函数的奇偶性(学生版)

函数的基本性质

函数的奇偶性

第I 部分 基础知识

1. 函数奇偶性的概念

一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，

那么函数

)(x f 就叫做偶函数。

一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,

那么函数

)(x f 就叫做奇函数。

理解：

①奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； ②定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2. 按奇偶性分类，函数可分为四类：

奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.

3. 奇偶函数的图象：

奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数， 偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。

4. 函数奇偶性的性质：

①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若

()f x 是奇函数，且()f x 在原点处有定义，则(0)0f =。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数

()f x 在区间[], 0()a b a b ≤<上单调递增（减），则()f x 在区间[], a b --上也是

单调递增（减）；

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数f(x)在区间[], 0()a b a b ≤<上单调递增（减），则()f x 在区间[], a b --上单调递减

（增）

④任意定义在R 上的函数()f x 都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

⑤若函数()g x ，

()f x ，(())f g x 的定义域都是关于原点对称的，则()u g x =，

()y f x =都是奇函数时，(())y f g x =是奇函数；()u g x =，()y f x =都是偶函数，

或者一奇一偶时，(())y f g x =是偶函数。 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内

奇同外”.

5. 判断函数奇偶性的方法：

（1）定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或

()()

1

=-x f x f 或

()()0=--x f x f 〕⇔函数()f x 是偶函数；

对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-（或

()()1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ）⇔函数)(x f 是奇函数；

判断函数奇偶性的步骤： ①判断定义域是否关于原点对称； ②比较

)(x f -与)(x f 的关系。

③扣定义，下结论。

（2）图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y 轴对称的函数

是偶函数。，

（3）运算法：运用几个与函数奇偶性相关的结论 设

)(x f ，()g x 的定义域分别为12, D D ,在它们的公共定义域D 上，有下列结论：

若

()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==。

第II 部分 分类讲练 以例求法 题型 函数的奇偶性

考点1 判断并证明函数的奇偶性

1. 判断下列函数的奇偶性：

(1). 2

()21;f x x x =-+

(2)

3(),0;3x f x x x x +⎧⎫

=∈≥⎨⎬-⎩⎭

2. 已知函数()(0),f x x R x ∈≠且对任意的非零实数1,2,x x 恒有

1212()()(),f x x f x f x ⋅=+判断函数()(0)f x x R x ∈≠且的奇偶性。

【变式训练】

3. 判断下列函数的奇偶性：

(1)

. ();33f x x =+-(2). 0

21()1

x f x x -=-。

4. 判断函数的奇偶性：

(1),(0)()0,(0)(1),(0)x x x f x x x x x ->⎧⎪

==⎨⎪+<⎩

5. 已知函数f (x )满足f (x +y )+ f (x －y )=2f (x )·f (y )(x 、y ∈R )，且f (0)≠0，试证f (x )是偶函数.

6. 已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，

（1）求证：()f x 是奇函数；

（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f

【备选习题】

7. 已知函数21()f x x x

=+ （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；

（3）判断()f x 在[2)+∞，上的单调性．

8. 设函数2()21(33)f x x x x --=-≤≤ （1）证明函数是偶函数； （2）若方程

()f x m =有两个根，试求m 的取值范围．

考点2 函数奇偶性的应用

(1) 求字母的值：

9. 已知函数21

()(,,)ax f x a b c Z bx c

+=∈+是奇函数，

又(1)2f =，(2)3f <，求,,a b c

的值.

10. 已知函数2()3f x ax bx a b =+++是定义域为[]12a a -，的偶函数，a b +的值（ ）

A ．0

B ．

1

3

C ．1

D ．﹣1

(2) 解不等式：

11. 若f (x )是偶函数，当x ∈［0，+∞)时，f (x )=x －1，求f (x －1)＜0的解集。

(3) 求函数解析式： 12. 已知()f x 是奇函数，且当0x >时，()|2|f x x x =-，求0x <时，()f x 的表达式.

13. 已知

()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1f x x =，

则()f x 的解析式为