科赫曲线论文

（20 —20 学年第学期）

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科赫曲线

科赫曲线由瑞典数学家科赫在1904年发表的一篇题为“从初等几何构造的一条没有切线的连续曲线”的论文中提出。这种曲线的作法和康托尔三分集的构造可以说是异曲同工之妙，它和康托尔三分集一样，是一个典型的分形。

瑞典数学家Von Koch作为科赫曲线的创始人，1870年出生于一个军人家庭，1887年考入斯德哥尔摩大学，1892年获得数学博士学位，为泛函分析的发展做出了卓越的贡献，在纯数学理论方面取得了很多成绩。

科赫曲线是一种十分有趣的曲线，它任何一点处都连续，但是却处处“不可导”（即没有确定的切线方向）。科赫曲线的构造可以用如下迭代的方法，平面上有一单位线段（图a）：1.将单位线段分成三等份，将中间部分用两条边长为1/3的折线来代替（图b）；2.将图b中的每条线段三等份，中间的一段用边长为1/9的两条折线替代，得到图c；不断重复，无数次迭代之后就生成了科赫曲线。

设科赫曲线初始元的边长为a0，边数为b0，

长度为L0，依次所得第n级科赫曲线构造的边长

为a n，边数为bn，周长为Ln。

则：1.由于a1=1/3a0，a2=1/3a1，··,a n=1/3a n-1，

所以得到a n=(1/3)n a0

2.由于b1=4b0，b2=4b1，···，b n=4b n-1，得

到b n=4n b0

3.由于L o=a0b0，L1=a1b1，···，L n=a n b n，

得到L n=（4/3)n L0

由上面的计算，我们可知，科赫曲线的长度

是无穷大，并且曲线上任意两点之间的线内距离

也是无穷大。

科赫曲线是早起被描述的一种分形曲线，因为它是自相似的。自相似指的是把要考虑的图形一部分放大，其形状与整体相同。设想把图d中科赫曲线区间[0,1/3]中的图形放大3倍，放大后的图形仍旧与原来的曲线形状完全相同，在[2/3,1]区间上也是一样的。虽然区间[1/3,1/2]和[1/2,2/3]的图形是倾斜的，但是把图形放大后我们依然能得到与原图形一样的结果。同理，对曲线上更小的部分进行放大也能得到一样的结果，所以不论多小的部分，把它放大之后，都能得到与原来相同的图形。

总所周知，普通几何学研究的对象，一般维度都是整数。比如，点是0维，直线1维，平面或者球面2维，我们所生活得空间是3维，在相对论中，时间和空间被统一成了一个整体，所以时空是4维·····但是不管怎么说，维度都是整数。然而在1918年，德国的数学家豪斯多夫却提出了“分数维”的概念，并且这种概念在后来又由贝斯克维奇加以发展，因此分数维也称豪斯多夫—贝斯克维奇维数。

而对于科赫曲线来说，其整体是一条无线长的线折叠而成的，显然，如果用小直线段度量，其结果是无穷大的，而用平面量，其结果是0，那么可见科赫曲线的维度是介于1和2之间的。

（20 —20 学年第学期）

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根据分形的豪斯多夫—贝斯克维奇维数，假设我们把分形图形分成N个相等的部分，每一部分在线性尺度上都是原来图形的1/m，那么这个图形的维度就是logN/logm。我们从构造科赫曲线的方法出发，可以把科赫曲线分成4个部分，而每一个部分都是原来的1/3大，所以N=4，m=3，那么科赫曲线的维度就是log4/log3=1.26。

在科赫曲线的生成的过程之，我们接触到一个重要的概念，这就是“特征尺度”的概念，一般的研究对象总有它自己的特征尺度，要用恰当的尺度去测量。从传统的几何学出发，我们用非常简单的一把直尺去研究科赫曲线，会发现它十分复杂，它包含无限的层次结构，用什么样的尺子都很难测量它。而从分形几何学出发，我们用一个看起来很复杂的测量单位——一个小的科赫曲线去测量科赫曲线，所得的结果却十分的简单。

1920年，一位英国数学家在调查海岸线和曲折的国境线时，发现西班牙，葡萄牙，比利时等国家的百科全书上对共同边界的长度估计相差20%，他感到非常困惑。后来美国数学家曼德博发现了这位英国数学家的手稿，他发现一个有趣的现象：漫长的海岸线如果用不同的标尺测量，结果的差异会很大，因为在不规则的海岸线上，总能发现更细小的锯齿形边缘。1967年曼德博在美国《科学》杂志上，发表了一篇名为《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数维》的论文，创立了一个新的几何学分支学科，它更能以数学的方式来表现世界的复杂性，这就是分形几何学。

为什么各个国家对共同海岸线长度的估计会相差这么多呢？曼德博发现原来是因为这些国家传统上所用的长度标准是不同的，测量时所用的尺子长短不一，从而造成了很大的测量误差。我们可以试想，当一个测量员拿着一支1米宽的尺子去一步步测量一条海岸线，对于他来说，即使连接相邻两点的是一条弯曲的曲线，但在测量过程中，这条曲线也会被当做一条直线忽略过去了，这样他测得的海岸线长度一定会比实际的长度短。那么如果他拿着0.1米宽的尺子呢？那么他的测量就会反映出更多的细节，这时他所测得的海岸线长度就会比1米长的尺子测得的长度要长。如果他用0.01米的尺子呢，显然此时他测得的海岸线长度又会更长······

显然地，如果他用的测量尺子越小，那么他所测得的海岸线长度就会越长。那么随着海岸线长度的增加，它最后会不会趋于某一个固定值呢？这一问题后被曼德博证明了：当把测量所用的尺子变小时，海岸线长度不会趋向于某一个固定值，而是会无线地上升，当尺子变得无穷小时，海岸线长度也就会变得无限长了。

这个结论其实我们也可以从科赫曲线中找到。假设那条线段原先长度是1米，我们用一米的尺子去测量科赫曲线，它的长度是1米，中间我们忽略了所有的细节；当我们用1/3米的尺子去测量时，稍微增加了一些细节，其长度是4/3米；当我们用1/9米的尺子去测量时，其长度是16/9米；当尺子变得无穷小，n趋于无穷，包含的细节越来越多，科赫曲线的长度也趋向于无穷大了。

海岸线与科赫曲线的相似之处在于，经过海水长年的侵蚀和陆地自身的运动，形成了大大小小的海湾和海岬，海岸线上凹凹凸凸的地方特别多，随着测量越来越精细，海岸线的长度也越来越长，而这就不仅仅只是修正小数点后面几个数字的问题了。所以，泛泛地说海岸线的长度是没有意义的，海岸线的长度是取决于测量时所用的尺子的长度，在现实生活中，科赫曲线常被用作模拟海岸线的形状。

1904年，科赫将雪花理想化，并与数学相结合，得到了科赫雪花曲线。它有一个非常有趣的问题，一个有限的面积却有无限的边长，这为以后很多学科的发展都提供了新的思路和方法。1906年，科赫在西班牙国家标准上发表了一篇阐述科赫曲线的文章，举世闻名的科赫曲线就此诞生。

科赫雪花（也称为科赫岛）因其形状类似于雪花而得名，它是从一个正三角形开始，把每条边