盈亏问题-教师版

盈亏问题讲义第一部分：知识介绍盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．可以得出盈亏问题的基本关系式：盈亏型：(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数盈盈型：(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数亏亏型：(亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.注意：1.条件转换（判断盈亏类型）； 2.关系互换（确定盈亏数量）第二部分：例题精讲【例 1】幼儿园的老师给小朋友们发梨。

每人6个就剩12个，每人7个便少11个。

一共有多少位小朋友？一共有多少个梨？【考点】盈亏问题——盈亏型【解析】盈亏问题中的盈亏型，(1112)(76)23+÷-=（人），23612150⨯+=（个）梨。

【答案】23个小朋友，150个梨。

【例 2】明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？【考点】盈亏问题——盈盈型【解析】“多8元”与“多4元”两者相差844-=（元），每个人要多出871-=（元），因此就知道，共有（人），蛋糕价钱是84824⨯-=（元）．【答案】有4人买蛋糕，蛋糕价钱为24元【例 3】 学而思学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？多少本书？【考点】盈亏问题——亏亏型【解析】 “差9本”和“差2本”两者相差927-=（本），每个人要多发1091-=（本），因此就知道，共有老师（人），书有710961⨯-=（本）．【答案】老师7人，书有61本。

【例 4】 学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分种走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程是多少？【考点】盈亏问题——行程中的盈亏【解析】 小明每分钟走60米，可提早10分钟到校，即到校后还可多走60×10＝600（米）；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，即到校后还可多走50×8＝400（米），第一种情况比第二种情况每分钟多走60－50＝10（米），就可以多走600－400＝200（米），从而可以求出小明由家到校所需时间．200÷（60－50）＝20（分钟），所以小明7时40分离家刚好8时到校.由家到校的路程： 60×（20－10）＝600（米）或：50×（20－8）＝600（米）．【答案】小明7时40分离家刚好8时到校，学校到家的距离为600米【例 5】 用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米.求绳子长度和井深.【考点】盈亏问题——用绳子量井深【解析】 条件转化：两折，多52=10⨯米；三折，少43=12⨯米井的深度为：()()101232=22+÷-（米）；绳子长度为：()2252=54+⨯（米）【答案】绳子长54米，井深22米【例 6】 甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用2 张信纸，乙每封信用3 张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20 张信纸，乙用完所有信纸还剩下10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？【考点】盈亏问题——信封【解析】 由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30 张信纸．这是盈亏问题，盈亏总额为(20＋30)张信纸， 两次分配的差为(3－2)张信纸，所以有信封(20＋30)÷(3－2)＝50(个)，有信纸2×50＋20＝120(张)．【答案】120张【例 7】一家旅店，若每个房间住6人，则16人没有床位；若每个房间住8人，则有一间房间是空出来的.这家旅店有多少个房间？要住宿的人数有多少？【考点】盈亏问题——条件转化型【解析】这道题在第二个分配方案里并没直接告述我们少多少（即亏是多少），在这种说法中学生可能会错误计算.实际上，在第二种方案中，只要换一个说法：若每个房间住8人，还需要8个人才能住满。

这就跟之前的盈亏没有区别，同样是方案一：有一批人（总数），住进房间（份数）第一次分配6人住一间（一间房间分给它6个人），还多余8个人；第二次分配是8人住一间（一间房间分给它6个人），再来8个人才能让所有房间有人.也就是所需的人的总数要相差16＋8＝24（人），从这个对应的变化中可以看出，只要求24里面含有多少个2，就是所求的房间数；有了房间数，就不难求出有多少人了.16＋8＝24（人）；24÷2=12（间）人数是12×8－8＝88（人）或6×12＋16＝88（人）．【答案】12个房间；88人【例 8】妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人分2个，则多出4个；如果其中一人分6个，其余人每人分4个，则缺少12个，妈妈买来橘子多少个?全家共有多少人?【考点】盈亏问题——条件转化型【解析】由“其中两人分4个，其余每人分2个，则多出4个”转化为全家每人都分2个，这分4个的两人每人都拿出2个，共拿出4个，结果就多了448+=个；由“一人分6个，其余每人分4个，则缺少12个”转化为全家每人都分4个，分6个的人拿出2个，结果就少了12210-=个，转变成了盈亏问题的一般类型，则：全家的人数：[422(122)](42)+⨯+-÷-182=÷9=(人)橘子的个数：29826⨯+=(个)【答案】橘子26个，全家9个人【例 9】幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个。

如全部分给小班的小朋友，每人分到8个，则缺2个。

已知大班比小班多3人，问：这筐苹果共有多少个？【考点】盈亏问题——转换分配单位【解析】方法一：先把大班人数和小班人数转化为一样。

大班减少3人，则苹果又收回⨯=个苹果，人数一样，根据盈亏问题公式，小班人数为：3515++÷-=人，苹果总数是89270(15102)(85)9⨯-=个。

方法二：此题也可以将小班人数化成和大班人数一样多，（老师可以让学生自行尝试），小班人数增加3人，则还需要发个苹果，人数一样，根据盈亏问题公式，大班人数为：人，苹果总数是个。

【答案】70个【例 10】有一些糖，每人分5块则多10块，如果现有人数增加到原有人数的1.5倍，那么每人4块就少两块，这些糖共有多少块？【考点】盈亏问题——转换分配单位【解析】第一次每人分5块，第二次每人分4块，可以认为原有的人每人拿出541-=块糖分给新增加的人，而新增加的人刚好是原来的一半，这样新增加的人每人可分到2块糖果，这些人每人还差422-=块，一共差了10212+=块，所以新增加了⨯+=(块)．⨯=人．糖果数为：12510701226÷=人，原有6212【答案】糖果70块【例 11】王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？【考点】盈亏问题——转换被分配物【解析】因为橘子每人分3个多4个，而苹果是橘子的2倍，因此苹果每人分6个就多8个。

又已知苹果每人分7个少5个，所以按照盈亏问题公式可以得出（人）；苹果个数为（个）；橘子个数为（个）。

【答案】13个小朋友；86个苹果；43个橘子。

【例 12】学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？【考点】盈亏问题——转换被分配物【解析】因为乒乓球拍每人分5副多15副，而羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，因此羽毛球拍每人分10副就多30副。

又已知羽毛球拍每人分14副少30副，所以按照盈亏问题公式可以得出（人）；羽毛球拍个数为（副）；乒乓球拍个数为（副）。

【答案】羽毛球拍180副；乒乓球拍90副。

第四部分：课后练习【作业 1】 用一根长绳测量井的深度，如果绳子3折时，多8米；如果绳子5折时，差2米；求绳子长度和井深.【考点】盈亏问题【解析】 条件转化：三折，多83=24⨯米；五折，少25=10⨯米井的深度为：()()241053=17+÷-（米）；绳子长度为：()1783=75+⨯（米）【答案】绳子长75米，井深17米【作业 2】 大猴采到一堆桃子，分给一群小猴吃。

如果其中两只小猴各分得4个桃，其余每只小猴各分得2个桃，则最后剩4个桃；如果其中一只小猴分得6个桃，其余每只小猴各分得4个桃，那么还差12个桃，大猴共采到（ ）个桃，这群小猴共（ ）只。

【考点】盈亏问题【解析】 本题是典型的盈亏问题，可以将它转化为：如果每个小猴分2个桃子，最后会剩下8个，如果每只小猴分4个，还差10个，应用盈亏问题的公式可以得到小猴子一共有(810)(42)9+÷-=只，桃子一共有491026⨯-=个。

【答案】26个桃子，小猴子9只【作业 3】 春节前夕，一富翁想向丐帮帮众施舍一笔钱财，一开始他准备给每人100元，结果剩下350元，他决定每人多给20元。

这时从其它地方又闻讯赶来了5个乞丐，如果他们每个人拿到的钱和其它乞丐一样多，富翁还需要再增加550元。

原有（ ）名乞丐。

【考点】盈亏问题【解析】 如果不来这五个乞丐，富翁能剩下120555050⨯-=元。

因此有()350502015-÷=名乞丐。

【答案】15名【作业 4】 体育队将一些羽毛球分给若干个人，每人5个还多余10个羽毛球，如果人数增加到3倍，那么每人分2个羽毛球还缺少8个，问有羽毛球多少个？【考点】盈亏问题【解析】 考虑人数增加3倍后，相当于按原人数每人给2×3＝6（个），每人给5个与给6个，总数相差10＋8＝18 (个），所以原有人数 18÷（6－5)＝18（人），羽毛球总数是 5×18＋10＝100（个）．【答案】100个【作业 5】 小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校。

小强家到学校的路程是多少米？【考点】盈亏问题【解析】 迟到3分钟转化成米数：503150⨯=（米），提前2分钟到校转化成米数：602120⨯=（米），距离上课时间为：(150120)(6050)27+÷-=（分钟），家到学校的路程为：50(273)1500⨯+=（米）． 【答案】1500米【作业 6】 实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？【考点】盈亏问题【解析】 每辆车坐60人，则多余15人，每辆车坐60+5=65人，则多出一辆车，也就是差65人.因此车辆数目为：（65+15）÷5=80÷5=16（辆）.学生人数为：60×（16-1）+15=60×15+15=900+15=915（人）.【答案】车16辆，人数915人【作业 7】 有若干个苹果和若干个梨.如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；如果按每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨.苹果和梨各有多少个?【考点】盈亏问题【解析】 容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到.原因在于第一种方案是1个苹果“搭配”2个梨，第二种方案是3个苹果“搭配”5个梨.如果将这两种方案统一为1个苹果“搭配”若干个梨，那么问题就好解决了.将原题条件变为“1个苹果搭配2个梨，缺4个梨；1个苹果搭配5/3个梨，多1个梨”，此时盈亏总额为415+=(个)梨，两次分配数之差为25/31/3-=(个)梨.所以有苹果(41)(25/3)15+÷-=(个)，有梨152426⨯-=(个).【答案】苹果15个，梨26个【作业 8】小白兔和小灰兔各有若干只．如果5只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔还多4只，小灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔恰好放完，小灰兔还多12只．那么小白兔和小灰兔共有多少只？【考点】盈亏问题【解析】“7只小白兔和3只小灰兔装一个笼子，小白兔恰好装完，小灰兔还多12只”说明小白兔少了12÷3×7＝28（只），这样原来笼子数有：（28＋4）÷（7－5）＝16（个），所以小白兔有16×5＋4＝84（只），小灰兔有16×3＝48（只），合起来有84＋48＝132（只）．【答案】132只盈亏问题口奥技巧1.直接计算型要分清“盈”和“亏”2.条件转换型盈亏问题要将题目中给的条件转换成盈亏问题来解答，要注意“盈”和“亏”就是多和少，可以先理清多在哪里和少在哪里，然后再解题。