广州大学高等数学试题A卷千一解答
04-05高等数学试卷A答案
04-05高等数学试卷A答案04-05高等数学试卷A答案高等数学试卷（A 卷）第 2 页共 13 页广州大学2004-2005学年第二学期考试卷答案与评分标准课程：高等数学(90学时) 考试形式：闭卷考试题号一二三四五六七总分分数 15 15 20 20 16 6 8 100 评分评卷人一．填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1．设xye z =，则=dz )(xdy ydx exy+2．设),(y x f 连续，交换积分次序┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋学院领导审批并签名A 卷高等数学试卷（A 卷）第 3 页共 13 页=110),(xdy y x f dx ?10),(ydxy x f dy3．L 为连接点)0,1(A 与点)1,0(B 的线段，则=+Lds y x )(24．当10≤=-1)1(n p n n条件收敛 5．微分方程54=+'-''y y y 的通解是)sin cos (212x c x c e y x +=二．单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．函数),(y x f z =在点),(y x 处的偏导数xz及y z ??存在是),(y x f 在该点可微分的【 B 】（A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；高等数学试卷（A 卷）第 4 页共 13 页（C ）充分必要条件；（D ）无关条件. 2.曲线12-=t x ，2+=t y ，3t z =在点)1,1,0(-处的切线方程为【 C 】（A ）232=--z y x （B ）232x y z ++=-（C ）3112+=-=-z y x （D ）3112+=-=z y x3．设Ω由平面1=++z y x 及三个坐标面所围成的闭区域，则Ω=xdv 【 B 】（A ）1110x y dx dy x dz--?（B ）1110x x y dx dy x dz ---??（C ）1110y x y dx dy x dz---?（D ）111dx dy x dz4. 设L 为圆周122=+y x ，取顺时针方向，平面区域:D 122≤+y x，高等数学试卷（A 卷）第 5 页共 13 页根据格林公式，曲线积分22Ly xdy x ydy -=【 A 】（A ）??+-Ddxdyy x)(22（B ）??+Ddxdyy x)(22（C ）??--Ddxdyx y)(22（D ）??-Ddxdyx y)(225．微分方程xxe y y y 265=+'-''的特解形式是【 D 】（A ）xaxe 2 （B ）xe ax 22（C ）xe b ax x 22)(+ （D ）xe b ax x 2)(+高等数学试卷（A 卷）第 6 页共 13 页三．解答下列各题（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分） 1．),(v u f z =具有二阶连续偏导数，其中y x u -=，22y x v +=，求x z ??与yx z2解：xzxv u f v u f v u2),(1),(?+?=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分vuxf f 2+= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 =yx z2[](1)22(1)2uu uv vu vvf f y x f f y ?-+?+?-+? ┅┅┅┅ 5分2()4uuuvvvf y x f x y f =-+-+┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分2．函数),(y x z z =是由方程z z y x 22 22=++确定，求xz及22x z ?? 解：令z z y x z y x F 2),,(222-++=x F x2= 22-=z F z┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1分zx F F x z zx -=-=??1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分┋┋┋┋┋ 装┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋高等数学试卷（A 卷）第 7 页共 13 页222)1()(1z xz x z xz-??---=?? ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分322)1()1(z xz -+-= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分3．求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值解：由??=-==-=03303322x y f y x f yx┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分得驻点为)0,0(、)1,1( ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分x f xx6=， 3-=xyf ， y f yy6= ┅┅┅┅┅┅ 4分在点)0,0(处，092<-=-B AC ，所以)0,0(f 不是极值┅┅ 6分在点)1,1(处，0272>=-B AC ，又06>=A所以在)1,1(处有极小值1)1,1(-=f ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分高等数学试卷（A 卷）第 8 页共 13 页四．计算下列积分（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分） 1．计算二重积分dxdy y x D，其中D 由2x y =与xy =围成的闭区域解：dxdy y x D21xx dx ydy=?? ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分1201|2xx xy dx =? ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 ?-=152)(21dx x x ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分112= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 2．计算二重积分dxdyeDy x ??+22，其中D 由4=+y x围成的闭区域解：dxdy eDy x ??+22?=20202ρρθρπd e d ┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分2|2ρπe= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分高等数学试卷（A 卷）第 9 页共 13 页)1(4-=e π ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分3．利用高斯公式计算曲面积分333I x dy dz y dz dx z dx dy∑=++??，其中∑为球面2a z y x =++的外侧)0(>a ，解：记2222:a z y x≤++Ω由高斯公式2223()I x y z dvΩ=++ ┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 drr d d a420sin 3=ππ??θ ┅┅┅┅┅┅┅ 6分5125a π=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分高等数学试卷（A 卷）第 10 页共 13 页五．解答下列级数（本题共3小题，第1小题6分，第2小题10分，满分16分） 1．判别级数∑∞=1!3n nnn n 的敛散性解：!3)!1(3)1(lim lim 111n n n n uu n nn n n nn n ++=++∞→+∞→ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分nn n+=∞→11lim 31 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分13<=e┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分该级数收敛┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分2．求幂级数∑∞=?12n nnn x 的收敛域及其和函数解：nn n a a 1lim+∞→=ρnn n n n 212)1(1lim 1+=+∞→1lim 21+=∞→n n n 21=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分故21==ρR ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分┋┋┋┋┋ 装┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋高等数学试卷（A 卷）第 11 页共 13 页当2-=x 时，级数∑∞=-1)1(n n n 条件收敛┅┅┅┅┅┅┅ 4分当2=x 时，级数∑∞=11n n发散┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分幂级数的收敛域为)2,2[- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分记=)(x S ∑∞=?12n nnn x 22<≤-x=')(x S ∑∞=-112n nn x=11221-∞=∑??n n x =x-21 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分xx dx S x S x-=-+=?22ln 2)0()(0 （22<≤-x ）┅ 10分六．（本题满分6分）求微分方程32(1)1y y x x '-=++的通解解：该方程为一阶线性微分方程，由常数变易公式+?+?=?+-+C dx ex e y dx x dx x )1(23)1(2)1(┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分[]?+++=Cdx x x )1()1(2 ┅┅┅┅┅┅┅┅高等数学试卷（A 卷）第 12 页共 13 页┅┅┅┅┅┅ 5分+++=C x x 22)1(21)1( ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分七．（本题满分8分）一个半球形状的雪堆，其体积减少的速率与半球面的面积成正比，比例常数0>k ，假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为1米的雪堆在开始的3小时内融化了体积的8 7，问雪堆全部融化需要多少时间？解：设雪堆在时刻t 的体积332r V π=，侧面积22r S π=，依题意知2222r k dtdrr dt dV ππ?-==┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分于是得k dtdr-= 积分得Ckt r +-= ┅┅┅┅┅┅┅高等数学试卷（A 卷）第 13 页共 13 页┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分由初始条件1)0(=r ，得1=C 所以kt r -=1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分又由题设，可知03|81|===t t V V即ππ3281)31(323?=-k61=k 得，从而t r 611-= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分雪堆全部融化时0=r ，令0=r 得6=t 故雪堆全部融化需6小时┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分。
12-13(2)高等数学试题(A)解答
广州大学2012-2013学年第二学期考试卷解答课 程：高等数学Ⅰ2（80学时） 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________一．填空题（每小题2分，本大题满分20分）1．设(1,1,1)a = ，(2,3,4)b = ，则a b ⨯=(1,2,1)-.2．yOz 坐标面上的直线z y =绕z 轴旋转而成的曲面方程是222z x y =+.3．(,)(1,2)limx y →=14.4. 设yz x =，则(2,1)d z =2ln 2dx dy +.5．设区域D 为0x y ≤≤，01y ≤≤，则d d Dx y =⎰⎰12. 6．设L 为圆周221x y +=，则2d Lx s =⎰π.7. 级数1pn n∞=∑收敛的充要条件是p 满足不等式32p >. 8．若级数1nn u∞=∑条件收敛，则级数1||nn u∞=∑的敛散性为 发散.9．方程22d 0d yy x+=的通解y =12cos sin C x C x +. 10．方程232x y y y xe '''-+=的待定特解形式y *=2()x x ax b e +.1．设(,)z f xy x y =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.解：121zf y f x∂''=⋅+⋅∂ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 12y f f ''=+ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分=∂∂∂yx z2121f f f yy y ''∂∂'++∂∂ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分 111122122[(1)](1)f y f x f f x f '''''''''=+⋅+⋅-+⋅+⋅- ┅┅┅┅┅┅ 7分 1112221()xy f x y f f f '''''''=+--+ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分2．求曲面223zz e x y -+=在点(1,2,0)处的切平面方程和法线方程.解：令(,,)223zF x y z z e x y =-+- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 (1,2,0)(1,2,0)(,,)|(2,2,2)|(4,2,1)z x y z n F F F y x e==-=┅┅┅┅4分 切平面方程为 4(1)2(2)00x y z -+-+-=即 428x y z ++= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 法线方程为12421x y z--== ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分三．（本题满分10分）求函数322(,)425f x y x x x y y =-+-+的极值.解：由23820220x y f x x y f x y ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分得驻点为)0,0(，(2,2) ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分 68x x f x =-， 2x y f =， 2y y f =- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分在点)0,0(处，2120AC B -=> ，又80A =-<所以(0,0)5f =是极大值 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 9分 在点(2,2)处，2120AC B -=-< ，所以(2,2)f 不是极值 ┅┅┅┅┅ 10分1．设二重积分(,)d d DI f x y x y =⎰⎰，其中D 是由曲线2y x x =-与x 轴所围成的有界闭区域.（1）将二重积分I 化为先y 后x 的二次积分；（2）将二重积分I 化为极坐标形式的二次积分.解：(1)区域D 为右图阴影部分 ………… 1分210d (,)d x x I x f x y y -=⎰⎰………… 4分(2) 由2y x x =-得0(0)(12)|1x y x ='=-= ………………… 5分(cos ,sin )d d DI f ρθρθρρθ=⎰⎰(1tan )sec 40d (cos ,sin )d f πθθθρθρθρρ-=⎰⎰………… 8分2．计算3232()d ()d LI x xy x y x y y =-++⎰，其中L 是由曲线2y x =与2x y =所围成的有界闭区域的边界，取正向.解：记2:01D x y x ≤≤≤≤ ……………………………………………… 1分由格林公式4d d DI x y x y =⎰⎰ ………………………………………… 4分2104d d x x x y y =⎰⎰…………………………………… 6分12512()d 3x x x =-=⎰ ……………………………… 8分求由曲面22z x y =+与平面4z =所围成的几何体Ω的体积和表面积.解：由224z x y z ⎧=+⎨=⎩得224x y +=，记22:4D x y +≤ ………………………… 2分所求体积为V dv Ω==⎰⎰⎰2224d d dz πρθρρ⎰⎰⎰2302(4)8d πρρρπ=-=⎰…………………………………………… 6分记 221:,(,)z x y x y D ∑=+∈ 和 2:4,(,)z x y D ∑=∈对于曲面1∑，由22z x y =+得2x z x =，2y z y =1∑的面积为1DA =20d d πθρ=⎰⎰21)6d ππρ==⎰┅┅┅┅┅┅┅ 11分2∑的面积为24A π=所求表面积为12(236A A π+=+ ……………………………………… 12分六．（本题满分6分）（1）判别级数12nn n∞=∑的敛散性； （2）级数1sin 2nn n n∞=∑是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 解：（1）记02n n nu =>，由比值判别法 1111lim lim(1)122n n n n u u n +→∞→∞=+=< …………… 2分 所以，级数12nn n∞=∑收敛 ………………………………………………………… 3分（2）记sin 2n n n n v =，由于|sin |||22nn n n n nv =≤ ……………………………… 4分 又级数12n n n ∞=∑收敛，由比较判别法得，级数1sin ||2nn n n∞=∑收敛， 从而级数1sin 2nn n n∞=∑收敛且为绝对收敛 ………………………………………… 6分设有幂级数1nn x n∞=∑. （1）求它的收敛半径及收敛域； （2）求它的和函数.解：记1n a n =，11lim ||lim(1)1n n n n a R a n →∞→∞+==+= ……………………………………2分1x =-时，级数1(1)n n n ∞=-∑收敛；1x =时，级数11n n∞=∑ 发散. 收敛域为 [1,1)- …………………………………………………………… 4分 记和函数为()s x11()n n s x x ∞-='=∑11x =- （ 11x -<< ） ……………………………… 6分 01()(0)1x s x dt s t=+-⎰ln(1)x =-- （11x -≤< ） …………………………………………… 8分八．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）1．求微分方程d cos d y y x x x x+=的通解. 解：该方程为一阶线性微分方程，所求的通解为11cos dx dxx x x y e e dx c x -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ …………………………………………… 3分 )cos (1⎰+=c xdx x ………………………………………………………… 5分 1(sin )x c x=+ ……………………………………………………………… 6分2．一池盛有盐水100公斤，其中含盐10公斤，现以每分钟2公斤的速率往池内注入淡水，同时从池内流出2公斤混和均匀的盐水，求池内溶液的含盐量降至一半所需要的时间.解：设从注入淡水开始记时（此时0t =），第t 分钟后池内的盐水含量为m 公斤，则池内盐的浓度为100m在时间间隔[,]t t dt +内，从池内流出的溶液中盐的含量为 210050m mdt dt ⨯⨯=在此段时间间隔内池内溶液盐的改变量为dm =-50mdt …………………………………………………… 2分 分离变量得 150dm dt m =-积分得 ln ln 50tm C =-+ 即 50t m Ce -= ……………………………… 4分由初始条件 0t =，10m = 得 10C =所以 5010t m e -= ……………………………………………………………… 5分 令5m =得50ln 2t =即池内的含盐量降至一半所需要的时间为50ln 2分钟 ……………………… 6分。
广州大学2012-2013高等数学Ⅲ(A)解析版
广州大学2012-2013学年第一学期考试卷高等数学Ⅲ（A 卷）参考解答与评分标准一、判断题（每小题2分，共10分；对的“√”，错的“×”）1．（ √ ）有限个连续函数的复合函数是连续函数.2．（ × ）若()f x 在(),a b 内连续，则()f x 在(),a b 内有最大值.3．（ × ）若()f x 在[],a b 上不连续，则()f x 在[],a b 上不可积. 4．（ × ）若a 是()f x 的极小值点，则()0f a '=.5．（ √ ）()ln 13x +与tan x 是0x →时的同阶无穷小量.二、填空题（每空3分，共15分）1．0sin3lim2x x x →=（ 32 ）. 2．29991002(99sin 99)d x x x x x -++=⎰（ 0 ）.3．2lim 1xx x x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ 2e - ）. 4．()0dsin d d x t e t tx=⎰（ sin xe x ）. 5．sin3lim 2x x x →+∞=（ 0 ）.三、求导数或微分（每小题6分，共18分）1．设()2ln 1y x x =++，求d y . 解：221(1)1y x x x x ''=++++------2分 221(1)11x x x x =++++------4分211x =+------5分211dy y dx dx x '==+------6分2．2sin ln 0yx x y -+=，求d d y x. 解：两边关于x 求导 22cos 0y y x yx x y''+-+=------4分 222cos 0yy x y x y x y ''+-+= 22cos 21dy y x y x y dx yx -'==+------6分3．设2(arccos )y x =，求y '. 解：2arccos (arccos )y x x '=⋅------2分 212arccos ()1()x x x '=-⋅-------4分 2arccos xx x =--------6分四、求极限（每小题6分，共12分）1．0lim xx x +→. 解：令x y x =，两边取对数得 ln ln y x x =------2分000ln lim ln lim ln lim 1x x x x y x x x+++→→→==0021lim lim()01x x x x x ++→→==-=-------5分000lim lim 1x x x y x e ++→→===------6分2．()lim 3x x x →+∞+-. 解：原式(3)(3)lim 3x x x x x x x→+∞+-++=++------2分 3lim 3x x x→+∞=++------4分 0=------6分五、求积分（每小题6分，共18分）1．21d 1x x-⎰. 解：211111()1(1)(1)211x x x x x==+--+-+------2分 21111()1211dx dx dx x x x=+--+⎰⎰⎰ 1[ln(1)ln(1)]2x x C =+--+------5分 11ln 21x C x+=+-------6分2．2204d x x -⎰.解：令2sin x t =，[0,]2t π∈，2cos dx tdt =------2分 22220044cos x dx tdt π-=⎰⎰------4分 202(1cos 2)t dt π=+⎰------5分[]202sin 2t t π=+π=------6分3．d x xe x -⎰.解：x xe dx -⎰x xde -=-⎰()x x xe e dx --=--⎰------3分()x x xe e d x --=---⎰------5分x x xe e C --=--+------6分六、证明题（6分）证明：函数()||2f x x =+在0x =处连续，但不可导. 证明：因为00lim ()lim 22(0)x x f x x f →→=+== 所以()f x 在0x =处连续------1分因为 00()(0)22(0)lim lim 10x x f x f x f x x+++→→-+-'===-------3分00()(0)22(0)lim lim 10x x f x f x f x x---→→--+-'===--------5分 于是(0)(0)f f +-''≠，所以()f x 在0x =处不可导------6分七、应用题（每小题7分，共21分）1．某小车租赁公司有40部小车要出租，当租金定为每小时30元时，小车可全部租出去. 当租金每小时每增加1元时，就有一部小车租不出去. 试问租金定为多少时，可以获得最大收入？解：设小车每小时的租金为30x +元（0,1,2,x =），租出去的小车数为40x -部，公司每小时的收入为y . 于是(30)(40)y x x =+-212010x x =+-，------4分102y x '=-，令0y '=得5x =，稳定点为5x =.------6分由于函数只有一个稳定点5x =，依题意知：当租金为每小时35元时，公司可获得最大的收入.------7分2．求22y x x=-的单调区间与极值. 解：333414x y x x -+'=+=------1分 稳定点为34x =-，不可导点为0x =------3分3(,4)x ∈-∞-，0y '>，y 递增------4分3(4,0)x ∈-，0y '<，y 递减------5分(0,)x ∈+∞，0y '>，y 递增------6分 极大值2113333333223(4)4223224y ---=--=--=-⋅=-------7分3．求正弦曲线sin y x =与直线14x π=，32x π=，0y =所围成的平面图形的面积.解：324sin d sin d S x x x x ππππ=-⎰⎰------4分324(cos )cos x x ππππ=-+------5分 2(1)[0(1)]2=++--222=+------7分。
08-09 高等数学1试题(A卷)及解答
广州大学2008-2009学年第一学期考试卷课 程：高等数学（A 卷）（90学时） 考 试 形 式： 闭卷 考试一．填空题（每空2分，本大题满分16分）1．设⎩⎨⎧≤>=1,1,1)(2x x x x f ，则=-))2((f f . 2. 若函数 ⎩⎨⎧>≤-+=0,)arctan(0,2)(2x ax x b x x x f 在0=x 处可导，则=a ，=b .3．曲线xx x y 122sin -=有水平渐近线=y ______和铅直渐近线=x ______. 4．已知1)(0-='x f ，则=+--→hh x f h x f h )2()(lim000.5．设50()(1)xf t dt x C =++⎰，则常数=C ______，=)(x f ____________.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 当0→x 时, )ln(21x +是x 的( )无穷小.(A) 高阶 (B) 低阶 (C) 同阶 (D) 等价学 院专 业班级姓名学号2. 函数12+=x y 在点(1,2)处的法线方程为 ( ).(A) 252--=x y (B) 2521+-=x y (C) 252-=x y (D) 2521--=x y3．2x x f =)(在闭区间],[10上满足拉格朗日中值定理，则定理中的=ξ( ).(A)31 (B) 21 (C) 22 (D) 21-4. 若函数)(x f 在点0x x =处取得极值, 且)(0x f '存在，则必有 ( ) . (A) 0)(0='x f (B) 00>')(x f (C) 0)(0>''x f (D) )(0x f '的值不确定5. x x f ln )(=在),(+∞0内是 ( ).(A) 周期函数 (B) 凹函数 (C) 凸函数 （D ）单减函数三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分30分）1．212xxy -=arctan ，求dy .2．=y )sin(12+x ，求n （N n ∈）阶导数)()(x y n .3．设曲线参数方程为⎩⎨⎧-=-=321t t y t x ，求dxdy.4．求xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim .5．求)sin (lim xx x 110-→.四．计算下列积分（每小题6分，本大题满分18分）1．⎜⎠⎛++dx x x x )(132222.2．⎜⎠⎛+901dx xx.3．⎰∞+-02dx e x x .五．（本题满分7分）.)(所围平面图形的面积求椭圆012222>>=+b a by a x六．（本题满分7分）设0>>a b ，()x f 在[]b a ,连续，在()b a ,可导。
2009-2010(2)高等数学(90)A卷解答
广州大学2009-2010学年第二学期考试卷课 程：高等数学Ⅰ2（90学时） 考 试 形 式：闭卷考试参考解答与评分标准一．填空题(每小题4分,本大题满分20分) 1．已知{3,1,2}a =--,{1,2,1}b =- ,则a b⋅= 3,a b ⨯= (5,1,7).2．xO y 平面上的双曲线221xy -=绕x轴旋转一周生成一个旋转 双 叶双曲面,该曲面的方程是2221x y z --=.3．设2(,)arctanf x y y x =+,则(,)x f x y '=arctan,(0,1)y f '=2.4．已知曲线2:(03)C y x x =≤≤,则Cs =⎰39.5．幂级数1nn xn∞=∑的收敛半径R =1,收敛域为[1,1)-.二．解答下列各题(每小题5分,本大题满分15分)1．判别级数11ln (1n ∞=+∑的收敛性.解: 当n →∞时,ln (1~+所以1ln (1n ∞=+∑与1n ∞=∑…………(3分)而1n ∞=∑,所以1ln(1n ∞=+∑也发散 …………(5分)2．判别级数12!nnn n n∞=⋅∑的收敛性.解: 2!nn nn u n⋅=,1limn n nu u ρ+→∞=2lim(1)nnn nn →∞=+2lim1(1)n nn →∞=+2e=…………(4分)因1ρ<，所以级数12!nnn n n∞=⋅∑收敛 …………(5分)3．在区间(1,1)-内求幂级数1nn n x ∞=∑的和函数.解: 11111()nn nn n n n n n x x n xx x x x ∞∞∞∞-===='⎛⎫'=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑ …………(3分)111x x '⎛⎫=- ⎪-⎝⎭2(1)x x =- …………(5分)三．解答下列各题(每小题8分,本大题满分16分)1．设(,)z f u v =具有连续的二阶偏导数,23u x y =+,v xy =,求z x∂∂和2z x y∂∂∂.解:2u v z z u z v f yf xuxv x∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂ …………(4分) 22u v v f f z f yx yyy''∂∂∂'=++∂∂∂∂ …………(6分)2(3)(3)uuuv v vu vv f xf f y f xf '''''''''=++++ …………(8分) 6(23)v uuuv vv f f x y f xyf '''''''=++++ 2．已知由方程3333x y z xyz ++=确定函数(,)z z x y =,求z x∂∂、z y∂∂和d z .解: 令3333F x y z xyz =++-,则233x F x yz =-,233y F y xz =-,233z F z xy =- …………(3分)22x z F z yz xx F z xy ∂-=-=∂- …………(5分) 22y zF z xz yyF z xy∂-=-=∂- …………(6分)2222d d d yz xxz yz x y z xyz xy--=+-- …………(8分)已知L 为曲面222:30S x y z y ++-=与平面23540x y z -+-=的交线,点(1,1,1)P 为曲线L 上一点.(1)求曲面S 在点P 的切平面方程; (2)求曲线L 在点P 的切线方程.解: (1) 法向量(1,1,1)(2,23,2)|(2,1,2)n x y z =-=-…………(2分) 所求切平面方程为 2(1)(1)2(1)0x y z ---+-=即 2230x y z -+-= …………(4分) (2) 平面23540x y z -+-=的法向量1(2,3,5)n =-…………(5分) 曲线L 在点P 的切线的切向量为121264235ij kT n n i j k =⨯=-=---…………(7分)所求切线方程为111164x y z ---==-- …………(9分)五．(本题满分9分)求函数2(,)624ln f x y y x xy x =+--的极值.解: 由 4620220xyf y x f y x ⎧=--=⎪⎨⎪=-=⎩,得驻点(1,1),(2,2) …………(4分)24xx A f x==，2xy B f ==-，2yy C f == …………(6分)在点(1,1)处,240A C B -=>,且40A =>,(1,1)5f =为极小值…………(8分) 在点(2,2)处,220A C B -=-<,(2,2)f 不是极值 …………(9分)设二重积分(,)d d DI f x y x y =⎰⎰,其中积分区域D 是由曲线2y x x =-与x 轴所围成的有界闭区域.(1)画出积分区域D ,并将二重积分I 化为先y 后x 的二次积分; (2)将二重积分I 化为极坐标形式的二次积分.解: (1)积分区域如图阴影部分 …………(2分)210d (,)d x x I x f x y y -=⎰⎰…………(5分)(2) (co s ,sin )d d DI f ρθρθρρθ=⎰⎰…………(7分)(1tan )sec 40d (co s ,sin )d f πθθθρθρθρρ-=⎰⎰…………(10分)七．(本题满分8分) 计算曲线积分22co s d (2sin )d CI y x x x y x y =++⎰,其中C 是从(0,0)沿曲线s i n y x =到(,0)π再沿x 轴返回到(0,0)的闭曲线.解: 记D 为由闭曲线C 围成的闭区域,由格林公式2d d DI x x y =-⎰⎰ …………(3分)sin 0d 2d x x x y π=-⎰⎰…………(5分)2sin d x x x π=-⎰…………(6分)2d co s x x π=⎰00[2co s ]2co s d x x x x ππ=-⎰2π=- …………(8分)设有一高度为()h t (t 为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程222()()()x y z h t h t +=-, 2221(,):()2x y D x y h t ∈+≤(设长度单位为cm,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成比例(比例系数为0.9). (1)求体积函数()V t ;(2)求侧面积函数()S t ;(3)问高度为130(cm)的雪堆全部融化需多少时间? 解: (1) ()d dDV t z x y =⎰⎰ (2))2202d ()]d ()h t h t πρθρρ=-⋅⎰⎰…………(4分)3()4h t π=…………(5分)(2) ()d d DS t x y =⎰⎰ (6))d d Dx y =⎰⎰ (7))20d d πθρρ=⎰⎰…………(8分)213()12h t π=…………(9分)(3) 由题意知 d ()0.9()d V t S t t =- …………(10分) 得d ()13d 10h t t=-…………(11分)求得 13()10h t t C =-+由(0)130h =得 13()13010h t t =-+ …………(12分)令()0h t =得100t =(小时).雪堆全部融化需100小时 …………(13分)。
2002高等数学试题A卷解答.
广州大学2002-2003学年第二学期考试卷课 程：高 等 数 学（下）（本科） 考 试 形 式： 闭卷 考试参 考 答 案 及 评 分 标 准一．填空题：（每小题3分，共计15分）1．已知 ||1,||5,3a b a b ==⋅=，则 =⨯||b a4。
2．xoy 平面上的双曲线 224936x y -= 绕 y 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是 22244936x z y +-=。
3．设 22(,)z f x y xy =+, 其中 f 具有一阶连续偏导数， 则zx∂=∂122xf yf ''+ 。
4．函数22z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(4,2)-的方向的方向导数为2-。
5．若级数1nn u∞=∑ 条件收敛, 则级数1||nn u∞=∑ 必定发散。
二．单项选择题：选出正确答案填入下表中（每小题3分，共计15分）1．直线L ：223314x y z -+-==-和平面 :3x y z π++= 的位置关系是 [ ](A) L 与π垂直；(B) L 在π上；(C) L 与π平行但不在π上。
2． 函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数x z 及y z 存在是(,)f x y 在该点可微分的 [ ]（A ） 必要条件； （B ） 充分条件； （C ） 充要条件。
3． 若22:2D xy y +≤, 则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰ 极坐标形式的二次积分为 [ ](A) 2sin 00(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰； (B) 2sin 00(cos ,sin )d f r r dr πθθθθ⎰⎰；(C) 1(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰。
4．设L 为取正向的圆周 222x y a +=, 则曲线积分 2(22)(4)Lxy y dx xx dy -+-=⎰[ ](A) 0 ；(B) 22a π； (C) 22a π-。
10-11 高等数学1试题(A卷)及解答
广州大学2010-2011学年第一学期考试卷课 程：高等数学Ⅰ1（90学时） 考 试 形 式：闭卷考试学院:__________专业班级:__________ 学号:__________ 姓名:_________一．填空题(每小题3分,本大题满分15分)1．设函数1,||1()0,||1x f x x ≤⎧=⎨>⎩，则 )]([x f f = .2．设函数sin 2,0()2,0xx f x x x a x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩，当常数=a ______时,)(x f 在0x =处连续.3．曲线xe y 2=上点（0，1）处的切线方程为______ __.4．曲线53523++-=x x x y 的凹区间为_______ _____. 5．若xe -是)(xf 的原函数，则dx x f x )(ln 2⎰= .二．选择题(每小题3分,本大题满分15分)1. 当1x →时，无穷小量x -1是x -1的( ).A. 高阶无穷小;B. 低阶无穷小;C. 等价无穷小;D. 同阶但不等价无穷小. 2．若∞=→)(lim x f ax ，∞=→)(lim x g ax 则必有( ).A. ∞=+→)]()([lim x g x f ax ; B. ∞=-→)]()([lim x g x f ax ;C. 0)()(1lim=+→x g x f ax ; D. ∞=→)(lim x kf a x ，(0≠k 为常数).3．函数xx x x f πsin )(3-=的可去间断点个数为( ).A ．1; B. 2; C. 3; D. 无穷多个.4．设函数)(x f y =在点0x 处可导, 则 xdyy x ∆-∆→∆0lim等于( ).A. 0；B. -1；C. 1；D. ∞ .5. 设)(x f 连续，且240()x f t dt x =⎰，则)4(f = ( ).A. 2；B. 4；C. 8；D. 16 .三．解答下列各题(每小题6分,本大题满分18分)1．)3ln(tan 2x x y ⋅=，求dy .2．求由方程0)cos(=-+xy e yx 所确定的隐函数()y f x =在0x =处的导数.3．设⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12，求dx dy 和22dx y d .四．解答下列各题(每小题6分,本大题满分12分)1．计算极限13)1232(lim +∞→++x x x x .2．设21cos ,02(),0x x f x xx x ⎧<<⎪=⎨⎪≤⎩，讨论)(x f 在0=x 处的连续性与可导性.五．计算下列积分(每小题6分,本大题满分18分) 1．xdx x 2sin ⎰.2．12dx x. 3．221(1)dx x -⎰.六．(本题满分5分)证明方程015=-+x x 只有一个正根.七．(本题满分5分)设)(x f 在),(+∞-∞内连续，且0()(2)()x F x x t f t dt =-⎰，试证：若)(x f 为偶函数，则)(x F 亦为偶函数.八．(本大题满分12分)设抛物线c bx ax y ++=2通过点（0，0），且当]1,0[∈x 时，0≥y .求c b a ,,的值，使得抛物线c bx ax y ++=2与直线0,1==y x 所围图形的面积为94，且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小.广州大学2010-2011学年第一学期考试卷高等数学Ⅰ1（90学时A 卷）参考解答与评分标准一．填空题(每小题3分,本大题满分15分)1．设函数⎩⎨⎧>≤=1||01||1)(x x x f ，则 )]([x f f = 1 ),(+∞-∞∈x 。
05-06(2)高等数学试题(A)解答
广州大学2005-2006学年第二学期考试卷高等数学（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每空2分，本大题满分20分）1. 设y x xy z sin -=, 则=∂∂x zy x y cos -，=∂∂∂y x z 22cos 1yx +. 2. 球面6222=++z y x 在点)1,2,1(处的法向量=n)2,4,2(,切平面方程为62=++z y x . 3. =⎰⎰x dy y x dx 02110=⎰145dx x 1.4. 幂级数∑∞=+0)1(2n n nn x 的收敛半径=R 2, 收敛域∈x )2,2[-.5. 微分方程065=+'-''y y y 的通解为=y x xe C eC 3221+，微分方程xxe y y y 265=+'-''的待定特解形式为=*y xeb ax x 2)(+.学院专业 班级姓名二．选择题 (每小题2分, 本大题满分10分)1. ),(y x f 在点),(00y x 连续是偏导数),(00y x f x 和),(00y x f y 存在的( D ). (A) 充分条件; (B) 必要条件; (C) 充要条件; (D) 无关条件.2. =→→x xyy x sin lim20( B ).(A) 1; (B) 2; (C) 21; (D) ∞.3. 设L 为曲线2x y =上从点)0,0(到点)1,1(的一段弧, 则⎰=Lds y ( C ).(A) ⎰+10241dx x; (B)⎰+141dy y ; (C) ⎰+1241dx x x ; (D)⎰+11dy y ;4. 下列级数条件收敛的是( A ). (A)∑∞=-1)1(n nn ; (B) ∑∞=-12)1(n n n; (C) ∑∞=-12)1(n nn ; (D) ∑∞=-1)2(n nn .5. 方程0)(223=++dy x y xydx 是( D ).(A) 可分离变量的微分方程; (B) 一阶齐次微分方程; (C) 一阶线性微分方程; (D) 全微分方程.三．解答下列各题（每小题7分，本大题满分21分）1. 求)2,(2y x xy f z +=的偏导数和全微分(其中(,)f u v 具有连续偏导数).解 x vv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂212f f y '+'=.............................................................3分 yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂212f y f x '+'=……………………………………...5分 dy f y f x dx f f y dy yzdx x z dz )2()2(2121'+'+'+'=∂∂+∂∂=……………….…7分2. 已知),(y x f z =是由方程y x z e z2sin =+确定的隐函数, 求x z ∂∂和22x z∂∂.解 记y x z e F z 2sin -+=，则xy F x 2-=，z e F zz cos +=……………2分ze xy F F x z z z x cos 2+=-=∂∂…………………………………………………….4分 22x z ∂∂2)c o s ()s i n (2)c o s(2z e z z e xy z e y z x z z +--+=…………………………….…6分 3222)cos ()sin (4)cos (2z e z e y x z e y z z z +--+=……………………………...7分3. 求2(,)32ln 2y f x y x xy x =+--的极值. 解 令 2300xy f y xf y x ⎧=--=⎪⎨⎪=-=⎩， 得驻点 (1,1),(2,2)……………………………………………………………...3分 22xx A f x==，1xy B f ==-，1yy C f ==1222-=-=xB ACD ……………………………………………………4分在点(1,1)处，01>=D ，且20A =>，5(1,1)2f =为极小值………………6分在点(2,2)处，021<-=D ，(2,2)f 不是极值………………………………..7分四．解答下列各题（每小题7分，本大题满分21分）1. 设二次积分⎰⎰-=22021),(x x dy y x f dx I . 1) 画出二次积分I 中的积分区域D ;2) 改换二次积分I 的积分次序; 3) 将二次积分I 化为极坐标形式的二次积分. 解 1）作图从略…………………………………………………………………2分 2） ⎰⎰-+=21111),(y dx y x f dy I ………………………………………………..4分 3） ⎰⎰=θθπρρθρθρθcos 2sec 4)sin ,cos (d f d I ………………………………..7分2. 计算22()x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面z y x 222=+及平面2=z 所围成的有界闭区域. 解22()x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰=⎰⎰⎰Ωθρρdz d d 3……………………………………..2分⎰⎰⎰=22320202ρπρρθdz d d ………………………………………………………4分⎰-=253)22(2ρρρπd …………………………………………………….….6分π316=………………………………………………………………………….7分3. 计算曲线积分=I ⎰+-Ldy x dx y xy 22)2(, 其中L 是由曲线21x y -=与x轴所围区域D 的正向边界曲线. 解 由格林公式得 ⎰⎰=D ydxdy I 2………………………………………………………………..3分⎰⎰--=210112x y d ydx …………………………………………………………5分 ⎰--=112)1(dx x ……………………………………………………………..6分34=…………………………………………………………………………..7分五．解答下列各题（本大题满分14分）1. (本题6分)1）判别级数∑∞=12n nn的敛散性； 2）判别级数∑∞=12cos 2n n nn 是绝对收敛, 条件收敛, 还是发散?解 1） 记n n nu 2=，因 121l i m 1<=+∞→nn n u u …………………………………...2分所以级数∑∞=1n nu收敛……………………………………………………………….3分2） 因n nn u nn v ≤=|2cos 2|……………………………………………………....4分 而级数∑∞=1n nu收敛，由比较审敛法知级数∑∞=1n nv收敛…………………………...5分原级数绝对收敛……………………………………..…………………………......6分2. (本题8分)将函数x xx f -+=11ln )(展开成x 的幂级数, 并求级数∑∞=-1)12(41n n n 的和.解 +-+++-=+-nn x n x x x x 132)1(32)1l n (，（11≤<-x ）………..2分------=-n x n x x x x 132)1l n (32，（11<≤-x ）…………….3分xxx f -+=11ln )()1l n ()1l n (x x --+=…………………………………….4分)1213(2123 +-+++=-n x n x x ，（11<<-x ）…………..…5分∑∞=-1)12(41n nn 12121)12(121-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑n n n ……………………………………………………..6分 3ln 41)21(41==f ……………………………………………………………8分六．解答下列各题（本大题满分14分）1. (本题6分) 求微分方程2)2(221-=--x y x dx dy 的通解. 解 通解为⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----=C dx dx x x dx x y )21exp()2(2)21exp(2……………...3分 ⎰+--=])2(2)[2(C dx x x ……………………………………………...5分 )2()2(3-+-=x C x …………………………………………………….6分2. (本题8分)设L 是一条平面曲线, 其上任意一点)0)(,(>x y x P 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距, 且L 过点)0,21(. 求曲线L 的方程. 解 设曲线L 上点),(y x P 处的切线方程为)(x X y y Y -'=-.................................................1分令0=X 得该切线在y 轴上的截距为y x y '-………………………………….2分由题设知 y x y y x '-=+22……………………………..3分令x yu =, 方程化为 xdxu du -=+21…………………………………..4分 解得 C y x y =++22………………………………6分由L 过点)0,21(, 求得21=C ……………………………………………………7分 于是曲线L 的方程为 2122=++y x y即 y x -=41………………………………………..8分。