初中数学规律探究题的解题方法

初中数学规律探究题的

解题方法

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初中数学规律探究题的解法指导

一、数式规律探究

1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。

2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。

正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…

3.熟记常见的规律

① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……

(1)

2

n n+

③ 1、3、7、15……2n -1 ④ 1+2+3+4+…n=

(1)

2

n n+

⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 ⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)

⑦ 12+22+32….+n2=1

6

n(n+1)(2n+1) ⑧ 13+23+33….+n3=

1

4

n2(n+1）（...... 2n

数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：3.观察法

例1.观察下列等式：①1×1

2

=1-

1

2

②2×

2

3

=2-

2

3

③3×

3

4

=3-

3

4

④4×4

5

=4-

4

5

……猜想第几个等式为（用含n的式子表示）

分析：将等式竖排：

①1×1

2

=1-

1

2

观察相应位置上变化的数字与序列号

②②2×2

3

=2-

2

3

的对应关系（注意分清正整数的奇偶）

③3×3

4

=3-

3

4

易观察出结果为：

③4×4

5

=4-

4

5

例2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么32009的个位数字

是。

3200 的个位数字是。

分析：这类问题，主要是通过观察末位数字，找出其循环节共几位，然后用指数除以循环节的位数，结果余几，就和第几个数的末位数字相同，易得出本题结果为：

4.作差法

例3.将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成更小的正三角形…，如此继续下去，结果如下表：

则a

n

= （用含n的代数式表示）

分析：对结果数据做求差处理（相邻两数求差，大数减小数）

例4.有一组数：1、2、5、10、17、26……请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为。

尝试练习：

1.观察下列等式：1×3=12+2×1；

2×4=22+2×2；3×5=3

2+2×3……请将

你猜想到的规律用含自然数n(n≥

1)的代数式表示出来：。

2.观察下列各式：

2

1

×2=

2

1

+2；

3

2

×3=

3

2

+3；

4

3

×4=

4

3

+4；

5

4

×5=

5

4

+5……

设n为正整数，用关于n的等式表示这个规律为。

3.

正整数n(n≥1)的代数式表示出来为。

4.已知：2+

2

3

=22×

2

3

；3+

3

8

=32×

3

8

；4+

4

15

=42×

4

15

；5+

5

24

=52×

5

24

…，若

10+

b

a

=102×

b

a

符合前面式子的规律，则a+b= 。

5.已知下列等式：①13=12；②13+23=32；③13+23+33=62；④13+23+33+43=102…由此规律可推出

第n

等式：。

二、图形规律探究

解决思路有两种：一种是数图形，将图形转化为数字规律，用作差法看能否解决

另一种在过程中找规律（图形的构成或者是作差法的过程）例5．如图，由若干火柴棒摆成的正方形，第①图用了4根火柴，第②图用了7根火柴棒，第③图用了10根火柴棒，依次类推，第⑩图用

根火柴棒，摆第n个图时，要用根火柴棒。

例6．按如下规律摆放三角形：则第④堆三角形的个数为；第（n）堆三角形的个数为。

△△△

△△

△

（1）（2）（3）

△△△ △ △ △△△△△ △

△△△△△△△

① ② ③ 尝试练习：

1.如图7－①，图7－②，图7－③，图7－④，，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”

字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________

2．观察图中每一个大三角形中白色三角形的排

列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 ．

3．图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍

的根数为s ，则s ＝ ． （用n 的代数式表示s ） 4．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n 的代数式表示）． 5．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．

三、课外拓展： 1.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……那么32008的个位数字是 。

2.观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2041……由此可判断7100的个位数字是 。

3.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，36

32……中得到巴尔末公式，从而打开了光

谱奥妙的大门，按此规律第七个数据是 。

4.已知a 1=1123⨯⨯+12=23，a 2=1234⨯⨯+13=38，a 3=1345⨯⨯+14=4

15……按此规律，则a 99= 。

5.已知112⨯=1-12，123⨯=12-13，134⨯=13-14……，则112⨯+123⨯+1

34⨯+

…+

1(1)n n += ；用相同思路探究：113⨯+135⨯+1

57

⨯…+1(21)(21)n n -+= 。

6．如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n 幅图中共有 个．

7．如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由

1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个第1个

第2个

第3个

… … 第1幅 第2幅 第3幅 第n

幅 图5

…

n =n =n =

（（（