第六章-环与域.
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(b－c)· a＝(b＋(－c))· a＝b· a ＋(－c)· a ＝b· a－c· a。
定义: 给定环<S，＋，· >，则 (1)若<S，· >是可交换半群，称<S，＋，· >是可交换环。 (2)若<S，· >是独异点，称<S，＋，· >是含幺环。 (3)若<S，· >满足幂等律，称<S，＋，· >是布尔环。
定义： 设<T，＋，· >为<S，＋，· >的子环，若对于T中
任何元t和S中任何元a，有a· t∈T且t· a∈T，则称<T，＋，· > 为环<S，＋，· >的理想。 定理：给定环<S，＋，· >，T是S的非空子集，则<T， ＋，· >为环<S，＋，· >的理想对任意的t、t∈T及a∈S，有
解： (1)不是整环也不是域,因为乘法幺元 是1,1S. (2)不是整环也不是域,因为S不是环, 普通加法的幺元是0,0S, (3)S不是环,因为除0以外任何正整数 x的加法逆元是一x,而一xS当然也 不 (4)是整环和域.
环与域
定理：设 R 是一个无零因子的有限环，且 |R|》2 ， 则R必为除环 • 因为群<R-{0},· > 有幺, 可交换, 且无零因子 (群有消 去律,由前面定理知:有消去律无零因子)。 推论 有限整环必定是域。 推论：设P为素数，则<Zp ,+p,*p>为域
1 a 设F是一个域，a, b属于F,若b 0,则可将b－1写成 , b－1a写成 , 在这种记号下 b b 以下性质成立： a c b d a c ad bc （2)设b 0, d 0,则 ＝ b d bd a c ac (3)设b 0, d 0,则 b d bd a c ad (4)设b 0, c 0, d 0,则 / b d bc (1)设b 0, d 0,则ad=bc
环与域
环
如果满足以下条件 (1)<S，＋>是交换群。 (2)<S，· >是半群。
Fra Baidu bibliotek
定义:给定代数系统<S，＋，· >，其中＋和· 都是二元运算，
(3)· 对＋是可分配的。
则称<S，＋，· >是一个环。 通常将＋称为环中的加法运算，· 称为环中的乘法运算。 加法群中的幺元用0表示，a的加法逆元用－a表示。若<S，· > 中存在幺元，用1表示，若a的乘法逆元存在，则用a－1表示。
商环与理想 定义： 设<S，＋，· >是环，T是S的非空子集。若T关于＋ 和· 运算也构成环，则称<T，＋，· >为<S，＋，· >的子环。 例:整数环Z、有理数环Q都是实数环R的子环。｛0｝和R
也是实数环R的子环，称为平凡子环。
定理：(子环判定定理)设<S，＋，· >是环，T是S的非空子 集。若对任意的a、b∈T，有a－b∈T且a· b∈T，则<T，＋，· > 是<S，＋，· >的子环。 例：偶数环2Z 是整数环Z的子环
例1 (1)整数集、有理数集和实数集关于普通的加法和乘法构
成环，分别称为整数环Z、有理数环Q和实数环R。
(2)系数属于实数的所有多项式组成的集合记为R[x]，那么 R[x]关于多项式的加法与乘法构成环。 (3)元素属于实数的所有n阶矩阵组成的集合关于矩阵的加 法与乘法构成环。
(4)模m的剩余类集合Zm，对于模m的剩余类加法＋m和乘法
(2)因为a· b＋a· (－b)＝a· (b＋(－b))＝a· 0＝0，所以－(a· b)
＝a· (－b)。同理可证－(a· b)＝(－a)· b。
(3) (－a)· (－b)＝－(a· (－b))＝－(－(a· b))＝a· b
（4)a· (b－c)＝a· (b＋(－c))＝a· b＋a· (－c)＝a· b－a· c。
n i 1 m
bn ) ab 1
n m
abn bn a
bn ) a ba1
j 1 i 1 j 1
6. ai bi ai b j 7.( na )b a ( nb ) n ( ab )
证明 (1)因为a· 0＋a· 0＝a· (0＋0)＝a· 0＝a· 0＋0，所以由消去 律可得a· 0＝0。同理可证，0· a＝0
整环、除环、域
定理： 无零因子与乘法消去律等价
– 环中无零因子，当且仅当环中乘法具有消去律。 – 若环<A,+,· > 中无零因子 ,则对 a≠0 ， x,y∈A, 若 a· x ＝ a· y 则 a· x － a· y ＝0,于是a· (x－y)=0, 因而x－y＝0，即x＝y。 – 另一式: x· a＝y· ax＝y同理可得。 – 当环<A,+,· >中，<A,· >具有消去律时,若a≠0，a· b＝0, 即a· b＝a· 0, 消去a, 则b＝0, 即<A,+,· >中无零因子。
定理:设R为有单位元的环，且不只含一个元素，则1不等于0 反证法：若1＝0，则a=a*1=a*0=0
整环、除环、域
零因子:若存在a、b∈S且a≠0、b≠0满足a· b ＝0，称环<S，＋，· >为含零因子环， a和b是零因子。
例：对于剩余环<Zn , n ,n ，若n不为素数，则Zn中必存在零因子
×m构成一个环，叫作剩余类环。
定理: 设<S，＋，· >是环，则对于任意的a、b、c∈S，有
1.a 0 0 a 1 2.( a )b a ( b ) ( ab ) 3.( a )( b ) ab 4.a (b c ) ab ac, (b c ) a ba ca 5.（ a b 1 （b 1
整环、除环、域
整环：有单位元无零因子的交换环是整环 例：对于剩余环<Zn , n , n ，若n为素数，则Zn必为整环 除环：设R是一个含1的环，R=R-{0} ,如果R是一个群，则 为除环，可交换的除环为域
例 设S为下列集合,+和.为普通加法和乘法. (1)S＝{x｜x＝2n∧n∈Z}. (2)S＝{x｜x＝2n+1∧n∈Z}. (3)S＝{x｜x∈Z∧x≥0}＝N, (4)S＝{x｜x＝a+b 2 ,a,b∈Q}. 问S和+,· 能否构成整环？能否构成域？为 什么？
定义: 给定环<S，＋，· >，则 (1)若<S，· >是可交换半群，称<S，＋，· >是可交换环。 (2)若<S，· >是独异点，称<S，＋，· >是含幺环。 (3)若<S，· >满足幂等律，称<S，＋，· >是布尔环。
定义： 设<T，＋，· >为<S，＋，· >的子环，若对于T中
任何元t和S中任何元a，有a· t∈T且t· a∈T，则称<T，＋，· > 为环<S，＋，· >的理想。 定理：给定环<S，＋，· >，T是S的非空子集，则<T， ＋，· >为环<S，＋，· >的理想对任意的t、t∈T及a∈S，有
解： (1)不是整环也不是域,因为乘法幺元 是1,1S. (2)不是整环也不是域,因为S不是环, 普通加法的幺元是0,0S, (3)S不是环,因为除0以外任何正整数 x的加法逆元是一x,而一xS当然也 不 (4)是整环和域.
环与域
定理：设 R 是一个无零因子的有限环，且 |R|》2 ， 则R必为除环 • 因为群<R-{0},· > 有幺, 可交换, 且无零因子 (群有消 去律,由前面定理知:有消去律无零因子)。 推论 有限整环必定是域。 推论：设P为素数，则<Zp ,+p,*p>为域
1 a 设F是一个域，a, b属于F,若b 0,则可将b－1写成 , b－1a写成 , 在这种记号下 b b 以下性质成立： a c b d a c ad bc （2)设b 0, d 0,则 ＝ b d bd a c ac (3)设b 0, d 0,则 b d bd a c ad (4)设b 0, c 0, d 0,则 / b d bc (1)设b 0, d 0,则ad=bc
环与域
环
如果满足以下条件 (1)<S，＋>是交换群。 (2)<S，· >是半群。
Fra Baidu bibliotek
定义:给定代数系统<S，＋，· >，其中＋和· 都是二元运算，
(3)· 对＋是可分配的。
则称<S，＋，· >是一个环。 通常将＋称为环中的加法运算，· 称为环中的乘法运算。 加法群中的幺元用0表示，a的加法逆元用－a表示。若<S，· > 中存在幺元，用1表示，若a的乘法逆元存在，则用a－1表示。
商环与理想 定义： 设<S，＋，· >是环，T是S的非空子集。若T关于＋ 和· 运算也构成环，则称<T，＋，· >为<S，＋，· >的子环。 例:整数环Z、有理数环Q都是实数环R的子环。｛0｝和R
也是实数环R的子环，称为平凡子环。
定理：(子环判定定理)设<S，＋，· >是环，T是S的非空子 集。若对任意的a、b∈T，有a－b∈T且a· b∈T，则<T，＋，· > 是<S，＋，· >的子环。 例：偶数环2Z 是整数环Z的子环
例1 (1)整数集、有理数集和实数集关于普通的加法和乘法构
成环，分别称为整数环Z、有理数环Q和实数环R。
(2)系数属于实数的所有多项式组成的集合记为R[x]，那么 R[x]关于多项式的加法与乘法构成环。 (3)元素属于实数的所有n阶矩阵组成的集合关于矩阵的加 法与乘法构成环。
(4)模m的剩余类集合Zm，对于模m的剩余类加法＋m和乘法
(2)因为a· b＋a· (－b)＝a· (b＋(－b))＝a· 0＝0，所以－(a· b)
＝a· (－b)。同理可证－(a· b)＝(－a)· b。
(3) (－a)· (－b)＝－(a· (－b))＝－(－(a· b))＝a· b
（4)a· (b－c)＝a· (b＋(－c))＝a· b＋a· (－c)＝a· b－a· c。
n i 1 m
bn ) ab 1
n m
abn bn a
bn ) a ba1
j 1 i 1 j 1
6. ai bi ai b j 7.( na )b a ( nb ) n ( ab )
证明 (1)因为a· 0＋a· 0＝a· (0＋0)＝a· 0＝a· 0＋0，所以由消去 律可得a· 0＝0。同理可证，0· a＝0
整环、除环、域
定理： 无零因子与乘法消去律等价
– 环中无零因子，当且仅当环中乘法具有消去律。 – 若环<A,+,· > 中无零因子 ,则对 a≠0 ， x,y∈A, 若 a· x ＝ a· y 则 a· x － a· y ＝0,于是a· (x－y)=0, 因而x－y＝0，即x＝y。 – 另一式: x· a＝y· ax＝y同理可得。 – 当环<A,+,· >中，<A,· >具有消去律时,若a≠0，a· b＝0, 即a· b＝a· 0, 消去a, 则b＝0, 即<A,+,· >中无零因子。
定理:设R为有单位元的环，且不只含一个元素，则1不等于0 反证法：若1＝0，则a=a*1=a*0=0
整环、除环、域
零因子:若存在a、b∈S且a≠0、b≠0满足a· b ＝0，称环<S，＋，· >为含零因子环， a和b是零因子。
例：对于剩余环<Zn , n ,n ，若n不为素数，则Zn中必存在零因子
×m构成一个环，叫作剩余类环。
定理: 设<S，＋，· >是环，则对于任意的a、b、c∈S，有
1.a 0 0 a 1 2.( a )b a ( b ) ( ab ) 3.( a )( b ) ab 4.a (b c ) ab ac, (b c ) a ba ca 5.（ a b 1 （b 1
整环、除环、域
整环：有单位元无零因子的交换环是整环 例：对于剩余环<Zn , n , n ，若n为素数，则Zn必为整环 除环：设R是一个含1的环，R=R-{0} ,如果R是一个群，则 为除环，可交换的除环为域
例 设S为下列集合,+和.为普通加法和乘法. (1)S＝{x｜x＝2n∧n∈Z}. (2)S＝{x｜x＝2n+1∧n∈Z}. (3)S＝{x｜x∈Z∧x≥0}＝N, (4)S＝{x｜x＝a+b 2 ,a,b∈Q}. 问S和+,· 能否构成整环？能否构成域？为 什么？