斜抛运动

斜抛运动

分斜上抛和斜下抛（由初速度方向确定）两种，下面以斜上抛运动为例讨论．

（1）特点：加速度，方向竖直向下，初速度方向与水平方向成一夹角斜向上，为竖直上抛或竖直下抛，为平抛运动．

（2）常见的处理方法：

①将斜上抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动，这样有

由此可得如下特点：a．斜向上运动的时间与斜向下运动的时间相等：b．从轨道最高点将斜抛运动分为前后两段具有对称性，如同一高度上的两点，速度大小相等，速度方向与水平线的夹角大小相等．

②将斜抛运动分解为沿初速度方向的斜向上的匀速直线运动和自由落体运动两个分运动，用矢量合成法则求解．

③将沿斜面和垂直斜面方向作为x、y轴，分别分解初速和加速度后用运动学公式解题．

五、根据运动的独立性原理来解斜抛运动

根据运动的独立性，经常把斜抛运动分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的上抛运动来处理，但有时也可以用其它的分解方法．如图所示，从A点以的初速度抛出一个小球，在离A点水平距离为s处有一堵高度为h的墙BC，要求小球能超过B点．问小球以怎样的角度抛出，才能使最小？

先用最一般的坐标取法：以A点作为原点，水平方向（AC方向）作为x轴，竖直方向作为y轴．小球的运动方程为

可解得①

这是一个有关和的函数关系，需要求为多少时有极小值．将①式改写成

即②

这是一个有关的一元二次方程，其判别式为

②式的解为

当太小时，,②式无解，说明在此情况下小球不可能越过BC墙，当时，②式有解，此时的便是小球能越过墙顶的最小的。（因为如果再大，便会有两个值都能经过墙顶）．

取作为未知数，可以解得

舍去不合理解，

此时

这种解法的数学要求较高。

换一种坐标取法：以AB方向作为x轴（如图）。这样一取，小球在x、y方向上做的都是匀变速运动了，和g都要正交分解到x、y方向上去。

小球的运动方程为

当小球越过墙顶时，y方向的位移为零，由②式可得

③

③式代入①式：

当最大，即时，有极小值。

比较两种解法的，可知两种解法的结果是相同的。第二种解法对数学的要求略低一些，而且求极值的意义也明确一些。

再换一种观念：将斜抛运动看成是方向的匀速直线运动和另一个自由落体运动的合运动，如图所示。

在位移三角形ADB中用正弦定理

①

由①式中第一个等式可得②

将②式代入①式中第二个等式

当有极大值1时，即时，有极小值。

因为

所以

与第二种解法结果相同，很明显，这种解法最简单明了。

从这个一题多解中可说明：一个较复杂的运动可按不同的观念分解成不同的两个运动，分得合理会给解题带来一些方便。

2.如右图所示，以9.8m/s的水平初速度v 0抛出的

物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为θ=30°

的斜面上，则物体完成这段飞行的时间为多少？

[简解] v x=v0 v y=gt

s

【斜抛运动】将物体斜向射出，在重力作用下，物体作曲线运动，它的运动轨迹是抛物线，这种运动叫做“斜抛运动”。根据运动独立性原理，可以把斜抛运动看成是作水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动的合运动来处理。取水平方向和铅直向上的方向为x轴和y轴，则这两个方向的初速度分别是

v0x=v0cosθ，v0y=v0sinθ

t时刻质点分速度是

v x=v0cosθ，v y=v0sinθ-gt 速度是

t时刻质点的坐标（x，y）是

从上两式消去t，便得质点运动的轨迹方程

抛射体所能到达的最大高度为

其到达最高点所需的时间

抛射体的最大射程为

由于空气阻力的影响，物体在空中实际上是沿弹道曲线飞行的，它与抛物线不同，它的升弧和降弧不对称。

【运动迭加原理】亦称“运动的独立性原理”，是物体运动的一个重要特性，是物理学中普遍原理之一。一个物体同时参与几种运动，各分运动都可看作是独立进行的，它们互不影响。而物体的合运动是由物体同时参与的几个互相独立的分运动迭加的结果。例如，初速不为零的匀变速直线运动是由物体同时参与的速度为v0的匀速直线运动，和初速为零的匀变速直线运动迭加的结果。又如，平抛物体运动，由竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动迭加而成，而这两个运动是彼此独立的。

【射高】在斜抛运动中，轨迹最高点的高度叫做“射高”。它是由竖直方向的分运动决定的，求出初速度为v y的竖直上抛运动的最大高度，即可得到斜抛运动的射高。

【射程】在斜抛运动中，物体从被抛出的地点到落地点的水平距离叫做“射程”。它跟初速度v0和抛射角θ有关。利用射程的表达式，即

在抛射角θ不变的情况下，射程x与v20成正比，所以射程随初速度增大。在初速度v0不变的情况下，随抛射角θ的增大，sin2θ增大，

射程也增大。当θ=45°时，sin2θ=1，射程达到最大值，以后抛射角再增大时，sin2θ减小，射程也减小。

【弹道曲线】弹头飞行时其重心所经过的路线谓之“弹道曲线”。由于重力作用和空气阻力的影响，使弹道形成不均等的弧形。升弧较长而直伸，降弧则较短而弯曲。膛外弹道学专门研究弹头在空中运动的规律，例如弹头的重心运动、稳定性等也都会影响到弹道曲线。斜抛射出的炮弹的射程和射高都没有按抛体计算得到的值那么大，当然路线也不会是理想曲线。物体在空气中运动受到的阻力，与物体运动速度的大小有密切关系：物体的速度低于200米/秒时，可认为阻力与物体速度大小的平方成正比；速度达到400～600米/秒时，空气阻力和速度大小的三次方成正比；在速度很大的情况下，阻力与速度大小的高次方成正比。总之，物体运动的速度越小，空气阻力的影响就越小，抛体的运动越接近理想情况。例如，不计空气阻力，某低速迫击炮的理想射程是360米，实际上能达到350米，空气阻力的作用处于次要地位；加农炮弹的速度很大，在不计阻力时计算的理想射程能达46公里，而实际只能达到13公里，空气的阻力是不能忽视的。