直角三角形中的证明题小结精编整理

直角三角形的应用

【板块一】直角三角形三边的关系

【板块二】斜边上中线与斜边的关系

【板块三】直角三角形中特殊的角

1.根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长．

1

1

45°

30°

2+1

30°

45°

3+1

证明(上)

——直角三角形

2.下列是不完整的弦图结构，请补全弦图．

知识点睛

直角三角形性质梳理：

1.从边与角的角度来考虑

①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______．

②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的

____；

勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足

_________，

那么这个三角形是_______三角形．

2.添加一些特殊的元素（中线或30°角）

①直角三角形斜边上的中线等于______________；

如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形．

②30°角所对的直角边是_____________________；

在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于_____________．

3.特殊的直角三角形

①特殊直角三角形的三边关系

a2+b2=c2

C B

A

C B

A

β

α

C

A

A

B

C

A

B

C

C B

A

2m

m

A

B

C

30°

A

C

B 45°

1130°

2

3

42

1

1

C

A

B

C

A B

C

A

4. 垂直（多个）

①等面积结构

ab=ch

D h C A

c b

a

h h=h 1+h 2+h 3

h 3

h 2h 1

A

C

B

②弦图结构

外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图）

【例1】

⑴如图，已知△ABC 在正方形网格中，D 为BC 的中点，若每个小正方形边长为1，求AD 的长。

⑵如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是( )。

A ．2

B ．

C ．

D ．6

【例2】

如图，D 为△ABC 中线AM 的中点，过M 作AB 、AC 边的垂线，垂足分别为P 、Q 。过P 、Q 分别作DP 、DQ 的垂线交于点N 。 ⑴求证：PN ＝QN ； ⑵求证：MN ⊥BC 。

【板块三】直角三角形三边与斜边上的高的关系

挑战题：

如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点M ，矩形MNPQ 与矩形ABCD 全等，射线MN 与MQ 分别交BC 边于E 、F 两点． 若AB ＝2，求证：

2

2

111ME MF ＋＝

在线测试题

1．如图，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，AB 的垂直平分线EF 交AB 于E ，交CD 于F ，且AC ＝FD 。△ABF 是( )三角形。

A ．等腰

B ．直角

C ．等腰直角

D ．等边

2．两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A ＝60°，AC ＝1。固定△ABC

不动，将△DEF 沿边AB 平移，如图当D 点移到AB 的中点时，则四边形CDBF 的形状(

)

A ．梯形

B ．平行四边形

C ．菱形

D ．正方形

3．如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC ＝BE ，DG ⊥CE 于G 。则下列结论不

正确的是( )

A ．G 是CE 的中点

B ．D

C ＝DE

C ．2DG ＝DC

D ．∠B ＝2∠BCE

精讲精练

1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作BC ，

AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________．

A

E B D

C

A B C

D

E

第1题图 第2题图

2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，BC =n ，且∠EBC

与∠DCB 互余，则BD 2+CE 2=__________（用含m ，n 的式子表示）．

3. 如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，点D 是BC 上一点，AD =5，且AD ⊥AB ，点E 是

BD 的中点，AC =6.5，则AB 的长为______．

A

B

C D

F

E

C B A

第3题图 第4题图

4. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 的中点，点D 在BC 上，且AD =BD ，

AD ，CE 相交于点F ．若∠B =20°，则∠DFE 等于（ ）

A ．70°

B ．60°

C ．50°

D ．40°

5. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪

去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ） A ．10

B

．C ．10

或

D ．10

或

4

3

2

43

2

6. 已知△ABC 的周长是24，M 是AB 的中点，MC =MA =5，则△ABC 的面积是__________．

7. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在AC 上，若∠CBD =30°，则

AD

DC

=_________．

D

C

B A