雪花曲线
雪花中的数学问题
雪花中的数学问题雪花中的数学问题主要是与雪花曲线（也称为科赫曲线）有关。
雪花曲线是由一组连续的三角形构成，每个三角形都以一个点为中心，向外延伸出三个分支，每个分支又继续向外延伸出三个分支，如此不断重复。
这种曲线的形状类似于雪花，因此得名。
在雪花曲线中，有一个重要的数学概念叫做“迭代函数系统”（Iterated Function Systems，简称IFS）。
迭代函数系统是由一组函数构成，每个函数都会将输入的图像变换成另一幅图像。
在雪花曲线的生成过程中，每个三角形都可以看作是一个迭代函数，通过不断应用这些函数，最终生成了雪花曲线的形状。
此外，雪花曲线还与分形几何有关。
分形几何是一种研究形状和结构的数学分支，它的特点是可以通过不断迭代来生成复杂的形状。
雪花曲线是一种典型的分形几何图形，其形状和结构可以通过迭代函数系统和分形几何的理论来描述和分析。
除了在自然界中发现的美丽分形结构，雪花曲线还与计算机图形学和数据压缩等领域有着紧密的联系。
在计算机图形学中，雪花曲线可以作为一种生成复杂形状和图案的有效方法。
而在数据压缩领域，雪花曲线因其独特的形状和结构也被用作一种高效的数据压缩算法。
此外，雪花曲线还被应用于图像处理和模式识别等领域。
通过利用雪花曲线的特性和算法，可以实现对图像的高效处理和识别。
例如，在图像处理中，可以使用雪花曲线来分割图像中的不同区域，从而实现图像的分割和识别。
总之，雪花曲线作为一种独特的数学概念和分形几何图形，不仅在自然界中有着广泛的应用，还在计算机科学、数据压缩、图像处理和模式识别等领域发挥着重要的作用。
通过深入研究和探索雪花曲线背后的数学原理和算法，我们可以不断发现新的应用场景并推动相关领域的发展。
雪花曲线的有趣故事
雪花曲线的有趣故事在自然界中，有一种美妙而神奇的现象叫做“雪花曲线”。
这个现象是指雪花的形状会随着温度的变化而改变，从而形成不同的曲线形状。
这个有趣的现象背后隐藏着一段引人入胜的故事。
故事发生在一个寒冷的冬天。
一个年轻的科学家叫做阿尔弗雷德，对雪花的形状变化产生了浓厚的兴趣。
他花了很多时间观察和研究不同温度下雪花的形态。
他发现，当温度越低，雪花的形状就越接近于曲线。
阿尔弗雷德意识到，这种雪花曲线可能是由于水分子在结冰时的特殊排列所致。
他开始进行实验，使用显微镜观察结冰过程中水分子的排列情况。
他发现，水分子在接近冰点的温度下会形成六边形的晶体结构，而在低于冰点的极端寒冷温度下，水分子会形成一种特殊的螺旋排列。
阿尔弗雷德非常激动，他开始将这些发现应用于他的研究当中。
他设计了一个实验装置，通过控制温度的变化来观察雪花的形态。
他发现，当温度处于特定的范围时，雪花的形状会呈现出美丽的曲线，就像被一个无形的艺术家塑造一样。
阿尔弗雷德的研究引起了科学界的广泛关注。
他的成果被认为是对自然界中奇妙现象的重要突破。
人们开始将他的研究应用于气象学和物理学中，以更好地理解和预测天气变化和自然界的规律。
除了科学意义之外，雪花曲线也给人们带来了美学上的享受。
人们开始欣赏雪花的形状和曲线，并将其应用于艺术创作中。
许多艺术家受到雪花曲线的启发，创作出了许多美丽的艺术作品。
雪花曲线的故事告诉我们，自然界中充满了无限的奇迹和美妙。
人类的探索精神和好奇心使得我们能够发现这些奇迹，并将其应用于实践中。
我们应该保持对自然界的敬畏之心，继续探索和研究其中的奥秘，为人类的发展和进步做出贡献。
总之，雪花曲线是一个令人着迷的现象，它不仅让我们对自然界的多样性有了更深的理解，也带给我们美学和艺术上的享受。
这个有趣的故事告诉我们，科学和艺术可以相互交融，创造出更加美好的世界。
科赫曲线
科赫曲线
简介
科赫曲线(Koch curve )是一种像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线。
1904年瑞典数学家科赫第一次描述了这种不论由直段还是由曲段组成的始终保持连通的线，因此将这种曲线成为科赫曲线。
定义
设想一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形。
现在取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷。
外界的变得原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花。
画法
1、任意画一个正三角形，并把每一边三等分；
2、取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；
3、重复上述两步，画出更小的三角形。
4、一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。
特性
1、它是一条连续的回线，永远不会自我相交。
2、曲线任何处不可导，即任何地点都是不平滑的。
3、曲线是无限长的，即在有限空间里的无限长度。
4、曲线上任意两点距离无穷大。
5、每次变化面积都会增加，但是总面积是有限的，不会超过初始三角形的外接圆。
思考
科赫曲线中产生一个匪夷所思的悖论："无穷大"的边界，包围着有限的面积。
这让保守派数学大师们都很难相信。
科赫曲线是比较典型的分形图形，它具有严格的自相似特性。
提问:在有限面积里面,无穷的去选择无穷小的点来组成的"封闭"曲线.会包围着无穷大的面积吗?。
科赫雪花周长推导公式过程
科赫雪花周长推导公式过程
科赫雪花曲线由一个正三角形生成，即将正三角形的每一边三等分后将中间一段向外凸起成一个以该段长度为边长的正三角形（去掉底边），然后对每一段直线又再重复上述过程，这样无休止地重复下去既得科赫雪花曲线。
它最早出现在海里格·冯·科赫的论文《关于一条连续而无切线，可由初等几何构作的曲线》。
科赫雪花是以等边三角形三边生成的科赫曲线组成的。
科赫雪花曲线是分形曲线,随着N增大,长度趋向于无穷大.
设三角形边长为1，则三角形周长为3
周长为1 x 4/3 = 4/3
周长为1 x 4/3 x 4/3 = 16/9
周长为1 x 4/3 x 4/3 x 4/3 x 4/3......= ∞
周长和面积只有给出具体的N才有意义, 下面给出它的计算式：周长计算公式：
(4/3)^n
面积计算公式：
1+(4/9)×3+(4/9)^2×3+(4/9)^3×3
+……+(4/9)^n×3。
8.7雪花曲线与分形云
（图11）
分形的创始人
——伯诺瓦•曼德布罗特
• 我从拉丁文形容词 fractus（分裂的）造出 了 fractal（分形）这个词。相应的拉丁文 动词fragere 的意义是“使碎裂”：造成不 规则的碎片。……多么符合我们的需要啊！ 这样，除了“分裂的”（像在“分数”或 “折射”中那样），fracus 还应该有“不 规则的”之意，这两个意义都继承保留了 下来。 ——伯诺瓦•曼德布罗特
• 前面介绍的科赫雪花曲线: 若把初始元(或生 成元)E0“——”改为边长为1的等边三角形， 对它的三边都反复施以同样的变换，直至 无穷，最后所得图形称为科赫雪花曲线 （图10）. 它被用作晶莹剔透的雪花模型.
（图10）
在科赫曲线构造过程的每一步， 每次去掉中间 的1/3，用边长为初 始元E0 的1/3等边三角形的两边来 代替时，如果用掷硬币的方法来决 定新添上的部分位于被去掉部分的 “上边”或“下边”，经过几步后， 会得到一个看起来相当不规则的随 机科赫曲线，用它来模拟海岸线、 国境线和城市边界线会更贴切.
谁创立了分形几何学
• 分形论的逐步成熟时基于一大批科学家历经约30年 的不懈努力的结果，而曼德布罗特的开创性工作功 不可没。 • 1973年，曼德布罗特（B.B.Mandelbrot）在法兰西 学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。 分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其 原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是 一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于 不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何 又称为描述大自然的几何学。 •
分形之父——曼德布罗特简介
• 1.生平简介 1924年出生在华沙的一个犹太家庭中， 父亲是成衣批发商，母亲是牙科医生。 1936年迁往巴黎。他受的教育很不正规， 时断时续，他自己说从来没有学过字母表。 他当过车窗维修学徒工。然而当他回忆 起个人的艰辛历程时，始终记住在学校里 与老师成为朋友，其中有几位是因战争而 流落的杰出学者。
雪花曲线说课稿
一、教学背景分析：本节课所学内容可以看作属于高一数学《数列》中的内容，《数列》是人教版教材中第三章的内容，在讲完了等比数列后开设本节研究课。
本节课通过研究大家熟知的雪花，分析它的形状、周长及其面积，来激发大家学习的兴趣，唤起大家对数学美的追求。
同时通过研究雪花曲线，将分形几何的内容逐步渗透到我们的教学中来，为以后的进一步学习打下铺垫。
二、教学目标：1．认知目标：①学会用等比数列解决实际问题；②了解雪花曲线，了解分形几何。
2．能力目标：①培养学生自我探究，自我发现的能力；②利用几何画板自我掌握新知识的能力；③同学之间相互协作的能力。
3．情感目标：①创设问题情境，激发学生学习数学的热情和兴趣；②培养学生对数学美的认识，对美的追求。
三、教法、学法：通过提出问题“雪花的形状如何？”引出话题，激起学生的兴趣，相互讨论得出结论，由老师给出科赫的雪花曲线构成方法，让学生在几何画板环境下作雪花曲线，以探求曲线形状。
雪花曲线的周长及其所围面积可通过讨论由学生来发现计算方法，老师在其中起引导作用。
本节课以学生为主来发现问题、解决问题，通过学生之间的讨论来达到对能力的培养。
四、教学重、难点：重点：对雪花曲线认识及其周长、所围面积的求法。
难点：雪花曲线的周长无限长，而面积是有限的，即无限的曲线围成一个有限的面积的认识。
五、教学程序：（一）创设情景，激起兴趣通过封面的雪花飘落，引出“雪花形状”这个话题，让学生自由探讨，发表自己对雪花的理解，以激起他们对研究雪花的兴趣。
（二）激烈讨论，引出话题曲线生长（5次）当同学们通过讨论，对雪花形状有了一个初步认识之后，由老师给出科赫的构造雪花曲线的方法，让学生使用几何画板作为工具来研究雪花曲线的形状。
雪花曲线是无限生长的，永无止境，老师使用已做好的课件来演示曲线的生长过程，对曲线放大，观察局部，引起学生对曲线自相似．．．的初步认识。
无限生长的曲线它的周长如何？所围面积如何？提出问题让学生进一步思考。
奇妙的雪花曲线
奇妙的雪花曲线教学目标:(知识目标)1 通过对雪花曲线周长、面积等问题的探究让学生了解数学知识的形成过程;2 使学生了解分形几何的有关内容。
(能力目标)1 通过系列的探究性活动，使学生了解提出和解决数学问题的方法;2 通过对雪花曲线等图形的探究提高学生应用数学的能力。
(情感目标)1 让学生感受数学来源于实践，又服务于实践的辨证唯物主义观点2 通过生活中的具体实例，培养学生对数学美的认识以及对大自然的热爱。
教学重点:探究雪花曲线的周长及其所围面积;教学难点:雪花曲线所围面积的计算方法的寻求;教学方法:引导探究式教学媒体:计算机教学过程设计:1一、问题背景:播放雪景的图片，提问雪花的形状如何,激发学生兴趣。
二、研究问题:如果把雪花想象成如图所示的正六角形，提问学生能否从一个等边三角形出发作出这样的图形。
接着进一步指出，雪花的形状其实非常复杂，右图是瑞典数学家科赫将雪花理想化得到的科赫雪花曲线，提问学生能否仍然从等边三角形出发作出这样的一条雪花曲线,由学生讨论得出:在等边三角形每条边的中央分别向外作等边三角形，边长是原三角形边长的三分之一，就得到了一个六角形。
依照此法，无限制的进行下去，就可以得到漂亮的雪花曲线了。
雪花曲线除了具有漂亮的外形，还蕴涵了哪些数学规律，这就是我们这节课要研究的内容(板书课题)2问题1:对雪花曲线作进一步思考，在雪花曲线的每一次生长中，相对于原三角形都发生了哪些变化,导学生发现它的边长、边数、周长和面积等都发生了变化。
问题2:逐步生长，探究周长的变化规律引导学生发现等边三角形的每一边在生长过程中所发生的变化都是相同的，因此可以只研究其中一条边的变化规律，从而找到解决问题的最优化策略。
让学生自主发现、互相讨论，共同寻找到规律:3得到周长的计算公式后可以提问学生:当n越来越大时，雪花曲线的周长会有什么变化,当原图中三角形的边长为1cm时，显然三角形的周长是3cm，n=33呢,n=82呢, 我们不妨用计算机计算出这样一组数据:n=33时，周长为39819.84cm，约为398米;10 n=82时，周长约为5.27×10cm。
分形之科赫（Koch）雪花
分形之科赫（Koch）雪花科赫曲线是⼀种分形。
其形态似雪花，⼜称科赫雪花、雪花曲线.瑞典⼈科赫于1904年提出了著名的“雪花”曲线，这种曲线的作法是，从⼀个正三⾓形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间长度为底边。
分别向外作正三⾓形，再把“底边”线段抹掉，这样就得到⼀个六⾓形，它共有12条边。
再把每条边三等份，以各中间部分的长度为底边，向外作正三⾓形后，抹掉底边线段。
反复进⾏这⼀过程，就会得到⼀个“雪花”样⼦的曲线。
这曲线叫做科赫曲线或雪花曲线。
给定线段AB，科赫曲线可以由以下步骤⽣成：(1)将线段分成三等份（AC,CD,DB）(2)以CD为底，向外（内外随意）画⼀个等边三⾓形DMC(3)将线段CD移去(4)分别对AC,CM,MD,DB重复1~3。
反复进⾏这⼀作图过程，得到的曲线越来越精细。
科赫曲线有着极不寻常的特性，不但它的周长为⽆限⼤，⽽且曲线上任两点之间的距离也是⽆限⼤。
该曲线长度⽆限，却包围着有限的⾯积。
很神奇的⼀个曲线，他说明了⼀个悖论：“⽆限长度包围着有限⾯积。
”程序中实现了0~8级的科赫雪花分形.程序设计时,将这9级曲线的顶点数据全部放置在⼀个内存中.并使⽤如下结构体进⾏设置:struct SnowLevel{Yuint vertexStart;Yuint verticesCount;};SnowLevel m_snowLevels[SNOW_LEVELS_COUNT];Yuint m_currentLevel;分形图形的顶点⽣成算法代码如下:static void Zhe(const Vector3& vStart, const Vector3& vEnd, Vector3* pVertices){Vector3 vSub = vEnd - vStart;pVertices[0] = vStart;pVertices[1] = vStart + vSub/3;pVertices[3] = vStart + vSub*2/3;pVertices[4] = vEnd;Yreal alfa = atan2f(vSub.y, vSub.x);alfa += YD_REAL_PI/3;Yreal l = D3DXVec3Length(&vSub)/3;pVertices[2].x = pVertices[1].x + cosf(alfa)*l;pVertices[2].y = pVertices[1].y + sinf(alfa)*l;pVertices[2].z = 0.0f;}void CFractalSnowEntity::Fractal(Vector3* pVertices){pVertices[0].x = 0.0f;pVertices[0].y = YD_SNOW_RADIUS;pVertices[0].z = 0.0f;pVertices[1].x = YD_SNOW_RADIUS*sinf(YD_REAL_PI/3);pVertices[1].y = -YD_SNOW_RADIUS*sinf(YD_REAL_PI/6);pVertices[1].z = 0.0f;pVertices[2].x = -pVertices[1].x;pVertices[2].y = pVertices[1].y;pVertices[2].z = 0.0f;for (Yuint i = 1; i < SNOW_LEVELS_COUNT; i++){const Vector3* pSrc = pVertices + m_snowLevels[i - 1].vertexStart;Vector3* pDest = pVertices + m_snowLevels[i].vertexStart;Yuint c = m_snowLevels[i - 1].verticesCount;for (Yuint j = 0; j < c; j++){Zhe(pSrc[j], pSrc[(j + 1)%c], pDest);pDest += 4;}}}下载地址:科赫雪花第0级科赫雪花第1级科赫雪花第2级科赫雪花第3级科赫雪花第4级科赫雪花第5级科赫雪花第6级科赫雪花第7级科赫雪花第8级软件使⽤说明键盘0~8,分别设置第0级到第8级分形.这是个3D程序,⿏标右键的拖动可以改变视⾓.键盘X⽤于恢复为默认视⾓.键盘F11⽤于全屏切换.。
雪花曲线面积公式
雪花曲线面积公式雪花曲线（snowflake curve）是一种分形曲线，具有类似于雪花的形状。
雪花曲线在科学、工程、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍雪花曲线的面积公式、原理和实际应用场景。
一、雪花曲线的面积公式雪花曲线的面积公式是由德国数学家康托尔（Georg Cantor）最先发现的，即：S=\frac{3\sqrt{3}}{20}L^2S表示雪花曲线的面积，L表示雪花曲线的边长。
二、雪花曲线的原理雪花曲线是一种基于分形几何的曲线，具有自相似性和不规则性。
雪花曲线的生成是通过迭代过程得到的。
具体来说，生成一个雪花曲线需要以下几个步骤：Step 1：以一个正三角形为起点。
Step 2：将正三角形的每条边等分为3段，并将中间一段替换为两个边长相等、与中间一段成60度角的小正三角形，即在正三角形的每一条边上均生成一个小正三角形。
Step 3：对于每个小正三角形，重复Step 2的操作，直到达到所需的细节程度。
整个过程类似于“分形生长”，即通过不断重复根据一定规律生成新的形状。
这样生成的雪花曲线具有自相似性和不规则性，且细节层次丰富，看起来别具一格。
三、雪花曲线的实际应用场景1.计算机图形学雪花曲线是计算机图形学中常用的一种分形曲线，可以通过计算机程序生成。
由于雪花曲线具有自相似性和不规则性，可以给图形增加一定的复杂度和美感，因此在图形设计领域有着广泛的应用。
2.科学研究雪花曲线还被应用于物理、化学、生物等科学研究领域。
在材料科学中，雪花曲线可以用于研究材料表面的形貌、结构和性质。
在气象学中，雪花曲线可以用于模拟雪花的形状和降雪规律。
3.金融市场分析雪花曲线还可以应用于金融市场的波动性分析和预测。
利用雪花曲线的自相似性和不规则性，可以揭示金融市场存在的某些隐含规律或规律的破坏，进而预测市场的趋势和波动，为投资决策提供参考。
四、结语雪花曲线是一种基于分形几何的曲线，具有自相似性和不规则性，广泛应用于计算机图形学、科学研究、金融市场分析等领域。
求出雪花曲线的面积
求出雪花曲线的面积这个美丽的几何分形是由赫尔奇·冯·科克在1904年创造的。
为了生成科克雪花曲线，先从一个等边三角形开始。
把每一边分成三等分。
取走中间的三分之一，在被取走线段处向外作出两边为此线段三分之一长度的尖角。
重复这一过程得到各个尖角，以至无穷。
看来似乎矛盾的两个迷人的特性是——·雪花曲线的面积是原来那个生成它的三角形的面积的8/5；·雪花曲线的周长是无穷大。
雪花曲线的面积是生成它的三角形的面积的8/5的非正式证明如下。
Ⅰ．假定等边△ABC的面积是k。
Ⅱ．分△ABC为九个全等等边三角形，各具有面积a，如图所示。
因此k=9a。
现在集中考虑确定雪花曲线六个初始尖角中每一个面积的极限。
我们知道大尖角的面积是a，因为它是九个三角形之一向外翻转而形成的。
在由它生成的下一批尖角中，每一尖角具有面积a/9，因为和原来的三角形一样，它也被分为九个全等三角形后再把其中一个向外翻转而形成下一批的一个尖角。
事实上，每一个相继的尖角都被分为九个全等三角形，同时在两边生出两个三角形。
Ⅲ．把这个尖角本身及其不断生成的各个尖角的面积相加如下：Ⅳ．现在，把六个尖角中每一个所造成的面积相加，再加上原来的生成三角形内部的六边形，我们得到Ⅴ．上式变成方括弧内第二项开始的级数是几何级数，它的公比是4/9，首项是2/9，所以我们能计算它的极限：（2/9）／（1-（4/9））=2/5。
Ⅳ．代入级数的极限值2/5，我们得到（1+2/5）6a+6a=72a/5。
现在我们需要把雪花曲线的面积用原来的生成三角形面积k来表示。
因为k=9a，我们得a=k/9。
把这a值代入72a/5，我们得（72/5）（k/9）=（8/5）k。
绘制雪花曲线流程
绘制雪花曲线流程一、前言雪花曲线是一种美丽的图形，它具有非常高的艺术价值和装饰效果。
在绘画、设计等领域中，经常使用雪花曲线来装饰作品。
本文将介绍如何绘制雪花曲线，包括几何构造方法和手绘方法。
二、几何构造法1. 绘制正六边形首先，我们需要绘制一个正六边形。
可以使用圆规和三角板来绘制。
如果没有这些工具，也可以使用铅笔和直尺。
2. 分割正六边形将正六边形分成6个等分的三角形。
可以使用三角板或者直尺来进行分割。
3. 画出内部三角形在每个三角形中画出一个小等腰三角形，其顶点在原始正六边形的中心处。
这些小三角形将成为雪花曲线的基础。
4. 绘制第一层小三角形从任意一个小三角形开始，向外延伸出一个新的小等腰三角形，并使其两个底边分别与原始小三角形的两条底边平行。
这是第一层小三角形。
5. 继续绘制从新绘制的小三角形的两个底边开始，再次向外延伸出两个新的小三角形，并使其与原始小三角形的底边平行。
这是第二层小三角形。
6. 继续绘制重复步骤5，一直向外延伸出新的小三角形，直到达到所需大小为止。
7. 完成最终结果是一个美丽的雪花曲线。
三、手绘法1. 准备工具准备一支铅笔、一张白纸和一支黑色墨水笔。
2. 绘制基础图案使用铅笔在白纸上画出一个正六边形。
然后分割成6个等分的三角形，并在每个三角形中画出一个小等腰三角形。
3. 绘制第一层线条使用墨水笔从任意一个小三角形开始，向外延伸出一个新的小等腰三角形。
使其两个底边分别与原始小三角形的两条底边平行。
这是第一层线条。
4. 继续绘制从新绘制的小三角形的两个底边开始，再次向外延伸出两个新的小等腰三角形，并使其与原始小三角形的底边平行。
这是第二层线条。
5. 继续绘制重复步骤4，一直向外延伸出新的线条，直到达到所需大小为止。
6. 擦除基础图案使用橡皮擦擦除基础图案，只保留墨水笔绘制的线条。
7. 完成最终结果是一个美丽的手绘雪花曲线。
四、总结以上是两种绘制雪花曲线的方法：几何构造法和手绘法。
python学习笔记 第五章(科赫雪花与科赫曲线)
python学习笔记第五章（科赫雪花与科赫曲线）科赫曲线，也叫做雪花曲线。
是一种分形几何，分形几何是一种迭代的几何图形，广泛存在于自然界中。
科赫曲线是一种迭代的图形，所以我们是可以利用python中的迭代法来绘制。
我们先考虑如何实现迭代。
首先我们确定递归的基例，考虑最基本的情况，就是直接绘制一条曲线，没有任何的改变，即0阶的科赫曲线。
if n==0:turtle.fd(size)这里的size指的是长度。
然后我们来确定递归的链条。
else:for angle in [0,60,-120,60]:turtle.left(angle)kehe(size/3,n-1)我们观察每一条线，对每一个三分之一处进行一次转向，角度依次为0、60、-120、60，单位为度。
然后我们加入定义主函数，用来绘制一个科赫曲线。
#科赫曲线import turtledef kehe(size,n):ifn==0:turtle.fd(size)else:for angle in [0,60,-120,60]:turtle.left(angle)kehe(size/3,n-1)defmain():turtle.setup(800,400)turtle.penup()turtle.goto(-300,-50)turtle.pendown()turtle.pensize(2)kehe(600,3)#三阶科赫曲线turtle.hideturtle()main()turtle.hideturtle()用来最后将画笔隐藏。
最终画出的效果如下：而我们希望得到的科赫雪花这是三个上面这样的图形组成而成，这时我们就需要在绘制上面图像的结束时转变角度，然后继续绘制。
代码如下：#科赫雪花import turtledef kehe(size,n):ifn==0:turtle.fd(size)else:for angle in [0,60,-120,60]:turtle.left(angle)kehe(size/3,n-1)defmain():turtle.setup(600,600)turtle.penup()turtle.goto(-200,100)turtle.pendown()turtle.pensize(2)level=3#三阶科赫雪花kehe(400,level)turtle.right(120)kehe(400,level)turtle.right(120)kehe(400,level)turtle.hideturtle()main()我们最终可以得到如下图形:这里可以通过改变参数得到我们需要的高阶图形，也可以通过加快画笔的速度来缩短绘制时间。
雪花曲线的初步研究
ｓ六 角形 （ ： 绝大多数 同学 回答 ） Ｔ： 粗看起来 像六 角形 ， 请大家 仔 细 观察 （ 对定 格
的雪 花进行放大 ） （ ，停顿片刻 ） 现它的形状并不是六 发
３。 目标 ： 隋感 培养 学生对 待 知识 的科学 态度 和辩
证唯物主义观点
一＿ 一 警 ＾ ¨
角形 （ 激发 学生认 知冲突 ） 它的形 状究竟 怎样 呢？它 ，
花 曲线” ） （ 的边长为 ｎ 边数为 ６ 周长 为 Ｌ 、 面积
要是 向三角形 内 部作迭 代 ）针 对 出现 的 问题进 行指 ． 导； 找两份报告 ， 通过实 物投影仪 一起 评价 其正确 性 ，
并对好 的进 行表扬
‘
为 Ｓ ． 绘制出表格 （ 并 实物投影仪显示 ） （ 为建 立数学 模型作 准备）
关一 问题 和 一 些 亟 待 解 决 的 问 题 ． 而 为 深 化 这 一 课 从
然后 把三角形 的每一 条边 三等分 ， 以居 中 的一条线 段
为边 向外作正 三角形 ， 并把居 中 的线段 去掉 ， 这一操作 常称 作迭 代规则 ， 是生成 了一个 有 ６个 于 角 １ 条边的对象（ ２ 记为 ） 第二 步 在 对象 尸２ 的基 础 上 ， 每 条小 边 三等 分 ， 将 然后 图ｌ
Ｔ： 下面请各 小组 成员 在组 长 的带领 下进 行研 究
Ｔ： 下面请各 小 组在计 算 机上 打开 《 何 画板 》 几 软 件， 分别作 出 ５ ７个正三角形
Ｓ 各小组很快兢完成 了 ：
探索 （ 组织各小组内部协作 、 论） 讨 Ｓ 有 的小组是纵 向研究 ． ： 有的是横 向研究 ； 各小组 对找出 ｎ 与ｎ 】 ６ ６ 一 、 与 Ｌ １ 、 与 ＩＬ 的递推 关系 和推导 出数列 ｉ ！｛ ｝ ｉ 的通 项公式 没有 困难 ． 、 、 Ｌ ｝ 但对 Ｓ 与 Ｓ 】 递推关 系 和 推导 出 ｛ 的通 项 公 的 Ｓ｝ 式． 大部分小组感 到困难
雪花曲线边数公式
雪花曲线边数公式
1概述
雪花曲线（Snowflake Curve）是一种多边形，采用不同的6块六角形组合起来，由此而形成的一个多边形称为雪花曲线。
它是17世纪的用斯坦图西的研究成果之一。
对于这种新的自治多边形，用斯坦图西提出了一个确定它边数的公式：边数=3×2^n，式中n称为“维数”或“调节变量”，它是用斯坦图西雪花曲线的重要参数。
之后，由于用斯坦图西雪花曲线的几何形状充满了艺术美感，因此引起人们对其形状、构造、定义以及其边数的研究，进而有了关于雪花曲线边数的一些数学公式。
2公式
1.杨氏公式
杨氏公式的表达形式：边数=3×3^n。
杨氏研究的是只由三种等边三角形构成的曲线，它的边数为：3×3^n。
2.用斯坦图西公式
用斯坦图西公式的表达形式：边数=3×2^n，n称为“维数”。
用斯坦图西研究的是只由6种相等六边形构成的曲线，其形状近似于一个雪花，它的边数为：3×2^n。
3总结
以上介绍了十七世纪伟大数学家用斯坦图西提出的雪花曲线边数公式，由于它的几何形状充满了艺术美感，因此引起了许多数学家的关注，有了关于雪花曲线边数的一些数学公式，比如杨氏公式和用斯坦图西雪花曲线公式，它们的表达形式分别为：边数=3×3^n和边数=3×2^n。
不论是科学家还是艺术家，都能从雪花曲线中获得它精美绝伦的美学启示，有着无注释的重要历史价值及现代价值，一直被人们所倾倒和探求。
美妙的雪花曲线
美妙的雪花曲线历代文人大抵都爱雪，古今中外留下了不少咏雪的佳作。
在这些作品中，或歌咏“千里冰封，万里雪飘”的壮丽景色，或颂扬雪花洁白晶莹，纯净透明的高雅品质，却很少有人专写雪花的形状的。
即使偶尔提及，也不过一笔带过。
如唐人高骈的《对雪》诗，在开头稍为点到了一下雪花的形状，便笔锋一转，写别的景色去了：六出飞花入户时，坐看青竹变琼枝。
如今好上高楼望，盖尽人间恶路歧。
诗人发现六角形的雪花飘进了窗户，引起他极大的兴致，感到格外新奇。
凝视着户外一竿竿翠竹顷刻之间都变成了琼枝玉树。
接着笔锋一转，从自然景色联想到社会现实。
那些艰难险恶的人生歧路，也能像地上的路一样被纯洁的雪花盖掉吗？我真想登高望远，看看那些人间歧路，怎样被白雪铺盖成一马平川的阳光大道了。
如果说文人喜爱雪花的品质，雪花给诗人以灵感，那么数学家则对雪花的形状情有独钟，它给数学家以丰富的联想，并给一门崭新的学科——混沌中的分形几何的诞生提供了奠基的素材。
什么是分形？粗略地说，就是一些杂乱无章、极不规则的形状，如云彩、山川、海岸等的曲线，都可以看成一种分形。
分形几何是混沌的一个分支，如果说，混沌还过于抽象，难以理解和想象，那么，分形则是一些非常具体的混沌。
所以有人说：“分形是混沌的签名。
”精确的数学自然要给分形较为明确的界定。
它把分形的主要特征，通过具有“分数维”和具有“自相似性”来刻划。
那么什么叫做“分数维”和“自相似性”呢？先谈维数。
我们知道，在欧氏几何中，点是零维的，直线是一维的，平面是二维的，立体是三维的。
换言之，确定直线上一个点的位置需要一个坐标，确定平面上一个点的位置需要两个坐标，确定空间中一个点的位置需要三个坐标。
用坐标的个数来确定几何体的维数，维数总是整数。
但是1890年，意大利数学家皮亚诺(Peano，1858～1932)曾经指出：在一个正方形中，一个点连续移动，当点经过正方形内及边界上每一点时，这个点移动的轨迹最终填满了整个正方形，它应该是二维的。
科赫雪花曲线的面积
科赫雪花曲线的面积
科赫雪花曲线是17世纪荷兰数学家科赫出名的一种几何曲线，由六角形和二十三边形的
螺旋组成。
科赫雪花曲线有着独特的美丽，很多艺术家使用它作为作品的主题。
另外，科
赫雪花曲线也有很强的数学性质，特别是它的面积。
虽然这个曲线看似无限，但它的面积
是有限的。
科赫雪花曲线的面积可以以英尺或米来衡量，它也可以由一些特殊的公式来计算，比如说
L'Huillier公式或Gosper公式。
这些公式可以计算出科赫雪花曲线的面积，而且结果是一
定的。
虽然它看似无穷，但实际上，科赫雪花曲线的面积是有界的，取决于曲线的复杂程度。
基于定义，科赫雪花曲线的面积是有限的，用英尺衡量它的面积约为1692，而用米衡量
它的面积大约为1693.7。
而从公式来看，科赫雪花曲线的面积可以由公式精确的计算出来。
总的来说，科赫雪花曲线的面积有限，取决于曲线的复杂程度及公式的使用。
科赫雪花曲线不仅是一种独特的几何曲线，它有独特的美丽，也有很强的数学性质。
特别
是它的面积，尽管看似无限，但它的面积是有限的，而从定义和公式来看，可以精确计算
出它的面积并有所限定。
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当我们的老管家在他的一亩六分地上享 受夕阳红的时候，我们再看一眼这个奇 妙的雪花吧。你有没有发现，其实它可 以是任意的大小？如果开始我们规定六 角形的面积是1公顷而不是1亩，那雪花 的面积就是1.6公顷。或者如果把三角形 缩小成1平方米，那就会得到1.6平方米 的雪花。可是，不管面积大还是小，周 长永远趋于无穷。奇怪不奇怪？
啊哈，原来是一个等比数列！等比就是 不停地乘上一个相同的比值。他记起高 中老师教过怎么算等比数列的和。对于 形如 的式子，如果ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr小于1的话，即使这个数列无限延伸下 去，它的和也是有限的。根据求和公式 ，得出面积是原面积的八分之五。
管家傻眼儿了，费了这么半天劲，原来 才一亩二分地啊！是不是搞错了？地主 肯定耍花招了，这么下去周长肯定不是 无穷大。管家重新检查了一下周长：每 次抹去各条边的三分之一，换成两条相 同长度的线段，那么就变成了原先的三 分之四。每条边增长相同的比例，总周 长就也增长到原先的三分之四。
起始的三角形3条边，那么第一步得到的新 图形就有3x4=12条边，第二步得到的图形 就有3x4x4=48条边，接下去就是3x4x4x4条 边。。。。所以，从三角形开始，第一次 增加了3个三角形，第二次增加了3x4=12个 ，第三次3x4x4=48个，接下去是3x4x4x4个 。。。
太好了，最后就是算出每次 增加的三角形的面积，把它 们加起来就能算出总面积。 这很容易，因为新三角形的 边长都是老三角形的三分之 一，所以新三角形的面积是 老三角形的九分之一。老管 家一系列推算的心理活动全 在这儿。经过一番心算，他 终于得出了面积的计算公式 。想想是什么呢？
实验一
如果在裁好的一张纸条正中间画一条线，粘 成“莫比乌斯带”，再沿线剪开，把这个圈一分 为二，照理应得到两个圈儿，奇怪的是，剪开后 竟是一个大圈儿。 实验二 如果在纸条上划两条线，把纸条三等分，再 粘成“莫比乌斯带”，用剪刀沿画线剪开，剪刀 绕两个圈竟然又回到原出发点，猜一猜，剪开后 的结果是什么，是一个大圈？还是三个圈儿？都 不是。它究竟是什么呢？你自己动手做这个实验 就知道了。你就会惊奇地发现，纸带不是一分为 二，而是一大一小的相扣环。
很久很久以前，有一个地主。地主有一个老管家，当 了一辈子仆人，打算告老归田。几十年主仆，也算有 点情分。于是地主说，这样吧，你从我这里扯一根线， 到我的田里圈一块地，圈多少算多少，全归你。老管 家是个神人，眼珠子转了转，说：“你让我扯一根线， 那我就扯一根直线吧。直线可不是线段哦，它的长度 是无穷大。”哟，地主一惊，这不是要连我家一块儿 吞了么。不过所谓道高一尺魔高一丈，他把袖子一捋： “好啊，无穷大就无穷大，但是得我来围。”
如果起始的周长是L，那么第二步就变成 L，第三步是 L，……，第n步就是 L
管家记得高中数学老师也教过，如果每次都乘 上一个大于1的比数，这样永远进行下去，最后 的数值就趋于无穷大。也就是说，只要我们不 停地让n增加，周长L是没有极限的。
管家这回可懵了。这是个什么怪物，无 穷的周长，却只围成一亩六分地！他看 了看一脸坏笑的地主，真想一头撞死算 了。老大，你牛，你不愧是地主！
莫比乌斯环奇妙之处
一、莫比乌斯环只存在一个面。 二、如果沿着莫比乌斯环的中间剪开，将会形成一个 比原来的麦比乌斯环空间大一倍的、把纸带的端头扭转 了两次再结合的环（并不是莫比乌斯带，在本文中将之 编号为：环0），而不是形成两个莫比乌斯环或两个其 它形式的环。 三、如果再沿着环0的中间剪开，将会形成两个与环0 空间一样的、具有正反两个面的环，且这两个 环是相 互套在一起的（在本文中将之编号为：环1和环2），从 此以后再沿着环1和环2以及因沿着环1和环2中间剪开所 生成的所有环的中间剪开，都将会形成两 个与环0空间 一样的、具有正反两个面的环，永无止境……且所生成 的所有的环都将套在一起，永远无法分开、永远也不可 能与其它的环不发生联系而独立存在。
怎么围呢？他先画了一个等边三角形，说，这块 地有一亩。管家半是好奇地点点头。接着地主把 各边的三分之一抹去，换成等长的两条线段： 这样，每条边的长度增加了三分之一。从形状上 看，每边多出了一个小号的三角形。然后他在每 个新的小三角形上重复同样的步骤，得到了更多 更小的三角形。这样不停地重复下去，得到的图 案看起来就像一片雪花。
地主说，如果我永远地进行下去，这片雪花的周 长将变成无穷大，里面圈起来的面积都归你。管 家大喜过望，永远进行下去，这面积不就永远增 加下去嘛！赶快说：“老爷，你一言既出，可不 许反悔啊！”地主说，“那当然，该多少是多少 。” 咦，这么爽快，难道这里头有猫腻？可不能被他 忽悠了啊。管家嘛，精打细算可是看家本领，于 是他盘算开了：这个图案有很明显的规律性—— 每次增长，都是在每条小边上增加一个三角形。 那么如果知道总共有几条小边，也就能算出总共 增加多少个三角形。嗯，看来，最关键的是找出 边数增加的规律。
二、空间 莫比乌斯带
莫比乌斯圈是一种 单侧、不可定向的 曲面。将一个长方 形纸条ABCD的一端 AB固定，另一端DC 扭转半周后，把AB 和CD粘合在一起 ， 得到的曲面就是莫 比乌斯圈，也称莫 比乌斯带。
小实验
实验一 在裁好的一张纸条正中间画一条线 ，粘成“莫比乌斯带”，再沿线剪开， 把这个圈一分为二。 实验二 在纸条上划两条线，把纸条三等分 ，再粘成“莫比乌斯带”，用剪刀沿画 线剪开，剪刀绕两个圈竟然又回到原出 发点，猜一猜，剪开后的结果是什么？