定义：速率分布函数
பைடு நூலகம்
f ( v ) dN Ndv
物理意义：它表示在速率 v 附近的单位速率区间的
分子数占总分子数的百分比。
P78
或表示在速率 v 附近，单位速率区间内分子出现
的概率，即概率密度。
f ( v ) dN Ndv
vp
Ov
面积大小代表速率在v 附近dv区间内的分子 数占总分子数的比率
0 Nf ()d
0 f ()d
例题：设想有N个气体分子，其速率分布函数为
f
(
)
A
(0
0
)
0 0 0
试求: (1)常数A；(2)最可几速率，平均速率和方均根
速率；(3)速率介于0~v0/3之间的分子数；(4)速率介于 0~v0/3之间的气体分子的平均速率。