贪婪算法之——单源最短路径
dijkstra例题详解
dijkstra例题详解Dijkstra算法是一种求解单源最短路径问题的贪心算法，它是由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra在1956年提出的。
Dijkstra算法可以解决有向有权图中单个源节点到其他所有节点的最短路径问题。
下面我们就来看一下Dijkstra算法的具体流程和实例。
一、Dijkstra算法的基本思想Dijkstra算法是一种基于贪心算法的思想，它采用了一种逐步逼近的方式来得到最短路径。
Dijkstra算法主要基于两个概念：1.已知最短路径节点集合S2.未知最短路径节点集合Q初始时，已知最短路径节点集合S为空，未知最短路径节点集合Q包含所有节点。
第一步，从未知最短路径节点集合Q中选取一个节点v，使得该节点到源节点的距离最短，并把这个节点加入到已知最短路径节点集合S中。
第二步，根据新加入的节点v，更新其他节点到源节点的距离。
如果节点w到源节点的距离通过v缩短了，那么就更新节点w的距离。
重复以上两个步骤，直到集合S包含所有节点。
二、Dijkstra算法的实现步骤具体实现Dijkstra算法的步骤如下：1.首先，初始化一个距离数组dis，保存源节点到每个节点的最短距离，初始化为INF（无穷大）。
2.初始化一个标记数组vis，保存每个节点是否已经走过，初始化为false。
3.设置源节点的距离为0，并将其放入优先队列中。
4.重复以下步骤，直到队列为空：从队列中取出距离源节点最近的节点u，将其标记为vis[u]=true。
遍历节点u的所有邻节点v，若vis[v]=false，则计算源节点到v的距离，并更新dis[v]。
将节点v放入优先队列中。
5.最终，dis数组中保存的就是源节点到每个节点的最短距离。
三、Dijkstra算法的例题详解现在我们来看一个Dijkstra算法的例题。
假设有一个无向有权图，图中有5个节点，给定起点s，节点之间的边和边权如下图所示。
给定起点s，求源节点s到每个节点的最短路径。
单源最短路径
单源最短路径问题I 用贪心算法求解贪心算法是一种经典的算法，通常以自顶向下的方式进行，以迭代的方式作出相继的贪心选择，每作一次贪心选择就将所求问题简化为规模更小的子问题。
一般具有2个重要的性质：贪心选择性质和最优子结构性质。
一、问题描述与分析单源最短路径问题是一个经典问题，给定带权有向图G =(V,E)，其中每条边的权是非负实数。
另外，还给定V中的一个顶点，称为源。
现在要计算从源到所有其他各顶点的最短路长度。
这里路的长度是指路上各边权之和。
这个问题通常称为单源最短路径问题。
分析过程：运用Dijkstra算法来解决单源最短路径问题。
具备贪心选择性质具有最优子结构性质计算复杂性二、算法设计（或算法步骤）用贪心算法解单源最短路径问题：1.算法思想：设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。
一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。
初始时，S中仅含有源。
设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。
Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。
一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其他顶点之间的最短路径长度。
2.算法步骤：(1) 用带权的邻接矩阵c来表示带权有向图, c[i][j]表示弧<vi,vj>上的权值. 若<vi, vj>∉V,则置c[i][j]为∞。
设S为已知最短路径的终点的集合,它的初始状态为空集。
从源点v到图上其余各点vi的当前最短路径长度的初值为：dist[i]=c[v][i] vi∈V。
(2) 选择vj, 使得dist[j]=Min{dist[i] | vi∈V-S}，vj就是长度最短的最短路径的终点。
令S=SU{j}。
的当前最短路径长度:(3) 修改从v到集合V-S上任一顶点vk如果dist[j]+c[j][k]< dist[k] 则修改dist[K]= dist[j]+c[j][k](4) 重复操作(2),(3)共n-1次.三、算法实现#include <iostream>#include <stdlib.h>using namespace std;#define MAX 1000000 //充当"无穷大"#define LEN sizeof(struct V_sub_S)#define N 5#define NULL 0int s; //输入的源点int D[N]; //记录最短路径int S[N]; //最短距离已确定的顶点集const int G[N][N] = { {0, 10, MAX, 30, 100},{MAX, 0, 50, MAX, MAX},{MAX, MAX, 0, MAX, 10},{MAX, MAX, 20, 0, 60},{MAX, MAX, MAX, MAX, 0} };typedef struct V_sub_S //V-S链表{int num;struct V_sub_S *next;};struct V_sub_S *create(){struct V_sub_S *head, *p1, *p2;int n = 0;head = NULL;p1 = (V_sub_S *)malloc(LEN);p1->num = s;head = p1;for(int i = 0; i < N+1; i ++){if(i != s){++ n;if(n == 1)head = p1;elsep2->next = p1;p2 = p1;p1 = (V_sub_S *)malloc(LEN);p1->num = i;p1->next = NULL;}}free(p1);return head;}struct V_sub_S *DelMin(V_sub_S *head, int i) //删除链表中值为i 的结点{V_sub_S *p1, *p2;p1 = head;while(i != p1->num && p1->next !=NULL){p2 = p1;p1 = p1->next;}p2->next = p1->next;return head;}void Dijkstra(V_sub_S *head, int s){struct V_sub_S *p;int min;S[0] = s;for(int i = 0; i < N; i ++){D[i] = G[s][i];}for(i = 1; i < N; i ++){p = head->next;min = p->num;while(p->next != NULL){if(D[p->num] > D[(p->next)->num])min = (p->next)->num;p = p->next;}S[i] = min;head = DelMin(head, min);p = head->next;while(p != NULL){if(D[p->num] > D[min] + G[min][p->num]){D[p->num] = D[min] + G[min][p->num];}p = p->next;}}}void Print(struct V_sub_S *head){struct V_sub_S *p;p = head->next;while(p != NULL){if(D[p->num] != MAX){cout << "D[" << p->num << "]: " << D[p->num] << endl;p = p->next;}else{cout << "D[" << p->num << "]: " << "∞" << endl;p = p->next;}}}int main(){struct V_sub_S *head;cout << "输入源点s (0到4之间): ";cin >> s;head = create();Dijkstra(head, s);head = create();Print(head);system("pause");return 0;}运行结果：四、算法分析（与改进）对于具有n个顶点和e条边的带权有向图，如果用带权邻接矩阵表示这个图，那么Dijkstra算法的主循环体需要O(n)时间。
最短路径算法
§distance[j]=distance[u]+G[u][j]; §path[j]=u; §}}}
2、算法的正确性和计算复杂性
(1)贪心选择性质 (2)最优子结构性质 (3)计算复杂性 对于具有n个顶点和e条边的带权有向图，如果用 带权邻接矩阵表示这个图，那么Dijkstra算法的主循 环体需要 O (n)时间。这个循环需要执行n-1次，所以完 O(时间。算法的其余部分所需要时间不 n2 ) 成循环需要 O(n 2 ) 超过 。
7.5所有点对的最短路径问题
§对于一个各边权值均大于0的有n个顶点的带 权有向图G=(V,E)，求所有顶点之间的最短 路径和最短距离。
图的邻接矩阵表示法
1
1 1
3
0 2
9
2
2
8 9 6
V = 2
3
L= 8 0 6
1 ∞ 0
(b )
(a )
复习Dijkstra算法
其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作 基本思想是 设置顶点集合S 贪心选择来扩充这个集合 一个顶点属于集合S 来扩充这个集合。 贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S 当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。 当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。 初始时， 中仅含有源点。 初始时，S中仅含有源点。设u是G的某一个 顶点，把从源点到u且中间只经过S 顶点，把从源点到u且中间只经过S中顶点的路称 为从源到u的特殊路径，并用数组dist distance记录 为从源到u的特殊路径，并用数组dist 记录 当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。 当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。 Dijkstra算法每次从 算法每次从V Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路 长度的顶点u 添加到S 长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组 distance作必要的修改。一旦S包含了所有V中 作必要的修改。 dist 作必要的修改 一旦S包含了所有V 顶点，distance就记录了从源到所有其它顶点 顶点，dist 就记录了从源到所有其它顶点 之间的最短路径长度。 之间的最短路径长度。
单源最短路径dijkstra算法c语言
单源最短路径dijkstra算法c语言单源最短路径问题是图论中的经典问题之一，指的是在图中给定一个起始节点，求出该节点到其余所有节点之间的最短路径的算法。
其中，Dijkstra 算法是一种常用且高效的解决方案，可以在有向图或无向图中找到起始节点到其余所有节点的最短路径。
本文将逐步介绍Dijkstra算法的思想、原理以及C语言实现。
一、Dijkstra算法的思想和原理Dijkstra算法的思想基于贪心算法，通过逐步扩展当前已知路径长度最短的节点来逐步构建最短路径。
算法维护一个集合S，初始时集合S只包含起始节点。
然后，选择起始节点到集合S之外的节点的路径中长度最小的节点加入到集合S中，并更新其他节点的路径长度。
具体来说，算法分为以下几个步骤：1. 初始化：设置起始节点的路径长度为0，其他节点的路径长度为无穷大。
2. 选择最小节点：从集合S之外的节点中选择当前路径长度最短的节点加入到集合S中。
3. 更新路径长度：对于新加入的节点，更新与其相邻节点的路径长度（即加入新节点后的路径长度可能更小）。
4. 重复步骤2和3，直到集合S包含所有节点。
二、Dijkstra算法的C语言实现下面我们将逐步讲解如何用C语言实现Dijkstra算法。
1. 数据结构准备首先，我们需要准备一些数据结构来表示图。
我们可以使用邻接矩阵或邻接表来表示图。
这里，我们选择使用邻接矩阵的方式来表示权重。
我们需要定义一个二维数组来表示图的边权重，以及一个一维数组来表示起始节点到各个节点的路径长度。
c#define MAX_NODES 100int graph[MAX_NODES][MAX_NODES];int dist[MAX_NODES];2. 初始化在使用Dijkstra算法之前，我们需要对数据进行初始化，包括路径长度、边权重等信息。
cvoid initialize(int start_node, int num_nodes) {for (int i = 0; i < num_nodes; i++) {dist[i] = INT_MAX; 将所有节点的路径长度初始化为无穷大}dist[start_node] = 0; 起始节点到自身的路径长度为0初始化边权重for (int i = 0; i < num_nodes; i++) {for (int j = 0; j < num_nodes; j++) {if (i == j) {graph[i][j] = 0; 自身到自身的边权重为0} else {graph[i][j] = INT_MAX; 其他边权重初始化为无穷大}}}}3. 主要算法接下来是Dijkstra算法的主要逻辑。
单源次短路径
单源次短路径
（原创实用版）
目录
1.单源最短路径的定义
2.单源最短路径的算法
3.单源最短路径的应用实例
正文
一、单源最短路径的定义
在图论中，单源最短路径是指从指定的源节点到图中其他所有节点的最短路径。
这里的最短路径是指路径长度最短，即经过的边数最少。
对于有向图来说，单源最短路径可能存在多个，而对于无向图来说，单源最短路径是唯一的。
二、单源最短路径的算法
求解单源最短路径的经典算法是 Dijkstra 算法和 Floyd 算法。
1.Dijkstra 算法
Dijkstra 算法是一种贪心算法，它每次选择距离源节点最近的节点进行扩展，直到到达目标节点。
算法的基本思想是每次将源节点到当前已扩展节点的距离与源节点到其他未扩展节点的距离进行比较，选出距离最近的节点进行扩展。
扩展的过程中，需要将已扩展的节点的距离更新为新扩展的节点的距离。
2.Floyd 算法
Floyd 算法是一种动态规划算法，它通过计算源节点到其他所有节点的距离，来确定最短路径。
算法的基本思想是：对于每个节点 i，我们尝试将其他所有节点作为中间节点，看看是否能够从源节点到达该节点，如果能够到达，我们就更新该节点到其他节点的距离。
三、单源最短路径的应用实例
单源最短路径在实际生活中有很多应用，比如：
1.最短路径导航：在导航系统中，我们需要从起点到终点规划出一条最短路径，以便为用户提供最佳的行驶路线。
2.物流配送：在物流配送中，我们需要从仓库到各个配送点规划出一条最短路径，以便为顾客提供最快的配送服务。
单源最短路径(贪心法)实验报告
算法分析与设计实验报告第 5 次实验使用贪心法求出给定图各点的最短路径，并计算算法的执行时间，分析算法的有效性。
已知一个有向网络 G=(V,E)和源点 V1，如上所示，求出从源点出发到图中其余顶点的最短路径。
1 用邻接矩阵表示有向图，并进行初始化，同时选择源点；}手动输入实现实验所给图形：随机数产生图的权值：通过这次实验，我回顾了回溯法求解最短路径问题，在其中加入了舍伍德附录：完整代码#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<time.h>#define maxint 1000int c[200][200]={0};void Dijkstra(int n,int v,int dist[],int prev[]){ bool s[maxint];for(int i=1;i<=n;i++){dist[i]=c[v][i];s[i]=false;if(dist[i]==maxint) prev[i]=0;else prev[i]=v;} //找到第一个可行源点 s[]标志，记录prev[]前一个点dist[v]=0;s[v]=true;for(int i=1;i<n;i++){int temp=maxint;int u=v;for(int j=1;j<=n;j++){if((!s[j])&&(dist[j]<temp)){u=j;temp=dist[j];}}s[u]=true;for(int j=1;j<=n;j++){int newdist=dist[u]+c[u][j];if(newdist<dist[j]){dist[j]=newdist;prev[j]=u;}}}}int main(){int n,v;printf("请输入顶点数： ");scanf("%d",&n);//printf("路径： ");srand(time(0));for(int i=1;i<n+1;i++){for(int j=1;j<n+1;j++){/* scanf("%d",&c[i][j]);*/ ///手动输入if(i!=j){if((c[j][i]==0)||(c[j][i]==1000))c[i][j]=rand()%100+1;else c[i][j]=1000;if(c[i][j]>50) c[i][j]=1000;}}}printf("请输入源点： ");scanf("%d",&v);int dist[n+1],prev[n+1];printf("\n路径：\n");for(int i=1;i<n+1;i++){for(int j=1;j<n+1;j++)printf("%5d ",c[i][j]);printf("\n");}Dijkstra(n,v,dist,prev);for(int i=1;i<n+1;i++){printf("\n%d到%d的最短路径为：%d",v,i,dist[i]);}}。
贪心法
贪心法贪心法(Greedy Approach)又称贪婪法, 在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择，或者说是：总是作出在当前看来最好的选择。
也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。
当然，希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。
虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。
如单源最短路经问题，最小生成树问题等。
在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。
贪心法的设计思想当一个问题具有以下的性质时可以用贪心算法求解:每一步的局部最优解，同事也说整个问题的最优解。
如果一个问题可以用贪心算法解决，那么贪心通常是解决这个问题的最好的方法。
贪婪算法一般比其他方法例如动态规划更有效。
但是贪婪算法不能总是被应用。
例如，部分背包问题可以使用贪心解决，但是不能解决0-1背包问题。
贪婪算法有时也用用来得到一个近似优化问题。
例如，旅行商问题是一个NP难问题。
贪婪选择这个问题是选择最近的并且从当前城市每一步。
这个解决方案并不总是产生最好的最优解，但可以用来得到一个近似最优解。
让我们考虑一下任务选择的贪婪算法的问题, 作为我们的第一个例子。
问题：给出n个任务和每个任务的开始和结束时间。
找出可以完成的任务的最大数量，在同一时刻只能做一个任务。
例子:下面的6个任务：start[] = {1, 3, 0, 5, 8, 5};finish[] = {2, 4, 6, 7, 9, 9};最多可完成的任务是：{0, 1, 3, 4}贪婪的选择是总是选择下一个任务的完成时间至少在剩下的任务和开始时间大于或等于以前选择任务的完成时间。
我们可以根据他们的任务完成时间，以便我们总是认为下一个任务是最小完成时间的任务。
1)按照完成时间对任务排序2)选择第一个任务排序数组元素和打印。
3) 继续以下剩余的任务排序数组。
……a)如果这一任务的开始时间大于先前选择任务的完成时间然后选择这个任务和打印。
第三章 贪心算法
2021/2/22
5
如果问题改成：砝码的种类分别为11克、5克和1克， 待称的物体是15克。用贪婪算法应先选一个11克的，然 后选四个1克的，共用五个砝码。这不是最优结果，只 要用三个5克的砝码就够了。
贪婪算法虽不能保证得到最优结果，但对于一些除
了“穷举”方法外没有有效算法的问题，用贪婪算法往
往能很快地得出较好的结果，如果此较好结果与最优结 果相差不是很多的话，此方法还是很实用的。
2021/2/22
9
当n不太大时，适当的取k值，此改进方法常常可以得到 最优解，但不能因此就说一般背包问题有多项式算法。 当n增大时，k不能随着n不断的加大，如k随n增大而同 时加大，其复杂性就是指数型而不是多项式型的了，而 如k取值较小，又不能保证得出最优解。
实验项目名称∶用贪心算法解单源最短路径问题
实验项目名称：用贪心算法解单源最短路径问题一、实验目的：明确单源最短路径问题的概念；利用贪心算法解决单源最短路径问题；并通过本例熟悉贪心算法在程序设计中的应用方法。
二、实验原理：贪心算法原理：在贪婪算法（greedy method）中采用逐步构造最优解的方法。
在每个阶段，都作出一个看上去最优的决策（在一定的标准下）。
决策一旦作出，就不可再更改。
作出贪婪决策的依据称为贪婪准则（greedy criterion）。
三、实验内容与步骤：问题描述：求网（带权有向图）中从一个顶点到其余各顶点间的最短路径。
一个有向图G，它的每条边都有一个非负的权值c[i,j]，“路径长度”就是所经过的所有边的权值之和。
对于源点需要找出从源点出发到达其他所有结点的最短路径。
基本思想分步求出最短路径，每一步产生一个到达新目的顶点的最短路径。
下一步所能达到的目的顶点通过如下贪婪准则选取：在未产生最短路径的顶点中，选择路径最短的目的顶点。
设置顶点集合S并不断作贪心选择来扩充这个集合。
当且仅当顶点到该顶点的最短路径已知时该顶点属于集合S。
初始时S中只含源。
设u为G中一顶点，我们把从源点到u 且中间仅经过集合S中的顶点的路称为从源到u特殊路径，并把这个特殊路径记录下来（例如程序中的dist[i]）。
每次从V-S选出具有最短特殊路径长度的顶点u，将u添加到S中，同时对特殊路径长度进行必要的修改。
一旦V=S，就得到从源到其他所有顶点的最短路径，也就得到问题的解。
如上图所示，编程实现求从任一顶点出发到其它顶点的最短路径长度。
如下：please input the first number:00->0:00->1:450->2:100->3:250->4:450->5:50please input the first number:11->0:351->1:01->2:151->3:181->4:101->5:15please input the first number:22->0:202->1:352->2:02->3:152->4:452->5:50please input the first number:33->0:553->1:203->2:353->3:03->4:303->5:35please input the first number:44->0:634->1:284->2:434->3:84->4:04->5:5please input the first number:55->0:585->1:235->2:385->3:35->4:335->5:0四实验结果与结论自己总结五实验中遇到的问题及解决办法自己总结六实验结论自己总结参考程序段如下#include<stdio.h>#define MAX 10000int main(){int cost[6][6]={{0,50,10,MAX,45,MAX},{MAX,0,15,MAX,10,MAX},{20,MAX,0,15,MAX,MAX},{MAX,20,MAX,0,35,MAX},{MAX,MAX,MAX,30,0,5},{MAX,MAX,MAX,3,MAX,0}};int s[6],dist[6];int n;int i,j,k,m,min;clrscr();printf("please input the first number:");while(scanf("%d",&n)&&n>=0&&n<6){for(i=0;i<6;i++){s[i]=0;dist[i]=cost[n][i];}s[n]=1,dist[n]=0;for(j=1;j<6;j++){min=MAX;for(k=0;k<6;k++){if(s[k]==0&&min>dist[k]){min=dist[k];m=k;}}if(min==MAX)break;s[m]=1,dist[m]=min;for(k=0;k<6;k++){if(s[k]==0)dist[k]=(dist[k]<(dist[m]+cost[m][k]))?dist[k]:(dist[m]+cost[m ][k]);}}for(i=0;i<6;i++){if(dist[i]<MAX)printf("%d->%d:%d\n",n,i,dist[i]);}printf("please input the first number:");}}。
dijkstra算法求解过程
Dijkstra算法求解过程简介Dijkstra算法是解决单源最短路径问题的经典算法之一，它通过贪心策略逐步确定从源点到其他所有节点的最短路径。
该算法的核心思想是利用优先队列，不断选择最短路径中还未确定最短路径的节点，直到找到源点到目标节点的最短路径。
算法思路1.创建一个优先队列Q，并初始化源点到所有其他节点的距离为无穷大（表示未确定最短路径）。
2.将源点到自身的距离设置为0，将源点加入优先队列Q。
3.从Q中选择距离最短的节点u，并标记节点u的最短路径为确定。
4.遍历节点u的所有邻接节点v，更新源点到v的距离，如果发现新的最短路径，则更新路径长度并将节点v加入优先队列Q。
5.重复步骤3和4，直到优先队列Q为空。
算法步骤详解初始化首先，我们需要创建一个优先队列Q，并初始化源点到所有其他节点的距离为无穷大。
同时，将源点到自身的距离设置为0，将源点加入优先队列Q。
选择最短路径节点从优先队列Q中选择距离最短的节点u，将其标记为最短路径已确定的节点。
更新最短路径遍历节点u的所有邻接节点v，计算从源点到节点v的距离。
如果发现新的最短路径，则更新节点v的路径长度，并将节点v加入优先队列Q。
重复步骤3和4重复进行步骤3和4，直到优先队列Q为空。
这样就能够找到源点到所有其他节点的最短路径。
算法实例下面通过一个具体的示例来演示Dijkstra算法的求解过程。
假设有如下图所示的带权有向图，我们需要求解从源点A到其他所有节点的最短路径：4A -------> B| /|\| / || 2 | \3| \/ \/| C---D| / || /1 |2| \/ |--->E------>F我们先初始化距离表，将源点A到所有其他节点的距离设置为无穷大，源点A到自身的距离设置为0：节点距离A 0——- —-B ∞——- —-C ∞——- —-D ∞——- —-E ∞——- —-F ∞接着，将源点A加入优先队列Q。
单源最短路径算法
单源最短路径算法常见的单源最短路径算法有迪杰斯特拉算法(Dijkstra's algorithm)和贝尔曼-福特算法(Bellman-Ford algorithm)。
本文将详细介绍这两种算法的实现原理和特点。
1.迪杰斯特拉算法：迪杰斯特拉算法是一种用于求解带权重图的单源最短路径的算法。
它的基本思想是，维护一个集合S，初始时包含源节点，不断地向集合S中加入离源节点最近的节点，直到所有节点都加入了集合S。
在每次加入节点的过程中，更新源节点到集合S中每个节点的最短距离。
迪杰斯特拉算法的步骤如下：1)初始化源节点的最短距离为0，其他节点的最短距离为无穷大。
2)将源节点加入集合S。
3)对于源节点的每个邻居节点，更新从源节点到邻居节点的最短距离。
如果更新后的距离更短，更新邻居节点的最短距离。
4)从集合S中选择一个离源节点最近的节点加入集合S，并重复步骤35)重复步骤4，直到所有节点都加入了集合S。
迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是节点的数量。
在稠密图中，即边的数量接近节点的数量平方时，迪杰斯特拉算法表现较好。
2.贝尔曼-福特算法：贝尔曼-福特算法是一种用于求解带有负权重边的单源最短路径的算法。
与迪杰斯特拉算法不同的是，贝尔曼-福特算法可以处理负权重边。
贝尔曼-福特算法的基本思想是，通过对边进行松弛操作，不断地更新节点的最短距离，直到找到所有节点的最短距离。
算法的步骤如下：1)初始化源节点的最短距离为0，其他节点的最短距离为无穷大。
2)对于边的数量-1次迭代，做以下操作：a)遍历所有边，对每条边(u,v)，如果源节点u的最短距离加上边的权重w小于目标节点v的最短距离，则更新目标节点v的最短距离。
3)再进行一次遍历，如果仍然存在可以松弛的边，则说明存在负权重环。
贝尔曼-福特算法的时间复杂度为O(V*E)，其中V是节点的数量，E 是边的数量。
相较于迪杰斯特拉算法，贝尔曼-福特算法的时间复杂度更高，但是它可以处理带有负权重边的图。
贪婪算法(例题及相关解答)
第 1 章贪婪算法虽然设计一个好的求解算法更像是一门艺术，而不像是技术，但仍然存在一些行之有效的能够用于解决许多问题的算法设计方法，你可以使用这些方法来设计算法，并观察这些算法是如何工作的。
一般情况下，为了获得较好的性能，必须对算法进行细致的调整。
但是在某些情况下，算法经过调整之后性能仍无法达到要求，这时就必须寻求另外的方法来求解该问题。
本章首先引入最优化的概念，然后介绍一种直观的问题求解方法：贪婪算法。
最后，应用该算法给出货箱装船问题、背包问题、拓扑排序问题、二分覆盖问题、最短路径问题、最小代价生成树等问题的求解方案。
1.1 最优化问题本章及后续章节中的许多例子都是最优化问题（ optimization problem），每个最优化问题都包含一组限制条件（ c o n s t r a i n t）和一个优化函数（ optimization function），符合限制条件的问题求解方案称为可行解（feasible solution），使优化函数取得最佳值的可行解称为最优解（optimal solution）。
例1-1 [ 渴婴问题] 有一个非常渴的、聪明的小婴儿，她可能得到的东西包括一杯水、一桶牛奶、多罐不同种类的果汁、许多不同的装在瓶子或罐子中的苏打水，即婴儿可得到n 种不同的饮料。
根据以前关于这n 种饮料的不同体验，此婴儿知道这其中某些饮料更合自己的胃口，因此，婴儿采取如下方法为每一种饮料赋予一个满意度值：饮用1盎司第i 种饮料，对它作出相对评价，将一个数值s i 作为满意度赋予第i 种饮料。
通常，这个婴儿都会尽量饮用具有最大满意度值的饮料来最大限度地满足她解渴的需要，但是不幸的是：具有最大满意度值的饮料有时并没有足够的量来满足此婴儿解渴的需要。
设a i是第i 种饮料的总量（以盎司为单位），而此婴儿需要t 盎司的饮料来解渴，那么，需要饮用n种不同的饮料各多少量才能满足婴儿解渴的需求呢？设各种饮料的满意度已知。
贪心算法和分支限界法解决单源最短路径
贪⼼算法和分⽀限界法解决单源最短路径单源最短路径计科1班朱润华 2012040732⽅法1：贪⼼算法⼀、贪⼼算法解决单源最短路径问题描述：单源最短路径描述：给定带权有向图G=(V,E),其中每条边的权是⾮负实数。
另外，还给定V中的⼀个顶点，称之为源(origin)。
现在要计算从源到其他各顶点的最短路径的长度。
这⾥的路径长度指的是到达路径各边权值之和。
Dijkstra算法是解决单源最短路径问题的贪⼼算法。
Dijkstra算法的基本思想是：设置顶点集合S并不断地做贪⼼选择来扩充集合。
⼀个顶点属于集合S当且仅当从源点到该顶点的最短路径长度已知。
贪⼼扩充就是不断在集合S中添加新的元素（顶点）。
初始时，集合S中仅含有源(origin)⼀个元素。
设curr是G的某个顶点，把从源到curr 且中间只经过集合S中顶点的路称之为从源到顶点curr的特殊路径，并且使⽤数组distance记录当前每个顶点所对应的最短路径的长度。
Dijkstra算法每次从图G中的(V-S)的集合中选取具有最短路径的顶点curr，并将curr加⼊到集合S中，同时对数组distance 进⾏必要的修改。
⼀旦S包含了所有的V中元素，distance数组就记录了从源(origin)到其他顶点的最短路径长度。
⼆、贪⼼算法思想步骤：Dijkstra算法可描述如下，其中输⼊带权有向图是G=(V,E)，V={1,2,…，n}，顶点v 是源。
c是⼀个⼆维数组，c[i][j]表⽰边(i,j)的权。
当(i,j)不属于E时，c[i][j]是⼀个⼤数。
dist[i]表⽰当前从源到顶点i的最短特殊路径长度。
在Dijkstra算法中做贪⼼选择时，实际上是考虑当S添加u之后，可能出现⼀条到顶点的新的特殊路，如果这条新特殊路是先经过⽼的S到达顶点u,然后从u经过⼀条边直接到达顶点i，则这种路的最短长度是dist[u]+c[u][i]。
如果dist[u]+c[u][i]1、⽤带权的邻接矩阵c来表⽰带权有向图, c[i][j]表⽰弧上的权值。
单源最短路径算法
单源最短路径算法单源最短路径算法：1. 介绍：单源最短路径算法是指从一个特定的节点出发，通过最短路径算法求出在一个有向图中从该节点到所有其他节点的最短路径。
它把有向图要解决的问题划分为多个子问题来解决，各个子问题在组合解决方案时，子问题体现出来的更小的子问题有其更小的解，有的解可能是最优的。
单源最短路径算法既可以解决简单的有向图问题，也可以解决更复杂的有向图问题，如多边权图、有向网络等。
2. 定义与基本概念：单源最短路径算法中常见的一些基本概念包括：图(Graph)、边(Edge)、节点(Vertex)、权重(Weight)。
图是一种数据结构，它由若干节点和关联的边组成，是可以表达复杂数据关系的抽象数据类型；边是表示从一个节点指向另一个节点的连接；节点是图的基本单位，表示在图的一个位置；权重是一个网络中每条边所具有的值得，表示两个节点之间的距离或者需要消耗的时间。
3. 核心思想单源最短路径算法的核心思想是通过不断寻找与每个节点有已知最短路径的前驱节点，来求出一条最优路径。
该算法以最初的节点作为起点，为每个节点设定两个值：起点到该节点的最短路径长度，以及最短路径上的前驱节点。
根据该节点的前驱节点的信息，再到前驱节点求解最短路径，从而得到从起点到该节点的最短路径，从而解决最短路径问题。
4. 常见的单源最短路径算法一般的单源最短路径算法有：深度优先搜索法、广度优先搜索法、dijkstra算法和Bellman-Ford算法等。
深度优先搜索法是从搜索起点出发，沿着树的深度遍历树的节点，直到找到满足条件的叶子节点，再回到上一层，回溯，继续前进，直到遍历完整棵树为止。
广度优先搜索法是按照深度从上到下遍历，当搜索某一层节点，再搜索它们的所有子节点，直到找到满足条件的节点，然后再逐步回溯，直到遍历完整棵树。
Dijkstra算法又被称为单源最短路径算法，它的核心思想是求出从源点到任何一个节点的最短路径，该算法采用贪心策略，不断地更新未求出的点的最短路径，最终能够求出从源点到其他的所有点的最短路径。
列举用贪心算法求解的经典问题
列举用贪心算法求解的经典问题
1. 零钱兑换问题：给定一些面值不同的硬币和一个金额，要求用最少的硬币凑出这个金额。
2. 最小生成树问题：给定一个无向带权图，要求用最小的权值构建一棵生成树。
3. 背包问题：给定一些物品和一个背包，每个物品有对应的价值和重量，要求在背包容量限制下，选取物品使得总价值最大。
4. 活动安排问题：有若干个活动需要分配一段时间，每个活动有对应的开始时间和结束时间，要求选取尽可能多的活动，使得任两个安排的活动时间不重叠。
5. 单源最短路径问题：给定一个有向带权图和一个起始节点，要求求出从起始节点到其他所有节点的最短路径。
6. 任务调度问题：有若干个需要完成的任务和多个可执行任务的处理器，要求将任务分配给处理器，使得执行总时间最小。
7. 区间覆盖问题：给定一些区间，要求用尽可能少的区间覆盖整个线段。
8. 哈夫曼编码问题：给定一些字符及其对应的出现概率，要求用最短的编码方式表示这些字符。
最短路径优先算法
最短路径优先算法
最短路径优先算法是指从源节点到目标节点的路径中，选择权值最小的一条路径作为最短路径的过程。
常见的最短路径优先算法有Dijkstra 算法和Floyd算法。
Dijkstra算法是一种基于贪心策略的单源最短路径算法，可以求出一个顶点到所有其他顶点的最短路径。
该算法使用了一种叫做“标号法”的方法，通过使用已经确定为最短路径的节点来更新其他节点的距离。
具体实现中，可以使用一个优先队列来维护最小距离的候选节点，每次从中选出一个距离最短的节点进行扩展。
Dijkstra算法适用于权值为正的有向无环图（DAG）和权值为正的无向图。
Floyd算法是一种动态规划算法，可以求出任意两个节点之间的最短路径，适用于权值可以为负的图。
Floyd算法的核心思想是利用中间节点的信息来更新路径长度，通过不断缩小问题规模，最终得到最优解。
具体实现中，可以使用一个二维数组来存储任意两点之间的距离，通过不断更新数组中的值来求解最短路径。
两种算法的时间复杂度均为O(n^2)，但是Dijkstra算法的空间复杂度更低，因为它只需要记录每个节点到源节点的距离；而Floyd算法需要记录任意两个节点之间的距离，空间复杂度较高。
总结Dijkstra算法的主要思想
总结Dijkstra算法的主要思想Dijkstra算法是一种用于在图中找到从起点到终点的最短路径的算法。
它被称为单源最短路径算法，因为它是从给定的一个起点开始搜索到其他所有节点的最短路径。
Dijkstra算法的主要思想是通过使用贪婪策略逐步构建最短路径树。
其具体步骤如下：1. 创建一个包含所有节点的数组，其中存放每个节点距离起点的最短路径长度的估计值。
2. 将起点的估计值设置为0，其他节点的估计值设置为无穷大，表示初始时还没有找到到达这些节点的最短路径。
3. 创建一个空的集合S，用来存放已经找到最短路径的节点。
4. 重复以下步骤，直到所有节点都被加入到S中：- 从未加入S的节点中选择一个具有最小估计值的节点u，将其加入到S中。
- 对于节点u的每个邻居节点v，更新它们的估计值，如果通过u到达v的路径比当前节点v的估计值更短，则更新节点v的估计值为通过节点u到达v的路径长度，同时将节点u设置为节点v的前驱节点。
5. 当所有节点都被加入到S中后，最短路径树就构建完成了。
Dijkstra算法的关键点在于每次选择具有最小估计值的节点加入S中。
这是通过使用最小堆或优先级队列来实现的，以便在每次操作中迅速找到估计值最小的节点。
通过这种方式，Dijkstra算法避免了遍历所有可能的路径，而是通过贪婪策略选择当前节点的最短路径，并逐步扩展到其他节点。
这种贪婪策略保证了每次选择的节点都是局部最优的选择，从而最终找到全局的最短路径。
Dijkstra算法的时间复杂度取决于图的表示方式和优先级队列的实现方式。
如果使用邻接矩阵表示图，并且优先级队列使用二叉堆实现，则算法的时间复杂度为O(V^2 + E log V)，其中V是节点的数量，E是边的数量。
如果使用邻接表表示图，并且优先级队列使用斐波那契堆实现，则算法的时间复杂度为O((V+E) log V)。
总之，Dijkstra算法是一种用于寻找从起点到终点的最短路径的算法。
单源最短路径算法
单源最短路径算法这篇文章将介绍两种常用的单源最短路径算法，Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，它们分别使用了贪心法和动态规划的思想来解决该问题。
一、Dijkstra算法：Dijkstra算法是一种贪心法的算法，以其发明者荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra的名字命名。
它的基本思想是通过逐步扩展已知最短路径集合，直到找到从起始节点到目标节点的最短路径为止。
算法步骤如下：1.初始化距离数组，将起始节点到所有其他节点的距离初始化为无限大。
2.将起始节点的距离设置为0。
3.对于与起始节点直接相连的节点，更新距离数组的值为起始节点到这些节点的距离。
4.选择距离数组中值最小且未访问过的节点作为下一个当前节点。
5.更新从起始节点到当前节点经过未访问过的节点的距离，并更新距离数组中的值。
6.重复步骤4和5，直到所有节点都被访问过或者无法再找到更短的路径。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为图中节点的数量。
使用优先队列或堆数据结构可以将时间复杂度降低到O((V+E)logV)。
二、Bellman-Ford算法：Bellman-Ford算法是一种动态规划的算法，它以其发明者Richard Bellman和Leslie Ford的名字命名。
与Dijkstra算法不同的是，Bellman-Ford算法可以处理含有负权边的图。
算法步骤如下：1.初始化距离数组，将起始节点到所有其他节点的距离初始化为无限大。
2.将起始节点的距离设置为0。
3.对于每条边，更新距离数组的值为起始节点到目标节点的距离。
4.重复步骤3，直到所有节点的距离不再改变。
5.检查是否存在负权回路，如果存在，说明不存在最短路径。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为图中节点的数量，E为图中边的数量。
总结：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法是解决单源最短路径问题的两种常用算法。
最短路径问题和解法
最短路径问题和解法最短路径问题是计算一个图中从一个源点到目标点的最短路径问题，是图论中的重要问题之一。
该问题的解法可以划分为两种：单源最短路径问题和全源最短路径问题。
一、单源最短路径问题单源最短路径问题是指从一个源点出发，计算该源点到其他所有点的最短路径的问题。
解法有两种：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是一种贪心算法，每次将到源点距离最短的点加入已求出最短路径的点集。
虽然Dijkstra算法只适用于边权值均为正的带权有向图或者无向图，但是它的时间复杂度相比Bellman-Ford算法更优秀，为O(n^2)。
2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种较为通用的算法，不需要图的属性满足任何特殊要求，但是时间复杂度为O(n^3)，不适用于大规模的图。
算法原理是进行n次松弛操作，查找从源点到其他点的最短路径，其中进行松弛的过程是比较消耗时间的。
二、全源最短路径问题全源最短路径问题是指求解所有点之间的最短路径问题。
解法有两种：Floyd算法和Johnson算法。
3. Floyd算法Floyd算法是一种动态规划算法，算法将所有点对之间的最短路径逐步推进，通过枚举中间点，得到更加精细的状态转移方程和最短路径。
时间复杂度为O(n^3)，因此带来的计算负担较大。
4. Johnson算法Johnson算法目前是解决稠密图最短路径问题的最好算法之一。
Johnson算法先通过引入虚拟点，将原图转化为一个没有负权边的新图，再对新图使用Dijkstra算法进行求解。
该算法的时间复杂度为O(mnlogn)，其中m为边的条数，n为点的个数。
综上所述，最短路径问题是图论中的重要问题之一。
对于单源最短路径问题，Dijkstra算法和Bellman-Ford算法是常用的解法；全源最短路径问题，Floyd算法和Johnson算法是较为常用的解法。
单源最短路径问题算法
单源最短路径问题算法一、概述单源最短路径问题是指在一个有向带权图中，给定一个起点，求出该起点到所有其他点的最短路径。
这个问题在实际应用中非常常见，例如地图导航、网络路由等。
二、算法分类1. Dijkstra算法Dijkstra算法是解决单源最短路径问题的一种经典算法。
该算法使用了贪心策略，每次选取当前距离起点最近的未访问节点作为下一个节点，并更新其周围节点的距离值。
该算法适用于没有负权边的情况。
2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种解决单源最短路径问题的经典算法。
该算法使用动态规划的思想，通过对所有边进行松弛操作来更新每个节点的距离值。
该算法适用于存在负权边但不存在负权环的情况。
3. SPFA算法SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）算法是一种基于Bellman-Ford思想和队列优化技巧的改进型算法。
SPFA在处理稀疏图时比Bellman-Ford更快，并且可以处理存在负权边但不存在负权环的情况。
4. Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是解决全源最短路径问题的一种经典算法。
该算法使用动态规划的思想，通过对每对节点之间进行松弛操作来更新它们之间的最短路径。
该算法适用于存在负权边但不存在负权环的情况。
三、算法实现1. Dijkstra算法Dijkstra算法可以使用堆优化来提高效率。
以下是使用堆优化的Dijkstra算法实现：```pythonimport heapqdef dijkstra(graph, start):# 初始化距离字典和堆dist = {node: float('inf') for node in graph}dist[start] = 0heap = [(0, start)]while heap:# 取出距离起点最近的节点(distance, node) = heapq.heappop(heap)# 更新周围节点的距离值for neighbor, weight in graph[node].items():new_distance = dist[node] + weightif new_distance < dist[neighbor]:dist[neighbor] = new_distanceheapq.heappush(heap, (new_distance, neighbor))return dist```2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法需要进行多次松弛操作来更新每个节点的距离值，以下是Bellman-Ford算法实现：```pythondef bellman_ford(graph, start):# 初始化距离字典dist = {node: float('inf') for node in graph}dist[start] = 0# 进行n-1轮松弛操作for i in range(len(graph) - 1):for node in graph:for neighbor, weight in graph[node].items(): new_distance = dist[node] + weightif new_distance < dist[neighbor]:dist[neighbor] = new_distance# 检查是否存在负权环for node in graph:for neighbor, weight in graph[node].items():if dist[node] + weight < dist[neighbor]:raise ValueError('Negative cycle detected')return dist```3. SPFA算法SPFA算法使用队列来存储需要更新的节点，并使用一个标记数组来记录每个节点是否在队列中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
void AdjacencyWDigraph ::ShortestPaths
}
// 更新d， p
while )
// 从L中删除通向顶点v的下一最短路径并更新d
int i = v;
L . D e l e t e ;
for
}
}
}
若N o E d g e足够大，使得没有最短路径的长度大于或等于N o E d g e，则最后一个for 循环的i f条件可简化为：if ) NoEdge 的值应在能使d+a 不会产生溢出的范围内。
综上所述，可以得到图1 3 - 11所示的伪代码， 1) 将与s 邻接的所有顶点的p 初始化为s，这个初始化用于记录当前可用的最好。也就是说，从s 到i 的最短路径，即是由s到它自身那条路径再扩充一条边得到。当找到更短的路径时， p 值将被更新。若产生了下一条最短路径，需要根据路径的扩充边来更新d 的值。
在L中，则置p = 1，并将j 加入L，转至2。
图1 - 11 最短路径算法的描述
1. 的选择
我们需要为未到达的顶点列表L选择一个数据结构。从L中可以选出d 值最小的顶点。如果L用最小堆来维护，则这种选取可在对数时间内完成。由于3) 的执行次数为O ，所以所需时间为O 。由于扩充一条边产生新的最短路径时，可能使未到达的顶点产生更小的d 值，所以在4) 中可能需要改变一些d 值。虽然算法中的减操作并不是的最小堆操作，但它能在对数时间内完成。由于执行减操作的总次数为： O= O ，因此执行减操作的总时间为O 。
2. 复杂性分析
程序1 3 - 5的复杂性是O ，任何最短路径算法必须至少对每条边检查一次，因为任何一条边都有可能在最短路径中。因此这种算法的最小可能时间为O 。由于使用耗费邻接矩阵来描述图，仅决定哪条边在有向图中就需O 的时间。因此，采用这种描述方法的算法需花费O 的时间。不过程序1 3 - 5作了优化。即使改变邻接表，也只会使最后一个f o r循环的总时间降为O 。从L中选择及删除最小距离的顶点所需总时间仍然是O。
通过上述观察可用一种简便的方法来最短路径。可以利用数组p，p 给出从s 到达i的路径中顶点i 前面的那个顶点。在本例中p= 。从s 到顶点i 的路径可反向创建。从i 出发按p，p]，p]]， .的顺序，直到到达顶点s 或0。在本例中，如果从i = 5开始，则顶点序列为p=4， p=3， p=1=s，因此路径为1 ， 3 ， 4 ， 5。
贪婪算法之——单源最短路径
育龙网 WWW.CHINA-B.C0M 2009年06月02日 来源：互联网育龙网核心提示： 在这个问题中，给出有向图G，它的每条边都有一个非负的长度 a ，路径的长度即为此路径所经过的边的长度之和。对于给定的源顶点s，需找在这个问题中，给出有向图G，它的每条边都有一个非负的长度 a ，路径的长度即为此路径所经过的边的长度之和。对于给定的源顶点s，需找出从它到图中其他任意顶点的最短路径。图13-10a 给出了一个具有五个顶点的有向图，各边上的数即为长度。假设源顶点s 为1，从顶点1出发的最短路径按路径长度顺序列在图13-10b 中，每条路径前面的数字为路径的与4) 花费的时间为O ，3) 的每次执行需O =O的时间，每次减操作需的时间。利用无序链表将图1 - 11的伪代码细化为程序1 3 - 5，其中使用了C h a i n 和C h a i n I t e r a t o r类。
程序13-5 最短路径程序
template
为能方便地按长度递增的顺序产生最短路径，定义d 为在已产生的最短路径中加入一条最短边的长度，从而使得扩充的路径到达顶点i。最初，仅有从s 到s 的一条长度为0的路径，这时对于每个顶点i，d 等于a。为产生下一条路径，需要选择还未产生最短路径的下一个节点，在这些节点中d值最小的即为下一条路径的终点。当获得一条新的最短路径后，由于新的最短路径可能会产生更小的d值，因此有些顶点的d值可能会发生变化。
可以验证按长度顺序产生最短路径时，下一条最短路径总是由一条已产生的最短路径加上一条边形成。实际上，下一条最短路径总是由已产生的最短路径再扩充一条最短的边得到的，且这条路径所到达的顶点其最短路径还未产生。例如在图1 3 - 1 0中，b 中第二条路径是第一条路径扩充一条边形成的;第三条路径则是第二条路径扩充一条边;第四条路径是第一条路径扩充一条边;第五条路径是第三条路径扩充一条边。
首先最初产生从s 到它自身的路径，这条路径没有边，其长度为0。在贪婪算法的每一步中，产生下一个最短路径。一种方法是在目前已产生的最短路径中加入一条可行的最短的边，结果产生的新路径是原先产生的最短路径加上一条边。这种策略并不总是起作用。另一种方法是在目前产生的每一条最短路径中，考虑加入一条最短的边，再从所有这些边中先选择最短的，这种策略即是D i j k s t r a算法。
1) 初始化d =a ，
对于邻接于s的所有顶点i，置p =s， 对于其余的顶点置p = 0;
对于p≠0的所有顶点建立L表。
2) 若L为空，终止，否则转至3 )。
3) 从L中删除d值最小的顶点。
4) 对于与i 邻接的所有还未到达的顶点j，更新d值为m i n;若d发生了变化且j 还未
利用E. Dijkstra发明的贪婪算法可以解决最短路径问题，它通过分步方法求出最短路径。每一步产生一个到达新的目的顶点的最短路径。下一步所能达到的目的顶点通过如下贪婪准则选取：在还未产生最短路径的顶点中，选择路径长度最短的目的顶点。也就是说， D i j k s t r a的方法按路径长度顺序产生最短路径。