一元二次方程解法 复习课件
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一元二次方程复习课件
32 x X 2
32 x X 2
X 32-2X
一元二次方程解法的复习
例6、有一堆砖能砌12米长的围墙,现要围一个20
平方米的鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长7米),其余三
边用砖砌成,墙对面开一个1米宽的门,求鸡场的长
和宽各是多少米?
解：设鸡场的宽为x米，则长为（12+1-2x） =（13-2x）米，列方程得： X（13-2x）=20 解得：x1=4，x2=2.5 经检验：两根都符合题意 ∴13-2x=5或8 （舍去）
(4):主要用到的数学思想方法
分类讨论
知识聚焦
一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax 2
bx c 0a 0根的判式是:
b 4ac
2
一元二次方程
判别式的情况
ax bx c 0a 0
2
根的情况
定理与逆定理
b 2 4ac 0 两个不相等实根 b 2 4ac 0 两个相等实根 b 2 4ac 0 无实根(无解)
一:回顾与总结
在解答下列各小题过程中，回顾用到了哪些知识点？
① 只含有一个未知数
1:下列方程中,属于一元二次方程的是( c ) 3 (1):一元二次方程的三要素 ② 未知数的最高次数是2次 2 A : 2 x y 1 0 B : x 2x 1 0 ③ 两边是整式
1 C : x 2 x 3 0 D : 2 3x 2 0 3x
当方程中有括号时,思考方法是:
1:应先用整体思想考虑有没有简单方法; 2:若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理 为一般形式再选取合理的方法。
变式1: 2(x-2)2+5(2-x)-3=0 2-x 变式2:
32 x X 2
X 32-2X
一元二次方程解法的复习
例6、有一堆砖能砌12米长的围墙,现要围一个20
平方米的鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长7米),其余三
边用砖砌成,墙对面开一个1米宽的门,求鸡场的长
和宽各是多少米?
解：设鸡场的宽为x米，则长为（12+1-2x） =（13-2x）米，列方程得： X（13-2x）=20 解得：x1=4，x2=2.5 经检验：两根都符合题意 ∴13-2x=5或8 （舍去）
(4):主要用到的数学思想方法
分类讨论
知识聚焦
一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax 2
bx c 0a 0根的判式是:
b 4ac
2
一元二次方程
判别式的情况
ax bx c 0a 0
2
根的情况
定理与逆定理
b 2 4ac 0 两个不相等实根 b 2 4ac 0 两个相等实根 b 2 4ac 0 无实根(无解)
一:回顾与总结
在解答下列各小题过程中，回顾用到了哪些知识点？
① 只含有一个未知数
1:下列方程中,属于一元二次方程的是( c ) 3 (1):一元二次方程的三要素 ② 未知数的最高次数是2次 2 A : 2 x y 1 0 B : x 2x 1 0 ③ 两边是整式
1 C : x 2 x 3 0 D : 2 3x 2 0 3x
当方程中有括号时,思考方法是:
1:应先用整体思想考虑有没有简单方法; 2:若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理 为一般形式再选取合理的方法。
变式1: 2(x-2)2+5(2-x)-3=0 2-x 变式2:
一元二次方程-2023年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
典例精讲
一元二次方程的解法
知识点二
【例2】(1)一元二次方程x2-x=0的根是_x_1_=_0_,_x_2=_1__.
(2)已知等腰三角形的三边分别为a,b,4,且a,b是关于x的一元二次方程
x2-12x+m+2=0的两个根,则m的值为( A )
A.34 B.30 C.30或34 D.30或36
(1)x(x-1)=0,
一元二次方程的解法
解方程：
(1)2(x-3)=3x(x-3). x1=3，x2=2/3
(2)2x2-4x-1＝0.
x1
2 2
6 ，x2
2 2
6
(3)x2-4x+1=0(用配方法求解)； (4)x2-6x+9=(5-2x)2.
x1 2 3，x2 2 3
x1=2，x2=8/3
查漏补缺
当堂训练
根的判别式
b2 4ac 2a
(b2-4ac≥0)
步骤
①将方程化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②计算Δ；
③若Δ≥0,利用求根公式解方程；若Δ＜0,则原方程无解.
理论 若ab=0,则_a_=_0_或__b_=_0_. 因式分 ①利用因式分解把方程化为两个一次式的乘积等于0；
解法 步骤②使这两个一次式分别等于0,得两个一元一次方程； ③求出两个一元一次方程的解,即一元二次方程的解.
(2)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根x1,x2,则 D ()
A.x1+x2＜0 B.x1x2＜0 C.x1x2＞-1 D.x1x2＜1 (3)关于x的7一/4元二次方程x2-4x+m=0的两实数根分别为x1,x2,且x1+3x2=5, 则m的值是_____.
解一元二次方程市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
完全平方式:式子 a2±2ab+b2 叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
“配措施”解方程旳基本环节
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程旳右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数
二分之一旳平方;
4.变形:化成 ( x m)2 a
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
x a x1 a,x2 a
例1、x2－4=0
解：原方程可变形为
X2 = 4
∴ x1=-2 ,x2=2
例2、（3x -2）²- 49=0
解：移项，得：（3x-2）²=49
两边开平方，得：3x -2=±7
所以：x= 2 7
所以x1=3，
3
x2= -
5
3
归纳：直接开平措施旳 特点：
形如x2=a (a≥0)
x1 2 2 x2 2 2
用配措施解一般形式旳一元二次方程
ax2 bx c 0 (a≠0)
解: 把方程两边都除以 a
x2 b x c 0 aa
移项，得 配方，得
x2 b x c
a
a
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
因为a≠0,所以4 a2>0 b 式子 2 4ac的值有以下三种情况：
(1) b2
4ac
0,
这时
b2 4ac 4 a2
0
即
b
b2 4ac
x
2a
“配措施”解方程旳基本环节
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程旳右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数
二分之一旳平方;
4.变形:化成 ( x m)2 a
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
x a x1 a,x2 a
例1、x2－4=0
解：原方程可变形为
X2 = 4
∴ x1=-2 ,x2=2
例2、（3x -2）²- 49=0
解：移项，得：（3x-2）²=49
两边开平方，得：3x -2=±7
所以：x= 2 7
所以x1=3，
3
x2= -
5
3
归纳：直接开平措施旳 特点：
形如x2=a (a≥0)
x1 2 2 x2 2 2
用配措施解一般形式旳一元二次方程
ax2 bx c 0 (a≠0)
解: 把方程两边都除以 a
x2 b x c 0 aa
移项，得 配方，得
x2 b x c
a
a
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
因为a≠0,所以4 a2>0 b 式子 2 4ac的值有以下三种情况：
(1) b2
4ac
0,
这时
b2 4ac 4 a2
0
即
b
b2 4ac
x
2a
《解一元二次方程》一元二次方程PPT课件9
(3).横向写出两因式; (x+6)和(x-3)
例2把 x2 2x 15分解因式;
解: 原式 (x+3)(x-5)
x
3
x
-5
-5x+3x=-2x
例3把a2 7a 10分解因式;
解:原式= (a+5) (a+2)
a
5
a
2
5a+2a=7a
练习一选择题:
1. 分解a 2 a 12的结果为( B )
即x1 0，x2 1.
1.解下列方程： .
(2)x2 2 3x 0, 提公因式x(x 2 3) 0， 所以有x 0或x 2 3 0， 即x1 0，x2 2 3.
(3)3x2 6x 3, 移项，得：3x2 6x 3 0， 提公因式得：3(x2 2x 1) 0， 所以3(x 1)2 0， 有(x 1)2 0， 所以x1 x2 1.
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法:
x2=a (a≥0)或 （mx+n)2=a (a≥0)
(2)配方法: (x+h)2=k (k≥0)
(3)公式法: x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
我思 我进步
分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
A. (a - 3)(a 4); B. a 3a 4; C. a 6a 2; D. a 6a 2;
2. 分解x 2 2x 8的结果为 ( A )
A. a 4a 2; B. a 4a 2; C. a 4a 2; D. a - 4a 2;
3. 若 多项项M分解的因式是(x - 2)(x - 3),则M是(C)
例2把 x2 2x 15分解因式;
解: 原式 (x+3)(x-5)
x
3
x
-5
-5x+3x=-2x
例3把a2 7a 10分解因式;
解:原式= (a+5) (a+2)
a
5
a
2
5a+2a=7a
练习一选择题:
1. 分解a 2 a 12的结果为( B )
即x1 0，x2 1.
1.解下列方程： .
(2)x2 2 3x 0, 提公因式x(x 2 3) 0， 所以有x 0或x 2 3 0， 即x1 0，x2 2 3.
(3)3x2 6x 3, 移项，得：3x2 6x 3 0， 提公因式得：3(x2 2x 1) 0， 所以3(x 1)2 0， 有(x 1)2 0， 所以x1 x2 1.
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法:
x2=a (a≥0)或 （mx+n)2=a (a≥0)
(2)配方法: (x+h)2=k (k≥0)
(3)公式法: x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
我思 我进步
分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
A. (a - 3)(a 4); B. a 3a 4; C. a 6a 2; D. a 6a 2;
2. 分解x 2 2x 8的结果为 ( A )
A. a 4a 2; B. a 4a 2; C. a 4a 2; D. a - 4a 2;
3. 若 多项项M分解的因式是(x - 2)(x - 3),则M是(C)
中考复习：一元二次方程及解法复习(课件)
3、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于 x的一元二次方程，则 （ C ）
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
4、判断下列方程是不是一元二次方程
1 （1）4x- x² + 2
3 =0
是
（3）ax² +ｂx+c=0
不一定
（2）3x² - y -1=0 不是 1 不是 （4）x + =0 x
2 2 2
2
2
(×) (√ ) (×) (× ) (×) (√ )
(5) x 1 3
2
(6) y 0
y 4 2
2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一 2 2x -3x-1=0 其二次项 般形式是：___________, -3 常数 系数是____, 2 一次项系数是____, -1 项是____.
3x2=4x+7
解:移项,得: 3x2-4x-7=0 a=3 b=-4 c=-7 ∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-7)=100＞0
4 ± 100 2± 5 x = = ∴ 6 3 ∴x1= 4 x2 = -
先变为一般 形式，代入 时注意符号。
8 3
4、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2）
3x² -1=0 3x(x-2)=2(x-2)
例:解下列方程
１、用直接开平方法：(x+2)2=９
解:两边开平方,得: x+2= ±3
∴ x=-2±3
右边开平方 后，根号前 取“±”。
∴ x1=1, x2=-5
2、用配方法解方程4x2-8x-5=0
两边加上“一次项” 系数一半的平方。
一元二次方程所有知识点总结复习 ppt课件
2020/10/22
一元二次方程所有知识点总结复习
4
探究交流
❖ （1）判断方程X（X＋10）=X2－3是否是一元 二次方程？
❖ （2）方程3 X2＋2X=1的常数项是1，方程 3 X2－2X＋6=0的一次项系数是2，这种说法对 吗？
答案：（1）化简后为10X＋3=0,所以它是一元一次方程。
（2）要将一元二次方程化为一般形式，且系数包括它前 面的性质符号。
21 . 3
18
2x225.
解：系数化1，得 x 22 5,
2
开平方，得
x2
5.
2
x 2 10 或 x 2 10 .
2
2
解这两个一元一次方程，得
2020/10/22
x 102,x 102
2
2
一元二次方程所有知识点总结复习
20
解下列方程：
小结
(1 ) ( x 1 ) 2 4 (2) 1 (y 2)2 3 0
2020/10/22
一元二次方程所有知识点总结复习
5
练习：
（1）方程（m＋2）X|m|＋3mx＋1=0是关于X 的一元二次方程，求m的值。 答案：m=2
（2）当m=
时，方程（m2－1）x2－（m
－1）x＋1=0是关于x的一元一次方程。 答案：m=－1
（3）已知关于x的一元二次方程（m－1） x2＋ 3x＋㎡－1=0有一个解是0，求m的值。答案：m=－1
13
一元二次方程的解法(1) ----开平方法
2020/10/22
一元二次方程所有知识点总结复习
14
问题1：
一桶某种油漆可刷的面的为1500dm2，李林用这
桶油漆恰好刷好完10个同样的正方体形状的盒
苏科初中九年级上册数学《一元二次方程的解法》PPT课件 (9)
x 4 5.
4.求解:用直接开平方法解方程;
133 x1 3 , x2 3.
1、解方程 2x2 5x 2 0
2、解方程4x 1 3x2 3、解方程： 2x2 3 7x.
开启 智慧
做一做
你能行吗
1、一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中
的高度h(m)与时间t(s)满足关系:
独立作业
知识的升华
2.如图,在一块长35m,宽26m矩形地面上,修建同样宽的 两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,在使剩余部分 的面积为850m2,道路的宽应是多少？
解：设道路的宽为 x m，根据题意得
35m
(35-x) (26-x) ＝850.
化简:x2 - 61x+60 ＝0 26m
解这个方程,得
h=15t-5t2 .
小球何时能达到10m的高度?
解 : 根据题意得
t3 1.
10 15t 5t2. 即t2 3t 2.
t
2
3
21
.
22
t2
3t
3
2
2
3
2
.
t1 2, t2 1.
2
2
t
3
2
1
.
2 4
答 : 在1s时,小球达到10m;至最高点 后下落, 在2s时, 其高度又为10m.
6. 2x2 +6=7x ;
3. 2x2 + x – 6 = 0 ;
7. x2 – x +56 = 0 ;
4. 4x2+4x+10 =1-8x . 8. -3x2+22x-24=0.
独立 作业
知识的升华
根据题意，列出方程：
第1讲一元二次方程的概念与解法-2021届九年级数学中考一轮复习课件
知识点点解读
3 公式法
用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一般方法
一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式：x= - b b2 - 4ac
公式法的一般步骤
2a
①指出方程中a，b，c的值
②求出b²-4ac的值
③若b²-4ac≥0.则用求根公式求解，若b²-4ac＜0，则方程无解
4 因式分解法 一般步骤：①使方程的右边化为0 ②使方程左边化为两个一次因式的积 ③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，然后解这个一元一次方程，求这个方 程的解
解：（1）方程x2﹣8x+15＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x﹣5）＝0， 可得x﹣3＝0或x﹣5＝0， 解得：x1＝3，x2＝5；
（2）方程x2﹣x﹣20＝0， 分解因式得：（x﹣5）（x+4）＝0， 可得x﹣5＝0或x+4＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣4；
经典例题
考点7 用公式法解一元二次方程
一元二次方程的解法（1） 中考一轮复习课件
教学目标
1 一元二次方程的概念 2一元二次方程的一般式 3一元二次方程解的问题 4直接开平方法解一元二次方程 5配方法解一元二次方程 6 因式分解法解一元二次方程 7公式法解一元二次方程
知识点解读
1 一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 2的整式方程 2 一元二次方程的一般情势：形如ax²+bx+c=0，其中a不为0，b，c可以 为0，a为二次项系数，ax²为二次项，bx为一次项，b为一次项系数，c为 常数项 3 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就一元二次 方程的解 4一元二次方程解法①直接开平方法 ②配方法 ③公式法 ④因式分解法
专题08 一元二次方程(课件)-2023年中考数学一轮复习(全国通用)
一元二次 了解一元二次方程根的判别式， 常以选择题、填空题的形式考查一元二
2 方程根的 会用根的判别式判断一元二次 次方程根的判别式，部分地市以探究题
判别式 方程根的情况．
的形式考查．
中考命题说明
考点
课标要求
考查角度
①能够根据具体问题中的数量关系，列 常以选择题、填空题的形式考
一元二 出方程解决实际问题，体会方程是刻画 查一元二次方程的列法，以列
【分析】A、是一元二次方程，故本选项符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、化简后为–1= x+1，是一元一次方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意， 故选A． 【答案】A.
知识点1：一元二次方程及有关概念
典型例题
知识点1：一元二次方程及有关概念
典型例题
【例3】（4分）（2021•广东14/25）若一元二次方程x2+bx+c=0（b，c为常数）
的两根x1，x2满足-3＜x1＜-1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为
．
【考点】一元二次方程的定义． 【分析】根据一元二次方程的定义解决问题即可，注意答案不唯一． 【解答】解：∵若一元二次方程x2+bx+c=0（b，c为常数）的两根x1，x2满足 -3＜x1＜-1，1＜x2＜3， ∴满足条件的方程可以为：x2-2=0（答案不唯一）， 故答案为：x2-2=0（答案不唯一）．
知识点2：一元二次方程的解法
典型例题
【例6】（2022•雅安）若关于x的一元二次方程x2＋6x＋c＝0配方后得到方程
(x＋3)2＝2c，则c的值为（ ）
A．－3
B．0
一元二次方程课件ppt
• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x） （•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
方程
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2 x 3 0 2
1
－3
3x2 5 0
3
0
－5
x2 3x 0 1
－3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
解一元二次方程PPT课件
2、 6t2 -5 =13t
例4
解方程：
x 3 2 3x
2
2
解： 原方程化为：x 2 2 3x 3 0
a 1, b 2 3, c 3
2
x1 x2 0
结论：当 相等的实数根.
2 3 0 2 3 x 3 2 1 2
b 2 4ac 0
2
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
当 b 4ac >0 时，方程有两个不同的根 2 当 b 4ac =0 时，方程有两个相同的根 当 b 2 4ac <0 时，方程无实数根
2
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
解：移项，得 x2+4x-2=0
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 . b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24 . 4 24 4 2 6 x= = 2 1 = 2. 即 x1 = 2 6 , x2 = 2 6 .
练习:
用公式法解下列方程：
1、x2 +2x =5
2
2
即
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
4ac b (1) b 4ac 0, 这时 0 4a
即
此时，方程有两个不等的实数根
b b2 4ac x 2a 2a
完全平方公式？
配方法
我们通过配成完全平方式 （x n） a(a 0) ， 然后直接开平方，得到了一元二次方程的根,这种解 一元二次方程的方法称为配方法
人教版数学九上解一元二次方程——公式法课件
的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数
项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情
况呢？
探究新知
【思考】不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0
⑵ x2 = 4x－4
⑶ x2－3x = －3
答案：（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根.
方法点拨
（1）当 △ b 4ac＞0时，一元二次方程有两个不
相等的实数根.
2
（2）当 △ b 4ac 0时，一元二次方程有两个相
2
等的实数根.
（3）当 △ b 2 4ac＜0 时，一元二次方程没有实
数根.
探究新知
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般情势，并写出a，b，c 的值.
46
2a
25
10
46
46
1
1, x2
10
10
5
探究新知
（4）x2+17=8x
解：原方程可化为x 2 8 x 17 0
a 1, b 8, c 17
△ b 2 4ac (8) 2 4 1 17 4＜0
方程无实数根.
探究新知
探究新知
（2）2x2-2 2 x+1=0；
【思考】这里的a、b、c的值分别是什么？
解： a 2, b 2 2, c 1
△ b 2 4ac ( 2 2 ) 2 4 2 1 0
则方程有两个相等的实数根：
x1 x2
b
2 2
2
项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情
况呢？
探究新知
【思考】不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0
⑵ x2 = 4x－4
⑶ x2－3x = －3
答案：（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根.
方法点拨
（1）当 △ b 4ac＞0时，一元二次方程有两个不
相等的实数根.
2
（2）当 △ b 4ac 0时，一元二次方程有两个相
2
等的实数根.
（3）当 △ b 2 4ac＜0 时，一元二次方程没有实
数根.
探究新知
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般情势，并写出a，b，c 的值.
46
2a
25
10
46
46
1
1, x2
10
10
5
探究新知
（4）x2+17=8x
解：原方程可化为x 2 8 x 17 0
a 1, b 8, c 17
△ b 2 4ac (8) 2 4 1 17 4＜0
方程无实数根.
探究新知
探究新知
（2）2x2-2 2 x+1=0；
【思考】这里的a、b、c的值分别是什么？
解： a 2, b 2 2, c 1
△ b 2 4ac ( 2 2 ) 2 4 2 1 0
则方程有两个相等的实数根：
x1 x2
b
2 2
2
《解一元二次方程公式法》PPT课件
第二十四章 解一元二次方程
24.2 解一元二次方程
第3课时 因式分解法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.回顾因式分解的相关知识. 2.学会用因式分解法解一元二次方程. (重点、难点)
导入新课
观察与思考
问题 一元二次方程的一般式是怎样的？常用的求一元二次 方程的解的方法有哪些？
ax2 bx c 0（a≠0）
24．2 解一元二次方程 公式法
12．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是2x2－8x＋7＝
0的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长是( B )
A. 3 B．3 C．6
D．9
13．已知x＝1是方程x2＋bx－2＝0的一个根，则方程的另一个根
是( C )
A．1 B．2 C．－2 D．－1
24．2 解一元二次方程 公式法
适合运用公式法 ① ⑦ ⑧
；
适合运用配方法 ④
.
2.解下列一元二次方程： （1）（x－5) (3x－2)=10; (2) (3x－4)2=(4x－3)2.
解： (1) 化简方程，得 3x2－17x=0.
将方程的左边分解因式，得 x(3x－17)=0,
∴x=0 或3x－17=0
解得
x1=0,
x2=
17 3
则x=0,或x-3=0,解得x1=0，x2=3.
(2)同上可得x1=0.8，x2=-0.8. 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式 分解法.
归纳 因式分解法的基本步骤是： 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零； 将方程的左边分解因式； 根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两 个一元一次方程.
一元二次方程的解法—公式法ppt课件
k≠0
k≠0
归纳 当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项 系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围.
【变式题】删除限制条件“二次”
若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是
( A)
A. k≥ −1
B. k≥ −1且 k≠0
C. k < 1
D. k < 1 且 k≠0
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
学习目标
1. 了解求根公式的推导过程；（难点） 2. 掌握用公式法解一元二次方程；(重点） 3. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
知识回顾
用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
一“化”：将方程化为一般形式，且把二次项系数化为1； 二“移”：将常数项移到方程的右边； 三“配”：方程方左程边两配边成同完时全加平上方一的次形项式系；数一半的平方，将
练一练
不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+x－1=0；
（2）2x2+6=3x;
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：
将方程整理 为一般形式 ax2+bx+c=0
Δ= b2 − 4ac > 0 Δ= b2 − 4ac = 0 Δ= b2 − 4ac < 0
有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
Δ= b2－4ac = (− )2－4×2×1 = 0. 方程有两个相等的实数根
x1 = x2
(3) 5x2－3x = x + 1； 解：方程化为 5x2－4x－1 = 0.
±-
a = 5，b = －4，c = －1. Δ= b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0.
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b b2 4ac x
2a 2 4
2 x1 1，x2 3
2 16 2 1
公式法
x2 3 2 3x
x2 2 3x 3 0
a 1，b 2 3，c 3
b2 4ac (2 3)2 4 1 3 0
x b
5.开平方，求解
★一化、二移、三配、四化、五解.
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0 ③ -3t2+t=0 ④ x2-4x=2 ⑤ 2x2－x=0 ⑥ 5(m+2)2=8 ⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2) 适合运用直接开平方法 ②、；⑥ 适合运用因式分解法 ③、；⑤、⑨ 适合运用公式法 ①、；⑦ 适合运用配方法 ④、.⑧
3x 4 4x 3 3x 4 (4x 3) x1 1，x2 1
直接开平方法
方程的左边是完全平方式,右边是非 负数;即形如x2=a(a≥0)
x1 a,x2 a
分解因式法
3x(x 2) 5(x 2) x(x 2) 1 16(2x 1)2 25(x 2)2
你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
直接开平方法
(3x 2)2 49 0
解：(3x 2)2 49
3x 2 7
3x 2 7，3x 2 7
x1
3，x2
5 3
(3x 4)2 (4x 3)2 解： 3x 4 (4x 3)
ax2+bx=0 ===> 因式分解法
ax2+bx+c=0 ===>
因式分解法 公式法（配方法）
2、先考虑开平方法, 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法;
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有 简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括 号并整理为一般形式再选x 2) 5(x 2)
解：3x(x 2) 5(x 2) 0
(3x 5)(x 2) 0
3x 5 0或x 2 0
x1
5 3
x2 2
x(x 2) 1
解：x2 2x 1 0
(x 1)2 0
x1 x2 1
b2 4ac 2a
(2 3) 2 1
0
3
x1 x2 3
公式法
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
x b
b2 2a
4
a
c
.b2
4
a
c
0
.
配方法
x2 6x 7 0
9 17 4
(9) 17 22
x1
9 4 17 ，x2
9 17 4
公式法
(x 1)(x 1) 2(x 3) 8
x2 2x 3 0 a 1，b 2，c 3 b2 4ac 22 4 1 (3) 16 0
公式法
2x2 9x 8 0 (x 1)(x 1) 2(x 3) 8 x2 3 2 3x
公式法
2x2 9x 8 0
a 2，b 9，c 8
b2 4ac (9)2 4 2 8 17 0
x b b2 4ac 2a
选择适当的方法解下列方程:
1
1 2
6 5
x2
1
25x2 2x
33x2 1 4x
4(x 2)2 9x2
5x(3x 7) 2x
6 x (
2
x
7
)
49 8
7(2x1)2 (3x1)2 8(x1)(x1) 2 2x
小结
1、 ax2+c=0 ===> 直接开平方法
分解因式法
16(2x 1)2 25(x 2)2
解：4(2x 1)2 5(x 2)2 0
(8x 4) (5x 10)(8x 4) (5x 10) 0
(13x 14)(3x 6) 0
x1
14 13
，x2
2
分解因式法
因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
解：x2 6x 7
x2 6x 9 7 9
x 32 16
x 3 4
x1 1
x2 7
配方法
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数
一半的平方;
4.变形:化成 ( x + m ) 2 = a