大一高等数学期末考试试卷及答案详解
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大一高等数学期末考试试卷
(一)
一、选择题(共12分) 1. (3分)若
2,0,
(),0
x e x f x a x x ⎧<=⎨
+>⎩为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0
(3)(3)
lim
2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D)1
2
3. (3分)定积分22
π
π-⎰的值为( ).
(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2
4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分)
1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为
23x 的曲线方程为 .
2. (3分) 1
241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. (3分) 20
1lim sin x x x
→= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 .
三、计算题(共42分) 1. (6分)求2
0ln(15)
lim
.sin 3x x x x →+
2. (6
分)设2,1
y x =+求.y '
3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +⎰
4. (6分)求3
(1),f x dx -⎰其中
,1,()1cos 1, 1.x x
x f x x
e x ⎧≤⎪
=+⎨⎪+>⎩
5. (6分)设函数()y f x =
由方程0
cos 0y x
t e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy
6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰
7. (6
分)求极限3lim 1.2n
n n →∞
⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
四、解答题(共28分)
1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x
2. (7分)求由曲线cos 2
2y x x π
π⎛⎫
=-
≤≤
⎪⎝⎭
与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.
4. (7
分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值.
五、证明题(6分)
设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明
1()[()()]()()().22b
b
a
a
b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰
⎰
(二)
一、 填空题(每小题3分,共18分) 1.设函数
()2
3122+--=x x x x f ,则1=x 是()x f 的第 类间断点.
2.函数()21ln x y +=,则='y
.
3. =⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+∞→x
x x x 21lim
.
4.曲线
x
y 1=
在点
⎪⎭
⎫ ⎝⎛2,21处的切线方程
为 . 5.函数
2
332x x y -=在[]4,1-上的最大值 ,最小
值 . 6.=+⎰
dx x x 2
1arctan . 二、 单项选择题(每小题4分,共20分) 1.数列{}n x 有界是它收敛的( ) .
() A 必要但非充分条件; () B 充分但非必要条件 ; () C 充分必要条件; () D 无关条件.
2.下列各式正确的是( ) .
() A C e dx e x x +=--⎰; () B C x
xdx +=⎰1
ln ; () C ()C x dx x +-=-⎰
21ln 2
1
211; () D C x dx x
x +=⎰
ln ln ln 1
. 3. 设()x f 在[]b a ,上,()0>'x f 且()0>''x f ,则曲线()x f y =在[]b a ,上.
() A 沿x 轴正向上升且为凹的; () B 沿x 轴正向下降且为
凹的;
() C 沿x 轴正向上升且为凸的; () D 沿x 轴正向下降且
为凸的.
4.设()x x x f ln =,则()x f 在0=x 处的导数( ).
() A 等于1; () B 等于1-; () C 等于0; () D 不存在.
5.已知()2lim 1=+
→x f x ,以下结论正确的是( ).
() A 函数在1=x 处有定义且()21=f ; () B 函数在1=x 处的某去
心邻域内有定义;
() C 函数在1=x 处的左侧某邻域内有定义;() D 函数在1=x 处的右
侧某邻域内有定义.
三、 计算(每小题6分,共36分) 1.求极限:x
x x 1sin lim 20→. 2. 已知()21ln x y +=,求y '. 3. 求函数x x y sin =()0>x 的导数.
4. ⎰+dx x x 2
2
1. 5. ⎰xdx x cos .
6.方程y
x
x y 11=确定函数()x f y =,求y '.
四、 (10分)已知2
x e 为()x f 的一个原函数,求()⎰dx x f x 2.
五、 (6分)求曲线x xe y -=的拐点及凹凸区间. 六、 (10分)设()()
C e x dx x f x
++='⎰1,求()x f .
(三)
一、填空题(本题共5小题,每小题4分,共20分).
(1) 2
1
0)
(cos lim x x x → e
1.
(2)曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为1-=x y . (3)已知x
x
xe
e
f -=')(,且0)1(=f , 则
=)(x f =)(x f 2
)(ln 21
x .
(4)曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为 .
91
31-=x y