华二数学校本教材Ch16 简单几何体(定稿)

第十六章简单几何体

几何学是研究空间物体形态和关系的学科，是一门历史极其悠久的学科，又是一门不断萌发许多奇思怪想的活跃学科。无论是微观的粒子研究，还是宏观的太空探索都需要解决形形色色的物体形态和位置关系，这些需求极大地刺激了几何学的研究和发展。

几何学还是一门很好的提升数学素养和思维品质的学科，大家可以在知识的空间翱翔，撞击出智慧的火花。

16.1多面体的概念（Concept of Polyhedron）

在自然界和日常生活中，我们会看到各种形状各异的物体，有些物体可以看成是某些简单几何体的复合体。现在我们就从一些简单的几何体入手，开始对空间物体的认识和研究。

由若干个多边形围成的封闭立体叫做多面体（polyhedron），构成多面体的各平面多边形叫做多面体的面(face of polyhedron)，相邻多边形的公共边叫做多面体的棱(edge of polyhedron)，棱与棱的交点叫做多面体的顶点(vertex)，连接不在同一平面内的两个顶点的线段，叫做多面体的对角线。

若把多面体的任意一个平面伸展成平面，而此多面体的所有其他各面都在这个平面的同旁，则这样的多面体叫做凸多面体。下图左边的是凸多面体，右边的不是凸多面体。

多面体的面数至少是四。多面体按照其面数分别叫做四面体、五面体等等。上图左边的几何体叫做二十面体。

1.棱柱

有两个面平行，其余各面都是四边形，且任意相邻的两个四边形的公共边都互相平行的多面体叫做棱柱（prism）。

棱柱的互相平行的两个面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，底面多边形的顶点叫做棱柱顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线。两个底面间的距离叫做棱柱的高。

侧棱和底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

棱柱的性质：

（1

（2）棱柱的底面及平行于底面的截面是全等的多边形。

直棱柱的性质：

（1）直棱柱的侧面都是矩形；

（2）直棱柱的侧棱与高相等；

（3）正棱柱的侧面都是全等的矩形。

底面是n 边形的棱柱叫做n 棱柱，底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，底面是矩形的直棱柱叫做长方体，所有棱长都相等的长方体叫做正方体。 例1.已知长方体的一条对角线与从它的一个端点出发的三条棱所成的角分别是、、βα

γ，写出一个γβα、、满足的关系式。 解：设γβα=∠=∠=∠''''CC A CB A CD A ，，。

∵ C A C

C C A BC C A DC ''''cos cos cos ===γβα，，

， ∴ γβα2

2

2

cos cos cos ++12

2

22''==

++C A C C BC DC 。

例2.已知直平行六面体每条棱长都是a ，底面四边形有

一个角是︒60，求此平行六面体对角线的长。 解：如图所示，设︒=∠60BAD 。

∵ a BC AB ==， ∴ 底面ABCD 是菱形。

∵ a BD a AC ==，

3，AC A '∆、'BDD ∆ 均为直角三角形，

∴ 平行六面体对角线a BD a C A 2'2'==，

。

2.棱锥

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥

(pyramid)。棱锥的多边形面叫做棱锥的底面，其余各三角形叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。

底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥。 例3.在棱锥ABCDE P -中，与底面平行的平面

截棱锥得多边形'''''E D C B A ，点P 在底面、

截面的射影分别是'H H 、，求证： （1）PE

PE PD PD PC PC PB PB PA PA PH PH '

'''''=====； （2）截面'''''E D C B A 与底面ABCDE 相似； （3）2

2''''''PH PH S S ABCDE E D C B A =

。 证明：（1）如图所示，连接''H A 和AH 。''H A 和AH 分别是平面'''''E D C B A 和平面

ABCDE 与平面PAH 的交线。

∵ 平面//'''''E D C B A 平面ABCDE ，

∴ AH H A //''，''H PA ∆∽PAH ∆，PA

PA PH PH '

'=。 同理可证，PB PB PH PH ''=，PC

PC PH PH ''=，PD PD PH PH ''=，PE PE PH PH '

'=。

∴ PE PE PD PD PC PC PB PB PA PA PH PH '

'''''=

====。 （2）∵ PB

PB PA PA '

'=

，P ∠是公共角， ∴ ''B PA ∆∽PAB ∆，PH

PH PA PA AB B A '

'''=

=。 同理可证，PH PH BC C B '''=，PH PH CD D C '''=，PH

PH DE E D '''=，PH PH EA A E '

''=

。 ∵ 截面'''''E D C B A 与底面ABCDE 的 对应边成比例， ∴ 截面'''''E D C B A 与底面ABCDE 相似。

（3）由（2）知，

2

2

22''''''''PH

PH AB B A S S ABCDE E D C B A ==。 棱锥的性质：

若棱锥被平行于底面的平面所截，则

（1）侧棱和高被这个平面分成比例线段； （2）截面与底面是相似多边形；

（3）截面面积与底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面

的距离的平方比。 正棱锥的性质：

（1）侧棱都相等，侧面都是全等的等腰三角形； （2）对角面都是等腰三角形；

（3）高、侧棱、外接圆半径构成直角三角形； （4）高、斜高、内切圆半径构成直角三角形；

（5）侧棱、斜高、底面边长的一半构成直角三角形；

（6）外接圆半径、内切圆半径、底面边长的一半构成直角三角形。 例4.已知正四棱锥ABCD S -的侧面是边长为a 的等边三角形。 （1）求侧面与底面所成二面角的平面角1θ； （2）求相邻两侧面所成二面角的平面角2θ。 解：（1）设正四棱锥ABCD S -的底面中心是O 。 ∵ =

∆SAB S 4

3

2

a ，=

∆OAB S 4

12

a ，

∴ =

1cos θ3

3

=

∆∆SAB

OAB

S S ，1θ3

3

arccos

=。 （2）设E 是SB 的中点，连接CE AE 、。

∵ 棱锥的侧面是边长为a 的等边三角形， ∴ SB CE SB AE ⊥⊥，，AEC ∠=2θ。

∵ 在ACE ∆中，a AC a CE AE 223

===，

，

∴ =

2cos θa

a a a a 2

32

32

24

324

3

22⨯⨯

-+31-=，2θ3

1arccos -=π。 拓展.已知正四棱锥ABCD S -的侧面与底面所成二面角的平面角是1θ，相邻两侧面所

成二面角的平面角是2θ，用1θ表示2θ。