直角三角形中的证明题小结精编整理
（完整版）三角形的证明详细知识点、例题、习题）,推荐文档
（完整版）三⾓形的证明详细知识点、例题、习题）,推荐⽂档第⼀章三⾓形的证明⼀、全等三⾓形（1）定义：能够完全相等的三⾓形是全等三⾓形。
（2）性质：全等三⾓形的对应边、对应⾓相等。
（3）判定：SAS、SSS、ASA、AAS、HL注：SSA,AAA不能作为判定三⾓形全等的⽅法，判定两个三⾓形全等时，必须有边的参与，若有两边⼀⾓相等时，⾓必须是两边的夹⾓证题的思路：）找任意⼀边（）找两⾓的夹边（已知两⾓）找夹已知边的另⼀⾓（）找已知边的对⾓（）找已知⾓的另⼀边（边为⾓的邻边任意⾓（若边为⾓的对边，则找已知⼀边⼀⾓）找第三边（）找直⾓（）找夹⾓（已知两边AASASAASAAASSASAASSSSHLSAS例题解析：⼆、等腰三⾓形1. 性质：等腰三⾓形的两个底⾓相等（等边对等⾓）.2. 判定：有两个⾓相等的三⾓形是等腰三⾓形（等⾓对等边）．3. 推论：等腰三⾓形顶⾓的平分线、底边上的中线、底边上的⾼互相重合（即“三线合⼀”）．4. 等边三⾓形的性质及判定定理性质定理：等边三⾓形的三个⾓都相等，并且每个⾓都等于60°；等边三⾓形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有⼀个⾓是60°的等腰三⾓形是等边三⾓形；三个⾓都相等的三⾓形是等边三⾓形.5. 含30°的直⾓三⾓形的边的性质定理：在直⾓三⾓形中，如果⼀个锐⾓等于30°，那么它所对的直⾓边等于斜边的⼀半.例题解析：三、.直⾓三⾓形1. 勾股定理及其逆定理定理：直⾓三⾓形的两条直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅．逆定理：如果三⾓形两边的平⽅和等于第三边的平⽅，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形．2. 命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3. 直⾓三⾓形全等的判定定理定理：斜边和⼀条直⾓边对应相等的两个直⾓三⾓形全等要点诠释：①勾股定理的逆定理在语⾔叙述的时候⼀定要注意，不能说成“两条边的平⽅和等于斜边的平⽅”，应该说成“三⾓形两边的平⽅和等于第三边的平⽅”例题解析四、线段的垂直平分线1. 线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到⼀条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三⾓形三边的垂直平分线的性质三⾓形三条边的垂直平分线相交于⼀点，并且这⼀点到三个顶点的距离相等3. 如何⽤尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆⼼，以⼤于1/2AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意⼆者的应⽤范围；②利⽤线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.例题解析五、.⾓平分线1. ⾓平分线的性质及判定定理性质：⾓平分线上的点到这个⾓的两边的距离相等；判定：在⼀个⾓的内部，且到⾓的两边的距离相等的点，在这个⾓的平分线上2. 三⾓形三条⾓平分线的性质定理性质：三⾓形的三条⾓平分线相交于⼀点，并且这⼀点到三条边的距离相等.3. 如何⽤尺规作图法作出⾓平分线要点诠释：①注意区分⾓平分线性质定理和判定定理,注意⼆者的应⽤范围；③⼏何语⾔的表述，这也是证明线段相等的⼀种重要的⽅法.遇到⾓平分线时，要构造全等三⾓形例题解析：【课堂练习】1、△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最⼩边BC=4 cm，最长边AB的长是（）A.5 cmB.6 cmC.5cmD.8 cm2、如图，已知∠1＝∠2，则不⼀定．．．能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．BD＝CDC．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA3 、如上图，点,,,B C F E 在同⼀直线上, 12∠=∠,BC FE =,1∠（填“是”或“不是”） 2∠的对顶⾓，要使ABC DEF ，还需添加⼀个条件，这个条件可以是（只需写出⼀个）． 4、已知实数x ，y 满⾜，则以x ，y 的值为两边长的等腰三⾓形的周长是（）A ． 20或16B ． 20C ． 16D ．以上答案均不对5、如图所⽰的正⽅形⽹格中，⽹格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC ?为等腰三⾓形．．．．．，则点C 的个数是 A ．6 B ．7C ．8D ．96、⼀个等腰三⾓形静的两边长分别为5或6，则这个等腰三⾓形的周长是．7、等腰三⾓形的周长为16，其⼀边长为6，则另两边为_______________。
八年级数学下册 1.3 直角三角形全等的判定例题精讲素材 (新版)湘教版
直角三角形全等的判定重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等〔HL 〕难点：创立全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。
讲一讲例1：：如图△ABC 中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD 、CE 交于O 点，且BD=CE求证：OB=OC.分析：欲证OB=OC 可证明∠1=∠2，由发现，∠1，∠2均在直角三角形中，因此证明△BCE 与△CBD 全等即可证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，那么∠BEC=∠CDB=90°∴在Rt△BCE 与Rt△CBD 中⎩⎨⎧==BC BC BD CE ∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)∴∠1=∠2，∴OB=OC例2：：Rt△ABC 中，∠ACB 是直角，D 是AB 上一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于E ，求证：CD⊥BE分析：由可以得到△DBE 与△BCE 全等即可证明DE=EC 又BD=BC ，可知B 、E 在线段CD 的中垂线上，故CD⊥BE。
证明：∵DE⊥AB∴∠BDE=90°，∵∠ACB=90°∴在Rt△DEB 中与Rt△CEB 中BD=BCBE=BE∴Rt△DEB≌Rt△CEB〔HL 〕∴DE=EC 又∵BD=BC∴E、B 在CD 的垂直平分线上即BE⊥CD.例3：△ABC 中，CD⊥AB 于D ，过D 作DE⊥AC，F 为BC 中点，过F 作FG⊥DC 求证：DG=EG 。
分析：在Rt△DEC 中，假设能够证明G 为DC 中点那么有DG=EG因此此题转化为证明DG 与GC 相等的问题，利用的众多条件可以通过直角三角形的全等得到。
证明：作FQ⊥BD 于Q ，∴∠FQB=90°∵DE⊥AC∴∠DEC=90°∵FG⊥CD CD⊥BD ∴BD//FG，∠BDC=∠FGC=90°∴QF//CD∴QF=DG，∴∠B=∠GFC∵F 为BC 中点∴BF=FC在Rt△BQF 与Rt△FGC 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠FCBF GFC B FGCBQF∴△BQF≌△FGC〔AAS 〕∴QF=GC ∵QF=DG ∴DG=GC∴在Rt△DEC 中，∵G 为DC 中点∴DG=EG。
解直角三角形知识点总结
解直角三角形知识点总结直角三角形是初中数学中的一个重要概念，也是解决三角函数问题的基础。
本文将对直角三角形的知识点进行总结，包括定义、性质以及常用的解题方法。
一、定义直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。
直角三角形有三个边，分别为斜边、邻边和对边。
斜边是直角三角形中最长的一边，位于直角的对面。
二、性质1. 勾股定理：直角三角形中，对于两条边长分别为a和b的直角三角形，斜边的长度c满足勾股定理：c² = a² + b²。
2. 三角函数：直角三角形中，我们可以定义三角函数sinθ、cosθ和tanθ，其中θ是一个锐角或直角，分别表示三角形中的对边比斜边、邻边比斜边、对边比邻边的比值。
三、常用解题方法1. 应用勾股定理：当已知两条边长，需要求解第三条边长时，可以利用勾股定理求解。
例如，如果已知直角三角形的斜边和一个邻边的长度，可以通过勾股定理求解另一个邻边的长度。
2. 使用三角函数：当已知一个角的度数和两个边的长度时，可以利用三角函数求解其他未知量。
例如，已知一个角的度数和斜边的长度，可以利用sin、cos或tan函数求解邻边或对边的长度。
3. 旁边两边法：当已经知道一个锐角的度数和一个边的长度时，可以利用旁边两边法求解其他未知量。
旁边两边法是利用三角函数中的tan函数，已知一个锐角和邻边长度时，可以求解对边的长度。
总结直角三角形是数学中的重要概念，掌握直角三角形的定义、性质以及常用的解题方法对于解决相关数学问题非常关键。
在解题过程中，可以根据已知条件灵活运用勾股定理、三角函数以及旁边两边法，快速求解出未知量。
熟练掌握直角三角形的知识点，能够帮助我们更好地理解和应用三角函数，为解决更复杂的数学问题打下坚实的基础。
直角三角形知识点+经典例题
第二讲 直角三角形【要点梳理】 要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中的已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-.（4）勾股数：满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……②如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.③22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； ④2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长； ⑤2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点五、互逆命题与互逆定理如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.要点六、直角三角形全等的判定（HL ）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简 称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt” 【典型例题】 类型一、勾股定理例1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ＝5，b ＝12，求c ； （2）若c ＝26，b ＝24，求a ．【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长． 【答案与解析】解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13． （2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24，所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股定理的原式还是变式．【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）已知b ＝2，c ＝3，求a ； （2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ． 【答案】解：（1）∵∠C ＝90°，b ＝2，c ＝3，∴2222325a c b =-=-=； （2）设3a k =，5c k =．∵∠C ＝90°，b ＝32， ∴222a b c +=． 即222(3)32(5)k k +=． 解得k ＝8．∴ 33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．例2、一圆形饭盒，底面半径为8cm ，高为12cm ，若往里面放双筷子（粗细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？ 【答案与解析】解：如图所示，因为饭盒底面半径为8cm ，所以底面直径DC 长为16cm ．则在Rt △BCD 中，222BD DC BC =+， 所以2222161220BD DC BC =+=+=(cm )． 答：筷子最长不超过20cm ，可正好盖上盒盖．【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长．【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在离底部12m 处，则旗杆折断前有多高？ 【答案】解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C ＝90°，BC ＝5m ，AC ＝12m ，∴ 22222512169AB BC AC =+=+=． ∴ 16913AB ==(m )． ∴ BC ＋AB ＝5＋13＝18(m )． ∴ 旗杆折断前的高度为18m ． 类型二、勾股定理的逆定理例3、判断由线段a b c ，，组成的三角形是不是直角三角形．（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25； （2）a ＝43，b ＝1，c ＝34；（3）22a m n =-，22b m n =+，2c mn =(0m n >>)；【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形． 【答案与解析】解：（1）∵ 2222724625a b +=+=，2225625c ==，∴ 222a b c +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形．（2）∵ a b c >>，222239251141616b c ⎛⎫+=+=+=⎪⎝⎭，2241639a ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴ 222b c a +≠．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形不是直角三角形．（3）∵ 0m n >>，∴ 222m n mn +>，2222m n m n +>-．∵2222224224224224()(2)242a c m n mn m m n n m n m m n n +=-+=-++=++，22224224()2b m n m m n n =+=++，∴ 222a c b +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形．【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证2c 与22a b +是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形，第3小题，m,n 可以取特殊值，代入到三边中，也可以判断其三边的大小．【变式1】判断以线段a b c ，，为边的△ABC 是不是直角三角形，其中7a =，3b =，2c =．【答案】解：由于a c b >>，因此a 为最大边，只需看2a 是否等于22b c +即可．∵22(7)7a ==，22(3)3b ==，2224c ==，∴222a b c =+， ∴以线段a b c ，，为边能构成以a 为斜边的直角三角形．【变式2】一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（ ） A ．20:15:12 B ．3:4:5 C ．5:4:3 D ．10:8:2【答案】A.提示：这个三角形是直角三角形，三边上的高之比为4:3：125，即20:15:12.例4、已知a 、b 、c 满足|a ﹣|++（c ﹣4）2=0．（1）求a 、b 、c 的值；（2）判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．【思路点拨】（1）根据非负数的性质得到方程，解方程即可得到结果； （2）根据三角形的三边关系，勾股定理的逆定理判断即可．解：（1）∵a、b、c满足|a﹣|++（c﹣4）2=0．∴|a﹣|=0，=0，（c﹣4）2=0．解得：a=，b=5，c=4；（2）∵a=，b=5，c=4，∴a+b=+5＞4，∴以a、b、c为边能构成三角形，∵a2+b2=（）2+52=32=（4）2=c2，∴此三角形是直角三角形，∴S△==．【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，求三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．类型三、勾股定理、逆定理的实际应用例5、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）【思路点拨】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．【答案与解析】解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v==20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．类型四、原命题与逆命题例6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1．原命题：猫有四只脚．2．原命题：对顶角相等.3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等．4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．•（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．（正确）【总结升华】掌握原命题与逆命题的关系. 原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误.【变式1】下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a b c ，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形． 【答案】①④提示：①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三边长a b c ，，满足222a b c +=”也是正确的.【变式2】根据命题“两直线平行，内错角相等．”解决下列问题： （1）写出逆命题；（2）判断逆命题是真命题还是假命题； （3）根据逆命题画出图形，写出已知，求证．【答案】解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行； （2）是真命题；（3）已知：如图，∠AMN=∠DNM ，求证：AB ∥CD ．类型五、直角三角形全等的判定——“HL”例7、 已知：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝CD ：（2）AD ∥BC ．【思路点拨】先由“HL”证Rt △ABD ≌Rt △CDB ，再由内错角相等证两直线平行. 【答案与解析】证明：（1）∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴∠ABD ＝∠CDB ＝90° 在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，AD BC BD DB ⎧⎨=⎩＝∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ） ∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等） （2）由∠ADB ＝∠CBD ∴AD ∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．【答案】证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ， ∴∠DAE ＝∠CBA ＝90° 在Rt △DAE 与Rt △CBA 中， ED ACAE AB ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ） ∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E ＋∠EAF ＝90°，即∠AFE ＝90° 即ED ⊥AC ．例8、如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB=DC ，求证：EB=FC ． 【答案与解析】证明：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴DE=DF ；∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ． ∴在Rt △DBE 和Rt △DCF 中∴Rt △DBE ≌Rt △DCF （HL ）； ∴EB=FC ．【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、HL （在直角三角形中）．。
直角三角形证明题精选(初中数学)
直角三角形证明题精选(初中数学)1. 垂直角等于90度的证明问题：请证明直角三角形中的垂直角等于90度。
请证明直角三角形中的垂直角等于90度。
证明：对于直角三角形ABC，假设∠BAC为直角。
我们需要证明∠ABC和∠ACB均等于90度。
对于直角三角形ABC，假设∠BAC为直角。
我们需要证明∠ABC和∠ACB均等于90度。
根据直角三角形定义，直角三角形的对角线相互垂直。
因此，线段AB与线段AC垂直。
另一方面，我们可以使用反证法来证明∠ABC等于90度。
如果∠ABC不等于90度，假设∠ABC为a度，那么∠ACB就等于90 - a度。
由于三角形内角和等于180度，我们可以得出：a + (90 -a) + 90 = 180，化简后得到180 = 180，这是不成立的。
因此，我们得出结论，直角三角形中的垂直角等于90度。
2. 直角三角形中勾股定理的证明问题：请证明直角三角形中的勾股定理成立。
请证明直角三角形中的勾股定理成立。
证明：对于直角三角形ABC，假设∠BAC为直角，BC为直角边，AB为另一直角边，AC为斜边。
我们需要证明AB^2 +BC^2 = AC^2。
对于直角三角形ABC，假设∠BAC为直角，BC 为直角边，AB为另一直角边，AC为斜边。
我们需要证明AB^2 + BC^2 = AC^2。
根据勾股定理的定义，三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。
首先，我们可以利用直角三角形定义证明∠ABC和∠ACB均等于90度，即两个直角边垂直。
接下来，我们可以使用三角形的相似性来证明勾股定理。
考虑到三角形ABC和三角形ADB，它们有共边AB和∠B相等（都为直角）。
根据三角形的相似性，我们可以得出：AC/AD = BC/BD。
假设AD等于1，那么BD等于1/BC。
我们可以用平方来表示长度，得到：AC^2 = (1/BC)^2。
进一步，我们可以将BC替换成AB，得到：AC^2 = (1/AB)^2。
最后，我们可以应用勾股定理的定义，将AC^2表示成AB和BC的平方和：AC^2 = AB^2 + BC^2。
直角三角形的三角恒等式的证明与习题讲解
直角三角形的三角恒等式的证明与习题讲解直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
在直角三角形中，我们可以使用各种三角函数和恒等式来研究其性质和关系。
本文将探讨直角三角形中一些常见的三角恒等式，并给出相应的证明和习题讲解。
一、正弦定理的证明与习题正弦定理是直角三角形中的重要恒等式之一，它描述了三角形的边长和角度之间的关系。
正弦定理可以表述如下：在一个直角三角形ABC中，设∠C为直角，边长分别为a、b和c（c为斜边），则有：sin(A) = a/csin(B) = b/c其中，A和B分别为∠A和∠B的度数。
要证明正弦定理，我们可以利用三角形的性质和三角函数的定义。
具体证明步骤如下：首先，根据三角形的定义，我们可以得到两条等式：sin(A) = a/斜边 csin(B) = b/斜边 c然后，我们注意到直角三角形中的两个锐角A和B的度数之和为90度：A +B = 90我们将上述等式代入sin(A)和sin(B)的定义中，得到：a/斜边 c + b/斜边 c = 1化简上述等式，我们可以得到：a +b = c这正是直角三角形中两条直角边的长度之和等于斜边的长度。
因此，我们证明了正弦定理。
在习题讲解部分，我们可以给出一些练习题，帮助读者巩固对正弦定理的理解和应用。
以下是一些习题的例子：1. 在一个直角三角形中，已知一条直角边的长度为5，斜边的长度为13。
求另一条直角边的长度。
2. 在一个直角三角形中，已知一个锐角的度数为30度，斜边的长度为10。
求其他两条边的长度。
3. 在一个直角三角形中，已知两条直角边的长度分别为3和4。
求斜边的长度及两个锐角的度数。
以上习题可以帮助读者通过应用正弦定理来解决不同类型的直角三角形问题。
通过练习，读者可以加深对正弦定理的理解，并掌握灵活运用的能力。
二、余弦定理的证明与习题余弦定理是对直角三角形而言另一个重要的恒等式，它描述了三角形的边长和角度之间的关系。
余弦定理可以表述如下：在一个直角三角形ABC中，设∠C为直角，边长分别为a、b和c（c为斜边），则有：c^2 = a^2 + b^2其中，c为斜边的边长。
三角形的证明-知识点汇总
三角形的证明-知识点汇总三角形是几何学中基础且重要的图形之一。
在证明三角形问题时，我们需要运用一系列几何知识和定理。
本文旨在汇总三角形的证明中常用的知识点，并以清晰、美观的排版方式进行说明。
I. 性质和定义三角形是由三条边和三个角组成的闭合平面图形。
它具有以下一些性质和定义：1. 三角形的内角和为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180度。
2. 三角形的外角等于其对应内角的和，即∠A' = ∠B + ∠C、∠B' = ∠A + ∠C、∠C' = ∠A + ∠B。
3. 三边中任意两边之和大于第三边，即a + b > c、a + c > b、b + c > a。
II. 三角形分类根据三条边的长短和角的大小，三角形可以分为不同的类型，常见的包括：1. 等边三角形：三条边长度相等，三个内角均为60度。
2. 等腰三角形：两条边长度相等，两个内角相等。
3. 直角三角形：一个内角为90度的三角形，满足勾股定理，即a^2 + b^2 = c^2。
4. 钝角三角形：一个内角大于90度的三角形。
5. 锐角三角形：三个内角均小于90度的三角形。
6. 斜三角形：三条边中至少有一条边长度为非零实数，既不是等边三角形也不是等腰三角形。
III. 三角形的证明常用定理在证明三角形问题时，我们经常会用到以下一些几何定理：1. 直角三角形的性质：a) 两直角三角形全等，若它们的两条直角边分别相等。
b) 两个直角三角形相似，若它们的内角相等。
2. 等腰三角形的性质：a) 等腰三角形的底边上的高线、中线、角平分线相等。
b) 等腰三角形的底边上的高线、中线互相垂直。
c) 等腰三角形的底边上的高线、中线上的高线、中线、角平分线依次相等。
3. 同位角定理：若两条平行线被一条截线切割，则同位角相等。
4. 弧长定理：一个弧所对的圆心角与该弧所占的圆周角等长。
IV. 三角形的证明示例下面通过一些实际证明的示例，展示如何运用这些知识点和定理证明三角形问题：1. 证明三角形ABC为直角三角形：给定直角三角形ABC，若满足AB^2 + BC^2 = AC^2，则可以证明ABC为直角三角形。
(完整版)直角三角形的判定和性质
直角三角形全等的判定【知识点总结】直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）【典型例题讲解】例1：已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE 求证：OB=OC.例2：已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE：例3：已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC求证：DG=EG。
【随堂练习】1．选择：（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（）个①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等A．0 B．1 C．2 D．3（2）在下列定理中假命题是（）A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形（3）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（）A．1：1 B．3：1 C．4：1 D．2：3（4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF 是∠ACB的平分线。
则∠1与∠2的关系是（）A．∠1<∠2 B．∠1=∠2; C．∠1>∠2 D．不能确定（5）在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB 的度数是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．解答：（1已知：如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC求证：AD//BC.（2）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F 求证：CE=DF.B MC【课后习题】一、填空题:(每题5分,共20分)1.有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“___________”. 2.如图,△ABC 中,∠C=90°,AM 平分∠CAB,CM= 20cm, 那么M 到AB 的距离是____cm.3.已知△ABC 和△A ′B ′C ′,∠C=∠C ′=90°,AC=A ′C ′,要判定△ABC ≌△A ′B ′C ′,必须添加条件为①________或②________或③________或④_________. 4.如图,B 、E 、F 、C 在同一直线上,AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E,AB=DC,BE=CF, 若要说明AB ∥CD,理由如下:∵AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E(已知)∴△ABF,△DCE 是直角三角形∵BE=CF(已知)∴BE+_____=CF+_______(等式性质) 即_______=___________(已证)∴Rt △ABF ≌Rt △DCE( )二、选择题:(每题5分,共25分) 5.两个直角三角形全等的条件是( )A.一锐角对应相等;B.两锐角对应相等;C.一条边对应相等;D.两条边对应相等 6.要判定两个直角三角形全等,需要满足下列条件中的()①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等. A.6个 B.5个 C.4个 D.3个7.如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对8.已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和△DEF 全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF9.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( )A.AASB.SASC.HLD.SSS三、解答题:(共55分)10.如图,△ABC 中,∠C=90°,AB=2AC,M 是AB 的中点,点N 在BC 上,MN ⊥AB.求证:AN 平分∠BAC.(7分)BA21N MCB A E FC B AEF C D11已知:如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F为垂足,求证:CF=DF.(8分)B AE F D12知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE ⊥AE于E,求证:BD=DE+CE.(8分)BAE CD13已知如图,在△ABC中,∠BAC=2∠B,AB=2AC,求证:△ABC是直角三角形?( 8分)C14已知如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.(1)用圆规比较EM与FM的大小.(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?(8分)B AE MFC D直角三角形的性质【知识点精讲】直角三角形的性质定理及其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半; ②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30°.【典型例题讲解】例1：已知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A=30°，求BC ，CD 和DE 的长例2：已知：△ABC 中，AB=AC=BC （△ABC 为等边三角形）D 为BC 边上的中点， DE ⊥AC 于E.求证：AC CE 41.例3：已知：如图AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD=CD ，AC=BC. 求证：AB=BO.【随堂练习】1.△ABC 中，∠BAC=2∠B ，AB=2AC ，AE 平分∠CAB 。
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直角三角形的应用【板块一】直角三角形三边的关系【板块二】斜边上中线与斜边的关系【板块三】直角三角形中特殊的角1.根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长．1145°30°2+130°45°3+1证明(上)——直角三角形2.下列是不完整的弦图结构，请补全弦图．知识点睛直角三角形性质梳理：1.从边与角的角度来考虑①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______．②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____；勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足_________，那么这个三角形是_______三角形．2.添加一些特殊的元素（中线或30°角）①直角三角形斜边上的中线等于______________；如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形．②30°角所对的直角边是_____________________；在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于_____________．3.特殊的直角三角形①特殊直角三角形的三边关系a2+b2=c2C BAC BAβαCAABCABCC BA2mmABC30°ACB 45°1130°234211CABCA BCA4. 垂直（多个）①等面积结构ab=chD h C Ac bah h=h 1+h 2+h 3h 3h 2h 1ACB②弦图结构外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图）【例1】⑴如图，已知△ABC 在正方形网格中，D 为BC 的中点，若每个小正方形边长为1，求AD 的长。
⑵如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是( )。
A ．2B ．C ．D ．6【例2】如图，D 为△ABC 中线AM 的中点，过M 作AB 、AC 边的垂线，垂足分别为P 、Q 。
过P 、Q 分别作DP 、DQ 的垂线交于点N 。
⑴求证：PN ＝QN ； ⑵求证：MN ⊥BC 。
【板块三】直角三角形三边与斜边上的高的关系挑战题：如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点M ，矩形MNPQ 与矩形ABCD 全等，射线MN 与MQ 分别交BC 边于E 、F 两点． 若AB ＝2，求证：22111ME MF ＋＝在线测试题1．如图，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，AB 的垂直平分线EF 交AB 于E ，交CD 于F ，且AC ＝FD 。
△ABF 是( )三角形。
A ．等腰B ．直角C ．等腰直角D ．等边2．两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A ＝60°，AC ＝1。
固定△ABC不动，将△DEF 沿边AB 平移，如图当D 点移到AB 的中点时，则四边形CDBF 的形状()A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．正方形3．如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC ＝BE ，DG ⊥CE 于G 。
则下列结论不正确的是( )A ．G 是CE 的中点B ．DC ＝DEC ．2DG ＝DCD ．∠B ＝2∠BCE精讲精练1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作BC ，AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________．AE B DCA B CDE第1题图 第2题图2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，BC =n ，且∠EBC与∠DCB 互余，则BD 2+CE 2=__________（用含m ，n 的式子表示）．3. 如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，点D 是BC 上一点，AD =5，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点，AC =6.5，则AB 的长为______．ABC DFEC B A第3题图 第4题图4. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 的中点，点D 在BC 上，且AD =BD ，AD ，CE 相交于点F ．若∠B =20°，则∠DFE 等于（ ）A ．70°B ．60°C ．50°D ．40°5. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ） A ．10B．C ．10或D ．10或4324326. 已知△ABC 的周长是24，M 是AB 的中点，MC =MA =5，则△ABC 的面积是__________．7. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在AC 上，若∠CBD =30°，则ADDC=_________．DCB A8. Rt △ABC 和Rt △DEF 按如图方式放置，A ，B ，D 在同一直线上，EF ∥AD ，∠CAB =∠EDF =90°，∠C =45°，DE =8，EF =16，则BD =__________．CB AEDFADBEC第8题图 第9题图9. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，∠BDA =90°，∠CBE =30°，∠CEB =45°，AE =4EC ，BC =2，则BE =__________，CD =__________．10. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =3，以斜边AC 为边作正方形ACDE ，连接BE ，则BE 的长为________．EDCB AEDC BAO第10题图 第11题图11. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形的对角线交于点O ，连接OC ，已知AC =5，OC=BC 的长为__________．12. 如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCDE ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果AB =4，AO=AC 的长为（ ） A ．12 B ．8 C．D．ECAB DO与直角有关的折叠、旋转一、知识点睛1. 将直角三角形的性质有序地梳理打包，就明确了直角特征常见的思考角度．与直角有关的折叠、旋转问题，往往需要借助折叠、旋转转移条件，然后围绕直角特征的使用去组合、搭配．2. 折叠与旋转都是____________，变换前后______________、_______________都相等，从而实现条件的转移．旋转过程中，对应点到旋转中心的距离相等，旋转出现______________；同样的，如果基本图形能够提供_____________（如等边三角形、等腰直角三角形等），可以考虑利用旋转思想解决问题．二、精讲精练1. 把一张矩形纸片ABCD 按如图所示方式折叠，使顶点B 和顶点D 重合，折痕是EF ．若BF =4，CF =2，则∠DEF =________．D (B )A 1EABCD'C'G FE DC BA第1题图 第2题图2. 如图，已知在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE =2CE ，将矩形沿着过点E 的直线翻折后，点C ，D 分别落在边BC 下方的点C ′，D ′处，且点C ′，D ′，B 在同一条直线上，折痕与边AD 交于点F ，D ′F 与BE 交于点G ．设AB =t ，那么△EFG 的周长为_________（用含t 的代数式表示）．3. 如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB的中点E 处，则∠A =__________．D CBA4. 如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 折叠后得到△AFE ，且点F 在矩形ABCD 内部．将AF 延长交边BC 于点G ．若1CG GB k=，则ADAB=_________（用含k 的代数式表示）． G ABE CD F5. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随之移动．若限定点P ，Q 分别在AB ，AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为________．DC QA'PAB BACD 6. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm （玻璃杯厚度忽略不计）．C A蚂蚁蜂蜜C'B'C AB第6题图 第7题图7. 如图，把Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转40°，得到Rt △AB ′C ′，点C ′恰好落在边AB上，连接BB ′，则∠BB ′C ′=_________．8. 把一副三角板如图1放置，其中∠ACB =∠DEC =90°，∠A =45°，∠D =30°，斜边AB =6，DC =7，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1（如图2），此时AB 与CD 1交于点O ，与D 1E 1交于点F ，连接AD 1，则线段AD 1的长为（ ）A．B ．5C ．4D图1图2E CBOAADB CFE 1D 19. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =50°，点D 在边BC 上，BD =2CD ．把△ABC绕着点D 逆时针旋转m （0<m <180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m =______．10. 探究：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°，AB =AD ，AE ⊥CD 于点E ．若AE =10，则四边形ABCD 的面 积为__________．应用：如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC +∠ADC =180°，AB =AD ，AE ⊥BC 于点E ．若AE =19，BC =10，CD =6，则四边形ABCD 的面积为__________．图1图2DAB ECCEBAD1111. 如图，P 是等边三角形ABC 内一点，AP =3，BP =4，CP =5，求∠APB 的度数．APCB12. 如图，P 是正方形ABCD 内一点，且PA =1，PB =2，PC =3．求∠APB 的度数．ABCDP。