有关球的高考题

1.(2014·陕西高考理科·T5)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为() A. B.4π C.2π D.

【解题指南】根据截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形,满足勾股定理,求出球的半径,代入球的体积公式求解.

【解析】选D.由正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,可设正四棱柱的上底所在截面圆的半径为R1,则+=1可得=;又侧棱长为,所以球心到截面圆的距离d=;由截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形,根据勾股定理得球半径R===1,代入球的体积公式得球的体积为.

2.(2016·全国卷Ⅱ文科·T4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()

π C.8π D.4π

A.12π

B.32

3

【解题指南】利用正方体的体对角线就是球的直径求解.

【解析】选A.因为正方体的体积为8,所以正方体的棱长为2,其体对角线长为23,所以正

3.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T9)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )

A.36π

B.64π

C.144π

D.256π

【解题指南】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积最大,利用V O-ABC=V C-AOB列出关于半径R的方程,求出球的半径,然后求出球的表面积.

【解析】选C.如图所示,当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时,三棱锥O-ABC 的体积最大,设球O 的半径为R,此时V O-ABC =V C-AOB =×R 2×R=R 3=36,故R=6,则球O 的表面积为

S=4πR 2=144π.

4.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T11)与(2016·全国卷3·理科·T10)相同在封闭的直三棱柱ABC-A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC,AB=6,BC=8,AA 1=3,则V 的最大值是 ( )

A.4π

B.9π2

C.6π

D.32π3

【解题指南】注意当球和直三棱柱的三个侧面内切时,球已不在直三棱柱内.

【解析】选B.当球的半径最大时,球的体积最大.在直三棱柱内,当球和三个侧面都相切时,因为AB ⊥BC,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面的内切圆的半径即为此时球的半径r=68102

+-=2,直径为4>侧棱.所以球的最大直径为3,半径为32,此时体积V=9π2. 3,所以球的表面积为4π·3)2=12π.

5.（2010·辽宁高考文科·Ｔ11）已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ，SA =AB =1，BC 2,则球O 的表面积等于（ ）

（A ）4π

(B ）3π (C)2π (D) π

【命题立意】本题考查了空间两点间距离公式和球的表面积公式.

【思路点拨】 【规范解答】选A.SA ⊥Q 平面ABC ，AB ，AC ⊂平面ABC ，SA AB ∴⊥，SA AC ⊥，

建立空间坐标系 设球心坐标 球的半径 球的表面积

故可以A 为原点，AC 所在的直线为y 轴，AS 所在的直线为z 轴建立如图所示的空间直 角坐标系A-xyz ，则(0,0,0)A ,63(,,0)33B ,(0,3,0)C ,(0,0,1)S ,设球心O 坐标为000(,,)x y z ，则点O 到各顶点S ，A ，B ，C 的距离相等，都等于球的半径R. 2222

00022220002222

0022220

0063()()(0)(0)(3)(0)(0)(0)(1)x y z R x y z R x y z R x y z R ⎧++=⎪⎪-+-+-=⎪∴⎨⎪-+-+-=⎪⎪-+-+-=⎩， 解得2000310,,,122

x y z R ====， ∴球的表面积为24414R πππ=⨯=.故选A.

【方法技巧】1.选用球心到各顶点的距离都相等来确定球心，才能求出半径，

2.也可用另外的方法找到球心，因为∠ABC 是直角，所以AC 是过A ，B ，

C 三点的小圆的直径，所以球心在过AC 和平面ABC 垂直的平面上，可

知球心在平面SAC 中，又因为球心到点

S ，A ，C 的距离都相等，且△SAC 是直角三角形，所以球心就是斜边

SC 的中点，球的半径为SC 的一半，

3.另外，可将三棱锥S-ABC 补成一个长方体进行求解.

6.（2010 ·海南宁夏高考·理科T10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）

（A ）2a π （B ）273a π （C ）2113

a π （D ）25a π 【命题立意】本小题主要考查了几何体的外接球问题.

【思路点拨】找出球与棱柱的相应关系，找出球的半径与三棱柱棱长之间的关系.

【规范解答】选Ｂ.设球心为O ，设正三棱柱上底面为ABC ∆，中心为O '，因为三棱柱所有棱的长为a ，则可知OO ' 2

a =，33O A a '=，又由球的相关性质可知，球的半径

2221R OO O A ''=+=，所以球的表面积为22743

R a ππ=，故选Ｂ. 7．（2011·辽宁高考文科·Ｔ10）已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC 的体积为（ ）

（A 3 (B)23 (C) 43 (D)53 【思路点拨】找到直径SC 的垂截面是解决本题的关键．

【精讲精析】选C ，设球心为O ，则BO AO ,是两个全等的等腰直角三角形斜边上的高，斜边4,=SC 故2==BO AO ，且有SC AO ⊥，SC BO ⊥． ∴)(3

1OC SO S V V V AOB AOB C AOB S ABC S +=+=∆---=3344243312=⨯⨯⨯． 8.（2011·辽宁高考理科·Ｔ12）已知球的直径SC =4，B A ,是该球球面上的两点，AB =3，︒=∠=∠30B SC ASC ，则棱锥ABC S -的体积为（ ）

（A ）33 （B ）32 （C ）3 （D ）1

【思路点拨】找到直径SC 的垂截面是解决本题的关键．

【精讲精析】选C.由题意可知SAC ∆和SBC ∆是两个全等的直角三角形，过直角顶点B A ,分别作斜边上的高线BH AH ,，由于︒=∠=∠30B SC ASC ，求得

3==BH AH ，所以等边ABH ∆的面积为2ABH 333S 3)44

∆=⨯=，所求棱锥ABC S -的体积等于以ABH ∆为底的两个小三棱锥的体积的和，其高的和即为球的直径SC 的长，故⨯=-3

1ABC S V 43334=⨯． 9.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为 4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==则棱锥O ABCD -的体积为 __ .

【思路点拨】画出图形，找出球心位置，然后数形结合求出棱锥O-ABCD 的 体积.

【精讲精析】 如图所示，OO '垂直于矩形ABCD 所在的平面，垂足为O '，