11.4-11.6 麦克斯韦速率分布规律 麦克斯韦-波尔兹曼分布律、分子平均碰撞次数和平均自由程
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麦克斯韦速率分布
§6—5 气体分子速率的统计分布规律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规 律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向， 则叫麦克斯韦速率分布律。
一、分子速率分布函数
速率分布：各种不同速率范围内的分子数占总分子数的百 分比为多大。
麦克斯韦速率分布
下面列出了氧气分子在0OC时分子速率的分布情况
1、重力场中气体分子受力： （1）分子热运动——空间分布均匀 （2）重力作用——向低处下沉 平衡时，n(h)，P(h)，在空间形成非均匀的稳定 分布
2、公式推导：——流体静力学
h+dh h
今取一垂直于地面的气体圆
P+dP＝P’ 柱体。设地面处分子数密度
n 为 0 高度为h处的分子数密
P
为度 n 麦克斯韦速率分布
2、分子在势场中，n不均匀，考虑空间分布：
p
dN ndV n0e kT dxdydz
——在x，y，z处得体元dV中的分子数
在势场中，分子总是优麦克先斯韦速占率分据布 势能较低的状态。
v1
N v1
N
分子速率在υ1→ υ2间隔内的分子数占总分子数的百 分比。
分子速率出现在υ1→ υ2间隔内的概率。
麦克斯韦速率分布
(5) v2 Nf (v)dv v1
dN N N N v1 v2
分子速率出现在υ1→υ2间隔内的分子数。
(6) vf (v)dv v
——平均速率
0
(7) 1 f (v)dv ( 1 )——平均速率的倒数
3)所有小面积的和恒等于1。
麦克斯韦速率分布
分布函数 f (v)的意义
f (v)
f (v)
当 v 0
f (v) dN Ndv
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规 律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向， 则叫麦克斯韦速率分布律。
一、分子速率分布函数
速率分布：各种不同速率范围内的分子数占总分子数的百 分比为多大。
麦克斯韦速率分布
下面列出了氧气分子在0OC时分子速率的分布情况
1、重力场中气体分子受力： （1）分子热运动——空间分布均匀 （2）重力作用——向低处下沉 平衡时，n(h)，P(h)，在空间形成非均匀的稳定 分布
2、公式推导：——流体静力学
h+dh h
今取一垂直于地面的气体圆
P+dP＝P’ 柱体。设地面处分子数密度
n 为 0 高度为h处的分子数密
P
为度 n 麦克斯韦速率分布
2、分子在势场中，n不均匀，考虑空间分布：
p
dN ndV n0e kT dxdydz
——在x，y，z处得体元dV中的分子数
在势场中，分子总是优麦克先斯韦速占率分据布 势能较低的状态。
v1
N v1
N
分子速率在υ1→ υ2间隔内的分子数占总分子数的百 分比。
分子速率出现在υ1→ υ2间隔内的概率。
麦克斯韦速率分布
(5) v2 Nf (v)dv v1
dN N N N v1 v2
分子速率出现在υ1→υ2间隔内的分子数。
(6) vf (v)dv v
——平均速率
0
(7) 1 f (v)dv ( 1 )——平均速率的倒数
3)所有小面积的和恒等于1。
麦克斯韦速率分布
分布函数 f (v)的意义
f (v)
f (v)
当 v 0
f (v) dN Ndv
麦克斯韦气体速率分布律
麦克斯韦气体速率分布律Maxwell Velocity Distribution大家知道，由气体的温度公式可以得出气体分子的方均根速率。
例如在时，氦气。
氧气。
但我们要注意的是，方均根速率仅是运动速率的一种统计平均值，并非气体分子都以方均根速率运动。
事实上，处于平衡状态下的任何一种气体，各个分子均以不同的速率、沿各个方向运动着。
有的速率大于方均根速率，有的速率小于方均根速率，它们的速率可以取零到无穷大之间的任意值。
而且由于气体分子间的相互碰撞，每个分子的速度也在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。
然而就大量分子整体而言，在平衡状态下，分子的速率分布遵守一个完全确定的统计性分布规律又是必然的。
下面我们介绍麦克斯韦应用统计理论和方法导出的分子速率分布规律。
气体分子按速率分布的统计规律，最早是由麦克斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学中也导出该规律。
由于技术条件的限制，测定气体分子速率分布的实验，直到本世纪二十年代才实现。
1920年斯特恩（O.Stern首先测出银蒸汽分子的速率分布；1934年我国物理学家葛正权测出铋蒸汽分子的速率分布；1955年密勒（Mlier和库士（Kusch测出钍蒸汽分子的速率分布。
斯特恩实验是历史上最早验证麦克斯韦速率分布律的实验。
限于数学上的原因和本课程的要求，我们不推导这个定律，只介绍它的一些基本内容。
*麦克斯韦（J. C. Maxwell，1831—1879）英国物理学家，经典电磁理论的奠基人，气体动理论的创始人之一。
他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，这个理论包括电磁现象的所有基本定律，并预言了以光速传播的电磁波的存在。
1873年，他的《电磁学通论》问世，这本书凝聚着杜费、富烂克林、库仑、奥斯特、安培、法拉第……的心血，这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索电磁规律的一个里程碑。
麦克斯韦速率分布
M1W1 M 2W2 M nWn
真实值
N足够大：平均值
----统计平均值 涨落：统计规律总伴随有涨落 N越大，涨落越小；N越小，涨落越大。 热学系统，N足够大，涨落很小。
二、麦克斯韦速率分布律
1、速率分布函数
按统计假设，各种速率下的分子都存在， 用某一速率区间内分子数占总分子数的百分比， 表示分子按速率的分布规律。 N: 总分子数 dN: 速率区间 v v dv 内的分子数
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 8.31 300 v 508m / s 3 29 10
2
3kT v m
§6. 麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用
【讨论题】： 1.如图所示，SA= SB，v0代表什么？
S A f (v ) dv
0
v0
f (v )
S B f ( v ) dv
总分子数的百分比; 也表示在速率 v 附近单位 速率间隔内分子出现的概率，即概率密度。
2) 速率分布曲线： 即 f(v)~v 曲线
dN f (v ) Ndv dN f (vdv
v
dN N
§6. 麦克斯韦速率分布律/ 二、麦克斯韦速率分布规律
3) 在 f(v)~v 曲线下的面积为该速率区间 内分子出现的概率。
dN 表示速率区间 v v dv 内的分子 ： N 数占总分子数的百分比，也表示在速率 区间 v dv 内分子出现的概率。 v
麦克斯韦气体分子速率分布律
/18 4
1 2 1 2 1 2 1 21 2 m m m J J k tk r Cx Cy Cz y z 2 2 2 2 2
4. 非哑铃双原子分子的平均动能
对于非刚性双原子分子, 两原子间的距离随时间变化. 因此, 非刚性双原子分子除了平动和转动外, 还有振动. 如图所示, 双原子分子好像被一根弹簧相连. 原子分子沿x轴作一维简 谐振动.
v
d N Nf ( v ) d v
1
v 2 v v 速率位于 1 区间的分子数 N N f( v ) d v 2 v
速率位于 v v 1 2 区间的分子数占总数的百分比
N ( v v ) v 1 2 2 S f ( v ) d v v 1 N
麦氏分布函数
1 ( t r ) kT 2
请大家理解并记住单原子和刚性双原子及非刚性双原子 分子的各个自由度和总自由度. 并能用上式计算分子
的平均能量.
/1811
三
理想气体的内能
理想气体的内能 ：分子动能和分子内原 子间的势能之和.
1 mol 理想气体的内能
1 i E N N i kT RT ( R N k ) A A A 2 2
f( v ) 4 π ( 2 π kT
k 玻耳兹曼常数，若m、T
给定， 函数的形式可概括为
曲线
2 m v m 32 2 2 kT ) e v
速率分布曲线 有单峰，不对称
快减
快增
两者相乘
曲线
速率
恒取正
对分子质量为m 、热力学温度为T 、处于平衡态的气体 速率在 到 区间内的分子数 与总 分子数 之比
1）
第十一章 第三讲 麦克斯韦速率分布律
的那些分子的平均速率
v N
v0
vdN f (v)dv
v0
vf (v ) dv vf v (v)dv f (v)dv
v0 0 v0
10
v 2
v v dv
dN
v
速率在 v~v+dv: 内的分子数占总分子数的百分比 . 曲线下的总面积 归一化条件 S f (v)dv 1 0 v~v+dv内的几率. 也表示单个分子速率在区间
f ( v ) dv N
6
说明： 速率分布曲线 2).曲线峰值对应的速率:
最概然速率 vp vp vp 的物理意义：
2kT
f (v) 2 1 T1 , 2 T1 , 1 T2 T1T Nhomakorabea , 1
在一定温度下， 对相同的速率间隔 vp 所在的间隔内的分子数最多.
vp
曲线下总面积不变！
v
或者说，对一个分子来说，出现在 vp 所在的间隔内的概率最大. 3). 曲线形状与 T 和
的关系
① 同种气体，T , vp . 曲线顶点右移. 曲线变 平坦. ② 温度相同， , v p .
二、了解自由度概念，理解能量均分定理(重点) ，会计 算理想气体（刚性分子模型） 的内能 (重点). 三、了解麦克斯韦速率分布律、 分布函数和分布曲线
的物理意义 . 了解气体分子平均碰撞次数和平均自由程.
1
第十一章 气体动理论
( 第三讲 )
本讲主要内容： 麦克斯韦速率分布律
§11-5 麦克斯韦气体分子速率分布律 装置置于高真空之中 一、气体分子速率分布的测定 兰媚尔实验(了解)
vp v
麦克斯韦速率分布律
一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数 Z
平均自由程
v 1
Z
2 d 2n
与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比
p nkT
kT 2d 2 p
当温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比
在标准状态下，几种气体分子的平均自由程
气体 氢
氮
氧
空气
(m) 1.13 107 0.599107 0.647 107 7.0108
d (m) 2.301010 3.101010 2.901010 3.701010
例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰 撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知空气 的平均分子量为29。
解： 已知 T 273K , p 1.0atm 1.013105 Pa, d 3.51010 m
本次课内容
§7-5 麦克斯韦分子速率分布定律 §7-7 分子的平均碰撞次数和平均自由程
课本 pp241—262；练习册 第十七单元
§7-5 麦克斯韦分子速率分布定律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速 度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
麦克斯韦速率分布律: 1、速率分布率的实验测量 2、 分布函数及其意义 3、 麦克斯韦速率分布函数 4、 速率分布函数的应用
vx vy
dN N
(
m
2kT
)3
2
e
m 2kT
(vx2
v
2 y
vz
2
)dv
xdv
y
dvz
dN F(v)
Ndvxdv ydvz
速度空间单位体积元内的分子数占总分子数的比率， 即速度概率密度（气体分子速度分布函数）
大学物理麦克斯韦分子速率分布定律资料
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大.
11
例: 设有N个气体分子，其速率分布函数为
f
(
)
A
(0 0
)
0 0 0
求: (1)常数A；(2)最概然速率，平均速率和方均根；
(3)速率介于0~0/3之间的分子数；(4)速率介于0~ 0/3
之间的气体分子的平均速率。
f()
解： (1)气体分子的分布曲线如图
2 1300
N
dN
0
3 Nf ( )d
0
0 3
0
N
6
3 0
(0
)d
7N 27
13
(4)速率介于0~0/3之间的气体分子平均速率为
0~0 3
0
3 dN
0 0
0 3
0
N
6 v03
2
(
0
)d
30
7N 27
14
3 dN 0
注意：速率介于 1~ 2之间的气体分子的平均速率
的计算是
2f ( )d
1~2
1
2 f ( )d
1
而非
1 ~2
2f ( )d
1
14
作业题
设. 有N个粒子，其速率分布函数 f v 为
f
v
Av 30 v
0
v 30 v 30
求: （1）归一化常数A的值；（2）最概然速率
（3）N个粒子的平均速率 v
15
§3.4 麦克斯韦分子速率分布定律
任何一个分子，速度大小和方向都是偶然的， 不可预知。但在平衡态下,大量气体分子的速度分布 将具有稳定的规律 — 麦克斯韦速度分布律。
只考虑速度大小的分布—麦克斯韦速率分布律。
11
例: 设有N个气体分子，其速率分布函数为
f
(
)
A
(0 0
)
0 0 0
求: (1)常数A；(2)最概然速率，平均速率和方均根；
(3)速率介于0~0/3之间的分子数；(4)速率介于0~ 0/3
之间的气体分子的平均速率。
f()
解： (1)气体分子的分布曲线如图
2 1300
N
dN
0
3 Nf ( )d
0
0 3
0
N
6
3 0
(0
)d
7N 27
13
(4)速率介于0~0/3之间的气体分子平均速率为
0~0 3
0
3 dN
0 0
0 3
0
N
6 v03
2
(
0
)d
30
7N 27
14
3 dN 0
注意：速率介于 1~ 2之间的气体分子的平均速率
的计算是
2f ( )d
1~2
1
2 f ( )d
1
而非
1 ~2
2f ( )d
1
14
作业题
设. 有N个粒子，其速率分布函数 f v 为
f
v
Av 30 v
0
v 30 v 30
求: （1）归一化常数A的值；（2）最概然速率
（3）N个粒子的平均速率 v
15
§3.4 麦克斯韦分子速率分布定律
任何一个分子，速度大小和方向都是偶然的， 不可预知。但在平衡态下,大量气体分子的速度分布 将具有稳定的规律 — 麦克斯韦速度分布律。
只考虑速度大小的分布—麦克斯韦速率分布律。
高中物理奥林匹克竞赛专题--麦克斯韦气体分子速率分布率(共11张PPT)-经典通用课件资料
(组网图不能使用产品实物图， 所以大家要善于运用此示意图标)
Soft X (CS)
策略管理服务器
SGW 信令网关
GK
C&C08 iNET
MSR多业务交换机 （ATM/IP/MPLS）
路由器
原则上产品 都要用右边 的符号，但 对于无法用 符号表达的 就用此色块 示意，标上 名称即可。
ATM交换机
MD
MPLS
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vp
2kT m
2RT1.41 RT
M
M
f (v)
T1 T2
f (v)
1 2
1
1
2
2
o v p1 vp2
v
同一理想气体分子在不同温度下的速率分布
o v p1 v p2
v
同一温度下不同气体的速率分布
2021/10/10
上页
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7
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5-5 麦克斯韦气体分子速率分布律 第五章 气体动理论及热力学
0
N
N
v2 3kT
o
v
m
v2 3kT1.73kT1.73RT
m
m
M
2021/10/10
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9
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5-5 麦克斯韦气体分子速率分布律 第五章 气体动理论及热力学
f (v)
f max
o v p v v2
vp v v2
v
三个统计速率值都与
T 成正比，与 成反比。
讨论分子速率分布时，用到
p
计算分子的平均平动动能时，用到
3、这些图标大部分都有一定的透视，如果您注意其透视的一致性，再加以有透视感的 组网线，可以画出一张立体的组网图。
Soft X (CS)
策略管理服务器
SGW 信令网关
GK
C&C08 iNET
MSR多业务交换机 （ATM/IP/MPLS）
路由器
原则上产品 都要用右边 的符号，但 对于无法用 符号表达的 就用此色块 示意，标上 名称即可。
ATM交换机
MD
MPLS
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vp
2kT m
2RT1.41 RT
M
M
f (v)
T1 T2
f (v)
1 2
1
1
2
2
o v p1 vp2
v
同一理想气体分子在不同温度下的速率分布
o v p1 v p2
v
同一温度下不同气体的速率分布
2021/10/10
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5-5 麦克斯韦气体分子速率分布律 第五章 气体动理论及热力学
0
N
N
v2 3kT
o
v
m
v2 3kT1.73kT1.73RT
m
m
M
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5-5 麦克斯韦气体分子速率分布律 第五章 气体动理论及热力学
f (v)
f max
o v p v v2
vp v v2
v
三个统计速率值都与
T 成正比，与 成反比。
讨论分子速率分布时，用到
p
计算分子的平均平动动能时，用到
3、这些图标大部分都有一定的透视，如果您注意其透视的一致性，再加以有透视感的 组网线，可以画出一张立体的组网图。
大学物理第二十二讲 麦克斯韦、玻尔兹曼分布
T2 T1
vHale Waihona Puke 66.曲线随分子量的变化关系
m 2 f v 4 e 2 kT
3
mv 2 2 kT
v
2
☆分子质量越大，曲线峰值越向左，峰值也越高； 反之，质量越小，曲线峰值越向右，峰值也越低。 ☆分子质量越小，曲线越平坦。
f (v )
O2
He
mO2 mHe
4
3.曲线下面的总面积
S f (v )dv
0
N
0
dN 1 N
f (v )
dN f (v ) Ndv
dS
归一化条件
0
f v dv 1
4.曲线极大值的意义
o
f (v )
v dv
v
●速率值在 vP 附近的分子数占 总分子数的比率最大。
●或者说一个分子的速率取值 在vP 附近的概率最大。 ●速率 vP —最概然速率。
8
2.平均速率 v
●气体分子速率的统计平均值
dN f (v )dv N
v ~ v dv 内分子数：dN Nf (v )dv
dN 个分子速率总和：vdN vf (v ) Ndv
v
N
0
vdN N
0
vNf v dv N
vf v dv
0
●求分子速率的各种统计平均值的一般方法:
二、麦克斯韦速率分布律 ⒈ 速率分布函数 ★对某一个分子来说，其速度大小和方向完全是偶 然的。但就大量分子整体而言，在一定条件下，其 速度分布遵从一定的统计规律。 设 N 个分子，速率分布于 v ~ v + dv 区间的分子数为 dN ，则
麦克斯韦速率分布律
1 速率分布函数的概念
0°C 时,氧气分子速率分布的粗略情况
100 1以下 1~2 2~3 3~4 4~5 5~6 6~7 7~8 8~9 9以上
m/s
%
1.4
8.1
16. 5
21. 4
20. 6
15. 1
9.2
4.8
2.0
0.9
气体的速率从整体上看有统计规律性。
设速率 v v + dv 区间的分子数为dNv
vv f (v)dv N
v
N
例7 在Nf(v)~v曲线下的面积表示什么物理意义？ Nf(v)~v曲线下的面积为该速率区间内的分子数。
N f (v)
N f (v)
o v v dv
N f (v)dv dNv
v
v
o v v v
v v
v N f (v)dv N
vp
2
8.31 300 29 10 3
414
m/s
例5 试说明下列各式的物理意义。
(1)f (v)dv ,
(3
)v2 v1
f (v )dv ,
(2)Nf (v)dv ,
(
4
)v2 v1
Nf
(v )dv .
答：由速率分布函数可知 f (v) dNv Ndv
(1) f (v)dv dNv N
表示在速率v附近，dv速率区间内分子出现的概率。
f (v) dNv Ndv
(2)Nf (v)dv dNv
表示在速率v附近，dv速率区间内分子的个数。
(3
)v2 v1
f (v)dv
N N
表示在v1~v2速率区间内，分子出现的概率，或 在该速率区间内分子数占总分子数的百分数。
0°C 时,氧气分子速率分布的粗略情况
100 1以下 1~2 2~3 3~4 4~5 5~6 6~7 7~8 8~9 9以上
m/s
%
1.4
8.1
16. 5
21. 4
20. 6
15. 1
9.2
4.8
2.0
0.9
气体的速率从整体上看有统计规律性。
设速率 v v + dv 区间的分子数为dNv
vv f (v)dv N
v
N
例7 在Nf(v)~v曲线下的面积表示什么物理意义？ Nf(v)~v曲线下的面积为该速率区间内的分子数。
N f (v)
N f (v)
o v v dv
N f (v)dv dNv
v
v
o v v v
v v
v N f (v)dv N
vp
2
8.31 300 29 10 3
414
m/s
例5 试说明下列各式的物理意义。
(1)f (v)dv ,
(3
)v2 v1
f (v )dv ,
(2)Nf (v)dv ,
(
4
)v2 v1
Nf
(v )dv .
答：由速率分布函数可知 f (v) dNv Ndv
(1) f (v)dv dNv N
表示在速率v附近，dv速率区间内分子出现的概率。
f (v) dNv Ndv
(2)Nf (v)dv dNv
表示在速率v附近，dv速率区间内分子的个数。
(3
)v2 v1
f (v)dv
N N
表示在v1~v2速率区间内，分子出现的概率，或 在该速率区间内分子数占总分子数的百分数。
课件：麦克斯韦速率分布律
Nf (v) a
o
解：（1）由图可写出分子速率分布函数：
v0
2v0 v
a
Nv0
v
f
(v)
a N
0
(0 v v0 )
(v0 v 2v0 ) (v v0 )
由归一化条件，得
f (v)dv 1
，即
0
v0 a vdv 2v0 a dv 1
0 Nv0
N v0
2N a
3v0
（2）速率在区间[1.5v0，2.0v0]内的分子数：
区间的分子数占总分子数的 百分比 .
归一化条件
N dN f ( v )dv 1
0N
0
f (v)
dN f (v)dv dS
N
S
速率位于v v dv 内分子数
o
v1 v2 v
dN Nf (v)dv
速率位于
v1
v2
区间的分子数 N
v2
v1
N
f
(v)dv
速率位于 v1 v2 区间的分子数占总数的百分比
v
v f (v)dv
v0 v f (v)dv
v v0 1 dv v0
0
0
0 v0
2
2、导体中自由电子的运动，可看作类似气体分子 的运动（称为电子气）。设导体中共有N个自由电
子，其中电子的最大速率为vF（称为费米速率）。
电子速率分布函数为
f
(v
)
4 A
N
v
2
0
0 v vF v vF
v v1dN1 v2dN2 vidNi vndNn N
N
vdN vNf (v)dv
v 0
0
麦克斯韦速率分布定律
1859年, 麦克斯韦用概率论导出了气体分子速率分布 定律，后由玻尔兹曼使用经典统计力学理论导出.
1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
氧气分子在 0ºC 时的分子速率分布
(m / s)
100以下
N / N (%)
1.4
100－200
8.1
200－300
16.5
300－400
21.4
400－500
20.6
500－600
15.1
600－700
9.2
700－800
4.8
800－900
2.0
二．气体分子速率分布 N /(Nv)
p (O2 ) 500 m/s
例4. 设某气体的速率分布函数为
f (v )
av 2，(0 v v0 )
0 ， (v v 0 )
f (v )
求：（1）常量 a 和υ0 的关系 0 v0
v
（2）平均速率 v
（3）速率在 0 v 0 之间分子的平均速率v
2
解：（1）由归一化条件
N
0 / 4 0
f ()d
5N 32
（3）最可几速率
df () d p
0p
0
2
（4）
f
( )d
0
0
2
rms
2
[
1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
氧气分子在 0ºC 时的分子速率分布
(m / s)
100以下
N / N (%)
1.4
100－200
8.1
200－300
16.5
300－400
21.4
400－500
20.6
500－600
15.1
600－700
9.2
700－800
4.8
800－900
2.0
二．气体分子速率分布 N /(Nv)
p (O2 ) 500 m/s
例4. 设某气体的速率分布函数为
f (v )
av 2，(0 v v0 )
0 ， (v v 0 )
f (v )
求：（1）常量 a 和υ0 的关系 0 v0
v
（2）平均速率 v
（3）速率在 0 v 0 之间分子的平均速率v
2
解：（1）由归一化条件
N
0 / 4 0
f ()d
5N 32
（3）最可几速率
df () d p
0p
0
2
（4）
f
( )d
0
0
2
rms
2
[
麦克斯韦气体分子速率分布律
速率区间 （m/s）
100以下 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600 600～700 700～800 800～900
900以上
分子数出现的概率 ΔN/N
0.014 0.081 0.165 0.214 0.206 0.151 0.092 0.048 0.020 0.009
25
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
第七章 气体动理论
1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他的关于 电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著 《论电和磁》，并于1873年出版。1871年受聘为剑桥 大学新设立的卡文迪什实验物理学教授，负责筹建著 名的卡文迪什实验室，1874年建成后担任这个实验室 的第一任主任，直到1879年11月5日在剑桥逝世。
(v)dv
N
v1
N
表示在速率v1～v2速率区间内， 分子出现的概率。
(4)
v2
Nf (v)dv N
表示在速率v1 ～ v2速率区间内， 分子出现的个数。
v1
20
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
麦克斯韦速率分布律的实验 验证
麦克斯韦在 1860 年 从理论上预言了理想气 体的速率分布律。60 年 后，也就是 1920 年斯特 恩通过实验验证了这一 规律，后来密勒和库将 实验进一步完善。
ΔN→0
v
N vdN
vf (v)dv
0N
0
14
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
第七章 气体动理论
2.平均速率 v
v 0 vf (v)dv
代入麦克斯韦理想气体的速率分布函数：
v 4
m
3
/
2
麦克斯韦气体速率分布律
却进行得很慢。(演示）
克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前
进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分
子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。
一、平均自由程 和平均碰撞次数的定义
1、平均自由程 分子在连续两次碰撞之间
所经过的路程的平均值叫做平均自由程。(演示）
2、平均碰撞频率 Z 在单位时间内一个分子与其它分子碰撞的平均次 数，叫做分子的平均碰撞次数或平均碰撞频率。 3、二者关系
D l R 2
2、实验结果
•分子数在总分子数中所占 的比率与速率和速率间隔的 大小有关； •速率特别大和特别小的分 子数的比率非常小； •在某一速率附近的分子数 的比率最大； •改变气体的种类或气体的 温度时，上述分布情况有所 差别，但都具有上述特点。
二、麦克斯韦气体分子速率分布律
4-5 麦克斯韦气体速率分布律
4-6
4-7
玻尔兹曼能量分布律 等温气压公式(自学)
分子平均碰撞次数和平均自由程
4－5 麦克斯韦气体速率分布律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度 的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。 气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克
间v1 ~ v2 内的分子数 占总分子数的比率。
—— 分布在有限速率区
5. Nf (v )dv
v1
v2
N ( v2 )
N ( v1 )
dN
间 v1 ~ v2 内的分子数。
—— 分布在 0 ～ ∞ 速率区
6.
0
f (v )dv 1
间内的分子数占总分子数的 比率。（ 归一化条件）
—— v2 的平均值。
克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前
进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分
子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。
一、平均自由程 和平均碰撞次数的定义
1、平均自由程 分子在连续两次碰撞之间
所经过的路程的平均值叫做平均自由程。(演示）
2、平均碰撞频率 Z 在单位时间内一个分子与其它分子碰撞的平均次 数，叫做分子的平均碰撞次数或平均碰撞频率。 3、二者关系
D l R 2
2、实验结果
•分子数在总分子数中所占 的比率与速率和速率间隔的 大小有关； •速率特别大和特别小的分 子数的比率非常小； •在某一速率附近的分子数 的比率最大； •改变气体的种类或气体的 温度时，上述分布情况有所 差别，但都具有上述特点。
二、麦克斯韦气体分子速率分布律
4-5 麦克斯韦气体速率分布律
4-6
4-7
玻尔兹曼能量分布律 等温气压公式(自学)
分子平均碰撞次数和平均自由程
4－5 麦克斯韦气体速率分布律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度 的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。 气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克
间v1 ~ v2 内的分子数 占总分子数的比率。
—— 分布在有限速率区
5. Nf (v )dv
v1
v2
N ( v2 )
N ( v1 )
dN
间 v1 ~ v2 内的分子数。
—— 分布在 0 ～ ∞ 速率区
6.
0
f (v )dv 1
间内的分子数占总分子数的 比率。（ 归一化条件）
—— v2 的平均值。
大学物理学11.6 麦克斯韦分子速率分布律(2)-三种统计速率
o
v
v 1 .60 kT 1 .60 RT
m
M
3）方均根速率 v 2
f (v)
N v2dN v2Nf (v)dv
v2 0
0
N
N
o
v
v2 3kT
m
vp v v2
vrms
v2
3kT m
3RT M
v 1.60 kT 1.60 RT
m
M
vp
2kT m
大学物理
第11章 气体动理论
§11.3 麦克斯韦速率分布律(2)
三种统计速率
主讲教师：郭进教授
三、 三种统计速率
1）最概然速率 vp
df (v) 0 dv vvp
根据分布函数求得
f (v)
f max
o vp v
M mNA ,R NA k
vp
2kT 1.41 kT
m
m
vp 1.41
2RT M
vp
2kT m
v 8kT
πm
v2 3kT
m
f (v)
T1 300K T2 1200K
o vp1 vp2
v
N2 分子在不同温 度下的速率分布
f (v)
O2 H2
o vp0 vpH
v
同一温度下不同 气体的速率分布
都与 成正比， 与 （或 ）成反比 f(v)
v
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 vp 的概念
f(vp2) f(vp3)
Mmol2 Mmol1
vp
v
(2)最可几速率由
决定，即
平均速率 方均速率 方均根速率为
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1）
v
vp
Nf
(v)dv
2）
vp
1 2
mv 2
Nf
(v)dv
例 如图示两条 f (v) ~ v 曲线分别表示氢气和
氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图
上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .
f (v) O2
H2
vp
2RT M mol
M mol (H2 ) M mol (O2 )
469.1m / s
由公式
v2 3RT M mol
v2
38.31 300 29 103
507.1m
/
s
例 已知分子数 N ，分子质量 m ，分布函数
f (v) 求 1） 速率在vp ~ v 间的分子数； 2）速率
在 vp ~ 间所有分子动能之和 .
解：速率在v v dv 间的分子数 dN Nf (v)dv
N
dN
0
dN
f ()d
N
0N 0
8kT 8RT 1.60 RT
m
M mol
M mol
3
2dN
0
2
f
(
)d
N
0
或由w 1 m2 3 kT
2
2
可得 2 3kT
v1~v2
v2 f ()d
v1
v2 f ()d
v1
v v1~v2
v2 vf (v)dv
v1
对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为
g()dN g()Nf ()d g() f ()d
g() 0
0
=0
0 dN
f () 4 (
m
) e 3 2
m2 2kT
2
1、最概然速率(也称最可几速率)
2 kT
p
与分布函数 f(υ)的极大值相对应的速率，表示
对所有相同的速率区间内，速率含有vp的那个
区间内的分子数占总分子数的百分比最大。P80
极值条件 df () 0
f (v)
d p
p
m
2 3kT 3RT 1.73 RT
m
M mol
M mol
三种速率的比较
vp
2kT m
2RT M mol
p , , 2
f ()
v 8kT 8RT
πm
M mol
v2 3kT 3RT
m
M mol
都与 T成正比， 与 m（或 M mol ）成反比
RT kT
麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、 统计物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究。 尤其是他建立的电磁场理论，将电学、磁学、光 学统一起来，是19世纪物理学发展的最光辉的成 果，是科学史上最伟大的综合之一。
1859年麦克斯韦推导出理想气体的速率分布律： 理想气体处于平衡态且无外力场
f () 4 (
N
N
Nv
Nv
v
v
O
O
定义：速率分布函数
f ( v ) dN Ndv
物理意义：它表示在速率 v 附近的单位速率区间的
分子数占总分子数的百分比。
P78
或表示在速率 v 附近，单位速率区间内分子出现
的概率，即概率密度。
f ( v ) dN Ndv
vp
Ov
面积大小代表速率在v 附近dv区间内的分子 数占总分子数的比率
T2
f(vp3)
在分子质量相同的条件下，温度越 高，分布曲线中的最概然速率υp 增 大，但归一化条件要求曲线下总面 积不变，因此分布曲线宽度增大，
T3 高度降低，整个曲线变得较平坦些。
m相同 T1 T2 T3
O vp1 vp2 vp3
v
2、质量与分子速率
p
2kT m
2RT
RT
1.41
2kT m
2RT
RT
1.41
M mol
M mol
o
vp
v
k R NA 1.381023 J K 1 玻尔兹曼常数
2、平均速率
g()dN g() f ()d
g() 0
0
0 dN
0 f ()d
大量分子速率的统计平均值
对于连续分布
iNi
11.4 麦克斯韦速率分布定律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速 度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
一、气体分子的速率分布函数 研究气体分子的速率分布 •把速率分成若干相等区间 •求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数 •各区间的分子数占气体分子总数的百分比 描述速率分布的方法有三种： 分布表 分布曲线 分布函数
2．三种速率应用于不同问题的研究中。例如：
2 ──用来计算分子的平均平动动能，
在讨论气体压强和温度的统计规律中使用。
──用来讨论分子的碰撞，
计算分子运动的平均自由程，平均碰撞次数等。
P ──由于它是速率分布曲线中极大值所对应的
速率，所以在讨论分子速率分布时常被使用。
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 v p 的概念
o
2000 v / m s1
vp (H2 ) vp (O2 )
vp (H2 ) 2000m/s
vp (H2 ) vp (O2 )
M mol (O2 ) M mol (H2 )
32 4 2
vp (O2 ) 500m/s
讨 速率介于v1~v2之间的气体分子的平均速率的计算 论
下面哪种表述正确？
v （A） p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. v （B） p 是速率最大的速度值. v （C） p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比
率最大.
思考题：P96习题11.4
说明下列各量的物理意义：
1. f (v)dv 3.Nf (v)dv
解： (1)气体分子的分布曲线如图
由归一化条件
f ()d 1
0
f ()
v0 0
A(0
)d
A 6
03
1
6 A
03
f ()
6
03
(0
)
0 0 o
M mol
m
o
p 2
五、麦克斯韦分布曲线的性质
vp
2kT m
2RT M mol
v 8kT 8RT
πm
M mol
v2 3kT 3RT
m
M mol
1、温度与分子速率
p
2kT m
2RT 1.41 RT
M mol
M mol
f(v)
f(vp1)
T1
f(vp2)
M mol
M mol
f(v) f(vp1)
Mmol1
在相同温度下，分子质量越大，分
布曲线中的最概然速率vp 越小，但 归一化条件要求曲线下总面积不变，
因此分布曲线宽度变窄，高度增大，
f(vp2)
整个曲线比质量小的显得陡些，即 Mmol2 曲线随着分子质量变大而左移。P81
f(vp3)
Mmol3 T相同
圆筒不转，分子束的 分子都射在P处
圆筒转动，分子束中速率不同的分子将射在不同位置
t D v
D
v
l D
2
l D2
2v
测量不同弧长 l 处沉积在检测器上的金属层厚度，即
可求得分子束中各种速率 v 附近的分子数占总分子数
的比率，从而得到分子速率的分布率。
四、分子速率的三种统计平均值
内分子出现的概率。或表示在速率v附近，速率区间 dv内的分子数占总分子数的百分比.
(2)nf ()d
表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数密度．
(3)Nf ()d dN
表示分布在速率v附近，dv速率区间内分子数。
(4) 2 f ()d N
1
N
表示在速率v1~v2区间内，分子出现的概率。
0 Nf ()d
0 f ()d
例题：设想有N个气体分子，其速率分布函数为
f
(
)
A
(0
0
)
0 0 0
试求: (1)常数A；(2)最可几速率，平均速率和方均根
速率；(3)速率介于0~v0/3之间的分子数；(4)速率介于 0~v0/3之间的气体分子的平均速率。
麦克斯韦是19世纪英国伟大的物理学家、 数学家。1831年11月13日生于苏格兰的爱丁堡， 自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克 斯韦从小受到良好的教育。10岁时进入爱丁堡 中学学习，14岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发 表了一篇关于二次曲线作图问题的论文，已显 露出出众的才华。1847年进入爱丁堡大学学习 数学和物理。1850年转入剑桥大学三一学院数 学系学习。1856年在苏格兰阿伯丁的马里沙耳 任自然哲学教授。1860年到伦敦国王学院任自 然哲学和天文学教授。1861年选为伦敦皇家学 会会员。
v
同一温度下不同气体（如 O2和H2 ）的速率分布
说明:
P97习题11.5
1．三种统计速率都反映了大量分子作热运动的统计
规律，它们都与温度 T 成正比，与分子质量 m