黎曼猜想
黎曼猜想通俗理解
黎曼猜想是数学中最重要的未解决问题之一，由德国数学家伯恩哈德·黎曼在1859年提出，它是关于黎曼ζ函数的一个基本性质的猜测。
黎曼ζ函数（Riemann Zeta Function）是一个极其重要的复变函数，其定义域涵盖了所有的复数，并且在实数部分大于1的部分与素数分布有着深刻的联系。
通俗地说，黎曼猜想可以这样表述：
在复平面内，所有使得黎曼ζ函数等于零的点（这些点被称为非平凡零点），它们的实部都严格等于1/2。
换句话说，黎曼猜想是说，那些对数学分析和数论至关重要的特殊点（即黎曼ζ函数的零点），如果它们不是所谓的“平凡零点”（即负偶数实部的点，这些点已经被证明存在），那么它们都在一条特定的直线上——就是横坐标为1/2的直线上。
这个猜想之所以重要，是因为它若被证明，将会极大地推动数论的发展，尤其是对于理解素数的分布规律具有决定性的意义。
至今为止，尽管数学家们已经验证了大量黎曼ζ函数的零点满足该猜想，但尚未找到一个严格的证明来覆盖所有的非平凡零点。
解决黎曼猜想不仅会带来数学理论上的突破，还会直接影响到许多其他数学分支领域的问题。
黎曼猜想定义
黎曼猜想定义
黎曼猜想又称黎曼假设，是数论和复分析领域的一项重要猜想，由德国数学家黎曼于1859年提出。
它关于黎曼ζ函数的非平
凡零点的分布性质的猜测。
黎曼猜想表明，所有黎曼ζ函数的
非平凡零点的实部均为1/2，即它们都在直线 Re(s) = 1/2 上分布。
黎曼ζ函数是数论中一种重要的数学函数，定义为复变量s的
对数级数和：
ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ... = ∑(1/n^s)
其中，s是复数，实数部分Re(s)大于1。
黎曼猜想认为，在
1/2 + ti这条直线上（其中t是实数，i是虚数单位），黎曼ζ
函数的非平凡零点集中分布。
这一猜想的验证对于解决许多与素数分布和数论相关的问题具有重要意义。
尽管黎曼猜想在数学界已经有150多年的历史，然而到目前为止还没有得到严格的证明或反例。
黎曼猜想的证明对于数论领域的发展具有深远影响，因此仍然是未解决的数学难题之一。
广义黎曼猜想
广义黎曼猜想是 1859 年由德国大数学家黎曼提出的几个猜想之一，而其余猜想均已明。
个猜想是指黎曼ζ函数：ζ(s)= ∑1/n^s(n从1到无）的非平庸零点都在Re(s)=1/2的直上．在数学中我遇到多函数，最常的是多式和三角函数。
多式的零点也就是代数方程ζ(s)=0的根。
依据代数基本定理，ｎ次代数方程有ｎ个根，它能够是根也能够是复根。
所以，多式函数有两种表示方法，即当s 大于1的数，收的无数，欧拉模仿多式情况把它表示乘的情况，是无乘，并且也不是零点的形式：可是，的用不大，黎曼把它开辟到整个复数平面，成复量 s就包括特别多的信息。
正如多式的情况一，函数的信息大多数包括在其零点的信息中间，所以，的零点就成大家关怀的等大事。
有两零点，一是s=-2 ，-4 ，⋯ -2n ，⋯的零点，称平庸零点；一是复零点。
黎曼猜想就是，些复零点的部都是，也就是全部复零点都在条直（后称界）上。
个看起来的其实不简单。
从史上看，求多式的的零点特是求代数方程的复根都不是的。
一个特殊函数的零点也不太简单找到。
在85 年前，哈代第一明这条临界限上有无量多个零点。
10 年前我们知道有 2/5 的复零点都在这条线上，并且这条线外到现在也没有发现复零点，所以，黎曼猜想是对是错还在不决之中。
这个简单的特别函数在数学上有重要意义，正因为这样，黎曼猜想老是被当作名列前茅的重要猜想。
在这个猜想上稍有打破，就有许多重要成就。
200 年前高斯提出的素数定理就是在 100年前因为黎曼猜想的一个重要打破而证明的。
当时不过证明复零点都在临界限邻近，假如黎曼猜想被完整证明，整个分析数论将获得全面进展。
黎曼猜想
有意思的是，黎曼那篇文章的成果虽然重大，文字却极为简练，甚至简练得有些过分，因为它包括了很多 “证明从略”的地方。而要命的是，“证明从略”原本是应该用来省略那些显而易见的证明的，黎曼的论文却并 非如此，他那些“证明从略”的地方有些花费了后世数学家们几十年的努力才得以补全，有些甚至直到今天仍是 空白。
内容
黎曼观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。黎曼假设断言，方程 ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。
黎曼ζ函数 ζ(s)是级数表达式
在复平面上的解析延拓。
之所以要对这一表达式进行解析延拓，是因为这一表达式只适用于复平面上 s的实部 Re(s) > 1的区域 （否则级数不收敛）。黎曼找到了这一表达式的解析延拓（当然黎曼没有使用 “解析延拓”这样的现代复变函数 论术语）。运用路径积分，解析延拓后的黎曼ζ函数可以表示为：
谢谢观看
德国数学家戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题， 其中便包括黎曼假设。现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼假设。
当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。
黎曼猜想与费马大定理已经成为广义相对论和量子力学融合的m理论几何拓扑载体。
在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上 Re(s)=1/2的直线称为 critical line（临界线）。运用这一 术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于 critical line上。即黎曼ζ函数的所有非 平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2的直线上（Re(s)表示复数s的实数部分）。
最难证明的数学猜想
最难证明的数学猜想有很多，其中比较著名的一个是黎曼猜想。
黎曼猜想是关于黎曼zeta函数的一种假设，它涉及到zeta函数的值以及它在复平面上的零点。
这个猜想指出，黎曼zeta函数的非平凡零点都位于一个特定的区域内。
这个区域被称为黎曼-狄利克雷子域。
要证明这个猜想是非常困难的。
尽管数学家们已经在这个领域做出了很多进展，但是目前还没有一个完整的解决方案。
目前，最常用的方法是使用一些复杂的数学技术和工具，如代数几何、代数数论和拓扑等。
这些方法需要大量的计算和证明技巧，并且需要深入理解相关的数学概念和理论。
总的来说，黎曼猜想的证明是一个长期而复杂的任务，需要大量的时间和精力。
虽然这个猜想已经被证明对于某些特殊情况是正确的，但是对于一般的情形，证明仍然是非常困难的。
虽然黎曼猜想的证明是一个挑战，但也有其他数学猜想和问题被认为是更难以证明的。
对于具体的数学问题或猜想，可能存在不同的解决方案和证据支持。
如果你对特定的问题或猜想感兴趣，建议查阅相关的文献和研究报告，以获取更详细的信息和最新的进展。
至于如何证明数学猜想，通常需要深入理解相关的数学概念和理论，并使用适当的数学技术和工具进行证明。
这可能需要大量的时间和精力，并需要不断的思考、实验和验证。
同时，需要寻求其他数学家的意见和合作，以共享资源和经验，并共同推进数学的发展。
最后需要强调的是，数学的证明是一个需要不断探索和验证的过程，可能存在不同的方法和观点。
因此，对于数学猜想的证明，建议保持开放和包容的态度，尊重不同的观点和方法，并积极寻求合作和交流的机会。
黎曼猜想的简单理解
黎曼猜想的简单理解黎曼猜想，又叫黎曼假设，是由19世纪德国数学家哥廷根黎曼发表的一个重要猜想，它期望着为任意大于3的自然数N，寻找一组相同大小的整数，可以组成数学上著名的定理：黎曼假设成立时，每个大于3的自然数都能够表示为两个素数（质数）的和。
黎曼假设和定理可以用以下等式来描述：黎曼假设：对于任意大于3的自然数N，存在两个素数p和q，使得N=p+q黎曼定理：对于任意大于3的自然数N，都存在两个素数p和q，使得N=p+q。
黎曼猜想是一个有着悠久历史的数学问题，它有着深远的影响，并在研究者中引发了巨大的兴趣。
自从黎曼发表这个猜想以来，数学家们就从事着它的研究，可惜的是，迄今为止，这个猜想仍未得到令人满意的证明。
黎曼假设的研究很受欢迎，因为它涉及了抽象和复杂的数学结构，以及计算机科学的许多概念。
它也与代数、几何、概率论和组合数学有着深刻的关系，这些都是数学的重要分支。
此外，黎曼猜想也有重要的实用价值。
它关于数字解密的实际应用，它曾被利用过，用于破解密码，然而，由于种种原因，它不总是有效的。
在研究黎曼猜想的历史上，研究者们一直写出了大量的论文和文章，提出了许多解决问题的可能性论点，但到目前为止，黎曼猜想仍未得到证明，也没有任何很好的解决方案。
虽然黎曼猜想尚未解决，但这不妨碍数学家们对它的研究和讨论。
它也在一定程度上促进了数学研究的发展，特别是在质数与素数理论方面，成为全球数学家研究的重点领域。
因此，可以认为黎曼猜想以及它的定理，是数学领域的一个重要议题。
它的影响一直深入到抽象数学及计算机科学等其他领域，而且，它也为数学研究者们带来了挑战和机会。
未来，黎曼猜想仍将成为当今众多数学家研究的焦点，他们将继续探索和发现，最终找到有用的解决方法。
黎曼猜想的初等等价命题
黎曼猜想的初等等价命题
一、黎曼猜想
黎曼猜想是指，每个整数大于2均可表示成两个质数的和（称为满足
黎曼猜想的数），比如，$4=2+2$，$8=3+5$，$27=7+17$等。
该猜想
来源于法国数学家黎曼（Joseph Louis Lagrange），由他在1775年提出，但至今仍未能给出确定的证明。
有人把黎曼猜想放在 Fermat's Last Theorem 之前，以此说明 Fermat 所要求之结论的难度。
二、等价命题
黎曼猜想可以表述为一系列等价的命题：
（1）黎曼猜想，把每个大于2的正整数都写成两个质数的和；
（2）对于任意大于2的正整数 n，至少有一个质数因子小于 n；
（3）对于任意大于2的正整数 n，存在两个不同的质数因子使得它们
的和等于n；
（4）任何如不是质数的正整数皆可归类于两个质数之和；
（5）任意大于2的正整数均可表达成形如 $p+q$ 的形式，其中，
$p$ と $q$ 均为质数；
（6）任意的偶数皆可表示成两个素数的和；
（7）任何整数都可以表示成一系列质数与零的和，这一系列质数中，所有的素数都不超过那个整数的一般的大小；
（8）大于正整数 n 的任意正整数均可表示成两个小于等于 n 之素数的和；
（9）任意大于7的正整数均可表示成三个质数之和；
（10）除了2以外大于2的任何正整数都能写成三个质数之和。
黎曼猜想内容
黎曼猜想内容黎曼猜想（或称黎曼假设）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。
德国数学家戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，其中便包括黎曼假设。
现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼假设。
虽然在知名度上，黎曼猜想不及费尔马猜想和哥德巴赫猜想，但它在数学上的重要性要远远超过后两者，是当今数学界最重要的数学难题，当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。
2018年9月，迈克尔·阿蒂亚声明证明黎曼猜想，于9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲。
9月24日，迈克尔·阿蒂亚贴出了他证明黎曼假设（猜想）的预印本。
已经知道，黎曼猜想是一个二阶逻辑问题，属于无法一次性证明的工作。
黎曼猜想的主项是一个集合概念的命题，所以只能一个个地验证。
黎曼猜想与费马大定理已经成为广义相对论和量子力学融合的m理论几何拓扑载体。
作为数学中最著名的未决问题，黎曼假设有若干种等价的表达形式，其中一种涉及素数定理给出的估计的精度。
高尔斯在《数学》（牛津通识读本）里介绍说，素数定理告诉我们在某数附近素数的近似密度。
素数是大于1且不能被其他整数——1和自身显然除外——整除的整数。
自从古希腊时期以来，素数就一直困扰着数学家们，因为它们表面上多多少少是随机分布的，但又并非全然随机。
从没有人找出一种简单的规则，能够告诉我们第 n个素数是多少。
和小素数比起来，大素数的出现越来越稀疏。
但它们稀少到何种具体程度？如果你在 1 000 001和 1 010 000之间随机取一数，那么这个数有多大的机会是素数？换言之,1 000 000附近的素数“密度”是多大？它是极其小还是仅仅比较小？有许多关于素数的著名问题。
例如，哥德巴赫猜想断言，任意大于4的偶数都可以表示为两个奇素数之和。
这个猜想看起来比维诺格拉多夫所解答的三素数猜想要难得多。
黎曼猜想的简单理解
黎曼猜想的简单理解黎曼猜想是一个深奥的数学问题，这一猜想被乔治黎曼在几百年前提出，直到现在仍是一个未解决的问题。
在黎曼猜想之前，人们对数学的理解是比较小规模的，也更精细一些。
然而，随着科学的发展和发现，黎曼猜想的出现以及它的全局性的概念，就像机器一样，改变了人们对数学的理解方式。
黎曼猜想的提出很大程度上要归功于19世纪的德国数学家乔治黎曼，他是现代几何学的创始人，对于数学的研究有着重大的贡献。
1823年，他提出了一个假设，即任何一个质数都可以写成两个平方数之和，称为“黎曼猜想”。
黎曼猜想有一定的复杂度，它涉及到两个平方数，如果不能满足条件，只能根据具体的情况重新证明。
然而，从数学的解释来看，这一猜想的核心思想可以用简单的数学语言来表达。
它更多的是涉及到数学的基础概念，比如平方数，及质数和合数之间的关系。
在最简单的描述来说，黎曼猜想是指任何一个质数都可以分解成两个平方数之和，即质数可以表示成m2+n2的形式。
为什么黎曼猜想这么有名？其一，它涉及到数学最基础的概念，极大地拓宽了人们对数学的认知；其二，它并未得到解决，它的神秘性加深了人们的兴趣；最后，黎曼猜想激发了许多学者的研究水平，给数学界带来了很多新的思考。
经过几百年的努力，然而黎曼猜想仍未解决，虽然有一些想法和假设可以帮助理解这一问题，但这些都属于理论领域，尚未有任何实质性的研究成果。
从实际的角度来看，随着科学的发展，计算机科学的出现，许多研究者尝试用计算机语言来证明黎曼猜想，但是到目前为止，仍未成功，黎曼猜想仍是一个未解决的问题。
因此，黎曼猜想被誉为“古今未解之谜”，它激发了数学界的众多学者研究，给出了许多有用的假设和理论，但最终只能是谜题，直到未来有人能使用数学和计算机科学的方法找到解决方案才能得到解答。
总之，黎曼猜想是一个深奥的数学问题，它的出现大大改变了人们对数学的理解方式，同时也激发了许多研究者探索这一问题的决心，然而到目前为止，却依然一无所获，它仍然是一个未解之谜，期待着未来有人能够解开它。
黎曼猜想
概述2000年5月24日，美国克雷(Clay)数学研究所公布了7个千禧数学问题。
每个问题的奖金均为100万美元。
其中黎曼假设被公认为目前数学中(而不仅仅是这7个)最重要的猜想。
黎曼假设并非第一次在社会上征寻解答，早在1900年的巴黎国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设(还包括孪生素数猜测和哥德巴赫猜想)。
具体概述关于黎曼-希尔伯特问题是：具有给定单值群的线性微分方程的存在性证明。
即：关于素数的方程的所有有意义的解都在一条直线上。
内容方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。
这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。
在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。
著名的黎曼假设断言，方程ζ（s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。
这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。
证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
来源来源几千年前人类就已知道2，3，5，7，31，59，97这些正整数。
除了1及本身之外就没有其他因子，他们称这些数为素数（或质数Prime number），希腊数学家欧几里德证明了在正整数集合里有无穷多的素数，他是用反证法证明、（读者可以参看拙著：《数学和数学家的故事》第一集里这个证明。
）1730年，欧拉在研究调和级数：Σ1/n=1+1/2+1/3+...+1/n.....。
(1)时，发现：Σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)......=Π(1-1/p)^-1。
(2)其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，将n写成n^s(s>1),即可。
黎曼猜想被证明
、什么是黎曼猜想黎曼猜想——最重要的数学猜想早在1737年，大数学家欧拉就发现了质数分布问题与Zeta函数的联系，给出并证明了欧拉乘积公式，使得Zeta函数成为研究质数问题的经典方法。
np欧拉乘积公式，其中p为质数，n为自然数黎曼猜想(RiemannHypothesis)由大数学家黎曼在1859年首次提出，讨论黎曼Zeta函数的非平凡解问题。
黎曼猜想是众多尚未解决的最重要的数学问题之一，被克雷数学研究所列为待解决的七大千禧问题，悬赏百万美金证明或者证伪。
一百年前希尔伯特就曾被问过一个问题“假定你能死而复生，你会做什么？”，他的回答是，“我会问黎曼猜想是否已经解决”。
可见黎曼猜想多么吸引人黎曼猜想是关于黎曼Zeta函数的零点分布的猜想。
黎曼Zeta函数长这个样子：黎曼Zeta函数有两种零点，一种是位于实数轴线上的零点，被称为平凡零点，另一种是位于其他复平面区域上的零点，被称为非平凡零点，目前数学家已经证明这些非平凡零点全部位于实部区间为0到1的复平面内，而黎曼则大胆猜想，这些非平凡零点全部位于实部为1/2的一条直线上。
“所有非平凡零点都位于实部为1/2的直线上”是一个尚未得到严格证明的猜想，但数学家们至今找到的上万亿个非平凡零点的确都位于这条直线上，无一例外。
黎曼猜想还跟幂律分布有关。
我们都知道幂律分布是指其中x如果只能取123,...,n的整数，c为归一化常数，满足:p(l)+p(2)+...+p(n)=c^i~a=1而这里面的就是Zeta函数，黎曼猜想就是关于这个函数的，但是a可以取复数值。
黎曼猜想真的会被证明吗？质数分布没有简单规律，但质数出现的频率跟黎曼Zeta函数紧密相关。
有数学家甚至认为黎曼猜想与强条件下的质数定理是等价的。
目前已经验证了前1,500,000,000个质数对这个定理都成立，但至今没有完全证明。
黎曼猜想得证，对质数研究、数论研究意义重大。
黎曼猜想对许多数学领域都意义重大，质数分布只是其中一个。
数学中的黎曼猜想
数学中的黎曼猜想黎曼猜想是一个引人入胜的研究领域，它的核心问题在于判断自然数序列的素数分布规律。
这个问题被认为是数学中尚未解决的难题之一，因为它涉及到深奥的数学知识和复杂的算法。
尽管经过多年来的研究，许多学者已经提供了数个假设和证明，但是黎曼猜想的正确性仍然没有得到严格证明。
接下来，我们将从黎曼猜想的历史、数学表达、应用价值等方面进行探讨。
一、黎曼猜想的历史黎曼猜想最初是由19世纪德国数学家Bernhard Riemann所提出的。
在其研究热力学中的问题时，他引入了复变函数理论，从而创立了复变函数的初步理论。
随后，他开始探索素数的规律性，并提出了著名的黎曼假设：所有非零的复数的黎曼zeta函数的零点必然在直线Re z=1/2上。
这个假设的提出，引起了数学界的热烈讨论和激烈争议，从而推动了数学研究的深入。
在随后的几十年里，许多学者都致力于研究和验证黎曼猜想。
其中，最具代表性的是英国数学家Harold Cramer和Norwegian数学家Atle Selberg的工作。
Cramer证明了黎曼猜想在某些情况下是正确的，并推导出了素数分布的渐近函数；Selberg也通过不断精巧的数学技巧，有所突破，并发展出了判别黎曼假设的新方法。
然而，总体而言，黎曼猜想仍然难以被证明。
这个问题的复杂性在于，黎曼猜想的证明需要涉及大量的数学理论和计算机模拟。
尽管数学家们取得了一系列成果，但是黎曼猜想的开放性仍然困扰着人们，并成为了数学中一个长期困难的难题。
二、黎曼猜想的数学表达黎曼猜想是用复变函数的形式定义的，这个函数被称为黎曼Zeta函数。
该函数的表达式为：Zeta(s)=1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+...+1/N^s+…其中，s是一个复数，N是一个正整数。
Zeta(s)的性质与自然数序列中的素数分布有关，因为Zeta(s)中的每一项都是由自然数的倒数组成的。
根据数学定理，当Re(s)>1时，Zeta(s)是无限的；当s取值为2时，数列的总和为一个特殊的无限值pi^2/6，其中pi为圆周率。
黎曼猜想和素数定理
黎曼猜想和素数定理
黎曼猜想是一个数学领域中尚未被证明的假设。
该假设关于质数分布的规律，其指导思想是通过连续复变函数上的非平凡零点来推断质数分布。
黎曼猜想是在19世纪由数学家黎曼提出的。
素数定理是数论的基本结果之一。
它表明在一定范围内素数的数量与这个范围的大小成正比。
即当自然数n趋近于无穷大时，其内的素数个数大致上与n/ln(n)成正比。
这个结论是由欧拉等数学家在18世纪初次得到的，后来经过数学家们的不断推进、改良才得到了最终的证明。
黎曼猜想是什么意思
黎曼猜想是什么意思黎曼猜想是什么意思？很多同学都会问到，黎曼猜想就是黎曼（ Riemann）在19世纪末和20世纪初提出的关于任意非负整数可以写成两个整数之和，而这两个整数的比又不大于的整数。
黎曼在1883年证明了“1+2”的素数个数等于2。
那么如果一个数可以被某个特征整除，而且每一个特征整除它的余数也被这个数所整除，那么这样的数可以被写成一个形式的乘积。
由此产生了黎曼猜想——一个未解决的猜想，一道难题。
黎曼猜想的内容十分简单：假设给定平面上一个任意小圆盘，半径是一个质数，一个高次幂零，高度为一个奇数。
我们将数轴看作一条直线。
当 n=1时，其值为3，故猜想1+2。
若存在正实数 x，使得1+2=5，则有4。
后来，奥地利数学家庞加莱证明1+2=5。
庞加莱将其归功于欧拉，并因此获得1913年的菲尔兹奖。
黎曼猜想揭示了数学中最本质的东西。
“这种极具魅力的简洁性与其说来自于对人类语言之抽象与精确表达能力的惊叹不如称赞为对一位数学大师智慧的敬佩。
”——《新华文摘》报告会，教育部副部长、国家总督学柳斌在发言中指出“我觉得现在的孩子缺乏理科兴趣和热情，需要培养良好的科学素养和创造性，需要让更多的青少年喜欢数学，钻研数学，使他们认识数学的美，感受数学的力量，体验数学的神奇，享受数学的乐趣，进而激励广大中小学生努力学习数学、探索数学，从而爱上数学，在快乐中感悟数学的价值，在创造性思维训练中领略数学的美妙。
”谈及对数学教育改革的期望，江苏省启东中学校长徐万安认为应该引导青少年树立“以终身发展为目标”的教育观念；建立“开放性”的课程结构，实施“社团活动制”，注重挖掘学生的潜能；推行基础教育改革，优化课堂教学，调整评估方案，变评考模式为评教模式，完善德育评价机制，减轻学业负担，保护好奇心，鼓励独立思考。
真正把素质教育落到实处。
这是针对初中学段孩子编著的书籍，主要讲述的就是中学阶段的数学知识，帮助同学们掌握中学数学必备的基础知识，熟悉各章节的相关概念。
黎曼猜想题目
黎曼猜想题目黎曼猜想，这一数学领域中的巨大谜团，一直以来都吸引着无数数学家的目光，激发着他们无尽的探索欲望。
要理解黎曼猜想，首先得从数论中的一个基本概念——素数说起。
素数，也就是质数，是指一个大于 1 且除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。
比如 2、3、5、7、11 等等。
素数在自然数中就像基石一样，有着独特而重要的地位。
而黎曼猜想正是关于素数分布规律的一个深度思考。
黎曼发现，素数的分布并非完全随机，而是存在着某种神秘的规律。
为了揭示这个规律，他引入了一个被称为黎曼ζ函数的数学工具。
这个黎曼ζ函数的表达式看起来就相当复杂，对于一般人来说，可能会觉得如同天书。
但简单来说，它是一个关于复数的函数。
黎曼通过对这个函数的研究，提出了一个大胆的猜想：黎曼ζ函数的非平凡零点（也就是那些不在负偶数上的零点）的实部都等于 1/2 。
为什么这个猜想如此重要呢？因为如果黎曼猜想被证明是正确的，那么我们将对素数的分布有一个极其精确的了解。
这将极大地推动数论以及其他相关数学领域的发展。
然而，证明黎曼猜想绝非易事。
许多数学家为此付出了巨大的努力，但至今仍未得到一个被广泛认可的完整证明。
这其中的困难程度超乎想象。
一方面，黎曼猜想涉及到的数学概念和理论极其深奥。
要深入研究它，需要掌握高深的数论知识、复变函数理论等。
另一方面，证明的思路和方法往往难以捉摸。
数学家们需要不断创新，寻找新的角度和方法。
在探索黎曼猜想的道路上，也有一些阶段性的成果。
一些数学家通过部分的证明或者从侧面的研究，为最终解决这个难题提供了一些有价值的线索和思路。
尽管目前黎曼猜想仍未被完全证明，但它已经在数学的发展中产生了深远的影响。
许多数学定理和结论都是基于对黎曼猜想的假设而得出的。
而且，黎曼猜想不仅仅在纯数学领域具有重要意义，在应用数学和其他科学领域也有着潜在的应用价值。
例如在密码学中，素数的分布规律对于加密算法的安全性有着至关重要的影响。
如果能够更深入地理解黎曼猜想所揭示的素数分布规律，或许能够为密码学的发展带来新的突破。
广义黎曼猜想
广义黎曼猜想
广义黎曼猜想
这是1859年由德国大数学家黎曼提出的几个猜想之一，而其他猜想均已证明。
这个猜想是指黎曼ζ函数：
ζ(s)=∑1/n^s(n从1到无穷）的非平凡零点都在Re(s)=1/2的直线上．
在数学中我们碰到过许多函数，最常见的是多项式和三角函数。
多项式的零点也就是代数方程ζ(s)=0的根。
根据代数基本定理，ｎ次代数方程有ｎ个根，它们可以是实根也可以是复根。
因此，多项式函数有两种表示方法，即当s为大于1的实数时，为收敛的无穷级数，欧拉仿照多项式情形把它表示为乘积的情形，这时是无穷乘积，而且也不是零点的形式：
但是，这样的用处不大，黎曼把它开拓到整个复数平面，成为复变量s就包含非常多的信息。
正如多项式的情形一样，函数的信息大部分包含在其零点的信息当中，因此，的零点就成为大家关心的头等大事。
有两类零点，一类是s=-2，-4，…-2n，…时的实零点，称为平凡零点；一类是复零点。
黎曼猜想就是讲，这些复零点的实部都是，也就是所有复零点都在这条直线（后称为临界线）上。
这个看起来简单的问题并不容易。
从历史上看，求多项式的的零点特别是求代数方程的复根都不是简单的问题。
一个特殊函数的零点也不太容易找到。
在85年前，哈代首先证明。
黎曼猜想
概述2000年5月24日，美国克雷(Clay)数学研究所公布了7个千禧数学问题。
每个问题的奖金均为100万美元。
其中黎曼假设被公认为目前数学中(而不仅仅是这7个)最重要的猜想。
黎曼假设并非第一次在社会上征寻解答，早在1900年的巴黎国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设(还包括孪生素数猜测和哥德巴赫猜想)。
具体概述关于黎曼-希尔伯特问题是：具有给定单值群的线性微分方程的存在性证明。
即：关于素数的方程的所有有意义的解都在一条直线上。
内容方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。
这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。
在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。
著名的黎曼假设断言，方程ζ（s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。
这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。
证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
编辑本段理论形成来源来源几千年前人类就已知道2，3，5，7，31，59，97这些正整数。
除了1及本身之外就没有其他因子，他们称这些数为素数（或质数Prime number），希腊数学家欧几里德证明了在正整数集合里有无穷多的素数，他是用反证法证明、（读者可以参看拙著：《数学和数学家的故事》第一集里这个证明。
）1730年，欧拉在研究调和级数：Σ1/n=1+1/2+1/3+...+1/n.....。
(1)时，发现：Σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)......=Π(1-1/p)^-1。
(2)其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，将n写成n^s(s>1),即可。
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[编辑]黎曼猜想维基百科，自由的百科全书跳转至：导航、搜索千禧年大奖难题P/NP问题霍奇猜想庞加莱猜想（已证明）黎曼猜想杨-米尔斯存在性与质量间隙纳维-斯托克斯存在性与光滑性贝赫和斯维讷通-戴尔猜想黎曼猜想由德国数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。
它是数学中一个重要而又著名的未解决的问题。
多年来它吸引了许多出色的数学家为之绞尽脑汁。
黎曼猜想：黎曼ζ函数，。
非平凡零点(在此情况下是指s不为-2、-4、-6‧‧‧等点的值)的实数部份是½。
黎曼猜想（RH）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想。
黎曼ζ函数在任何复数s≠ 1上有定义。
它在负偶数上也有零点（例如，当s = −2, s = −4, s = −6, ...）。
这些零点是“平凡零点”。
黎曼猜想关心的是非平凡零点。
黎曼猜想提出：黎曼ζ函数非平凡零点的实数部份是½即所有的非平凡零点都应该位于直线½ + ti（“临界线”）上。
t为一实数，而i为虚数的基本单位。
沿临界线的黎曼ζ函数有时通过Z-函数进行研究。
它的实零点对应于ζ函数在临界线上的零点。
素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。
素数在自然数中的分布并没有简单的规律。
黎曼（1826--1866）发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。
1901年Helge von Koch指出，现在已经验证了最初的1,500,000,000个素数对这个定理都成立。
但是是否所有的解对此定理都成立，至今尚无人给出证明。
黎曼猜想所以被认为是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下被证明。
大部份数学家也相信黎曼猜想是正确的（约翰·恩瑟·李特尔伍德与塞尔伯格曾提出怀疑。
塞尔伯格于晚年部分改变了他的怀疑立场。
在1989年的一篇论文中，他猜测黎曼猜想对更广泛的一类函数也应当成立。
）克雷数学研究所设立了$1,000,000美元的奬金给予第一个得出正确证明的人。
目录[隐藏]∙ 1 历史∙ 2 黎曼猜想与素数定理∙ 3 黎曼猜想之结果及其等价命题o 3.1 默比乌斯函数的增长率o 3.2 积性函数增长率o 3.3 里斯判准与二项式系数和o 3.4 韦伊判准、李判准o 3.5 跟法里数列的关系o 3.6 跟群论的关系o 3.7 与埃拉托斯特尼筛法的关系o 3.8 临界线定理∙ 4 已否证的猜想∙ 5 相对弱的猜想o 5.1 Lindelöf猜想o 5.2 大素数间隙猜想∙ 6 证明黎曼猜想的尝试∙7 黎曼猜想证明的可能的着手方向∙8 与算子理论的可能联系∙9 搜寻ζ函数的零点∙10 参考文献o10.1 历史文献o10.2 现代技术参考o10.3 受欢迎的参考资料o10.4 引用来源∙11 参见∙12 外部链接[编辑]历史黎曼ζ函数在临界线Re(s) = 1/2上的实部（红色）和虚部（蓝色）。
我们可以看到最起初的几个非平凡零点就位于Im(s) = ±14.135, ±21.022和±25.011黎曼ζ函数实部与虚部的数值比较图，也就是Re(ζ(s)) vs. Im(ζ(s))，沿着临界线s = it + 1/2，t由0到34黎曼1859年在他的论文《Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe'》中提及了这个著名的猜想，但它并非该论文的中心目的，他也没有试图给出证明。
黎曼知道ζ函数的不平凡零点对称地分布在直线s= ½ + it上，以及他知道它所有的不平凡零点一定位于区域0 ≤ Re(s) ≤ 1中。
1896年，雅克·阿达马和Charles Jean de la Vallée-Poussin分别独立地证明了在直线Re(s) = 1上没有零点。
连同了黎曼对于不非凡零点已经证明了的其他特性，这显示了所有不平凡零点一定处于区域0 < Re(s) < 1上。
这是素数定理第一个完整证明中很关键的一步。
1900年，大卫·希尔伯特将黎曼猜想包括在他著名的23条问题中，与哥德巴赫猜想一起组成了希尔伯特名单上的第8号问题。
同时黎曼猜想也是希尔伯特问题中唯一一个被收入克雷数学研究所的千禧年大奖数学难题的。
希尔伯特曾说，如果他在沉睡1000年后醒来,他将问的第一个问题便是:黎曼猜想得到证明了吗?[1]1914年，高德菲·哈罗德·哈代证明了有无限个零点在直线Re(s) = ½上。
然而仍然有可能有无限个不平凡零点位于其它地方（而且有可能是最主要的零点）。
后来哈代与约翰·恩瑟·李特尔伍德在1921年及塞尔伯格在1942年的工作（临界线定理）也就是计算零点在临界线Re(s) = ½上的平均密度。
近年来的工作主要集中于清楚的计算大量零点的位置（希望借此能找到一个反例）以及对处于临界线以外零点数目的比例置一上界（希望能把上界降至零）[来源请求]。
[编辑]黎曼猜想与素数定理黎曼猜想传统的表达式隠藏了这个猜想的真正重要性。
黎曼ζ函数与素数的分布有着深厚的连结。
Helge von Koch在1901年证明了黎曼猜想等价于素数定理一个可观的强化：给出任何ε > 0，我们有式中π(x)为素数计数函数，ln(x)为x的自然对数，以及右手边用上了大O符号[2]。
一个由Lowell Schoenfeld提出的非近似版本，表示黎曼猜想等价于黎曼ζ函数的零点与素数满足一个称为明确公式的对偶性，这表明了：在调和分析的意义下，黎曼ζ函数的零点可视为素数分布的谐波。
将黎曼ζL-函数的非平这被称为广义黎曼猜想。
函数域上的广义黎曼猜想已被证明，数域的情形仍悬而未决。
[编辑]黎曼猜想之结果及其等价命题黎曼猜想的实际用途包括一些在黎曼猜想成立前提底下能被证明为真的命题，当中有些更被证明了跟黎曼猜想等价。
其中一个就是以上素数定理误差项的增长率。
[编辑]默比乌斯函数的增长率其中一个命题牵涉了默比乌斯函数μ。
命题“等式在s的实部大于½的时候成立，而且右边项的和收敛”就等价于黎曼猜想。
由此我们能够总结出假如Mertens函数的定义为这将会对于M的增长给出了一个更紧的限制，因为即使没有黎曼猜想我们也能得出（关于这些符号的意思，见大O符号。
）[编辑]积性函数增长率黎曼猜想等价于一些除μ(n)以外一些积性函数增长率的猜想。
例如，因子函数σ(n)由下式给出：那在n > 5040的时候，这名为Robin定理并在1984年以Guy Robin命名。
另一个有关的上限在2002年由Jeffrey Lagarias提出，他证明了黎曼猜想等价于命题“对于任意自然数n，n[编辑]里斯判准与二项式系数和里斯判准由里斯在1916年给出[3]，它断言黎曼猜想等价于下式对所有哈代稍后于1918年以波莱尔求和法及梅林变换证明了下式的积分表法。
其它相关的积性函数的增长率也具有与黎曼猜想等价的表述。
考虑二项式系数和Báez-Duarte[4][5]与Flajolet、Brigitte Vallée[6]证明了黎曼猜想等价于对所有类似的还有以下级数对此。
Flajolet与Vepstas [7]证明了黎曼猜想等价于对所有的式成立[编辑]韦伊判准、李判准韦伊判准断言某些函数的正定性等价于广义黎曼猜想。
与此相似的还有李判准，这断言某些数列的正性等价于黎曼猜想。
[编辑]跟法里数列的关系另外两个跟黎曼猜想等价的命题牵涉了法里数列。
假如F n是法里数列中的第n 项，由1/n开始而终于1/1，那命题“给出任何e > ½”等价于黎曼猜想。
n阶项的数目。
类似地等价于黎曼猜想的命题是“给出任何e > −1.[编辑]跟群论的关系黎曼猜想等价于群论中的一些猜想。
举例说，g（n），是对称群S n的所有元素的秩之中，最大的一个，也就是兰道函数，则黎曼猜想等价于：对够大的n，下式成立：[编辑]与埃拉托斯特尼筛法的关系参见埃拉托斯特尼筛法，黎曼猜想的素数公式直接来源于埃拉托斯特尼筛法的过程。
[编辑]临界线定理上无零点。
”函数ζ在临界线上只有单零点的充要条件是其导函数在临界线上非零。
所以若黎曼猜想成立，这条进路带来了一些成果。
Norman Levinson将此条件加细，从而得到了较强的临界线定理。
[编辑]已否证的猜想一些比黎曼猜想强的猜想曾被提出，但它们有被否证的趋势。
Paul Turan证明了假如级数当s大于1时没有零点，则黎曼猜想成立，但Hugh Montgomery证明了这前提并不成立。
另一个更强的梅滕斯猜想也同样被否证。
[编辑]相对弱的猜想[编辑]Lindelöf猜想黎曼猜想有各种比较弱的结果；其中一个是关于ζ函数于临界线上的增长速度的Lindelöf猜想，表明了给出任意的e > 0，当t趋向无限，记第n个素数为p n，一个由Albert Ingham得出的结果显示，Lindelöf猜想将推导出“给出任意e > 0，对足够大的n有p- p n < p1/2+e,”n+1不过这个结果比大素数间隙猜想弱，详如下述。
[编辑]大素数间隙猜想假设黎曼猜想成立，素数p而根据数值计算结果，它的增长率并不似黎曼猜想所预测的那么大。
[编辑]证明黎曼猜想的尝试过去的一百多年，有很多数学家声称证明了黎曼猜想。
截至2007年为止，尚有一些证明还未被验证；但它们都被数学社群所质疑，多数专家并不相信它们是正确的。
艾希特大学的Matthew R. Watkins为这些或是严肃或是荒唐的证明编辑了一份列表[8]。
其他一些证明可在arXiv数据库中找到。
[编辑]黎曼猜想证明的可能的着手方向由于黎曼猜想是有关2维变量（临界线（critical line）上的虚数解和黎曼ζ函数中的自然数变量n）的问题，故不但要考虑在2维变量下的情况，似乎还可以从更高维数（例如3或4维甚至更高维）变量的情况下来考虑问题。
另外，由于黎曼猜想从本质上来说是证明一个方程的非平凡的复数解必然是1/2+bi的形式（b是实数，i是虚数单位），因此应该与代数学是密不可分的；就是说，代数几何、代数数论甚至代数拓扑等学科的知识是不可缺少的。
如果能从上述几个分支学科之间找到新的联系，以及对这些分支学科有进一步的新发现，那可能可以为证明黎曼猜想打下基础，或为黎曼猜想的证明做好准备。
[编辑]与算子理论的可能联系主条目：希尔伯特-波利亚猜想长久以来，人们猜测黎曼猜想的“正解”是找到一个适当的自伴算符，再由实特征值的判准导出在此方向上已有许多工作，却仍未有决定性的进展。