信号与系统拉氏变换

ds j
，同
时 F (s) ? F1(w) ，上式改写为：
? f (t) ? 1 ? ? j? F ( s)e st ds
2? j ? ? j?
对信号 f (t ) ，
? F (s) ? ?? f (t )e ? st dt 0
? f (t) ? 1 ? ? j? F ( s)e st ds
2? j ? ? j?
此时，有： F (s) ?
(s ?
A(s) p1)(s ? p2 )?
(s ?
pn )
设 F (s)
可以分解为： F (s)
?
K1 s ? p1
?
K2 s ? p2
??
? Kn s ? pn
为求 Ki ，上式两边同乘以s ? pi
?? 0
f (t )e? (? ? jw)t dt
如令： s ? ? ? jw ，则上式变成：
? F1(w) ?
?? 0
f (t)e? stdt
重新定义 F1(w) 为 f (t) 的拉氏变换并将 F1(w) 重新命名
为：
? F (s) ? ?? f (t)e?stdt 0
可见信号 f (t) 的拉氏变换是 f (t)e??t 的付里叶变换
被称为拉氏变换对 后面我们用 L[ f (t)] 表示 f (t) 的拉氏变换
2、拉氏变换的收敛
对拉氏变换而言，所谓收敛就是
??? 0
f (t )e ? (? ? jw )t dt 可积
如果当?
?
?
0
时，有
lim
t? ?
f (t)e?? t
? 0 ,则 f (t ) 的拉氏变
换存在。
? 对拉氏变换，对应付 里叶变换的频域概念， 有s域的概念，付里叶 变换的频域是一个轴， s域有两个轴，横轴为
p1 p2 ? p n?1 pn 为极点 z1 z2 ? zm?1 zm 为零点 如果 pi ? p j ? p* 则称 p* 为二阶极点。 K 阶极点，和 K 阶零点的概念以此类推。
考虑以下几种情况：
? 极点为实数，无重根，即所有极点均为 一阶极点
? 包含共轭复数极点 ? 有多重极点
1、极点为实数，无重根
? ? F (w) ? ?? f (t)e? jwt dt ? ?? f (t )e ? jwt dt
??
0
如果将 f (t) 乘上一个衰减因子e ??t ，令 f1 (t) ? f (t )e ?? t ，则
f1(t) 的付里叶变换为：
? ? F1(w) ?
?? 0
f (t )e?? t e ? jwt dt ?
根据付里叶变换的性质，有：
? f (t)e??t ? 1
2?
? ??
F1(w)e jwt dw ?
将 e??t 放到右边积分号内有：
? ? f (t)
?
1
2?
? ??
F1(w)e?te jwtdw ?
1
2?
? ??
F1(w)est dw
而：s ? ? ? jw ，若选定?
，即令?
为常数，有dw ?
F (s) ?
A( s ) B(s)
?
amsm ? am?1sm?1 ? ? bn s n ? bn?1s n ?1 ? ?
? a1s ? a0 ? b1s ? b0
系数 a i bi 都是实数，m n 为正整数。
为便于分解，将上式写成：
F (s) ? A(s) ? a m (s ? z1)( s ? z2 )? (s ? zm ) B(s) bn (s ? p1)( s ? p2 )? (s ? pn )
可见，冲激函数的拉氏变换为常数
6.4 拉氏变换的基本性质
1、线性
函数之和的拉氏变换等于各函数拉氏变换之和
[ [ [ L K1 f1 (t ) ? K2 f2 (t)] ? K1L f1 (t)] ? K2 L f2 (t)]
即
[L K1 f1(t ) ? K2 f2 (t )] ? K1F1 (s) ? K2 F2 ( s)
0
s
0 s0
? ? n ? ? t n?1e ? st dt s0
所以；
L[ t n ] ? n L[ t n?1 ] s
有：
， ， L[ t ] ? 1
s2
L[ t 2 ] ? 2 s3
L[ t n ] ?
n! sn?1
4、冲激函数
[ ? L ? (t )] ? ? ? (t)e ? st dt ? 1 0
第六章 拉氏变换
6.1 引言
? 19世纪末，英国工程师赫维赛德采用了一种算 子解决电子工程计算中的问题。但由于当时缺 乏数学证明遭到一些数学家的指责。
? 而另外一些人如卡尔逊、布罗姆维奇等坚信这 一方法的正确性。
? 后来，法国数学家拉普拉斯从数学上重新给予 该算法严格的数学定义和证明，称之为拉普拉 斯变换或拉氏变换
? 轴，纵轴为jw轴。 如图：
jw收
敛 轴
收 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ o ?0 域 ?
6.3 一些常用函数的拉氏变换
1、阶跃函数
[ ? L u(t )] ? ?? e? st dt ? 1
0
s
2、指数函数
[ ? L e? at ] ? ? ? e?at e? st dt ? 1
0
s?a
3、tn (n为正整数)
? ? L[ t n ] ? ? ? t ne ? st dt ? ? t n e? st ? ? ? n ? ? t n?1e? st dt
5、S域平移
[ 若： L f (t)] ? F (s) ，则 [L f (t)e?at ] ? F (s ? a)
6、尺度变换
[ 若： L f (t)] ? F (s) ，则 [L f (at)] ? 1 F ( s ) a ? 0
aa
6.5 拉氏逆变换
部分分式分解
F (s) 具有以下一般形式：
? 由于技术的发展，拉氏变换的用处不象 以前那么大了，但其建立的系统函数及 零极点分析的概念依然具有重要的作用， 在连续、线性、时不变系统的分析中， 仍然是不可缺少的强有力工具。
6.2 拉氏变换
1、拉氏变换的定义
从付里叶变换出发，对信号 f (t) ，假设该信号是因果的，
即 f (t ) ? 0 if t ? 0 ，则：
2、微分
3、积分
[ 若 L f (t)] ? F (s) ，则
[? L t f (? )d? ] ? F (s) ? f ?1(0)
??
s
s
其中：
? f (?1) (0) ?
0 ??
f (?)d? ，为常数
4、延时（时域平移）
[ 若： L f (t)] ? F (s) ，则 [L f (t ? t0)u(t ? t0)] ? e? st0 F (s)