广州大学2012-2013(2)高等数学II2试题(B)解答

广州大学2012-2013学年第二学期考试卷解答

课 程：高等数学Ⅱ2 考 试 形 式：闭卷考试

学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________

一．填空题（每空3分，本大题满分15分）

1．设x z y =，则

z x ∂=∂ln x y y ，z y ∂=∂1x xy -. 2．3333001lim()sin x y x y x y

→→+=+ 0 . 3．已知22

22(,)x y f x y x y x y

--+=+，则(,)f x y =222xy

x y +. 4．多元函数可微的充分条件为 偏导数存在且连续 .

二．解答下列各题（每小题7分，本大题满分21分）

1．求函数31cos

z x y =的偏导数和全微分. 解：213cos z x x y

∂=∂，------2分 3322111(sin )()sin z x x y y y y y

∂=--=∂，------5分 32211d d 3cos d sin d z z x z x x x y x y y y y

∂∂=+=+∂∂.------7分

2．设(,)w f x y z xyz =++，其中f 具有二阶连续偏导数，求w x ∂∂和2w x z

∂∂∂. 解：令u x y z =++，v xyz =，则

w w u w v x u x v x

∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂u v f yzf =+，------3分 2u v v w f f yf yz x z z z

∂∂∂=++∂∂∂∂------5分 ()uu uv v vu vv f xyf yf yz f xyf =++++------7分

2()uu v uv vv f yf xy yz f xy zf =++++.

3．设由方程222

40x y z z ++-=确定隐函数(,)z f x y =，求z x ∂∂和22z x

∂∂. 解：令2224F x y z z =++-，则2x F x =，24z F z =-，------3分

x z z F x F ∂=-∂2x z

=-.------5分 22()2z x x x z ∂∂=∂∂-2(2)()(2)z z x x z ∂---∂=-223(2)(2)z x z -+=-.------7分

三．（本题满分14分）

求函数3322(,)339f x y x y x y =-++-的极值.

解：解方程组

22360360

x y f x x f y y ⎧=+=⎪⎨=-+=⎪⎩，------4分 得驻点(0,0)，(0,2)，(2,0)-，(2,2)-.------6分

66xx A f x ==+，0xy B f ==，66yy C f y ==-+.------8分 在点(0,0)处，2360AC B -=>，且60A =>，

所以(0,0)9f =-为极小值；------10分

在点(0,2)处，2360AC B -=-<，所以(0,2)f 不是极值；------11分 在点(2,0)-处，2360AC B -=-<，所以(2,0)f -不是极值；------12分 在点(2,2)-处，2360AC B -=>，且60A =-<，

所以(2,2)1f -=-为极大值.------14分

1．计算d D

xy σ⎰⎰，其中D 是由直线1y =，2x =和y x =所围成的有界闭区域.

解：积分区域如图阴影部分所示，------2分

d D xy σ⎰⎰211d d x

x xy y =⎰⎰------4分 2

311()d 2

x x x =-⎰------6分 98

=.------8分

2

．计算

d d D x y ，其中D 为圆盘：224x y +≤. 解：

d d D

x y 1d d 1D

ρρθρ=⋅+⎰⎰2200d d 1πρθρρ=+⎰⎰------4分 2012(1)d 1πρρ

=-+⎰2(2ln3)π=-.------8分

3．计算2

1

10d d y x I x e y =⎰⎰. 解：积分区域如图阴影部分所示，------2分

交换积分次序得

2

100d d y y I y e x =⎰⎰------4分 2

10d y ye y =⎰------6分 21011[](1)22

y e e ==-.------8分

1．求微分方程sin cos x y y x e -'+=的通解.

解：由通解公式得

cos d cos d sin (d )x x x x x y e e e x C --⎰⎰=⋅+⎰------4分

sin ()x e x C -=+.------8分

2．求微分方程4290y y y '''++=满足初始条件0|0x y ==，0|15x y ='=的特解. 解：特征方程为2

4290r r ++=，特征根为125r i =-+，225r i =-- 通解为2212cos5sin5x x y C e

x C e x --=+.------4分

222212(2cos55sin5)(2sin55cos5)x x x x y C e x e x C e x e x ----'=--+-+， 由初始条件0|0x y ==，0|15x y ='=，得10C =，23C =. 所求特解为23sin5x y e x -=.------8分

六．（本题满分10分）

一个煮熟了的鸡蛋有98C ，把它放在18C 的水池里，5分钟后，鸡蛋的温度是38C ．假定没有感到水变热，鸡蛋冷却到20.5C 需要多长时间？

解：从鸡蛋放在水池里起开始记时，设在时刻t 鸡蛋的温度为()T t ，那么根据冷却定律得微分方程

d (18)d T k T t

=--，其中0k >为冷却系数. ------2分 方程分离变量得d d 18

T k t T =--，两边积分得ln(18)T kt C -=-+.------5分 由(0)98T =得ln80C =，再由(5)38T =得ln 45

k =.------8分 令()20.5T t =，得12.5t =.------10分

鸡蛋冷却到23C 需要再经过7.5分钟.