专题09 直线与方程(章末分层突破)-高一数学单元复习(人教A版必修2)

由yy＝＋21x＝，kx－3， 得点C的横坐标xC＝3kk－＋21. ∵|BC|＝2|AB|，∴|xB－xC|＝2|xA－xB|， ∴3kk－＋21－1k－3＝21k， ∴3kk－＋21－1k－3＝2k或3kk－＋21－1k－3＝－2k， 解得k＝－32或k＝14. ∴所求直线l的方程为3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0.
2．判断两直线平行的方法 (1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则 k1＝k2⇔l1∥l2. (2)若不重合的直线l1与l2的斜率都不存在，其倾斜角都为 90°，则l1∥l2. 3．判断两直线垂直的方法 (1)若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1 ⇔l1⊥l2. (2)已知直线l1与l2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直 线的斜率为0，则l1⊥l2.
∵kPP′·kl＝－1，即xy′′－－yx×3＝－1.
①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
∴3×x′2＋x－y′2＋y＋3＝0.
②
由①②得xy′′＝＝3－x＋4x54＋y5＋3y3－. 9，
③ ④
(1)把 x＝4，y＝5 代入③④得 x′＝－2，y′＝7， ∴P(4,5)关于直线 l 的对称点 P′的坐标为(－2,7)． (2)用③④分别代换 x－y－2＝0 中的 x，y，得关于 l 的对称直线 方程为－4x＋53y－9－3x＋54y＋3－2＝0， 化简得 7x＋y＋22＝0.
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第3章 直线与方程
直线与圆
两直线的位置关系
两直线的位置关系是常考热点．主要以选择、填空题形式考 查，多涉及求参数与直线方程求法，难度中档以下．
[考点精要]
1．求直线斜率的基本方法 (1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k＝ tan α. (2)公式法：已知直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且 x1≠x2，则斜率k＝xy22－ －yx11.
或a＝23 ， b＝2.
[类题通法] 已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0 (1)对于l1∥l2的问题，先由A1B2－A2B1＝0解出其中的字母 值，然后代回原方程检验这时的l1和l2是否重合，若重合，舍去． (2)对于l1⊥l2的问题，由A1A2＋B1B2＝0解出字母的值即可．
l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程． 解：由直线l1，l2的方程知l1∥l2，又由题意知，直线l与l1，l2 均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)． 设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由两平行直线
间的距离公式，得d1＝
|m＋1| 13
，d2＝
A．－3
B．－43
C．2
D．3
解析：选D 由2a－6＝0得a＝3.故选D.
3．已知直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x＋ay＋1＝0平行，则a的
值为
()
3 A.2
B.32或0
C．0
D．－2
解析：选A 当a＝0时，两直线的方程化为x＝1和x＝1，显然
重合，不符合题意；当a≠0时，a－1 1＝2aa，解得a＝32.故选A.
[典例] 过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x 于点C，若|BC|＝2|AB|，求直线l的方程．
[解] 当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝3， ∴B(3,0)，C(3,6)． 此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|， ∴直线l的斜率存在． 设直线l的方程为y＋1＝k(x－3)， 显然k≠0且k≠2. 令y＝0，得x＝3＋1k，∴B3＋1k，0，
[典例] 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b ＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)∵l1⊥l2，
∴a(a－1)－b＝0，
①
又 l1 过点(－3，－1)，
∴－3a＋b＋4＝0.
Baidu Nhomakorabea
k 是斜率，b 是直线在 y 直线不垂直 式 斜截式 y＝kx＋b
轴上的截距
于x轴
名称
方程
常数的几何意义 适用条件
两
一般 情况
yy2－－yy11＝xx2－－xx11
(x1，y1)，(x2，y2)是 直线不垂直于 直线上的两个定点 x轴和y轴
点 式 截距式
xa＋by＝1
a，b分别是直线在x 直线不垂直于
直线方程 直线方程的求法一直是考查重点，多以解答题形式考 查，常涉及距离、平行、垂直等知识，有时与对称问题相结 合，难度中档以上．
[题组训练]
1．直线方程的五种形式
名称
方程
常数的几何意义
适用条件
点 一般情况 y－y0＝ (x0，y0)是直线上的一个 直线不垂直
斜
k(x－x0) 定点，k 是斜率
于x轴
轴，y轴上的两个非 x轴和y轴，且
零截距
不过原点
一般式
Ax＋By＋C＝0 A，B，C为系数
A，B不同时为0
任何情况
2．常见的直线系方程 (1)经过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是 待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都不能得到A2x＋ B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2. (2)平行直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)． (3)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0.
②
解①②组成的方程组得ab＝ ＝22， .
(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，
∴直线l1的斜率存在．∴k1＝k2，即ab＝1－a.
③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l1∥l2，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，
即4b＝－(－b)．
④
由③④联立，解得ab＝＝2－，2
或a＝23， b＝2.
经检验此时的l1与l2不重合，故所求值为ab＝＝2－，2
[题组训练]
1．经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的
取值范围是
()
A．m＜1
B．m＞－1
C．－1＜m＜1
D．m＞1或m＜－1
解析：选C ∵直线l的倾斜角为锐角， ∴斜率k＝m12－－21＞0，∴－1＜m＜1.
2．直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为( )
|m＋13| 13
，又d1∶d2＝2∶
1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，解得m＝－25或m＝－9.
故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.
2．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程． 解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．
[类题通法] 求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用 以下两种方法求解：(1)直接法：直接选取适当的直线方程的形 式，写出结果；(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基 础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数， 从而求得方程．
[题组训练]
1．已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，