最新雪花曲线中的科克数学问题
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雪花曲线中的科克数学问题
(i )将正三角形(1)的每边三等分,并以中间的那一条线段为以底边向形外作等边三角
形,然后去掉底边,得到图(2);
(ii )将图(2)的每边三等分,重复上述的作图方法,得到图(3); (iii )再按上述方法无限多次继续作下去,所得的曲线称为科克雪花曲线(koch snowflake )
·····
(1) (2) (3) (4) (5) 设图(1)中的等边三角形的边长为1,并分别将图(1)、(2)、(3)···中的图形依次记作1M 、2M 、3M 、···。 (1) 求n M 中的边长n N ; (2) 求n M 中每条边的长度n T ; (3) 求n M 的周长n L ; (4) 求n M 所围成的面积n S ;
(5) 求周长和面积的极限。
解:从科克雪花曲线的生成过程不难发现:
(1) 因为每个圆形中的一条线段在后一个圆形中变成四条线段,所以n N 的递推公式
为
1143
{
n n N N N -==,
()2n ≥,
其通项公式为
134n n N -=⋅
(2)
(3) 因为圆形中的每条线段长度在后一个圆形中变为原长的
13
,所以n T 的递推公式为
1
1131,
{
(2)
n n T T T n -==≥。
其通项公式为 1
13n n T -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
。
(4) 因为n
n n L N T =⋅,所以n L 的通项公式为
1
433n n L -⎛⎫
=⋅ ⎪
⎝⎭
。
(5)
(6) 为了便于表述,将图形(1)中的正三角形的面积记作
1A
则14
A =
。 当由1n M -生成n M 时,在1n M -的每一条边上多了一个面积为2
1n
T A 的小等边
三角形,这些小等边三角形的面积之和为2
11n n
N T A -,其中1A
的面积为4
。
于是得到科克雪花曲线面积的递推公式:
2
111
n n n n A A N T A --=+
22221111
n n n n n A N T A N T A ----=++
···
()2221122311n n A N T N T N T -=+++
+.
把1
11113,1,,34,23n n n n N T T N n --⎛⎫
====⋅≥ ⎪
⎝⎭
代入上式,经简化得
2
1
134********n n A A -⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=+++
+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
2
1
134441149993n A -⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=+++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎢⎥
⎣⎦
139411459
3n
A ⎧
⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫=-+⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭
1
4209n -⎛⎫=
- ⎪⎝⎭
容易验证:12,43
A A ==等。
(7) 由周长n L 和面积n A 的表达式可知
1
433n n L -⎛⎫
=⋅ ⎪
⎝
⎭
。
当n 无限增大时,也随之无限增大。
因为1
4lim 0
9n n -→∞⎛
⎫= ⎪⎝⎭
,所以
11
244lim lim lim 520952095n n n n n n A --→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
注释:科克雪花曲线图形与高中二年级的数列知识联系起来,不仅运用了数学数列的递推公式,还涉及到一定的递推思想,找到一定的规律并解出问题。此外,科克雪花曲线图形与新兴的分形几何有一定的联系,分形几何中最典型的例子就是“英吉利亚海岸线有多长?”的提出,随之,分形几何这个名词诞生。根据分形几何的原理,用有足够精度的尺子去度量海岸线的长度,那么只要尺子的精度足够小,海岸线的周长就可以无限的长。也就是说,海岸线的面积有上限,而它的周长却可以无限的长。这里,科克雪花曲线图形就是这样,将其边长无限的分割下去,那么它的面积有限,而周长却是无限的。但可以根据数列极限求出其和函数。当我们对它无限分割的时候,这时整个图形的边缘看起来就好像是雪花的形状,这也就是它为什么叫做雪花曲线图形的原因。这个数学问题有趣之处在于它不仅代表了一门学科的发展,而且,还从数学图形中得到了优美的雪花图形,这在数学问题中是很少见的。