圆形磁场区域详解

(1)粒子的轨迹半径； (2)粒子在磁场中运动的最长时间； (3) 若射入磁场的速度改为 v 0 ＝ 3.0 × 10 5 m/s ，其他条 件不变，试用斜线画出该批粒子在磁场中可能出现的 区域．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
[ 解析 ]
(1) 由牛顿第二定律可求得粒子在磁场中运动的半
x
O
所以磁场区域的下边界也是半径为r，圆心为(0，r)的 圆弧应是磁场区域的下边界。 两边界之间图形的面积即为所求。图中的阴影区域面 积，即为磁场区域面积：
2 m2v0 1 2 r2 S 2( r ) ( 1) 2 2 4 2 2 eB
3．如右图所示，纸面内有宽为L水平向右飞行的带电
变1：圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强 度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域 边缘的最短距离为L的O＇处有一竖直放置的荧屏MN， 今有一质量为m的电子以速率v从左侧沿ＯＯ＇方向垂 直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如图 所示，求O＇P的长度和电子通过磁场所用的时间
M L
r 3 － 又 sinα＝ ＝ ，∴ tm＝ 6.4× 10 8 s. R 5
mv0′ － (3)R′＝ ＝ 1.5×10 2 m， qB 粒子在磁场中可能出现的区域如图 5 乙所示 (以 aO 为直径的 半圆加上以 a 为圆心， aO 为半径所作圆与磁场相交的部分)．
带电粒子在圆形磁场中运动的四个结论 结论1：对准圆心射入,必定沿着圆心射出 结论2：对准圆心射入，速度越大，偏转角和圆 心角都越小，运动时间越短。 结论3：运动半径相同(v相同)时，弧长越长对 应时间越长。 结论4：磁场圆的半径与轨迹圆的半径相同时,
v
A
Ｏ
•
B P
Ｏ＇
B
N
2 tan( ) A 2eBrm v 2 tan 2 2 2 2 2 m v e B r 2 1 tan ( ) 2 R 2 2( L r )eBrmv O' P ( L r ) tan 2 2 2 2 2 m v e B r
r eBr tan( ) 2 R mv
60 1 2m m t T 0 360 6 qB 3qB qBr 2qBR r 2R v m m
0
R/2 •
·
B
•1 O
O
x
R
r
600 O2
2 2 1 2 2 qB R qU mv U 2 m
r
例4：如图所示，在真空中半径r＝3.0×10－2 m的圆形 区域内，有磁感应强度B＝0.2 T，方向如图的匀强磁场， 一批带正电的粒子以初速度 v 0 ＝ 1.0 × 10 6 m/s ，从磁 场 边界上直径ab的一端a沿着各个方向射入磁场，且初速 度方向与磁场方向都垂直，该粒子的比荷为q/m＝ 1.0×108 C/kg，不计粒子重力．
D
P Q B C
带电粒子在圆形磁场中的运动
一、对准圆心射入
二、偏离圆心射入
结论1：对准圆心射入,必定沿着圆心射出
题型一、对准圆心射入
例1 电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技 术实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入 一圆形匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。 磁场区的中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束 将通过O点而打到屏幕的中心M点。为了让电子束射 到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角 度θ ，此时磁场的磁感应强度B应为多少？
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态
例2．在真空中宽ｄ的区域内有匀强磁场Ｂ，质量为 ｍ，电量为e，速率为ｖ的电子从边界ＣＤ外侧垂直 射入磁场，入射方向与ＣＤ夹角θ ，为了使电子能从 磁场的另一侧边界ＥＦ射出，ｖ应满足的条件是： Ａ.v＞eBd/m（1+sinθ） C E B Ｂ.v＞eBd/m（1+cosθ） Ｃ.v＞ eBd/msinθ vθ O Ｄ.v＜ eBd/mcosθ
“磁会聚”与“磁扩散”
磁聚焦概括：
迁移与逆向、对称的物理思想！
一点发散成平行
R
平行会聚于一点
r
R r
区域半径 R 与运动半径 r 相等
例、如图，在xOy平面内与y轴平行的匀强电场，在半径为R
的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置 一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相 同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带电微粒。发射时， 这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内。已知重力加速度 大小为g。 （1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区 域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感 应强度的大小与方向。 y （2）请指出这束带电微粒与x轴相 带 点 微 交的区域，并说明理由。 粒 R 发 v O/ （3）在这束带电磁微粒初速度变为 射 C 装 2v，那么它们与x轴相交的区域又在 置 O 哪里？并说明理由。 x
两块平行金属，板MN、PQ水平放置，两板间距为d、板长为L，在 紧靠平行板右侧的正三角形区域内存在着垂直纸面的匀强磁场，三 角形底边BC与PQ在同一水平线上，顶点A与MN在同一水平线上， 如图所示，一个质量为m、电量为+q的粒子沿两板中心线以初速度 V0水平射入，若在两板间加某一恒定电压，粒子离开电场后垂直 AB边从D点进入磁场，BD＝１/4AB，并垂直AC边射出(不计粒子 重力)。求：１、两极板间电压；２、三角形区域内磁感应强度； ３、若两板间不加电压，三角形区域内的磁场方向垂直纸面向外， 要使粒子进入磁场区域后能从AB边射出，试求所加磁场的磁感应 强度最小值。 A M N V0 V0 d
v0 2 径．qv0B＝ m ， R mv0 － R＝ ＝ 5.0×10 2 m. qB
(2)由于 R＞ r，要使粒子在磁场中运动的时间最长，则粒子在 磁场中运动的圆弧所对应的弧长最长，从图 5 甲中可以看出，以 直径 ab 为弦、 R 为半径所作的圆周，粒子运动时间最长， 2πm T＝ ， qB 运动时间 tm＝ 2α 2α· m ×T＝ ， 2π qB
v0
A
•
B
结论2：对准圆心射入，速度越大，偏转角和圆 心角都越小，运动时间越短。
题型二、偏离圆心射入
例3 在真空中，半径r＝3×10－2 m的圆形区域内 有匀强磁场，方向如图2所示，磁感应强度B＝0.2 T， 一个带正电的粒子以初速度v0＝1×106 m/s从磁场 边界上直径ab的一端a射入磁场，已知该粒子的比荷 q/m ＝1×108 C/kg，不计粒子重力． (1)求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径； (2)若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射 时v0与ab的夹角θ及粒子的最大偏转角． (1)R＝5×10－2 m. (2)37o 74o
粒子流，粒子质量为m，电荷量为－q，速率为v0，不 考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都汇聚到 一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场 区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是
mv 0 (其中 B0 ，A、C、D选项中曲线均为半径是L的1/4 qL
圆弧，B选项中曲线为半径是L/2的圆)( A )
y
v0 O
O1 O2 O3 On O5 O4
x
解2: 磁场上边界如图线1所示。 设P(x，y)为磁场下边界上的一 点，经过该点的电子初速度与x轴 夹角为 ，则由图可知： x = rsin， y = r－rcos ， 得: x2 + (y－r)2 = r2。
y 1
P (x,y)
v0
O
θ r
r
2R
M
2R
O
R
N
二．带电粒子在双平行平面边界磁场中的运动
Q P B P Q
P
Q
v
S
圆心在磁场 原边界上
v
圆心在过入射点跟 边界垂直的直线上
①速度较小时，作圆周 运动通过射入点；②速 度增加为某临界值时， 粒子作圆周运动其轨迹 与另一边界相切；③速 度较大时粒子作部分圆 周运动后从另一边界飞 出
v
圆心在过入射点跟跟速 度方向垂直的直线上
【答案】（1）；方向垂直于纸面向外（2）数学方 法（3）与x同相交的区域范围是x>0. y
y
【解析】 略 【关键】 图示
v A
P v
R R Q
θ O/ O
R
C
O/ O 图 ( a)
x 图 ( b)
x y
装带 置点 微 粒 发 射
P
v R
C
r
O/
Q
源自文库
O 图 (c)
x
练.在平面内有许多电子（质量为m、电量为e），从坐 标O不断以相同速率v沿不同方向射入第一象限，现加一 个垂直于平面向内、磁感强度为B的匀强磁场，要求 这些电子穿过磁场后都能平行于轴向正方向运动，求该条 件匀强磁场的最小面积。
①速度较小时，作圆弧运 动后从原边界飞出；②速 度增加为某临界值时，粒 子作部分圆周运动其轨迹 与另一边界相切；③速度 较大时粒子作部分圆周运 动后从另一边界飞出
S
S
①速度较小时，作半圆运 动后从原边界飞出；②速 度增加为某临界值时，粒 子作部分圆周运动其轨迹 与另一边界相切；③速度 较大时粒子作部分圆周运 动后从另一边界飞出
3BeR v 4m
O3 O2 O1
变2．在圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场．从 磁场边缘A点沿半径方向射人一束速率不同的质子， 对这些质子在磁场中的运动情况的分析中，正确的是： A.运动时间越长的，在磁场中通过的距离越长 BC B.运动时间越短的，其速率越大 C.磁场中偏转角越小的，运动时间越短 D.所有质子在磁场中的运动时间都相等
结论3：运动速度v相同,方向不同，弧长（弦长 ）越长，对应时间越长。(直径对应的弧最长)
变3：在直角坐标系xOy中，有一半径为R的圆形磁场 区域，磁感强度为B，磁场方向垂直xOy平面指向纸内， 该区域的圆心坐标为（R，0）。如图所示，有一个质 量为m、带电量为－q的离子，由静止经匀强电场加速 后从点（0，R/2）沿x轴正方向射入磁场，离子从射 入到射出磁场通过了该磁场的最大距离，不计重力影 响。求： ⑴.离子在磁场区域经历的时间。⑵.加速 电场的加速电压。 y
o
圆心在磁场原边界上 ①速度较小时粒子作半圆 运动后从原边界飞出；② 速度在某一范围内时从侧 面边界飞出；③速度较大 时粒子作部分圆周运动从 对面边界飞出。 B 圆心在 过入射 点跟速 度方向 垂直的 直线上
d
c
B
①速度较小时粒子做部分圆周运动 后从原边界飞出；②速度在某一范 围内从上侧面边界飞；③速度较大 时粒子做部分圆周运动从右侧面边 界飞出；④速度更大时粒子做部分 圆周运动从下侧面边界飞出。
d r (1 cos ) v2 qvB m r eBr eB d v m m (1 cos )

．
B
D
F
思考：能从EF射出，求电子在磁 场中运动的最长时间是多长？
2m ( )m t 2 eB eB
三．带电粒子在矩形边界磁场中的运动
v

M L
v
Ｏ
•
B P
Ｏ＇
B
R
N
2eBrmv arctan( 2 2 2 2 2 ) m v e B r
R
Ｏ1
m 2eBrmv t arctan( 2 2 2 2 2 ) v eB m v e B r
例2：在圆形区域的匀强磁场的磁感应强度为B，一 群速率不同的质子自A点沿半径方向射入磁场区域， 如图所示，已知该质子束中在磁场中发生偏转的最 大角度为1060，圆形磁场的区域的半径为R，质子 的质量为m，电量为e，不计重力，则该质子束的速 O4 率范围是多大？
二．带电粒子在单平面边界磁场中的运动
例1．如图,在一水平放置的平板MN上方有匀强磁场,磁感 应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里,许多质量为 m,带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各 个方向,由小孔O射入磁场区域,不计重力,不计粒子间的 相互影响.下列图中阴影部分表示带 B 电粒子可能经过的区域,其中R=mv/qB. 哪个图是正确的?
A. O M 2R R N M D. O 2R N M R 2R N R 2R
B. 2R O
2R N
M
O
N
C. O M 2R
2R
2R
解： 带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个方 向,由小孔O射入磁场区域,由R=mv/qB,各个粒子在磁场中运动 的半径均相同, 在磁场中运动的轨迹圆圆心是在以O为圆心、以 R=mv/qB为半径的1/2圆弧上,如图虚线示:各粒子的运动轨迹如 图实线示:带电粒子可能经过的区域阴影部分如图斜线示