10.1 向量场的概念
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10.1 向量场
例如， 例如，位于原点且电量 为 q 的点电荷产生的静电场 为 r r r r r q q E ( x, y, z ) = { xi + yj + zk ). r3 r = 3 4πε o r 4πε o ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2
是真空中的介电常数. （其中 ε o 是真空中的介电常数.）
−8 −4 0 4 8
− 12
80
70
60 50
等高线
等温线
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10.1 向量场
称为等值线 等值线。 若平面数量场为 v = v( x, y) ，则 v( x, y) = C 称为等值线。 平面数量场为
例如: 例如: 平面数量场 v = x 2 + y 2 的等值线为 x 2 + y 2 = C ， 这是一组同心圆。 这是一组同心圆。
若空间数量场为 u = u( x, y, z ) ，则 u( x, y, z ) = C 称为等值面。 称为等值面 等值面。 空间数量场为
例如: 例如: 空间数量场 u = x + y + z 的等值面为 x + y + z = C ， 这是一组平行平面。 这是一组平行平面。
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10.1 向量场
2．向量场的向量线
向量场的向量线
C
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10.1 向量场
下面来导出向量线的方程。 下面来导出向量线的方程。
设向量场为 r r A( M ) = A( x , y , z பைடு நூலகம் = { P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )}
M ( x , y , z ) 为向量线 C 上的任一点，则向量线 C 在点 M 上的任一点，
r 向量场： 向量场：A( M ) = A( x, y, z) = {P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)} M( x, y, z) ∈ Ω.
连续， 若在域 Ω中，函数 P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) 连续，则称 r 向量场 A 或 向量值函数 A( x, y, z) = {P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)} 是连续的。 连续的。
解此微分方程组可得向量线的方程。 解此微分方程组可得向量线的方程。
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10.1 向量场
r r r 平面向量场 例 1．求平面向量场 A = − yi + xj 的向量线。 r q r r 的向量线。 的向量线。 例 2．求静力场 E = 3 4πε 0 r
dx dy dz dx dy dz 由 = = 得 = = ， P( x, y, z) Q( x, y, z) R( x, y, z) x y z
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10.1 向量场
三、 向量线
1．数量场的等值面（或等值线） 数量场的等值面（或等值线）
数量场的常用直观表示法是等值面（或等值线） 。例如在 数量场的常用直观表示法是等值面（或等值线） 例如在 。 地形图上常用等高线表示地形高度。 地形图上常用等高线表示地形高度。又如在气象中常用等温 线表示温度场。 线表示温度场。
10.1
向量场
10.1 向量场
某种物理量在空间（平面）区域内分布称为“ 。 某种物理量在空间（平面）区域内分布称为“场”
一、场的分类
1．数量场和向量场 ．
按照某种物理量是数量或是向量，将其场称为数量场或向量场。 按照某种物理量是数量或是向量，将其场称为数量场或向量场。
2．稳定场和非稳定场
如果场中的物理量仅随位置变化，而不随时间变化， 如果场中的物理量仅随位置变化，而不随时间变化，这种 场中的物理量仅随位置变化 场称为稳定场（ 定常场） 如果是随时间变化的， ，如果是随时间变化的 场称为稳定场（或定常场） 如果是随时间变化的，则称为 稳定场 ， 非稳定场（ 非定常场） 。 非稳定场（或非定常场）
通常用向量线直观地表示向量场。 通常用向量线直观地表示向量场。
每一点处， 定义 若曲线 C 上每一点处，向量场的向量都位于 C 在该点 的切线上， 为这个向量场的向量线 向量线。 的切线上，则曲线 C 称为这个向量场的向量线。
比如静电场中的电力线， 比如静电场中的电力线， 磁场中的磁力线， 磁场中的磁力线，流速场 中的流线都是向量线。 中的流线都是向量线。
的切线向量为 {dx , dy , dz } ， 它必与在点 M 的场向量 r A = {P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R( x , y , z )}共线， 共线，
dx dy dz = = ， 故有 P ( x , y , z ) Q ( x , y , z ) R( x , y , z )
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10.1 向量场
二、场的表示
场量在区域（场域） 场量在区域（场域）内的分布可以用定义在该区域内的 一个函数来描述，给定了一个函数（场函数） ，就相当于给 一个函数来描述，给定了一个函数（场函数） 就相当于给 ， 定了一个场。 定了一个场。
数量场： 数量场： u( M) = u( x, y, z), M( x, y, z) ∈ Ω
y = C1 x 解此方程组得 ， z = C2 x
它表示过原点 (0, 0, 0) ， 方向向量 {1, C1 , C2 } 是任意的
z
o x
y
直线族。这些线称为电力线。 直线族。这些线称为电力线。点电荷所产生的静电场的向量线
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10.1 向量场
例如， 例如，位于原点且电量 为 q 的点电荷产生的静电场 为 r r r r r q q E ( x, y, z ) = { xi + yj + zk ). r3 r = 3 4πε o r 4πε o ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2
是真空中的介电常数. （其中 ε o 是真空中的介电常数.）
−8 −4 0 4 8
− 12
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70
60 50
等高线
等温线
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10.1 向量场
称为等值线 等值线。 若平面数量场为 v = v( x, y) ，则 v( x, y) = C 称为等值线。 平面数量场为
例如: 例如: 平面数量场 v = x 2 + y 2 的等值线为 x 2 + y 2 = C ， 这是一组同心圆。 这是一组同心圆。
若空间数量场为 u = u( x, y, z ) ，则 u( x, y, z ) = C 称为等值面。 称为等值面 等值面。 空间数量场为
例如: 例如: 空间数量场 u = x + y + z 的等值面为 x + y + z = C ， 这是一组平行平面。 这是一组平行平面。
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2．向量场的向量线
向量场的向量线
C
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下面来导出向量线的方程。 下面来导出向量线的方程。
设向量场为 r r A( M ) = A( x , y , z பைடு நூலகம் = { P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )}
M ( x , y , z ) 为向量线 C 上的任一点，则向量线 C 在点 M 上的任一点，
r 向量场： 向量场：A( M ) = A( x, y, z) = {P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)} M( x, y, z) ∈ Ω.
连续， 若在域 Ω中，函数 P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) 连续，则称 r 向量场 A 或 向量值函数 A( x, y, z) = {P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)} 是连续的。 连续的。
解此微分方程组可得向量线的方程。 解此微分方程组可得向量线的方程。
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10.1 向量场
r r r 平面向量场 例 1．求平面向量场 A = − yi + xj 的向量线。 r q r r 的向量线。 的向量线。 例 2．求静力场 E = 3 4πε 0 r
dx dy dz dx dy dz 由 = = 得 = = ， P( x, y, z) Q( x, y, z) R( x, y, z) x y z
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三、 向量线
1．数量场的等值面（或等值线） 数量场的等值面（或等值线）
数量场的常用直观表示法是等值面（或等值线） 。例如在 数量场的常用直观表示法是等值面（或等值线） 例如在 。 地形图上常用等高线表示地形高度。 地形图上常用等高线表示地形高度。又如在气象中常用等温 线表示温度场。 线表示温度场。
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向量场
10.1 向量场
某种物理量在空间（平面）区域内分布称为“ 。 某种物理量在空间（平面）区域内分布称为“场”
一、场的分类
1．数量场和向量场 ．
按照某种物理量是数量或是向量，将其场称为数量场或向量场。 按照某种物理量是数量或是向量，将其场称为数量场或向量场。
2．稳定场和非稳定场
如果场中的物理量仅随位置变化，而不随时间变化， 如果场中的物理量仅随位置变化，而不随时间变化，这种 场中的物理量仅随位置变化 场称为稳定场（ 定常场） 如果是随时间变化的， ，如果是随时间变化的 场称为稳定场（或定常场） 如果是随时间变化的，则称为 稳定场 ， 非稳定场（ 非定常场） 。 非稳定场（或非定常场）
通常用向量线直观地表示向量场。 通常用向量线直观地表示向量场。
每一点处， 定义 若曲线 C 上每一点处，向量场的向量都位于 C 在该点 的切线上， 为这个向量场的向量线 向量线。 的切线上，则曲线 C 称为这个向量场的向量线。
比如静电场中的电力线， 比如静电场中的电力线， 磁场中的磁力线， 磁场中的磁力线，流速场 中的流线都是向量线。 中的流线都是向量线。
的切线向量为 {dx , dy , dz } ， 它必与在点 M 的场向量 r A = {P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R( x , y , z )}共线， 共线，
dx dy dz = = ， 故有 P ( x , y , z ) Q ( x , y , z ) R( x , y , z )
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10.1 向量场
二、场的表示
场量在区域（场域） 场量在区域（场域）内的分布可以用定义在该区域内的 一个函数来描述，给定了一个函数（场函数） ，就相当于给 一个函数来描述，给定了一个函数（场函数） 就相当于给 ， 定了一个场。 定了一个场。
数量场： 数量场： u( M) = u( x, y, z), M( x, y, z) ∈ Ω
y = C1 x 解此方程组得 ， z = C2 x
它表示过原点 (0, 0, 0) ， 方向向量 {1, C1 , C2 } 是任意的
z
o x
y
直线族。这些线称为电力线。 直线族。这些线称为电力线。点电荷所产生的静电场的向量线
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