万有引力专题专题：求天体的加速度,质量,密度。1
万有引力与航天题型归纳一中
万有引力与航天题型总结题型一、求天体的质量(或密度)1．根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力.由mg=G 2RMm 得 G g R M 2=.式中M 、g 、R 分别表示天体的质量、天体表面的重力加速度和天体的半径．已知一名宇航员到达一个星球,在该星 球的赤道上用弹簧秤测量一物体的重力为G 1,在 两极用弹簧秤测量该物体的重力为G 2,经测量该星球的半径为R,物体的质量为m.求:该星球的质量.设星球的质量为M,物体在两极的重力等于万有引力,即 解得2．根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径.求中心天体的质量卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供.利用牛顿第二定律得222224Tmr mr r v m r Mm G πω===.若已知卫星的轨道半径r 和卫星的运行周期T 、角速度ω或线速度v .可求得中心天体的质量为G r GTr G rv M 3223224ωπ===例1、下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G 是已知的）（ CD ）A.地球绕太阳运行的周期T 和地球中心离太阳中心的距离rB.月球绕地球运行的周期T 和地球的半径rC.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离rD.月球绕地球运动的周期T 和轨道半径r[解析]要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径．已知地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径只能求出太阳的质量.而不能求出地球的质量.所以A 项不对．已知月球绕地球运行的周期和地球的半径.不知道月球绕地球的轨道半径.所以不能求地球的质量.所以B 项不对．已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径.由22ωmr rMm G=可以求出中心天体地球的质量.所以C 项正确．由2224T mr r Mm G π=求得地球质量为2324GT r M π=.所以D 项正确． 例2. 天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。
这颗行星的体积是地球的4.7倍.是地球的25倍。
高中物理万有引力公式归纳
高中物理万有引力公式归纳高中物理万有引力公式1.开普勒第三定律：T2/R3=K(=4π2/GM){R:轨道半径，T:周期，K:常量(与行星质量无关，取决于中心天体的质量)｝2.万有引力定律：F=Gm1m2/r2 (G=6.67×10-11N m2/kg2，方向在它们的连线上)3.天体上的重力和重力加速度：GMm/R2=mg;g=GM/R2 {R:天体半径(m)，M：天体质量(kg)｝4.卫星绕行速度、角速度、周期：V=(GM/r)1/2;ω=(GM/r3)1/2;T=2π(r3/GM)1/2{M：中心天体质量｝5.第一(二、三)宇宙速度V1=(g地r地)1/2=(GM/r地)1/2=7.9km/s;V2=11.2km/s;V3=16.7km/s6.地球同步卫星GMm/(r地+h)2=m4π2(r地+h)/T2{h≈36000km，h:距地球表面的高度，r地:地球的半径｝注:(1)天体运动所需的向心力由万有引力提供,F向=F万;(2)应用万有引力定律可估算天体的质量密度等;(3)地球同步卫星只能运行于赤道上空，运行周期和地球自转周期相同;(4)卫星轨道半径变小时,势能变小、动能变大、速度变大、周期变小(一同三反);(5)地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为7.9km/s。
高中物理万有引力知识点万有引力定律是艾萨克·牛顿在1687年于《自然哲学的数学原理》上发表的。
牛顿的普适的万有引力定律表示如下：任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引。
该引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。
两个可看作质点的物体之间的万有引力，可以用以下公式计算：F=GmM/r^2,即万有引力等于引力常量乘以两物体质量的乘积除以它们距离的平方。
其中G代表引力常量，其值约为6.67×10的负11次方单位 N·m2 /kg2。
高中物理天体密度与质量求解问题
高中物理万有引力天体密度与质量的求解(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g4πGR .(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3GT 2；②若已知天体半径R ，则天体的平均密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R3.例题：1、2013年12月14日21时许，嫦娥三号携带“玉兔”探测器在月球虹湾成功软着陆，在实施软着陆过程中，嫦娥三号离月球表面4m 高时最后一次悬停，确认着陆点。
若总质量为M 的嫦娥三号在最后一次悬停时，反推力发动机对其提供的反推力为F ，已知引力常量为G ，月球半径为R ，则月球的质量为()A.FR 2MGB.FR MGC.MG FRD.MG FR 2【解析】在月球表面附近：Mg ＝G M 月MR2，嫦娥三号悬停时，F ＝Mg ，由以上两式解得：M 月＝FR 2MG ，选项A 对。
【答案】A2、嫦娥五号探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成。
探测器预计在2017年由长征五号运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2kg 月球样品。
某同学从网上得到一些信息，如表格中的数据所示，请根据题意，判断地球和月球的密度之比为()月球半径R 0月球表面处的重力加速度g 0地球和月球的半径之比RR 0＝4地球表面和月球表面的重力加速度之比g g 0＝6A.23B.32C ．4D ．6【解析】利用题给信息，对地球，有G Mm R 2＝mg ，得M ＝gR 2G ，又V ＝43πR 3，得地球的密度ρ＝M V ＝3g 4G πR ；对月球，有G M 0m R 20＝mg 0，得M 0＝g 0R 20G ，又V 0＝43πR 30，得月球的密度ρ0＝M 0V 0＝3g 04G πR 0，则地球的密度与月球的密度之比ρρ0＝32，故B 正确。
高考物理一轮复习专题：第28讲+万有引力定律的应用——求天体的质量
万有引力定律的应用--求天体质量（两种）①地上跑的：②天上飞的：总结：已知注意：R 指中心天体的球体半径，r 指行星或卫星的轨道半径。
若行星或卫星绕近中心天体表面运行，则有R=r 。
注意：只能求中心天体的质量 求天体密度的方法（两种）若为近地卫星公转周期已知，则r ≈R ，则 推导过程：结论：若要测某星球密度，最简单方式。
测其近地卫星的公转周期注意：只能求中心天体的密度mg R MmG =2GgR M 2==2r Mm G rv m 2r m 2ωr T m 224πG r v M 2=G r M 32ω=2324GT r M π=gR 中任两个、、r T v )(ωrr v v r T T，求出，可以根据：、不可缺，，二者不独立，相当于给了，故给了补充：ωωωπω==2VM=ρM gR 中任两个、、r T v )(ω334RV π=23GT πρ=3222344RV r T m r Mm G ππ==2324GT r M π=3233R GT r πρ=练习: g-R 型1．已知引力常量11226.6710N m /kg G -=⨯⋅，地球表面的重力加速度29.8m/s g =，地球半径6400R =km ，则地球质量的数量级为（ ）A ．2010kgB ．2210kgC ．2410kgD ．2610kg2．字航员在某星球将一物体从离地50米高度处释放使其做自由落体运动，经5s 落地。
已知该星球的半径是地球半径的2倍，地球表而重力加速度取210m/s ，设地球质量为M ，则该星球的质量为（ ） A ．85MB ．MC ．2MD ．65M9．某同学在地球表面测量一圆锥摆在水平面内做匀速圆周运动的周期，当摆长为L ，稳定时圆周运动的圆心距离悬点为h ，周期为T ；某宇航员登陆某星球后，在星球表面也做了同样的圆锥摆实验，当摆长也为L ，稳定时圆周运动的圆心距离悬点为H 时，周期也为T 。
若该星球的半径和地球半径相等，则该星球质量与地球质量之比为（ ）A ．H hB ．2222L h L H --C ．h HD ．2222L h L B-- 3．假如人类发现了某星球，人类登上该星球后，进行了如下实验：在固定的竖直光滑圆轨道内部，一小球恰好能做完整的圆周运动，小球在最高点时的速度为v ，轨道半径为5r 。
专题26 中心天体质量密度的计算问题 (原稿版)
专题26 中心天体质量密度的计算问题专题导航目录常考点中心天体质量和密度常用的估算方法 (1)考点拓展练习 (4)常考点中心天体质量和密度常用的估算方法【典例1】宇宙中两颗靠得比较近的星球，只受到彼此之间的万有引力作用绕两球心连线上某点绕转，称之为双星系统。
设某双星系统中A、B两星球绕其连线上的某固定点O做匀速圆周运动。
若A、B的质量分别为M、m，则（）A．星球A与星球B的轨道半径之比为M：mB．星球A与星球B的线速度大小之比为m：MC．星球A与星球B的周期大小之比为m：MD．若两星球间距离减小，则星球A做匀速圆周运动的周期变大【典例2】天问一号于2021年2月10日实施火星捕获，将于2021年5月择机实施降轨软着陆火星表面。
设天问一号距火星表面高度约为火星半径的n倍，其环绕周期为T，引力常量为G，则火星的密度为（）A．B．C．D．【技巧点拨】1.中心天体质量和密度常用的估算方法质使用方法已知量利用公式表达式备注2.求天体质量和密度，警惕三个常见误区（1）不考虑自转问题时，有GMmR 2＝mg ，其中g 为星球表面的重力加速度，若考虑自转问题，则在两极上才有：GMm R 2＝mg ，而赤道上则有：GMm R 2－mg ＝m 4π2T2R 。
（2）利用G Mm r 2＝m 4π2T 2r 计算天体质量时，只能计算中心天体的质量，不能计算绕行天体的质量。
（3）注意区分轨道半径r 和中心天体的半径R ，计算中心天体密度时应用ρ＝M43πR 3而不是ρ＝M43πr 3，但在表面附近绕行的卫星，可近似认为R ＝r 。
【变式演练1】（多选）如图所示，美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道。
若“卡西尼”号探测器在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是（）A．M＝B．M＝C．ρ＝D．ρ＝【变式演练2】2020年7月23日，中国首个火星探测器“天问一号”在海南文昌卫星发射中心发射升空。
物理-L28-万有引力计算天体质量和密度问题
即mg海＝G
可得 g海＝
同理地球表面的重力加速度g地＝
因g海≈g地，所以G ＝G
M海＝16M地＝9.6×1025 kg.
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例题2 在某行星上宇航员用弹簧秤测质量为m的物体的重力为F，乘宇宙飞船在靠 近该行星的空间飞行，测得其环绕周期为T，根据这些数据求该星球的质量．
解题思路：在行星表面的物体的重力等于行星对它的万有引力， 在行星附近飞行的飞船，由万有引力提供其做圆周运动的向心力．
3
得
3 r3
GT 2R3
.
特别提醒 要注意R、r的区分.R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径.若绕近地轨道运行，则有R=r.
23
24
25
M＝ 根据数学知识星球的体积V＝πR3. 所以天体的密度ρ＝＝＝. 若卫星距天体表面高为h处运行，则有 G＝m(R＋h)
3
(3)若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运 动的向心力，根据牛顿第二定律，得
G
＝m月·v·
以上两式消去r，解得
G
＝m月.
M地＝v3T/(2πG)． (4)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的 引力，得
mg＝G ，
解得地球质量为M地＝ .
4
由以上论述可知，在万有引力定律这一章中，求天体质量的方法主要有两种：一种方法是根 据天体表面的重力加速度来求天体质量，即g＝G ，则M＝ ，另一种方法是根据天体的 圆周运动，即根据天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，列出方程： G ＝m r＝m ＝mω2r来求得质量M＝ ＝ ＝ 用第二种方法只能求出圆心处天体质量(即中心天体)．
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专题-物理-L28-万有引力计算天体质量和密度问题ppt课件
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• (1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力，
•即
＝m月 r2，可求得地球质量M地＝ .
• (2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运动的线速度v，由于地球对月球的引 力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得
•G
＝m月 .
• 所以天体的密度ρ＝M/V ＝ • 若卫星距天体表面高为h处运行，则有
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• 本课小结
动力学分析
计算方法
典型例题
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下节课 再见
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• 一、计算天体的质量
• 1．地球质量的计算
• 利用地球表面的物体，若不考虑地球自转，质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有
量．
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• 一、天体质量的估算（以地球质量的计算为例） • 1.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，
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• 二、天体密度的估算
• 1.密 度M公式，
•
4 R3 3
只要先得出天体的质量和半径就可代入此式计算天体的密度.
• 2.计算天体密度的两种常用方法
• 联立以上两式得
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• 例题3 假设在半径为R的某天体上发射了一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的 表面做匀速圆周运动的周期为T0.已知万有引力常量为G，则该天体的平均密度是多 少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T，则 该天体的密度又是多少？
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• （1）由由天m体g表面G的M重m力和 加速M度g和半4径RR求3， 此天体的密度.
(完整版)求中心天体的质量与密度
求天体的加速度、质量、密度一．知识聚焦1. 加速度：万有引力与航天）基础知识：一、研究对象：绕中心天体的行星或卫星总结：线速度v、角速度ω（周期T 、频率f、转速n）、轨道半径r，这三个物理量中，任意组合二个，一定能求出中心天体的质量M。
或者说：中心天体的质量M、及三个物理量中，只要知道其中的两个，可求出其它物理量。
表面上MmG M R m2mg 得g G R M2R非表面Mmma 得aGMMm mv22rr2vr（已知线速度与半径）MmG 2 mrr2r3（已知角线速度与半径）Mm2rmr(2T)2(2 )2r3T2G（已知周期与半径）Mm 2 mv v2R（已知线速度与半径）GR2RMGGMmmR22R3 R（已知角线速度与半径）2MR2G4G已知角速、研究对象：绕中心天体表面运行的行星或卫星度）32四、研究对象：地球表面的物体，万有引力等于重力4 GRMmR 2mR(2T ) 2(2 )2 R 3T 2G（已知周期与半径 ）GT 2 （已知周期 ）如果绕中心天体表面运转，中心天体的密度与周期的平方即： 任何因数都无关。
23T 是一个常量，与 G三、研究对象：距离地面 h 高处的物体，万有引力等于重力（已知某高度处的重力加速度与距离 ）MmR 2mgM gR2G 3g（ 已知中心天体表面的重力加速度与半径 ）训练题(真题)1 宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间表面，测得抛出点与落地点之间的距离为 L ，若抛出时的初速度增大到地点间的距离为 3 L ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为 R ，引力常量为G ，求该星球的质量 M 和密度ρ［解析 ］此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密 度．12根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为 y 1 gt 2 2设初始平抛小球的初速度为 v ，则水平位移为 x=vt ．有 (1 gt 2) 2 (vt)2 L 2 ○11当以 2v 的速度平抛小球时， 水平位移为 x'= 2vt ．所以有 (1 gt 2)2 (2vt)2 ( 3L)22 在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有 mg=G Mm 2 ③R 2160N ，把此物体放在航天器中，若航天器以加速度 a g ( g 为地球表面的重力加速度)垂直地面上升，这时再用同一弹簧测力计2测得物体的重力为 90N ，忽略地球自转的影响， 已知地球半径 R ，求此航天器距地面的高度。
万有引力与航天专题(天体质量和密度的计算、变轨问题、双星和多星问题、天体的追及相遇问题)
万有引力与航天专题（天体质量和密度的计算、变轨问题、双星和多星问题、天体的追及相遇问题、不同轨道上卫星各物理量的比较）60分钟考点序号考点 考向 题型分布考点1万有引力与航天专题（天体质量和密度的计算、变轨问题、双星和多星问题、天体的追及相遇问题、不同轨道上卫星各物理量的比较）考向1：天体质量和密度的计算 考向2：不同高度重力加速度的计算 考向3：不同轨道上卫星各物理量的比较考向4：变轨问题 考向5：双星和多星问题考向6：卫星的追及相遇问题 14单选+4多选万有引力与航天专题（天体质量和密度的计算、变轨问题、双星和多星问题、天体的追及相遇问题、不同轨道上卫星各物理量的比较）（14单选+4多选） 1．（2024·河南·模拟预测）如图所示，A 、B 、C 分别表示太阳、水星和地球，假设水星和地球在同一平面内绕太阳做匀速圆周运动，水星公转半径为r ，地球公转半径为R ，此时AB 与BC 垂直．水星的公转周期为1T ，地球的公转周期为2T ，太阳质量为M ，引力常量为G ，所有天体均可视为质点，不考虑其他天体的影响，下列说法正确的是（ ）故选B 。
2．（2024·山西太原·三模）宇宙中行星A B 、的半径B A 2R R =，各自相应卫星环绕行星做匀速圆周运动，卫星轨道半径与周期的关系如图所示，若不考虑其它星体对A B 、的影响及A B 、之间的作用力，下列说法正确的是（ ）A ．行星AB 、的质量之比为1:4 B ．行星A B 、的密度之比为1:2C ．行星A B 、的第一宇宙速度之比为1:2D ．行星A B 、的同步卫星的向心加速度之比为1:8A ．a 、b 、c 三物体，都仅由万有引力提供向心力B ．周期关系为ac b T T T => C ．线速度的大小关系为a c b v v v << D ．向心加速度的大小关系为b c a a a a >>高度为h1的圆形轨道I上，在天目星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道II，最后在椭圆轨道的远地点B 点再次点火将天目星送入距地面高度为h2的圆形轨道III上，设地球半径为R，地球表面重力加速度为g，则天目星沿椭圆轨道从A点运动到B点的时间为（）A．神舟十八号在轨道Ⅰ上运行时的向心加速度大于其在地面上静止时的向心加速度B．神舟十八号在轨道Ⅱ上经过P点时的向心加速度小于经过Q点时的向心加速度C．神舟十八号在轨道Ⅱ上经过P点时的速度小于在轨道Ⅰ上经过P点时的速度D．神舟十八号在轨道Ⅱ上的机械能大于在轨道Ⅲ上的机械能11．（2024·河北·三模）有两颗人造地球卫星A和B的轨道在同一平面内，A、B同向转动，轨道半径分别为r和4r，每隔时间t会发生一次“相冲”现象，即地球、卫星A和B三者位于同一条直线上，且A、B位于地球的同侧，已知万有引力常量为G，则地球质量可表示为（）A．飞船A和空间站A．23S S=B．行星Ⅱ与行星Ⅲ的运行周期相等C ．行星Ⅱ与行星Ⅲ在P 点时的加速度大小不相等D ．2312E B v v v v <<<A ．恒星Q 的质量为2mA．A星球的轨道半径为B．B星球的轨道半径为C．双星运行的周期为。
天体运动中天体质量和密度的估算与天体表面重力加速度问题(解析版)
天体表面重力加速度问题与天体质量和密度的估算一、天体表面上的重力加速度问题重力是由于物体受到地球的万有引力而产生的，严格说重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力约等于万有引力，即mg＝GMmR2，这样重力加速度就与行星质量、半径联系在一起，高考也多次在此命题。
计算重力加速度的方法(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝GmMR2，得g＝GMR2(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝GmMR＋h2，得，g′＝GMR＋h2所以gg′＝R＋h2R2(3)其他星球上的物体，可参考地球上的情况做相应分析．【典例1】宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。
若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为()A．0 B.GMR＋h2C.GMmR＋h2D.GMh2【解析】飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即GMmR＋h2＝mg，得g＝GMR＋h2，选项B正确。
【答案】 B【典例2】假设有一火星探测器升空后，先在地球表面附近以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后以线速度v′在火星表面附近环绕火星飞行。
若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7。
设火星与地球表面的重力加速度分别为g′和g。
下列结论正确的是()A．g′∶g＝1∶4 B．g′∶g＝7∶10C．v′∶v＝528D．v′∶v＝514【答案】 C【典例3】若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶7。
已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R 。
由此可知，该行星的半径约为( )A.12RB.72R C ．2R D.72R 【答案】 C【解析】 做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，即x ＝v 0t ，在竖直方向上做自由落体运动，即h ＝12gt 2，所以x ＝v 02hg ，两种情况下，物体抛出的速度相同，高度相同，所以g 行g 地＝74，根据公式G Mm R 2＝mg 可得g ＝GMR 2，故g 行g 地＝M 行R 行2M 地R 地2＝74，解得R 行＝2R ，故C 正确。
天体运动中天体质量和密度的估算与天体表面重力加速度问题(解析版)
天体表面重力加速度问题与天体质量和密度的估算一、天体表面上的重力加速度问题重力是由于物体受到地球的万有引力而产生的，严格说重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力约等于万有引力，即mg＝GMmR2，这样重力加速度就与行星质量、半径联系在一起，高考也多次在此命题。
计算重力加速度的方法(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝GmMR2，得g＝GMR2(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝GmMR＋h2，得，g′＝GMR＋h2所以gg′＝R＋h2R2(3)其他星球上的物体，可参考地球上的情况做相应分析．【典例1】宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。
若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为()A．0 B.GMR＋h2C.GMmR＋h2D.GMh2【解析】飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即GMmR＋h2＝mg，得g＝GMR＋h2，选项B正确。
【答案】 B【典例2】假设有一火星探测器升空后，先在地球表面附近以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后以线速度v′在火星表面附近环绕火星飞行。
若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7。
设火星与地球表面的重力加速度分别为g′和g。
下列结论正确的是()A．g′∶g＝1∶4 B．g′∶g＝7∶10C．v′∶v＝528D．v′∶v＝514【答案】 C【典例3】若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶7。
已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R 。
由此可知，该行星的半径约为( )A.12RB.72R C ．2R D.72R 【答案】 C【解析】 做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，即x ＝v 0t ，在竖直方向上做自由落体运动，即h ＝12gt 2，所以x ＝v 02hg ，两种情况下，物体抛出的速度相同，高度相同，所以g 行g 地＝74，根据公式G Mm R 2＝mg 可得g ＝GMR 2，故g 行g 地＝M 行R 行2M 地R 地2＝74，解得R 行＝2R ，故C 正确。
[高一理化生]万有引力求天体的质量
![[高一理化生]万有引力求天体的质量](https://img.taocdn.com/s3/m/31fdf64955270722182ef752.png)
1.下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G是已知的）（ ）
A.地球绕太阳运行的周期T和地球中心离太阳中心的距离r
B.月球绕地球运行的周期T和地球的半径r
C.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r
A．运行的线速度大小为
B．运行的线速度小于第一宇宙速度
C．运行时的向心加速度大小
D．地球表面的重力加速度大小为
4.(05天津理综21)土星周围有美丽壮观的“光环”,组成环的颗粒是大小不等、线度从1μm到10m的岩石、尘埃,类似于卫星,它们与土星中心的距离从7.3×104km延伸到1.4×105km.已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h,引力常量为6.67×10-11N·m2/kg2,则土星的质量约为（估算时不考虑环中颗粒间的相互作用）( )
A.400gB. gC.20gD. g
答案 B
解析 质量分布均匀的球体的密度ρ=3M/4πR3
地球表面的重力加速度：g=GM/R2=
吴健雄星表面的重力加速度：g′=GM/r2=
g/g′=R/r=400,故选项B正确.
10．湖南省长沙市一中2010届高三第五次月考随着太空技术的飞速发展，地球上的人们登陆其它星球成为可能。假设未来的某一天，宇航员登上某一星球后，测得该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，而该星球的平均密度与地球的差不多，则该星球质量大约是地球质量的( D )
A.地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9∶8
B.地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9∶4
C.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为8∶9
2022-2023年高考物理一轮复习 万有引力与航天课件(重点难点易错点核心热点经典考点)
1．不考虑自转问题时，有G
Mm R2
＝mg，其中g为星球表面
的重力加速度，若考虑自转问题，如诊断卷第2题，则在两极
才有：GMRm2 ＝mg，而赤道上则有：GMRm2 －mg＝m4Tπ22R。
2．根据自由落体、竖直上抛、平抛运动等知识计算出
星球表面的重力加速度g，再由mg＝G
Mm R2
＝m
v2 R
，去估算星
地球的质量)
()
A．M1＝12M C．M1＝14M
B．M1＝2M D．M1＝4M
解析：根据平抛运动规律：竖直方向h＝12gt2，水平方向x
＝vt，可计算星球表面重力加速度g＝
2hv2 x2
，可得g1＝
1 16
g，再由星球表面万有引力公式G
Mm R2
＝mg，R1＝2R，可
得M1＝M4 ，C正确。
答案：C
Mm r2
＝mrω2可
知，天宫二号的角速度大，所以“天链二号01星”不能一直
位于“天宫二号”的正上方，且会出现地球位于两卫星连线
中间的时刻，此时无法直接通信，B、C错误；同步轨道上
的“天链二号01星”相对地面静止，与赤道上物体具有相同
的角速度，根据a＝rω2，“天链二号01星”的轨道半径大，
所以向心加速度大，D正确。 答案：AD
GMRm2 ＝ mg 求出M，进而求得ρ＝MV ＝43πMR3＝4π3GgR。
2．利用环绕天体的轨道半径r、周期T：由G
Mm r2
4π2 ＝m__T__2_r
可得出M＝
4π2r3 GT2
，若环绕天体绕中心天体
表面
做匀速圆周运
动时，轨道半径r＝R，则ρ＝43πMR3＝G3Tπ2。
五年2024_2025高考物理真题专题点拨__专题05万有引力定律与航天含解析
专题05 万有引力定律与航天【2024年】1.（2024·新课标Ⅰ）火星的质量约为地球质量的110，半径约为地球半径的12，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为（ ）A. 0.2B. 0.4C. 2.0D. 2.5【答案】B【解析】设物体质量为m ，则在火星表面有1121M mF GR 在地球表面有2222M mF GR 由题意知有12110M M 1212R R = 故联立以上公式可得21122221140.4101F M R F M R ==⨯=，故选B 。
2.（2024·新课标Ⅱ）若一匀称球形星体的密度为ρ，引力常量为G ，则在该星体表面旁边沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是（）D.【答案】A【解析】卫星在星体表面旁边绕其做圆周运动，则2224GMm m R R T， 343V R π= ，M Vρ=知卫星该星体表面旁边沿圆轨道绕其运动的卫星的周期T =3.（2024·新课标Ⅲ）“嫦娥四号”探测器于2024年1月在月球背面胜利着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K 倍。
已知地球半径R 是月球半径的P 倍，地球质量是月球质量的Q 倍，地球表面重力加速度大小为g 。
则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为（ ）A.RKgQPB.RPKgQC.RQgKPD.RPgQK【答案】D【解析】假设在地球表面和月球表面上分别放置质量为m 和m 0的两个物体，则在地球和月球表面处，分别有2Mm Gmg R =，002M m QG m g R P '=⎛⎫⎪⎝⎭解得2P g g Q'= 设嫦娥四号卫星的质量为m 1，依据万有引力供应向心力得1212Mm v QG m R R KK P P =⎛⎫ ⎪⎝⎭解得RPgv QK=，故选D 。
4.（2024·浙江卷）火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。
(完整版)求中心天体的质量与密度
求天体的加速度、质量、密度一．知识聚焦 1.加速度：表面上 mg Mm G =2R得2g R GM=非表面 ()ma R MmG=+2h 得)(2R a h GM +=万有引力与航天 ）基础知识：一、研究对象：绕中心天体的行星或卫星r mv rMm G 22= G r v M 2= (已知线速度与半径)22ωmr rMm G = G r M 32ω= (已知角线速度与半径)22)2(T mr rMm G π= G T r M 232)2(π= (已知周期与半径) 总结：线速度vr ，这三个物理量中，任意组合二个，一定能求出中心天体的质量M 。
或者说：中心天体的质量M 、及三个物理量中，只要知道其中的两个，可求出其它物理量。
二、研究对象：绕中心天体表面运行的行星或卫星R mv RMm G 22= G R v M 2= (已知线速度与半径)22ωmR RMm G = G R M 32ω= (已知角线速度与半径)G πωρ432=（已知角速度）22)2(T mR R Mm G π=(已知周期与半径) 已知周期)任何因数都无关。
三、研究对象：距离地面h 高处的物体，万有引力等于重力mg h R MmG =+2)( G h R g M 2)(+= (已知某高度处的重力加速度与距离)四、研究对象：地球表面的物体，万有引力等于重力mg RMmG =2 G gR M 2= (已知中心天体表面的重力加速度与半径)GRgπρ43=训练题（真题）1宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t ，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为3L ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的质量M 和密度ρ.[解析]此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度．根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为221gt y =设初始平抛小球的初速度为v ，则水平位移为x=vt ．有2222)()21(L vt gt =+ ○1当以2v 的速度平抛小球时，水平位移为x'= 2vt ．所以有2222)3()2()21(L vt gt =+ ②在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有mg=G 2RMm③联立以上三个方程解得22332Gt LR M =而天体的体积为334R V π=，由密度公式VM=ρ得天体的密度为R Gt L 223πρ=。
万有引力计算天体质量和密度1
优选文档万有引力和航天第一节：计算天体的质量和密度基础知识填空1、卡普勒第必然律是： ；卡普勒第二定律是： ；卡普勒第三定律是：，其表达式是，当把轨道近似看作圆时，表达式可改写为，其中常数 k 由决定。
2、经过计算推导可得太阳对行星的引力F ∝m2 （m 是行星质量），由于太阳与行星间r相互作用，两者的地位是相同的，既然太阳吸引行星，行星也必然吸引太阳，所以可推得行星对太阳的引力 F ’（设太阳质量为 M ）满足 ，而依照作用力和反作用力的关系， F 和 F ’的大小是相等的， 所以我们能够推得太阳与行星间的引力满足，加入比率系数 G ，写成等式就是，这就是定律的表达式， （其中 G 是，由经过出名的实验测量获取的） 依照等式， 该定律可表述为。
3、不考虑地球自转时，万有引力等于 ，公式表达为 ，化简后获取黄金代换式。
4 、环绕模型算中心天体质量：供应向心力，表达式写作 =F ，若向心力表达式用F n m2M=，若向心r ，则中心天体质量n2 2力表达式用 F nr ，则中心天体质量 M=m，若向心力表达式Tv 2M= R ，则以上 3用 F n m，则中心天体质量。
若该天体的半径为r种表达式下中心天体的密度可分别写作，，。
（请区分环绕半径 r 和星球半径R ）练习题（多项选择为 7、 8、 9）1、在力学理论建立的过程中有好多伟大的科学家做出了贡献，以下有关科学家和 他们的贡献说法错误的选项是（）A ．卡文迪许经过实验测出了引力常量 GB ．惯性定律是能够被实验直接考据的C ．伽利略斜面实验合理外推讲解了自由落体是匀变速运动D ．开普勒发现了行星运动的规律2、宇宙飞船在宇宙深处翱翔过程中，发现 A 、B 两颗平均球形天体，两天体各有一颗凑近其表面翱翔的卫星，测得两颗卫星的周期相等，以下判断正确的选项是（）A. 天体 A 、 B 的质量必然相等B. 两颗卫星的线速度必然相等C.天体 A 、B 表面的重力加速度必然相等D. 天体 A 、 B 的密度必然相等.3、已知引力常量为G，依照以下所给条件不能够估计出地球质量的是（）A ．月球绕地球的运行周期T 和月球中心到地球中心间距离RB．人造地球卫星在地面周边运行的速度v 和运行周期TC．地球绕太阳运行的周期 T 和地球中心到太阳中心的距离 RD．地球半径 R 和地球表面重力加速度 g4、据报道，一颗来自太阳系外的彗星于 2014 年 10 月 20 日擦火星而过．以下列图，设火星绕太阳在圆轨道上运动，运动半径为 r ，周期为 T．该彗星在穿过太阳系时由于碰到太阳的引力，轨道发生波折，彗星与火星在圆轨道的 A 点“擦肩而过”．已知万有引力恒量G，则（）A.可计算出彗星的质量B.可计算出彗星经过 A 点时碰到的引力C.可计算出彗星经过 A 点的速度大小D. 可确定彗星在 A 点的速度大于火星绕太阳的速度5、2008 年 9 月 25 日 21 时 10 分，载着翟志刚、刘伯明、景海鹏三位宇航员的“神舟七号”飞船在中国酒泉卫星发射中心发射成功．若是“神舟七号”飞船在离地球表面h 高处的轨道上做周期为T 的匀速圆周运动，已知地球的半径为R，引力常量为 G，在该轨道上，关于“神舟七号”飞船，以下说法中正确的选项是（）A ．运行的角速度为ω2RB．地球表面的重力加速度大小可表示为C．运行时的向心加速度大小为D．运行的线速度大小为6、绕地球做匀速圆周运动的两颗卫星a、b，已知 a 的轨道半径大于 b 的轨道半径，则关于两颗卫星以下说法正确的选项是（）A ． a 周期大B．a 角速度变大C． a 速度大D．a 向心加速度大7、已知引力常量是 G，在以下各组物理数据中，能够估计月球质量的是（）A．月球绕地球运行的周期及月、地中心距离B．绕月球表面运行的飞船的周期及月球的半径C．绕月球表面运行的飞船的周期及线速度D．月球表面的重力加速度8、宇航员在宇宙飞船中测出自己绕地球做圆周运动的周期为T，离地高度为H，地球半径为R，则依照 T、H、 R 和引力常量 G，能计算出的物理量是（）A ．地球的质量和飞船的质量B．地球的平均密度C．飞船线速度的大小D．飞船所需的向心力9、若是一颗做匀速圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增加为原来的 2 倍，仍做匀速圆周运动，则（）.A ．依照公式F=，可知地球供应的向心力将减小为原来的B．依照公式v=，可知卫星运动的线速度将减小为原来的2可知卫星的向心力加速度将减小为原来的C．依照公式 a=r ω2D．依照公式 F=m r ω，可知地球供应的向心力将增大为原来的2 倍10、2003 年 10 月 15 日，我国神舟五号载人飞船成功发射.标志住我国的航天事业发展到了一个很高的水平 .飞船在绕地球翱翔的第 5 圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h 的圆形轨道 .已知地球半径为R，地面处的重力加速度为g，引力常量为 G,求：⑴地球的质量；⑵飞船在上述圆形轨道上运行的周期T.11、对某行星的一颗卫星进行察看，已知运行的轨迹是半径为r 的圆周，周期为T ，已知万有引力常量G，求：（1）该行星的质量多少？（2）测得行星的半径为卫星轨道半径的，则此行星表面重力加速度为多大？.12、物体在月球表面上的重力加速度等于地球表面上重力加速度的，将物体以10m/s 的初速度竖直上抛，（ g 地取 10m/s2）求：（1）物体上升的最大高度是多少？（2）物体落回地面的时间是多少？13、一艘宇宙飞船绕一个不出名的、半径为 R 的行星表面翱翔，环绕一周翱翔时间为T （万有引力常量为 G），求：该行星的质量 M 和平均密度ρ.14、宇航员站在星球表面上某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t 小球落回星球表面，测得抛出点和落地点之间的距离为L ．若抛出时的速度增大为原来的2倍，则抛出点到落地点之间的距离为L ．已知两落地点在同一水平面上，该星球半径为 R，已知引力常量为G，求该星球的质量及其表面的重力加速度大小．15、2005 年 10 月 12 日，我国继“神舟”五号载人宇宙飞船后又成功地发射了“神舟”六号载人宇宙飞船.飞船入轨运行若干圈后成功推行变轨进入圆轨道运行，经过了近5 天的运行后，飞船的返回舱于 10 月 17 日清早顺利降落在预定地点，两名宇航员安全返回祖国的怀抱 .设“神舟”六号载人飞船在圆轨道上绕地球运行 n 圈所用的时间为 t，若地球表面的重力加速度为 g，地球半径为 R.求：（ 1）飞船的圆轨道离地面的高度；（ 2）飞船在圆轨道上运行的角速度 ..优选文档计算天体的质量和密度参照答案1、【答案】 B2、【答案】 D3、【答案】 C4、【答案】 D5、【答案】 C6、【答案】 A7、【答案】 BC8、【答案】 BC9、【答案】 ABgR2( R h)310、【答案】（ 1）M（2）T 2G gR211、【答案】（ 1）该行星的质量是．（ 2）测得行星的半径为卫星轨道半径的，则此行星表面重力加速度为12、【答案】（ 1）物体上升的最大高度为30m；（ 2）物体落回地面的时间为12s13、【答案】该行星的质量M 是，平均密度是14、【答案】该星球的质量为，其表面的重力加速度大小为．15、【答案】（ 1）飞船的圆轨道离地面的高度是﹣R；（ 2）飞船在圆轨道上运行的角速度是..。
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求天体的加速度、质量、密度
一．知识聚焦 1.加速度：
表面上 mg Mm G =2
R
得2
g R
GM =
非表面 ()
ma R Mm
G
=+2
h 得)
(2
R a h GM
+=
2.中心天体质量M （或密度ρ）的估算 法一：利用表面物体mg Mm G
=2
R
，得到M=
法二：设行星m 绕天体M 做半径r 、周期T 的匀速圆周运动。
则G
2
r
Mm = m r
2
2
4T
π，所以M=
2
3
24GT
r π
对“近地”行星，r=R (R 表示天体的半径） M=ρ（4πR 3/3）所以ρ=
2
3GT
π
法三：
2
2
ω
mr r
Mm G =
法四：
r v
m
r
Mm G
2
2
=
总结：只要知道环绕天体的，线速度V ，角速度w,轨道半径r ，公转周期T ，任意两个，就可以求得中心天体质量，但是知道w 和T 除外。
例题1、下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G 是已知的）（ CD ）
A.地球绕太阳运行的周期T 和地球中心离太阳中心的距离r
B.月球绕地球运行的周期T 和地球的半径r
C.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r
D.月球绕地球运动的周期T 和轨道半径r 例题2、如图21所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是(D)
A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度；
B ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度；
C ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等候同一轨道上的c ；
D ．a 卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大。
例题3、某一物体在地球表面时，由弹簧测力计测得重160N ，把此物体放在航天器中，若航天器
以加速度2
g
a =（g 为地球表面的重力加速度）垂直地面上升，这时再用同一弹簧测力计测得物体的重力为90N ，忽
略地球自转的影响，已知地球半径R ，求此航天器距地面的高度。
解析：物体在地球表面时，重力为=mg 160N ①根据万有引力定律，在地面附近有2
R
GMm mg =
②
在距地面某一高度h 时，由牛顿定律得ma g m F N ='- ③根据万有引力定律，得2
)
(h R GMm g m +=' ④①②③④式
并代入数据解得R h 3=。
经典练习1
1、已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量（引力常量G 已知） （ ）
A ．月球绕地球运动的周期T 1及月球到地球中心的距离R 1
B ．地球绕太阳运行周期T 2及地球到太阳中心的距离R 2
C ．人造卫星在地面附近的运行速度v 3和运行周期T 3
D ．地球绕太阳运行的速度v 4及地球到太阳中心的距离R 4
2（绵阳06二诊）如图，a 、b 、c 是在地球大气层外同一平面内的圆形轨道上运动的三颗卫星，下列说法正确的是 （ D ） A ．若由于某种原因，a 的轨道半径缓慢减小，则其线速度将减小。
B ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度
C ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度
D ．若b 、c 绕地球转动的方向相同，则它们的距离保持不变
3宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t ，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为3L ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的质量M 和密度ρ.
[解析]此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度．
根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为2
21gt y =
设初始平抛小球的初速度为v ，则水平位移为x=vt ．有2
2
2
2
)()2
1(
L vt gt =+ ○
1 当以2v 的速度平抛小球时，水平位移为x'= 2vt ．所以有2
2
2
2
)3()
2()2
1
(L vt gt =+ ②
在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有mg=G
2
R
Mm
③
联立以上三个方程解得22
332Gt
LR M =
而天体的体积为3
3
4R V π=，由密度公式V
M =
ρ得天体的密度为R
Gt L 2
23πρ=。
b
a c
地球
图21。