万有引力专题专题：求天体的加速度,质量,密度。1

求天体的加速度、质量、密度
一．知识聚焦 1.加速度：
表面上 mg Mm G =2
R
得2
g R
GM =
非表面 ()
ma R Mm
G
=+2
h 得)
(2
R a h GM
+=
2.中心天体质量M （或密度ρ）的估算 法一：利用表面物体mg Mm G
=2
R
，得到M=
法二：设行星m 绕天体M 做半径r 、周期T 的匀速圆周运动。

则G
2
r
Mm = m r
2
2
4T
π，所以M=
2
3
24GT
r π
对“近地”行星，r=R (R 表示天体的半径） M=ρ（4πR 3/3）所以ρ=
2
3GT
π
法三：
2
2
ω
mr r
Mm G =
法四：
r v
m
r
Mm G
2
2
=
总结：只要知道环绕天体的，线速度V ，角速度w,轨道半径r ，公转周期T ，任意两个，就可以求得中心天体质量，但是知道w 和T 除外。

例题1、下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G 是已知的）（ CD ）
A.地球绕太阳运行的周期T 和地球中心离太阳中心的距离r
B.月球绕地球运行的周期T 和地球的半径r
C.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r
D.月球绕地球运动的周期T 和轨道半径r 例题2、如图21所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是(D)
A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度；
B ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度；
C ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等候同一轨道上的c ；
D ．a 卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大。

例题3、某一物体在地球表面时，由弹簧测力计测得重160N ，把此物体放在航天器中，若航天器
以加速度2
g
a =（g 为地球表面的重力加速度）垂直地面上升，这时再用同一弹簧测力计测得物体的重力为90N ，忽
略地球自转的影响，已知地球半径R ，求此航天器距地面的高度。

解析：物体在地球表面时，重力为=mg 160N ①根据万有引力定律，在地面附近有2
R
GMm mg =
②
在距地面某一高度h 时，由牛顿定律得ma g m F N ='- ③根据万有引力定律，得2
)
(h R GMm g m +=' ④①②③④式
并代入数据解得R h 3=。

经典练习1
1、已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量（引力常量G 已知） （ ）
A ．月球绕地球运动的周期T 1及月球到地球中心的距离R 1
B ．地球绕太阳运行周期T 2及地球到太阳中心的距离R 2
C ．人造卫星在地面附近的运行速度v 3和运行周期T 3
D ．地球绕太阳运行的速度v 4及地球到太阳中心的距离R 4
2（绵阳06二诊）如图，a 、b 、c 是在地球大气层外同一平面内的圆形轨道上运动的三颗卫星，下列说法正确的是 （ D ） A ．若由于某种原因，a 的轨道半径缓慢减小，则其线速度将减小。

B ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度
C ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度
D ．若b 、c 绕地球转动的方向相同，则它们的距离保持不变
3宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t ，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为3L ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的质量M 和密度ρ.
[解析]此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度．
根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为2
21gt y =
设初始平抛小球的初速度为v ，则水平位移为x=vt ．有2
2
2
2
)()2
1(
L vt gt =+ ○
1 当以2v 的速度平抛小球时，水平位移为x'= 2vt ．所以有2
2
2
2
)3()
2()2
1
(L vt gt =+ ②
在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有mg=G
2
R
Mm
③
联立以上三个方程解得22
332Gt
LR M =
而天体的体积为3
3
4R V π=，由密度公式V
M =
ρ得天体的密度为R
Gt L 2
23πρ=。

b
a c
地球
图21。