广州大学2012-2013(2)高等数学II2试题(B)解答
广州大学高等数学期末试题2006-2007(2)(90) (11)
广州大学2007-2008学年第二学期考试卷高等数学（A 卷）（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每空2分，本大题满分30分）1.设y z x =,则zx ∂=∂1y yx -,z y∂=∂ln y x x.2.已知(,)z f u v =具有二阶连续偏导数,且,23u xy v x y ==+,则zx ∂=∂(,)2(,)u v yf u v f u v ''+,(,)u f u v y ∂'=∂(,)3(,)uuuv xf u v f u v ''''+.3.曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切向量T = (1,2,3),切线方程为111123x y z ---==.4.点M 的直角坐标(,,)x y z 与球面坐标(,,)r ϕθ的关系为x =sin cos r ϕθ,sin sin y r ϕθ=,cos z r ϕ=.在球面坐标下,体积元素dv =2sin r drd d ϕϕθ.5.设L 为曲线弧2(01)y x x =≤≤,则ds dx =,=⎰73.学院专业班级姓名学号6.在区间(1,1)-内，写出下列幂级数的和函数: (1)221(1)n n x x -++-+=211x +;(2) 321(1)321n n x x x n +--+++=+ arctan x.7.已知级数1n n a ∞=∑条件收敛,则幂级数1n n n a x ∞=∑的收敛区间为(1,1)-.8.微分方程560y y y '''-+=的通解为y =2312x xC e C e +,微分方程562x y y y e '''-+=的通解为y =2312x x xC e C e e ++.二．解答下列各题(每小题8分,本大题满分16分) 1.写出函数2ln()z x y =-的定义域,并求函数的全微分.解: 定义域为:20x y ->。
12-13(2)高等数学试题(A)解答
广州大学2012-2013学年第二学期考试卷解答课 程：高等数学Ⅰ2（80学时） 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________一．填空题（每小题2分，本大题满分20分）1．设(1,1,1)a = ，(2,3,4)b = ，则a b ⨯=(1,2,1)-.2．yOz 坐标面上的直线z y =绕z 轴旋转而成的曲面方程是222z x y =+.3．(,)(1,2)limx y →=14.4. 设yz x =，则(2,1)d z =2ln 2dx dy +.5．设区域D 为0x y ≤≤，01y ≤≤，则d d Dx y =⎰⎰12. 6．设L 为圆周221x y +=，则2d Lx s =⎰π.7. 级数1pn n∞=∑收敛的充要条件是p 满足不等式32p >. 8．若级数1nn u∞=∑条件收敛，则级数1||nn u∞=∑的敛散性为 发散.9．方程22d 0d yy x+=的通解y =12cos sin C x C x +. 10．方程232x y y y xe '''-+=的待定特解形式y *=2()x x ax b e +.1．设(,)z f xy x y =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.解：121zf y f x∂''=⋅+⋅∂ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 12y f f ''=+ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分=∂∂∂yx z2121f f f yy y ''∂∂'++∂∂ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分 111122122[(1)](1)f y f x f f x f '''''''''=+⋅+⋅-+⋅+⋅- ┅┅┅┅┅┅ 7分 1112221()xy f x y f f f '''''''=+--+ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分2．求曲面223zz e x y -+=在点(1,2,0)处的切平面方程和法线方程.解：令(,,)223zF x y z z e x y =-+- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 (1,2,0)(1,2,0)(,,)|(2,2,2)|(4,2,1)z x y z n F F F y x e==-=┅┅┅┅4分 切平面方程为 4(1)2(2)00x y z -+-+-=即 428x y z ++= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 法线方程为12421x y z--== ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分三．（本题满分10分）求函数322(,)425f x y x x x y y =-+-+的极值.解：由23820220x y f x x y f x y ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分得驻点为)0,0(，(2,2) ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分 68x x f x =-， 2x y f =， 2y y f =- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分在点)0,0(处，2120AC B -=> ，又80A =-<所以(0,0)5f =是极大值 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 9分 在点(2,2)处，2120AC B -=-< ，所以(2,2)f 不是极值 ┅┅┅┅┅ 10分1．设二重积分(,)d d DI f x y x y =⎰⎰，其中D 是由曲线2y x x =-与x 轴所围成的有界闭区域.（1）将二重积分I 化为先y 后x 的二次积分；（2）将二重积分I 化为极坐标形式的二次积分.解：(1)区域D 为右图阴影部分 ………… 1分210d (,)d x x I x f x y y -=⎰⎰………… 4分(2) 由2y x x =-得0(0)(12)|1x y x ='=-= ………………… 5分(cos ,sin )d d DI f ρθρθρρθ=⎰⎰(1tan )sec 40d (cos ,sin )d f πθθθρθρθρρ-=⎰⎰………… 8分2．计算3232()d ()d LI x xy x y x y y =-++⎰，其中L 是由曲线2y x =与2x y =所围成的有界闭区域的边界，取正向.解：记2:01D x y x ≤≤≤≤ ……………………………………………… 1分由格林公式4d d DI x y x y =⎰⎰ ………………………………………… 4分2104d d x x x y y =⎰⎰…………………………………… 6分12512()d 3x x x =-=⎰ ……………………………… 8分求由曲面22z x y =+与平面4z =所围成的几何体Ω的体积和表面积.解：由224z x y z ⎧=+⎨=⎩得224x y +=，记22:4D x y +≤ ………………………… 2分所求体积为V dv Ω==⎰⎰⎰2224d d dz πρθρρ⎰⎰⎰2302(4)8d πρρρπ=-=⎰…………………………………………… 6分记 221:,(,)z x y x y D ∑=+∈ 和 2:4,(,)z x y D ∑=∈对于曲面1∑，由22z x y =+得2x z x =，2y z y =1∑的面积为1DA =20d d πθρ=⎰⎰21)6d ππρ==⎰┅┅┅┅┅┅┅ 11分2∑的面积为24A π=所求表面积为12(236A A π+=+ ……………………………………… 12分六．（本题满分6分）（1）判别级数12nn n∞=∑的敛散性； （2）级数1sin 2nn n n∞=∑是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 解：（1）记02n n nu =>，由比值判别法 1111lim lim(1)122n n n n u u n +→∞→∞=+=< …………… 2分 所以，级数12nn n∞=∑收敛 ………………………………………………………… 3分（2）记sin 2n n n n v =，由于|sin |||22nn n n n nv =≤ ……………………………… 4分 又级数12n n n ∞=∑收敛，由比较判别法得，级数1sin ||2nn n n∞=∑收敛， 从而级数1sin 2nn n n∞=∑收敛且为绝对收敛 ………………………………………… 6分设有幂级数1nn x n∞=∑. （1）求它的收敛半径及收敛域； （2）求它的和函数.解：记1n a n =，11lim ||lim(1)1n n n n a R a n →∞→∞+==+= ……………………………………2分1x =-时，级数1(1)n n n ∞=-∑收敛；1x =时，级数11n n∞=∑ 发散. 收敛域为 [1,1)- …………………………………………………………… 4分 记和函数为()s x11()n n s x x ∞-='=∑11x =- （ 11x -<< ） ……………………………… 6分 01()(0)1x s x dt s t=+-⎰ln(1)x =-- （11x -≤< ） …………………………………………… 8分八．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）1．求微分方程d cos d y y x x x x+=的通解. 解：该方程为一阶线性微分方程，所求的通解为11cos dx dxx x x y e e dx c x -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ …………………………………………… 3分 )cos (1⎰+=c xdx x ………………………………………………………… 5分 1(sin )x c x=+ ……………………………………………………………… 6分2．一池盛有盐水100公斤，其中含盐10公斤，现以每分钟2公斤的速率往池内注入淡水，同时从池内流出2公斤混和均匀的盐水，求池内溶液的含盐量降至一半所需要的时间.解：设从注入淡水开始记时（此时0t =），第t 分钟后池内的盐水含量为m 公斤，则池内盐的浓度为100m在时间间隔[,]t t dt +内，从池内流出的溶液中盐的含量为 210050m mdt dt ⨯⨯=在此段时间间隔内池内溶液盐的改变量为dm =-50mdt …………………………………………………… 2分 分离变量得 150dm dt m =-积分得 ln ln 50tm C =-+ 即 50t m Ce -= ……………………………… 4分由初始条件 0t =，10m = 得 10C =所以 5010t m e -= ……………………………………………………………… 5分 令5m =得50ln 2t =即池内的含盐量降至一半所需要的时间为50ln 2分钟 ……………………… 6分。
第二学期高等数学(B)Ⅱ期末考试试卷答案
解：
G G i j G ∂ ∂ rot A = ∂x ∂y 2 z − 3 y 3x − z
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
北 方
交
通
大
学
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
一．计算题（本题满分 35 分，共有 5 道小题，每道小题 7 分） ， 1．设 z = arctan 解：
y ，求 dz ． x
⎛ y⎞ ⋅ d⎜ ⎟ ， ⎝ x⎠ ⎛ y⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝x⎠ 1
z = 4 1−
求下雨时过房顶上点 P 1, 解：
x2 y2 − ． 16 36
(
3,
11 处的雨水流下的路线方程（不考虑摩擦） ．
)
雨水沿 z 轴下降最快的方向下流，即沿着 z 的梯度
grad z =
∂z G ∂z G i+ j ∂y ∂x
的反方向下流．因而雨水从椭球面上流下的路线在 xOy 坐标面上的投影曲线上任一点处的切线应与
G k G G G ∂ = 2 i + 4 j + 6k ∂z y − 2x
5．求解微分方程 y ′′ + 4 y = 4 cos 2 x ． 解： 先解对应的齐次方程 y ′′ + 4 y = 0 ．其特征方程为 r + 4 = 0 ，得其解为 r1 = 2i ， r2 = −2i ．因而对
广州大学2012-2013高等数学Ⅲ(A)解析版
广州大学2012-2013学年第一学期考试卷高等数学Ⅲ（A 卷）参考解答与评分标准一、判断题（每小题2分，共10分；对的“√”，错的“×”）1．（ √ ）有限个连续函数的复合函数是连续函数.2．（ × ）若()f x 在(),a b 内连续，则()f x 在(),a b 内有最大值.3．（ × ）若()f x 在[],a b 上不连续，则()f x 在[],a b 上不可积. 4．（ × ）若a 是()f x 的极小值点，则()0f a '=.5．（ √ ）()ln 13x +与tan x 是0x →时的同阶无穷小量.二、填空题（每空3分，共15分）1．0sin3lim2x x x →=（ 32 ）. 2．29991002(99sin 99)d x x x x x -++=⎰（ 0 ）.3．2lim 1xx x x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ 2e - ）. 4．()0dsin d d x t e t tx=⎰（ sin xe x ）. 5．sin3lim 2x x x →+∞=（ 0 ）.三、求导数或微分（每小题6分，共18分）1．设()2ln 1y x x =++，求d y . 解：221(1)1y x x x x ''=++++------2分 221(1)11x x x x =++++------4分211x =+------5分211dy y dx dx x '==+------6分2．2sin ln 0yx x y -+=，求d d y x. 解：两边关于x 求导 22cos 0y y x yx x y''+-+=------4分 222cos 0yy x y x y x y ''+-+= 22cos 21dy y x y x y dx yx -'==+------6分3．设2(arccos )y x =，求y '. 解：2arccos (arccos )y x x '=⋅------2分 212arccos ()1()x x x '=-⋅-------4分 2arccos xx x =--------6分四、求极限（每小题6分，共12分）1．0lim xx x +→. 解：令x y x =，两边取对数得 ln ln y x x =------2分000ln lim ln lim ln lim 1x x x x y x x x+++→→→==0021lim lim()01x x x x x ++→→==-=-------5分000lim lim 1x x x y x e ++→→===------6分2．()lim 3x x x →+∞+-. 解：原式(3)(3)lim 3x x x x x x x→+∞+-++=++------2分 3lim 3x x x→+∞=++------4分 0=------6分五、求积分（每小题6分，共18分）1．21d 1x x-⎰. 解：211111()1(1)(1)211x x x x x==+--+-+------2分 21111()1211dx dx dx x x x=+--+⎰⎰⎰ 1[ln(1)ln(1)]2x x C =+--+------5分 11ln 21x C x+=+-------6分2．2204d x x -⎰.解：令2sin x t =，[0,]2t π∈，2cos dx tdt =------2分 22220044cos x dx tdt π-=⎰⎰------4分 202(1cos 2)t dt π=+⎰------5分[]202sin 2t t π=+π=------6分3．d x xe x -⎰.解：x xe dx -⎰x xde -=-⎰()x x xe e dx --=--⎰------3分()x x xe e d x --=---⎰------5分x x xe e C --=--+------6分六、证明题（6分）证明：函数()||2f x x =+在0x =处连续，但不可导. 证明：因为00lim ()lim 22(0)x x f x x f →→=+== 所以()f x 在0x =处连续------1分因为 00()(0)22(0)lim lim 10x x f x f x f x x+++→→-+-'===-------3分00()(0)22(0)lim lim 10x x f x f x f x x---→→--+-'===--------5分 于是(0)(0)f f +-''≠，所以()f x 在0x =处不可导------6分七、应用题（每小题7分，共21分）1．某小车租赁公司有40部小车要出租，当租金定为每小时30元时，小车可全部租出去. 当租金每小时每增加1元时，就有一部小车租不出去. 试问租金定为多少时，可以获得最大收入？解：设小车每小时的租金为30x +元（0,1,2,x =），租出去的小车数为40x -部，公司每小时的收入为y . 于是(30)(40)y x x =+-212010x x =+-，------4分102y x '=-，令0y '=得5x =，稳定点为5x =.------6分由于函数只有一个稳定点5x =，依题意知：当租金为每小时35元时，公司可获得最大的收入.------7分2．求22y x x=-的单调区间与极值. 解：333414x y x x -+'=+=------1分 稳定点为34x =-，不可导点为0x =------3分3(,4)x ∈-∞-，0y '>，y 递增------4分3(4,0)x ∈-，0y '<，y 递减------5分(0,)x ∈+∞，0y '>，y 递增------6分 极大值2113333333223(4)4223224y ---=--=--=-⋅=-------7分3．求正弦曲线sin y x =与直线14x π=，32x π=，0y =所围成的平面图形的面积.解：324sin d sin d S x x x x ππππ=-⎰⎰------4分324(cos )cos x x ππππ=-+------5分 2(1)[0(1)]2=++--222=+------7分。
11-12 高等数学2试题(A)及解答
广州大学2011-2012学年第二学期考试卷课 程：高等数学Ⅰ2（90学时） 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________任课教师 是否重修考（ ）（是打√）一．填空题(每小题3分，本大题满分30分)1．已知(1,2,3)a =，(3,2,1)b =，则a b ⨯= .2．yOz 面上的抛物线21z y =-绕z 轴旋转一周所得曲面方程为 . 3．(,)(0,2)limx y →= .4．对函数yz x =利用近似计算公式d z z ∆≈，则 2.02(1.04)≈ .5．曲线2211x ty t z t =⎧⎪=-⎨⎪=+⎩上点(2,3,5)处的切线方程为 .6．将下列函数展开成(1)x -的幂级数： 13x=- ，(13x -<<). 7．微分方程xy y e -'+=的通解为y = .8．微分方程690y y y '''-+=的通解为y = .9．设2x f xy '=，2y f x '=，则(1,2)(0,0)f f -= .10．已知曲线L 为球面2222x y z R ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周，则2d Ly s =⎰________.1．已知(,)z f x y =是由方程2sin z z x y +=确定的隐函数，求z x ∂∂和22z x∂∂.2．求函数2(,)624ln f x y x y xy y =+--的极值.1．计算d d Dxy x y ⎰⎰，其中D 是由直线1x y +=与两坐标轴所围成的闭区域.2．设L 是由曲线22y x x =-与x 轴所围区域D 的正向边界曲线，利用格林公式计算曲线积分22()d ()d LI y x y x x xy y =-++⎰.判断级数12! nnnn n∞=⋅∑的收敛性. 五．(本题满分11分)求幂级数1(1) 2n nn nx∞=+-∑的收敛域及和函数.设Ω是由曲面224z x y =--及xOy 面所围成的有界闭区域，求Ω的表面积.七．(本题满分8分)假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差，若室温为020c 时，一物体由0100c 冷却到060c 须经过20分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的0100c 降低到030c .试证曲面(,)0f x az y bz ++=上任一点处的切平面与平面z ax by =+垂直，其中f 可微，,a b 为常数.广州大学2011-2012学年第二学期考试卷课 程：高等数学Ⅰ2（90学时） 考 试 形 式：闭卷考试参考解答与评分标准（A 卷）一．填空题(每小题3分，本大题满分30分)1．已知(1,2,3)a =，(3,2,1)b =，则a b ⨯=(4,8,4)--.2．yOz 面上的抛物线21z y =-绕z 轴旋转一周所得曲面方程为221z x y =--. 3．(,)(0,2)limx y →=18.4．对函数yz x =利用近似计算公式d z z ∆≈，则 2.02(1.04)≈1.08.5．曲线2211x ty t z t =⎧⎪=-⎨⎪=+⎩上点(2,3,5)处的切线方程为35244y z x ---==. 6．将下列函数展开成(1)x -的幂级数：13x =-101(1)2n n n x ∞+=-∑，(13x -<<). 7．微分方程x y y e -'+=的通解为y =()xe x C -+. 8．微分方程690y y y '''-+=的通解为y =312()xC C x e+.9．设2x f xy '=，2y f x '=，则(1,2)(0,0)f f -=2.10．已知L 为球面2222x y z R ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周，则2d Ly s =⎰323R π.1．已知(,)z f x y =是由方程2sin z z x y +=确定的隐函数，求z x ∂∂和22z x∂∂.解：令2(,,)sin F x y z z z x y =+-，则2x F xy =-，cos 1z F z =+， 2cos 1x z z F xyx F z ∂=-=∂+， 。
2012年考研数学二真题及答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：（C ）【解析】：221lim 1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直渐近线 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C ）。
（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - 【答案】：（C ） 【解析】：''22()(2)()(1)(2)()xxnx x x nxf x e e e n e e e n ⎡⎤=--+---⎣⎦所以'(0)f =1(1)!n n --，故选（C ）。
（3）设0,(1,2,...)n a n >=，1...n n s a a =++，则数列{}n s 有界是数列{}n a 收敛的 (A)充分必要条件.(B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件.【答案】：(B)【解析】：由于0n a >，{}n s 是单调递增的，可知当数列{}n s 有界时，{}n s 收敛，也即lim nn s →∞是存在的，此时有()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a s s s s --→∞→∞→∞→∞=-=-=，也即{}n a 收敛。
反之，{}n a 收敛，{}n s 却不一定有界，例如令1n a =，显然有{}n a 收敛，但n s n =是无界的。
2013高数B2龙洞考试(B)
4．极坐标下的二次积分 可以写. B. 收敛；C. 收敛；D. 收敛
三、计算题（每小题8分，共40分）
1.[8分]求由 所确定的隐函数 在点（1，0，-1）处的全微分。
2.[8分]已知 ， 具有二阶连续偏导数，求
3.[8分]计算二重积分
4.[8分]计算二重积分 。
5.[8分]求微分方程的初值问题 的解。
四、[10分]试求幂级数
五、[10分]某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告。根据统计资料，销售收入 万元与电台广告费用 万元及报纸广告费用 万元之间的关系有如下的经验公式：
（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；
（2）若广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略。
2012级高数二期中(多、少)解答 2 武科大
2012级高等数学(二)期中试卷解答（本科、理工类）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设向量4,||2==a b ，且⋅=a b 则⨯=a b（ D ）.A． B ．2；C ．2；D ．2．具有特解123e ,2e ,3e x x x y y x y --===的3阶常系数齐次线性微分方程是（ B ）.A ．0y y y y ''''''--+=；B ．0y y y y ''''''+--=；C ．61160y y y y ''''''-+-=；D ．220y y y y ''''''--+=. 3．下列二重极限存在的是 （ D ）.A ．00lim x y x x y →→+，；B ．001lim x y x y →→+ ； C ．200lim x y x x y →→+ ； D ．001lim sin x y x x y →→⋅+. 4．在空间直角坐标系下，z 轴的对称式方程为 （ B ）.A ．1001x y z -==；B ． 3003x y z -==-； C ．100x y z ==； D ．010x y z == . 5．已知函数(,)f x y 在点00(,)x y 的偏导数存在，则下面的结论正确的是 （ C ）.A ．(,)f x y 在00(,)x y 点连续；B ．(,)f x y 在00(,)x y 点可微；C ．0(,)f x y 在0x x =点连续；D ．(,)f x y 在00(,)x y 点有任意方向的方向导数.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．向量a 的模为2,它与x 轴、y 轴、z 轴的夹角分别为,,362πππ，则向量a = (1. 7. 若函数(,)ln((0)f x y x x y=->>，则(,)f x y x y +-=.或8．设函数20sin (,)d 1xyt F x y t t =+⎰，则F x ∂∂= 2sin()1()xy y xy ⋅+. 9. 微分方程0y y ''+=的通解为 12cos sin .y C x C x =+（C 1，C 2为任意常数.）【多学时】10．椭圆223212,0xy z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转而成的旋转曲面在点处指向外侧的单位法向量为⎛ ⎝.【少学时】10．微分方程256x y y y xe '''-+=的特解形式为2()e x x Ax B +.三、解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）11．求极限22200lim x y xy x y →→+. 解： 2222||022xy xy y x y xy ≤≤=+，……......…….……………………4分 22200lim 0x y xy x y →→=+..............................................................................8分 12．设arctan 22()e yx z x y -=+，求点(1,1)处的2dz,z x y∂∂∂. 解： arctan (2)e y x z x y x -∂=+∂；arctan (2)e y x z y x y-∂=-∂；.....................................................4分 arctan arctan d (2)e d +(2)e d yyx x z x y x y x y --=+-；()4(1,1)d e 3d +d z x y π-=；..................6分222arctan 22e y x z y x xy x y x y-∂--=∂∂+，24(1,1)1e 2z x y π-∂=-∂∂...................................................8分 13. 经过原点的平面π与两条直线1,1,2x y t z t =⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及121121x y z +++==-都平行，求平面π的方程．解：12(0,1,1),(1,2,1)s s ==-.......................................................................................2分12(3,1,1)n s s =⨯=-，...........................................................................................4分 且平面经过点(0,0,0)，所求平面π的方程为30x y z +-=．...........................8分【多学时】14．一圆柱体由周长为C 的矩形绕其一边旋转而成，求当矩形的边长各为多少时，形成的圆柱体体积最大？解：设矩形的边长为x ，y ，绕x 所在的边旋转而成圆柱体，则有2V y x π=⋅，且2()0x y C +-=，下面求V 的最大值，.......................................................................2分2(,)(22)L x y xy x y C πλ=++-，..................................................................................4分由22022022y xy x y C πλπλ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩解得6C x =，3C y =，......................................................................6分 所以，当矩形的边长分别为,63C C 时，绕短边旋转而成的圆柱体体积最大，2354V y x C ππ==．........................................................................................................8分【少学时】14．证明直线l 1：1332123y x z +-+==-与直线l 2：22,,41x t y t z t =-+⎧⎪=⎨⎪=-⎩是共面的． 证明：直线l 1的方向向量为()11,2,3s =-，经过点A 1(3,,3)2--，..........................2分 直线l 2的方向向量为()12,1,4s =-，经过点B (2,0,1)-；..............................4分 12(11,2,5)s s ⨯=，1(1,,2)2BA =--，................................................................6分 因为12()0s s AB ⨯⋅=，所以两条直线是共面的．.......................................................8分 （本题也有其他方法证明，请阅卷老师自定评分细则）【多学时】15．函数(,)z z x y =由方程xyz +(1,0,1)-处的全微分d z . 解：(1,0,1)1)1z x--∂==∂，(1,0,1)z y -∂=∂............................3分 d d z x y =．............................................................................ ..........8分【少学时】15．求抛物线2x y =与直线x y =所围图形的面积.解：抛物线2x y =与直线x y =的交点为(0,0),(1,1)，...............................................2分面积元素2d ()d A x x x =-，1201().6A x x dx =-=⎰.................................................8分 【多学时】16．u x xy xyz =-+，求u 在点(1,2,1)-处的梯度，并求沿着梯度方向的方向导数.解：1,x u y yz =-+,y u x xz =-+,z u xy =....................................................................3分 (1,2,1)(3,2,2),u -=--grad ........................................................................5分记梯度方向为l ，则(1,2,1)(3,2,2)u l -∂=--=∂分【少学时】16．写出YOZ 平面上抛物线z = y 2绕 Z 轴旋转所成的旋转曲面的方程，并求该曲面与平面z =1所围成的立体的体积．解：旋转曲面的方程为z = x 2+y 2，...........................................................................3分 以y 为积分变量，[0,1]y ∈，d d V y y π=，........................................................6分11200d 22V y y y πππ===⎰．..........................................................................8分 四、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）17．物体的冷却速度与该物体和周围介质的温差成正比（比例常数为k ，k > 0），现将具有温度为0T 的物体放在保持常温为α 的室内，求温度 T 与时间 t 的函数关系.解：设物体在t 时刻的温度为T (t )，则有d ()d T k T tα=--，0(0)T T =，................2分 解微分方程得 e kt T c α-=+，....................................................................................4分 将00,t T T ==代入得 0c T α=-，故()0e kt T T αα-=-+．.......................................6分18．设(2)(,)z f x y g x xy =-+，其中函数()f t 二阶可导，(,)g u v 具有连续二阶偏导数，求z x ∂∂和2z x y∂∂∂. 解：122(2)(,)(,)z f x y g x xy yg x xy x∂'''=-++∂，.............................................................3分 2122222(2)(,)(,)(,)z f x y xg x xy g x xy xyg x xy x y∂'''''''=--+++∂∂.................................6分 五、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）19．若函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2e x f x f x '+=,求函数()f x . 解： 220r r +-=，解得122,1r r =-=，....................................................................2分二阶方程的通解为212e e x x y c c -=+，................................................................3分 进而有 2122e e x x y c c -'=-+，.........................................................................4分 代入()()2e x f x f x '+=得212e 2e 2e x x x c c --+=，所以120,1c c ==，所以函数()e x f x =.......................................................................5分20．已知向量a ，b ，c 为单位向量且满足=0a +b +c ，试求⋅⋅⋅a b +b c +c a .解：有已知得()0⋅=a a +b+c ，即20⋅⋅=a +a b +a c ；..........................................1分 同理20⋅⋅=b +a b +b c ，20⋅⋅=c +a c +b c ；..........................................................2分三式相加得 ()2222()0++⋅⋅⋅=a b c +a b +b c +a c ，............................4分所以32⋅⋅⋅=-a b +b c +c a ．..........................................................................................5分。
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广州大学2012-2013学年第二学期考试卷解答
课 程：高等数学Ⅱ2 考 试 形 式：闭卷考试
学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________
一．填空题（每空3分，本大题满分15分）
1．设x z y =，则
z x ∂=∂ln x y y ，z y ∂=∂1x xy -. 2．3333001lim()sin x y x y x y
→→+=+ 0 . 3．已知22
22(,)x y f x y x y x y
--+=+，则(,)f x y =222xy
x y +. 4．多元函数可微的充分条件为 偏导数存在且连续 .
二．解答下列各题（每小题7分，本大题满分21分）
1．求函数31cos
z x y =的偏导数和全微分. 解：213cos z x x y
∂=∂，------2分 3322111(sin )()sin z x x y y y y y
∂=--=∂，------5分 32211d d 3cos d sin d z z x z x x x y x y y y y
∂∂=+=+∂∂.------7分
2．设(,)w f x y z xyz =++，其中f 具有二阶连续偏导数，求w x ∂∂和2w x z
∂∂∂. 解：令u x y z =++，v xyz =，则
w w u w v x u x v x
∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂u v f yzf =+，------3分 2u v v w f f yf yz x z z z
∂∂∂=++∂∂∂∂------5分 ()uu uv v vu vv f xyf yf yz f xyf =++++------7分
2()uu v uv vv f yf xy yz f xy zf =++++.
3．设由方程222
40x y z z ++-=确定隐函数(,)z f x y =，求z x ∂∂和22z x
∂∂. 解：令2224F x y z z =++-，则2x F x =，24z F z =-，------3分
x z z F x F ∂=-∂2x z
=-.------5分 22()2z x x x z ∂∂=∂∂-2(2)()(2)z z x x z ∂---∂=-223(2)(2)z x z -+=-.------7分
三．（本题满分14分）
求函数3322(,)339f x y x y x y =-++-的极值.
解：解方程组
22360360
x y f x x f y y ⎧=+=⎪⎨=-+=⎪⎩，------4分 得驻点(0,0)，(0,2)，(2,0)-，(2,2)-.------6分
66xx A f x ==+，0xy B f ==，66yy C f y ==-+.------8分 在点(0,0)处，2360AC B -=>，且60A =>，
所以(0,0)9f =-为极小值；------10分
在点(0,2)处，2360AC B -=-<，所以(0,2)f 不是极值；------11分 在点(2,0)-处，2360AC B -=-<，所以(2,0)f -不是极值；------12分 在点(2,2)-处，2360AC B -=>，且60A =-<，
所以(2,2)1f -=-为极大值.------14分
1．计算d D
xy σ⎰⎰，其中D 是由直线1y =，2x =和y x =所围成的有界闭区域.
解：积分区域如图阴影部分所示，------2分
d D xy σ⎰⎰211d d x
x xy y =⎰⎰------4分 2
311()d 2
x x x =-⎰------6分 98
=.------8分
2
．计算
d d D x y ，其中D 为圆盘：224x y +≤. 解：
d d D
x y 1d d 1D
ρρθρ=⋅+⎰⎰2200d d 1πρθρρ=+⎰⎰------4分 2012(1)d 1πρρ
=-+⎰2(2ln3)π=-.------8分
3．计算2
1
10d d y x I x e y =⎰⎰. 解：积分区域如图阴影部分所示，------2分
交换积分次序得
2
100d d y y I y e x =⎰⎰------4分 2
10d y ye y =⎰------6分 21011[](1)22
y e e ==-.------8分
1．求微分方程sin cos x y y x e -'+=的通解.
解：由通解公式得
cos d cos d sin (d )x x x x x y e e e x C --⎰⎰=⋅+⎰------4分
sin ()x e x C -=+.------8分
2．求微分方程4290y y y '''++=满足初始条件0|0x y ==，0|15x y ='=的特解. 解：特征方程为2
4290r r ++=，特征根为125r i =-+，225r i =-- 通解为2212cos5sin5x x y C e
x C e x --=+.------4分
222212(2cos55sin5)(2sin55cos5)x x x x y C e x e x C e x e x ----'=--+-+， 由初始条件0|0x y ==，0|15x y ='=，得10C =，23C =. 所求特解为23sin5x y e x -=.------8分
六．（本题满分10分）
一个煮熟了的鸡蛋有98C ，把它放在18C 的水池里，5分钟后，鸡蛋的温度是38C ．假定没有感到水变热，鸡蛋冷却到20.5C 需要多长时间？
解：从鸡蛋放在水池里起开始记时，设在时刻t 鸡蛋的温度为()T t ，那么根据冷却定律得微分方程
d (18)d T k T t
=--，其中0k >为冷却系数. ------2分 方程分离变量得d d 18
T k t T =--，两边积分得ln(18)T kt C -=-+.------5分 由(0)98T =得ln80C =，再由(5)38T =得ln 45
k =.------8分 令()20.5T t =，得12.5t =.------10分
鸡蛋冷却到23C 需要再经过7.5分钟.。