新教材人教B版选择性必修第二册 4.2.3第1课时n次独立重复试验与二项分布 课件

所以 ξ 的分布列为
ξ 0 12 3
P
1 27
2 9
4 9
8 27
(2)用 C 表示“甲得 2 分乙得 1 分”这一事件，用 D 表示“甲得 3 分 乙得 0 分”这一事件，所以 AB＝C∪D，且 C，D 互斥，
又 P(C)＝C232321－2323×31×12＋13×32× P(D)＝C3323313×31×12＝345， 由互斥事件的概率公式得
＝23k·13，k＝0,1,2,3,4； P(η＝5)＝P(5 个均为绿灯)＝235. 故 η 的分布列为
η01 2 3 4 5
P
1 3
2 9
4 27
8 81
16 243
32 243
1．本例属于二项分布，当 X 服从二项分布时，应弄清 X～B(n， p)中的试验次数 n 与成功概率 p.
2．解决二项分布问题的两个关注点 (1)对于公式 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足 “独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式． (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对 立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即 试验是独立重复地进行了 n 次．
12＋13×13×12＝1304 ，
P(AB)＝P(C)＋P(D)＝1304 ＋345＝3345 ＝23443.
对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问 题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中 的某一种；其次，要判断事件是 A＋B 还是 AB，确定事件至少有一 个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用 相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复 试验的概率公式求解.
(2)随机变量 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4，且 ξ～B4，12. ∴P(ξ＝k)＝Ck412k1－124－k ＝Ck4124(k＝0,1,2,3,4)． ∴随机变量 ξ 的分布列为
ξ 0 123 4
P
1 16
1 4
3 8
1 4
1 16
独立重复试验与二项分布的综合应用 [探究问题] 1．王明做 5 道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对 的道数服从二项分布吗？为什么？ [提示] 服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果 只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做 5 道题可以 看成“一道题”重复做了 5 次，做对的道数就是 5 次试验中“做对” 这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．
[解] (1)设事件 A 表示“甲选做 14 题”，事件 B 表示“乙选做 14 题”，则甲、乙 2 名考生选做同一道题的事件为“A∩B＋ A ∩ B ”，且事 件 A，B 相互独立．
∴P(A∩B＋ A ∩ B )＝P(A)P(B)＋P( A )P( B ) ＝12×12＋1－12×1－12＝12.
C．0.88×0.22
D．0.82×0.28
A [∵X～B(10,0.8)，∴P(X＝8)＝C810×0.88×0.22，故选 A.]
3．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．
3源自文库8
[抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果不
受影响，故由 n 次独立重复试验可知，所求概率为 P＝C1312122＝38.]
二项分布
【例 2】 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有 5 个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概 率都是13.
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数 ξ 的分布列； (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口 数 η 的分布列．
[思路点拨] (1)首先判断 ξ 是否服从二项分布，再求分布列．(2) 注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确 η 的取值，再求 η 取各 值的概率．
【例 3】 甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队 3 人，每人回答 一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答 对的概率均为23，乙队中 3 人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答 正确与否相互之间没有影响．用 ξ 表示甲队的总得分．
(1)求随机变量 ξ 的分布列； (2)用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件，用 B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求 P(AB)．
注意到上述 X 的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋ p)n＝C0np0qn＋C1np1qn－1＋…＋Cknpkqn－k＋…＋Cnnpnq0 中对应项的值，因 此称 X 服从参数为 n，p 的二项分布，记作 X～B(n，p) ．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)n 次独立重复试验的每次试验结果可以有多种． ( )
2．王明做 5 道单选题，其中 2 道会做，其余 3 道均随机选一个 答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从 二项分布？
[提示] 不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机 选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点．判断一个随 机变量是否服从二项分布关键是看它是不是 n 次独立重复试验，随机 变量是否为在这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点 的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．
4．下列说法正确的是________．(填序号) ①某同学投篮的命中率为 0.6，他 10 次投篮中命中的次数 X 是 一个随机变量，且 X～B(10,0.6)； ②某福彩的中奖概率为 p，某人一次买了 8 张，中奖张数 X 是一 个随机变量，且 X～B(8，p)； ③从装有 5 个红球、5 个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出 白球为止，则摸球次数 X 是随机变量，且 X～Bn，12.
[跟进训练] 2．9 粒种子分种在 3 个坑内，每坑放 3 粒，每粒种子发芽的概 率为 0.5，若一个坑内至少有 1 粒种子发芽，则这个坑不需要补种， 若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补 种一次，求需要补种坑数的分布列．
[解] 因为单个坑内的 3 粒种子都不发芽的概率为123＝18，所以 单个坑不需要补种的概率为 1－18＝78.
[解] (1)ξ～B5，13，ξ 的分布列为 P(ξ＝k) ＝Ck513k235－k，k＝0,1,2,3,4,5. 故 ξ 的分布列为
ξ0 1 2 3 4 5
P
32 243
80 243
80 243
40 243
10 243
1 243
(2)η 的分布列为 P(η＝k)＝P(前 k 个是绿灯，第 k＋1 个是红灯)
设需要补种的坑数为 X，则 X 的可能取值为 0,1,2,3，这是 3 次独 立重复试验，
P(X＝0)＝C03×180×783＝354132， P(X＝1)＝C13×181×782＝154172，
P(X＝2)＝C23×182×781＝52112， P(X＝3)＝C33×183×780＝5112， 所以需要补种坑数的分布列为
第四章 概率与统计
4.2 随机变量 4.2.3 二项分布与超几何分布 第1课时 n次独立重复试验与二项分布
学习目标 1．理解 n 次独立重复试验的模
核心素养
型．(重点)
1．通过学习 n 次独立重复试验及
2．理解二项分布．(难点)
二项分布，体会数学抽象的素养．
3．能利用 n 次独立重复试验的模 2．借助二项分布解题，提高数学
(2)两点分布是特殊的二项分布．
()
(3)二项分布可以看作是有放回抽样．
()
(4)n 次独立重复试验中，每次试验的条件可以略有不同．
()
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．若 X～B(10,0.8)，则 P(X＝8)等于( )
A．C810×0.88×0.22
B．C810×0.82×0.28
2．(变结论)在本例(2)的条件下，求甲未击中、乙击中 2 次的概 率．
[解] 记“甲未击中目标”为事件 A4，“乙击中 2 次”为事件 B4， 则 P(A4)＝C021－232＝19，P(B4)＝C22342＝196，所以甲未击中、乙击中 2 次的概率为 P(A4B4)＝19×196＝116.
独立重复试验概率求法的三个步骤
2．二项分布
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为 p，记
q＝1－p，且 n 次独立重复试验中出现“成功”的次数为 X，则 X 的
取值范围是{0,1，…，k，…，n}， 而且 P(X＝k)＝ Cknpkqn－k ，k＝0,1，…，n，
因此 X 的分布列如下表所示．
X0
1 … k …n
P C0np0qn C1np1qn－1 … Cknpkqn－k … Cnnpnq0
[思路点拨] (1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没 有影响，所以 ξ 服从二项分布，其中 n＝3，p＝23.
(2)AB 表示事件 A，B 同时发生，即甲、乙两队总得分之和为 3 且甲队总得分大于乙队总得分．
[解] (1)由题意知，ξ 的可能取值为 0,1,2,3，且 p(ξ＝0)＝C031－233＝217， P(ξ＝1)＝C13231－232＝29， P(ξ＝2)＝C232321－23＝49， P(ξ＝3)＝C33233＝287.
X0 1 2 3
P
343 512
147 512
21 512
1 512
课堂 小结 提素 养
1．独立重复试验的基本特征 (1)每次试验都在同样条件下进行． (2)每次试验都只有两种结果：发生与不发生． (3)各次试验之间相互独立． (4)每次试验，某事件发生的概率都是一样的．
[跟进训练] 1．在一次数学考试中，第 14 题和第 15 题为选做题．规定每位 考生必须且只需在其中选做一题．设 4 名考生选做每道题的可能性均 为12，且各人的选择相互之间没有影响． (1)求其中甲、乙 2 名考生选做同一道题的概率； (2)设这 4 名考生中选做第 15 题的人数为 ξ 名，求 ξ 的分布列．
①② [①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回 地摸球，但随机变量 X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面 摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．]
合作 探究 释疑 难
独立重复试验的概率
【例 1】 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34， 假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．
1．n 次独立重复试验 在相同条件下重复 n 次伯努利试验时，人们总是约定这 n 次试验 是相互独立的，此时这 n 次伯努利试验也常称为 n 次独立重复试验．
思考：独立重复试验必须具备哪些条件？
[提示] (1)每次试验的条件完全相同，相同事件的概率不变； (2)各次试验结果互不影响； (3)每次试验结果只有两种，这两种结果是对立的．
(2)记“甲射击 2 次，恰有 2 次击中目标”为事件 A2，“乙射击 2 次，恰有 1 次击中目标”为事件 B2，则
P(A2)＝C22×232＝49，P(B2)＝C12×341×1－34＝38. 由于甲、乙射击相互独立，故 P(A2B2)＝49×38＝16.
1．(变结论)在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标 1 次的概率． [解] 记“甲击中目标 1 次”为事件 A3，“乙击中目标 1 次”为事件 B3，则 P(A3)＝C12×23×13＝94，P(B3)＝38， 所以甲、乙均击中目标 1 次的概率为 P(A3B3)＝94×83＝16.
(1)求甲射击 3 次，至少 1 次未击中目标的概率； (2)求两人各射击 2 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 1 次的概率．
[解] (1)记“甲射击 3 次至少有 1 次未击中目标”为事件 A1，由 题意，射击 3 次，相当于 3 次独立重复试验．
故 P(A1)＝1－P( A 1)＝1－233＝1297.
型及二项分布解决一些简单的实 运算的素养.
际问题.
情境 导学 探新 知
在学校组织的高二篮球比赛中，通过小组循环，甲、乙两班顺利 进入最后的决赛．在每一场比赛中，甲班取胜的概率为 0.6，乙班取 胜的概率是 0.4，比赛既可以采用三局两胜制，又可以采用五局三胜 制．
问题：如果你是甲班的一名同学，你认为采用哪种赛制对你班更 有利？