最新趣味数学114：不可思议的“雪花曲线”

如果说有一种平面图形，它的面积是有限的而周长却是无限的，你相信吗？“雪花曲线”就是这样。那么，什么是“雪花曲线”呢？

“雪花曲线”是从一个等边三角形(如图)开始，一步一步作出来的。

第一步：把等边三角形的各边三等分，从每条边三等分后的中段，向外作小等边三角形，再去掉与原来等边三角形重叠的边(如图)。

为了便于叙述，以后把这个过程简称为“变化”。

第二步：对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。

第三步：再对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。

第四步：再对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。

第五步、第六步……照这样一直进行下去，就得到“雪花曲线”。

现在来计算“雪花曲线”(所围成的图形)的面积和周长。

从以上过程可以看出，“雪花曲线”是一个边长、边数不断变化，同一图形边长相等的对称图形。所以，必须首先研究一下图形的边数、边长和面积的变化规律。

观察发现：

规律一：每次变化后，原来等边三角形的一条边，所形成的折线包括4条线段，所以，新图形的边数是原图形的4倍，而边长是原图形的1/3；

规律二：每次变化后，原来等边三角形的一条边上，所作的小等边三角形

的面积，是原来等边三角形面积的1/9(参看下图)。

一、“雪花曲线”的面积：

为了便于计算，设原来等边三角形的面积为“1”。

第一步以后，因为原来的边数是3，向外作了3个小等边三角形；每个小

等边三角形的面积是1/9，增加的面积是3×1/9。

第二步以后，边数变成3×4，向外作了3×4个小等边三角形；每个小等

边三角形的面积是(1/9)2，增加的面积是3×4×(1/9)2。

第三步以后，边数变成3×42，向外作了3×42个小等边三角形；每个小等

边三角形的面积是(1/9)3，增加的面积是3×42×(1/9)3。

第四步以后，边数变成3×43，向外作了3×43个小等边三角形；每个小等

边三角形的面积是(1/9)4，增加的面积是3×43×(1/9)4。

依次类推，第n步以后，边数变成3×4n-1，向外作了3×4n-1个小等边三角

形；每个小等边三角形的面积是(1/9)n，增加的面积是3×4n-1×(1/9)n。

于是，“雪花曲线”的面积

＝1＋3×1/9＋3×4×(1/9)2＋3×42×(1/9)3＋3×43×(1/9)4＋ (3)

S

雪

4n-1×(1/9)n＋…

化简，由第3项开始，从每项的最后一个因数中，拿出1个1/9，与前面

的3乘在一起，于是：

S

＝1＋3×1/9＋(3×1/9)×(4×1/9)＋(3×1/9)×(4×1/9)2＋(3×1/9)雪

×(4×1/9)3＋…＋(3×1/9)×(4×1/9)n-1＋…

＝1＋1/3＋1/3×4/9＋1/3×(4/9)2＋1/3×(4/9)3＋…＋1/3×(4/9)n-1

＋…

＝1＋1/3[1＋4/9＋(4/9)2＋(4/9)3＋…＋(4/9)n-1]＋…

中括号里面是一个首项为1，公比为4/9的无穷等比数列。

根据等比数列的求和公式，首项为a，公比为q时，等比数列前n项的和

＝a(1－q n)/(1－q)。

S

n

对于q＜1的无穷等比数列来说，q n趋于0，

S＝a/(1－q)。

这里，a＝1，q＝4/9＜1，所以，中括号里面的和等于1/(1－4/9)＝9/5。

于是，“雪花曲线”的面积是

S

＝1＋1/3×9/5＝1＋3/5＝8/5。

雪

即，“雪花曲线”的面积是原来等边三角形的8/5倍。

二、“雪花曲线”的周长：

因为，周长＝边长×边数，而每次变化后，边长是原来的1/3，边数是原来的4倍，所以，周长是原来的1/3×4＝4/3。也就是说，每次变化后，边长都比原来增加1/3。随着变化的持续进行，周长会变得越来越大，以至无穷。

这就是“雪花曲线”的非同寻常之处：

它的面积是有限的；

它的周长却是无限的。

是不是“不可思议”？！