大学物理第04章_功和能

rb
令r→∞时，Ep=0，则
m1m2 E p G r
例6. 假设地球为质量均匀分布的球体,计算必须供给多 少能量才能把地球完全拆散(万有引力常数为G, 地球质 量me, 半径为R). 解： 将地球拆分成厚度为dr的 球壳, 该球壳与内球构成的 系统势能为：
R
r
dr
dE p G
m地 dm壳 r
Wab ( E pb E pa ) E p
保守力做功在数值上等于系统势能的减少。
说明：（1）势能是一个系统的属性。
（2） 势能的大小只有相对的意义，相对 于势能的零点而言。 （3）势能的零点可以任意选取。
设空间r0点为势能的零点，则空间任意一点 r 的势能为：
E p (r ) E (r ) E p (ro ) F dr
Fx dx Fy dy Fz dz
ax ay az bx by bz



在自然坐标系中
F F e Fn en
b b a a
dr dse
W F dr F e Fnen dse
F ds
s0 s1
附:功率的定义：
例2：光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦 系数 m ，在外力作用下小物体（质量 m ）以速率 v做匀 速圆周运动，求转一周摩擦力做的功。
解： 小物体对环带压力
r
v f m r
2
走一段小位移 ds 所做的功 转一周
v2 W dW m m r
v2 dW m m ds r
ds 2m mv 2
弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关， 而与弹性变形的过程无关。
保守力：
作功与路径无关，只与始末位置有关的力。
保守力的特点：
保守力沿任何闭合路径作功等于零。
证明： 设保守力沿闭合路径acbda作功
按保守力的特点： Wacb 因为： 所以：
F dr 0
Wadb
a
Wacb Wbda
z
Wab

b a
b
mgk dxi dyj dzk
a
F dr
b mg
O


x
y
mgdz mgza zb
b a
重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb， 与质点经过的具体路径无关。
（2） 万有引力作功 设质量为M的质点固 a 定，另一质量为m的质点 在M 的引力场中从a点运 ra 动到b点。
作功之代数和。
在直角坐标系Oxyz中
F Fx i Fy j Fz k
r xi yj zk
b b a a
dr dxi dyj dzk
W F dr Fx i Fy j Fz k dxi dyj dzk
L v0
x
L
s
m f m gx L
(0 x L)
f m mg
( L x)
当物体前端在s处停下来时，台面对物体的摩擦力所做 的功：
W f f dx fdx
0
s
(
L
0
s m m gxdx) ( m mgdx) L L
L L m mg ( s L) m mg ( s ) 2 2
功率是反映作功快慢程度的物理量。
功率： 单位时间内所作的功。
W 平均功率： P t
瞬时功率：
瓦特（W）=（J/s）
W dW P lim dt t 0 t
F dr dW F v P dt dt
例1、设作用在质量为2kg的物体上的力F = 6t N。如 果物体由静止出发沿直线运动，在头2（s）内这力作 了多少功？
E p E p E p F i j x y z
z
r
O
F

F
r1
x
y
W F r cos F r
质点由a点沿曲线运动到b点的过程中，变力 F 所
作的功 。
国际单位：焦耳（J ）N· m
元功： dW F dr
W
b a
dr
F
b
b F dr F cos dr

2 r
0
若桌面与小物体的摩擦系数也为µ则转一周摩擦力 做的功? 若是均匀的直杆呢?若是均匀的圆盘呢?
4.2 动能定理
1．质点动能定理
动能： 质点因有速度而具有的作功本领。 1 2 单位：（J） Ek mv 2
设质点m在力的作用下沿 曲线从a点移动到b点 元功：
dr
a

b
F
dW F dr F cos ds
例3 如图所示，用质量为M的铁锤把质量为m 的钉子 敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深 度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入 1cm深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完 全相同，问第二次能把钉子敲入多深？ 解 设铁锤敲打钉子前的 速度为v0，
Mv0 ( M m) v Mv 0 v M m
B1
r f2 2
一对力所做的功，等于 其中一个物体所受的力 沿两个物体相对移动的 路径所做的功。
A2
R
内力与相对位移总垂 直，故内力所做的功 总和为零。
4.3 势能
（1）重力的功
初始位置 末了位置
a( x a , y a , z a )
b( xb , yb , z b )
za a
zb
r
S1 S 1 2 1 2 1 2 0 mv0 kxdx k ( S1 S ) kS1 S1 2 2 2
2 ( S1 S ) 2 2S1
化简后
S1 S 2S1
第二次能敲入的深度为：
S 2S1 S1 ( 2 1) 1cm 0.41cm
a
a
合力的功：
W F dr F1 F2
b

a a
Fn dr a a b b b F1 dr F2 dr Fn dr
a

W W1 W2 Wn
结论：合力对质点所作的功等于每个分力对质点
注意事项：
1、功虽然可以改变物体的动能，但功与动能 还是有区别的，功是过程量，动能是状态量。 2、动能定理适用于惯性系，功与动能的关系 成立是参考与同一个惯性系而言。
2．质点系的动能定理
一个由n个质点组成的质点系，考察第i个质点。 质点的动能定理：
Wi外 Wi内 E k 2i E k1i
dr r r d
c
Mm F G0 2 er r
rb
r dr
b
M
rb
Mm W G0 2 er dr er dr dr cos dr ra r
1 1 dr W G0 Mm 2 G0 Mm r r ra r a b
F 6 t 解： F ma a 3t a dv m 2 dt
dv adt 3t dt
v t
两边积分：
3 2 v t 0 dv 0 3tdt 2 3 2 dx dx vdt t dt v 2 dt 2 3 2 9 42 36 J W F dx 6t t dt t 0 2 4 0
对系统内所有质点求和
i
n
Fi
W
i 1
n
i内
Wi外 E k 2i E k1i
i 1
n
n
fi
i 1
i 1
W内 W外 Ek 2 Ek1
质点系的动能定理：
质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和 内力作功之代数和。
值得注意：
内力做功可以改变系统 的总动能。
ro r
结论： 空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该
点移动到势能零点时保守力做的功。
重力势能：
E p mgh
弹性势能：
（地面（h = 0）为势能零点）
1 2 E p kx 2
引力势能：
（弹簧自由端为势能零点）
Mm E p G0 r
（无限远处为势能零点）
4.4 引力势能
1 1 dr W G0 Mm 2 G0 Mm r r ra r a b
第4章 功和能
主要内容： 功
动能定理 势能 引力势能 由势能求保守力 机械能守恒定律 守恒定律的意义 碰撞 两体问题 流体的稳定流动
4.1 功
功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力 对空间积累作用。
功的定义： 在力 F 的作用下， 物体发生了位移 r，则
把力在位移方向的分力与 位移 r 的乘积称为功。
砂受到f作用,同样皮带也受到反作用力,其大小等于f, 方向相反!
例5、如图传送机通过滑道将长为L，质量为m的柔软匀 质物体以初速度v0向右送上水平台面,物体前端在台面上 滑动s后停下,已知滑道上的摩擦可以不计,物体与台面的 摩擦系数为µ,而且s>L,试求物体的初速度v0。
解：设物体在台面上滑动
时，在其上的长度为 x，则所受摩擦力可 表示为：
d
c
W Wacb Wbda Wacb Wacb 0
证毕
b
势能
由物体的相对位置所确定的系统能量称为势能（Ep）
保守力的功与势能的关系：
物体在保守力场中a、b两点的势能Epa与 Epb之差，等 于质点由a点移动到b点过程中保守力所做的功Wab。