4 行列式的性质

a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n
ci

kc j
a21

(a2i ka2 j )
a2 j
a2 j
an1 (ani kanj ) anj anj
三、应用举例
计算行列式常用方法 利用运算 ri krj 把行
列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的 值．
abbbb babbb 例3 计算阶行列式 D b b a b b bbbab bbbba
解
a 4b b b b b
a 4b a b b b
D c1 c2 c5 a 4b b a b b
a 4b b b a b
a 4b b b b a
a 4b b b b b
a13 a23 6D a33
2a11 a21 - a31
2a12 a22 - a32
2a13 a23 - 2D - a33
a11 5a31 - a21
a12 5a32 - a22
a13 5a33 5D - a23
推论 行列式中如果有两行（列）元素对应成比 例，则此行列式为零．
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两
数之和.
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
例如 D a21 a22 (a2i a2 i ) a2n



an1 an2 (ani an i ) ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a1i a1n a11 a1i a1n D a21 a2i a2n a21 a2i a2n
an1 ani ann an1 an i ann
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式值不变．
例如
a11 a1i a1 j a1n
a21
a2i
k
ຫໍສະໝຸດ Baidu
a2 j

a2 j




an1 ani anj anj

an1 an2 ann
an1 an2 ann
a11 a12 a13
若 D a21 a22 a23
则
a31 a32 a33
k a11 k a21 ka31
k a12 k a22 ka32
k a13
ka23 k 3 D k a33
2a11 2a21 2a31
3a12 3a22 3a32
§1.4 行列式的性质
一、定义 二、行列式的性质 三、应用举例
一、定义
记
a11 a12 a1n
a11 a21 an1
D a21 a22
a2n DT a12 a22


an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
0
ri r1
0
i2,3,4,5
0
ab 0 0 0 ab 0 0 0 ab
0 0 (a 4b)(a b)4. 0
0 0 0 0 ab
三、小结
计算行列式常用方法 (1) 利用定义; (2) 利用性质把行列式化为上三角形行列式，从 而算得行列式的值．
证明 互换相同的两行，有 D D, D 0.
性质3 行列式的某一行（列）中所有元素的 公因子可以提到行列式符号的外面.
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain

二、行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
175 175 6 6 2 3 5 8 , 358 662
17 5 715 6 6 2 6 6 2. 35 8 538
交换 i, j 两行，记作 ri rj . 交换 i, j 两列，记作 ci c j .
175
175
r2 r3
6 6 2 3 5 8,
358
662
1 75
715
c2 c3
6 6 2 6 6 2 .
3 58
538
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零.
例1 利用性质计算下列行列式
11 1 D1 2 1
11 2
123 D 2 3 1
312
例2 计算下列四阶行列式
11 1 1 12 1 1 D 11 21 111 2
1201 1350 D 0156 1234
1320 0103 D 3526 1042
3111 1311 D 1131 1113