大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷

（一）

一、选择题（共12分） 1. （3分）若

2,0,

(),0

x e x f x a x x ⎧<=⎨

+>⎩为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0

(3)(3)

lim

2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D)1

2

3. （3分）定积分22

π

π-⎰的值为（ ）.

(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2

4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分）

1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为

23x 的曲线方程为 .

2. （3分） 1

241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. （3分） 20

1lim sin x x x

→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .

三、计算题（共42分） 1. （6分）求2

0ln(15)

lim

.sin 3x x x x →+

2. （6

分）设2,1

y x =+求.y '

3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰

4. （6分）求3

(1),f x dx -⎰其中

,1,()1cos 1, 1.x x

x f x x

e x ⎧≤⎪

=+⎨⎪+>⎩

5. （6分）设函数()y f x =

由方程0

cos 0y x

t e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy

6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰

7. （6

分）求极限3lim 1.2n

n n →∞

⎛

⎫+ ⎪⎝⎭

四、解答题（共28分）

1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x

2. （7分）求由曲线cos 2

2y x x π

π⎛⎫

=-

≤≤

⎪⎝⎭

与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.

3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.

4. （7

分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值.

五、证明题(6分)

设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明

1()[()()]()()().22b

b

a

a

b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰

⎰

（二）

一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数

()2

3122+--=x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点.

2．函数()21ln x y +=，则='y

.

3． =⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+∞→x

x x x 21lim

.

4．曲线

x

y 1=

在点

⎪⎭

⎫ ⎝⎛2,21处的切线方程

为 . 5．函数

2

332x x y -=在[]4,1-上的最大值 ，最小

值 . 6．=+⎰

dx x x 2

1arctan . 二、 单项选择题（每小题4分，共20分） 1．数列{}n x 有界是它收敛的（ ） .

() A 必要但非充分条件； () B 充分但非必要条件 ； () C 充分必要条件； () D 无关条件.

2．下列各式正确的是（ ） .

() A C e dx e x x +=--⎰； () B C x

xdx +=⎰1

ln ； () C ()C x dx x +-=-⎰

21ln 2

1

211； () D C x dx x

x +=⎰

ln ln ln 1

. 3． 设()x f 在[]b a ,上，()0>'x f 且()0>''x f ，则曲线()x f y =在[]b a ,上.

() A 沿x 轴正向上升且为凹的； () B 沿x 轴正向下降且为

凹的；

() C 沿x 轴正向上升且为凸的； () D 沿x 轴正向下降且

为凸的.

4．设()x x x f ln =，则()x f 在0=x 处的导数（ ）.

() A 等于1； () B 等于1-； () C 等于0； () D 不存在.

5．已知()2lim 1=+

→x f x ，以下结论正确的是（ ）.

() A 函数在1=x 处有定义且()21=f ； () B 函数在1=x 处的某去

心邻域内有定义；

() C 函数在1=x 处的左侧某邻域内有定义；() D 函数在1=x 处的右

侧某邻域内有定义.

三、 计算（每小题6分，共36分） 1．求极限：x

x x 1sin lim 20→. 2. 已知()21ln x y +=，求y '. 3. 求函数x x y sin =()0>x 的导数.

4. ⎰+dx x x 2

2

1. 5. ⎰xdx x cos .

6.方程y

x

x y 11=确定函数()x f y =，求y '.

四、 （10分）已知2

x e 为()x f 的一个原函数，求()⎰dx x f x 2.

五、 （6分）求曲线x xe y -=的拐点及凹凸区间. 六、 （10分）设()()

C e x dx x f x

++='⎰1，求()x f .

（三）

一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).

（1） 2

1

0)

(cos lim x x x → e

1.

（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为1-=x y . （3）已知x

x

xe

e

f -=')(，且0)1(=f , 则

=)(x f =)(x f 2

)(ln 21

x .

（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为 .

91

31-=x y