函数奇偶性与单调性综合应用--专题

函数奇偶性与单调性的综合应用 专题

【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己！】

教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；.

2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质；

3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性.

教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质.

【复习旧识】

1.函数单调性的概念是什么如何证明一个函数的单调性

2.@

3.

函数奇偶性的概念是什么如何证明一个函数的奇偶性

4.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点偶函数呢

【新课讲解】

一、常考题型

1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小；

2.当题目中出现“

2

121)

()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往

往还是考察单调性；

3.证明或判断某一函数的单调性；

4.证明或判断某一函数的奇偶性；

5.-

6.

根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的

取值范围）；

7.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值范围. 二、常用解题方法

1.画简图（草图），利用数形结合；

2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化；

3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论. 三、误区

1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关；

2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称；

3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”；

4.@

5.

函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异；

6.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤：

（1） 根据题意在区间上设 ； （2） 比较大小 ； （3） 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤：

（1）考察函数的定义域 ；

（2）计算 的解析式，并考察其与 的解析式的关系； （3）下结论 .

[

【典型例题】

例1 设)(x f 是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝)3

1(log

2

f ，b ＝)2

1

(log 3

f ，c ＝)2(-f ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a ＞＞ B ．a c b ＞＞ C ．b a c ＞＞

D ．a b c ＞＞

【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质. 【解析】 因为log 2 3

2

2＝2，

0

3 2

3＝1， 所以log

3

2

2 3<2.

因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增，

》

所以f (log

3

2)

2

3)

因为f (x )是偶函数，所以

a ＝)3

1

(log

2

f ＝f (－lo

g 2

3)＝f (log

2

3)，

b ＝)2

1

(log

3

f ＝f (－lo

g 3

2)＝f (l og

3

2)，

c ＝)2(-f ＝f (2)．所以b a c ＞＞.

【答案】 C

例2 （2014•成都一模）已知f （x ）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （1）=1，若m ，n ∈[﹣1，1]，m+n≠0时有

＞0．

（1）判断f （x ）在[﹣1，1]上的单调性，并证明你的结论； （2）解不等式：f （x+）＜f （

）；

（3）若f （x ）≤t 2﹣2at+1对所有x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，求实数t 的取值范围．

<

【考点】 函数的奇偶性；函数单调性的判断与证明；函数的最值与恒成立问

题．

【解析】解：（1）任取﹣1≤x1＜x2≤1，则

f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=

∵﹣1≤x1＜x2≤1，∴x1+（﹣x2）≠0，

由已知＞0，又x1﹣x2＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在[﹣1，1]上为增函数；

（2）∵f（x）在[﹣1，1]上为增函数，

故有

（3）由（1）可知：f（x）在[﹣1，1]上是增函数，

且f（1）=1，故对x∈[﹣l，1]，恒有f（x）≤1．

~

所以要使f（x）≤t2﹣2at+1，对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，

即要t2﹣2at+1≥1成立，故t2﹣2at≥0成立．

即g（a）=t2﹣2at对a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立，

只需g（a）在[﹣1，1]上的最小值大于等于零．

故g（﹣1）≥0，且g（1）≥0，

解得：t≤﹣2或t=0或t≥2．

【点评】本题主要考查单调性和奇偶性的综合应用及函数最值、恒成立问题的转化化归思想．