大一高等数学期末考试试卷及答案详解

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大一高等数学期末考试试卷

(一)

一、选择题(共12分) 1. (3分)若

2,0,

(),0

x e x f x a x x ⎧<=⎨

+>⎩为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0

(3)(3)

lim

2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D)1

2

3. (3分)定积分22

π

π-⎰的值为( ).

(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2

4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分)

1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为

23x 的曲线方程为 .

2. (3分) 1

241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. (3分) 20

1lim sin x x x

→= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 .

三、计算题(共42分) 1. (6分)求2

0ln(15)

lim

.sin 3x x x x →+

2. (6

分)设2,1

y x =+求.y '

3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +⎰

4. (6分)求3

(1),f x dx -⎰其中

,1,()1cos 1, 1.x x

x f x x

e x ⎧≤⎪

=+⎨⎪+>⎩

5. (6分)设函数()y f x =

由方程0

cos 0y x

t e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy

6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰

7. (6

分)求极限3lim 1.2n

n n →∞

⎫+ ⎪⎝⎭

四、解答题(共28分)

1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x

2. (7分)求由曲线cos 2

2y x x π

π⎛⎫

=-

≤≤

⎪⎝⎭

与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.

3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.

4. (7

分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值.

五、证明题(6分)

设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明

1()[()()]()()().22b

b

a

a

b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰

(二)

一、 填空题(每小题3分,共18分) 1.设函数

()2

3122+--=x x x x f ,则1=x 是()x f 的第 类间断点.

2.函数()21ln x y +=,则='y

.

3. =⎪

⎫ ⎝⎛+∞→x

x x x 21lim

.

4.曲线

x

y 1=

在点

⎪⎭

⎫ ⎝⎛2,21处的切线方程

为 . 5.函数

2

332x x y -=在[]4,1-上的最大值 ,最小

值 . 6.=+⎰

dx x x 2

1arctan . 二、 单项选择题(每小题4分,共20分) 1.数列{}n x 有界是它收敛的( ) .

() A 必要但非充分条件; () B 充分但非必要条件 ; () C 充分必要条件; () D 无关条件.

2.下列各式正确的是( ) .

() A C e dx e x x +=--⎰; () B C x

xdx +=⎰1

ln ; () C ()C x dx x +-=-⎰

21ln 2

1

211; () D C x dx x

x +=⎰

ln ln ln 1

. 3. 设()x f 在[]b a ,上,()0>'x f 且()0>''x f ,则曲线()x f y =在[]b a ,上.

() A 沿x 轴正向上升且为凹的; () B 沿x 轴正向下降且为

凹的;

() C 沿x 轴正向上升且为凸的; () D 沿x 轴正向下降且

为凸的.

4.设()x x x f ln =,则()x f 在0=x 处的导数( ).

() A 等于1; () B 等于1-; () C 等于0; () D 不存在.

5.已知()2lim 1=+

→x f x ,以下结论正确的是( ).

() A 函数在1=x 处有定义且()21=f ; () B 函数在1=x 处的某去

心邻域内有定义;

() C 函数在1=x 处的左侧某邻域内有定义;() D 函数在1=x 处的右

侧某邻域内有定义.

三、 计算(每小题6分,共36分) 1.求极限:x

x x 1sin lim 20→. 2. 已知()21ln x y +=,求y '. 3. 求函数x x y sin =()0>x 的导数.

4. ⎰+dx x x 2

2

1. 5. ⎰xdx x cos .

6.方程y

x

x y 11=确定函数()x f y =,求y '.

四、 (10分)已知2

x e 为()x f 的一个原函数,求()⎰dx x f x 2.

五、 (6分)求曲线x xe y -=的拐点及凹凸区间. 六、 (10分)设()()

C e x dx x f x

++='⎰1,求()x f .

(三)

一、填空题(本题共5小题,每小题4分,共20分).

(1) 2

1

0)

(cos lim x x x → e

1.

(2)曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为1-=x y . (3)已知x

x

xe

e

f -=')(,且0)1(=f , 则

=)(x f =)(x f 2

)(ln 21

x .

(4)曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为 .

91

31-=x y

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