结构动力计算多自由

,
2
1
(11 12 )m
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
例题 8-15 试求图8-32(a)所示两层刚架的自振频率和振 型。，已知横梁为刚性，各立柱的抗弯刚度，立柱的质量忽 略不计，横梁的质量m1= m2=5000 kg，每层的高度5 m。
解：两个自由度体系，设m1的位移为y1，m2的位移为y2
1 2
第一频率或基本频率
第二频率
基本振型或第一振型
第二振型
体系的频率和振型是体系的固有属性（natural property），
与外界因素无关。
振型向量
φ1
11
21
，
φ2
12
22
1 1
φi
k22
k21
i2m2
ci
k11
i2m1
k12
ci
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
1 2
11
k12
k22 m112
21
k11 m112
k21
1 2 22
k11
k12
m122
k22
m122
k21
y11(t) y21(t)
11 sin 21 sin
(1t 1) (1t 1)
y12 (t) y22 (t)
12 22
sin sin
(2t 2 ) (2t 2 )
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
振型方程（equation of mode shape）或幅值方程
（ k11 m1 2 k211 (k22
)1 k122 m2 2 )2
0 0
K 2Mφ 0
Hale Waihona Puke Baidu
频率方程（equation of frequency）或称为特征方程
k11 2m1
利用对称性
第二主振型 (反对称)
正对称
反对称
对称两自由度体系的自由振动可通过求解两个单自由度 问题来解决.
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
8. 5. 3 振型的正交性及其应用
两个自由度体系有两个振型向量 i i 1,2 ，存在着对
质量矩阵和刚度矩阵的正交性（orthogonality）：对应不 同自振频率的振型向量对质量矩阵和刚度矩阵都是正交的。
i
ci
(i 1, 2)
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
特例： 刚度形式
k11 k22 , m1 m2 m
1
k11 k12 m
, 2
k11 k12 m
柔度形式
11 22 , m1 m2 m
1 (11 12 )m
2 (11 12 )m
1
1
(11 12 )m
k12
0
k21
k22 2m2
K 2M 0
( 2 )2 ( k11 k22 ) 2 k11k22 k12k21 0
m1 m2
m1m2
( 2 )1, 2
1 2
( k11 m1
k22 m2
)
1 ( k11 k22 )2 k11k22 k12k21
4 m1 m2
m1m2
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
y1 y2
(t (t
) )
Ay11(t) Ay21(t)
By12 (t) By22 (t)
四个积分常数A、B、α1和α2 ，可由运动的初始条件
yi (0) yi0 、yi (0) yi0（ i 1, 2 ）确定。
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
8. 5. 2 频率和振型
一个特解对应一种振动形式。按每一特解形式作自由 振动的特点是：
1）体系上所有质量的振动频率相同。
2）在振动的任一时刻，各质量位移的比值保持不变， 即振动形状保持不变，将此振动形式称作主振型，简称为 振型（mode shape）。
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
运动方程的通解
第一主振型 1
1.2809 第二主振型
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
例题 8-16 图8-33(a)所示简支梁在三分点处有两个相 等的集中质量，不计梁本身的自重，梁的抗弯刚度为常数。 试用柔度法求其自振频率和振型。
解：不计轴向变形， 本例有两个自由度，设1、 2两处质量的竖向位移分别
T i
M
j
0
i≠ j
T i
K
j0
i≠ j
证明： K 2 M φ 0
Kφi i2Mφi Kφj j2 Mφj
T j
Kφi
T
ji
2
Mφi
iT Kφj iT j2 Mφj
T j
Kφi
Tj j2 Mφi
T
ji
2
Mφi
Tj j2 Mφi
0
i2
2 j
T j
Mφi
0
i2 j2
k11
4
12EI l3
48EI l3
k12
k21
4
12EI l3
48EI l3
k22
6
12 l
EI
3
72EI l3
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
12
60EI ml 3
12
17EI ml 3
(60 12
EI 17 ) ml3
2 2
60EI ml 3
12
17EI ml 3
T j
Mφi
0
T j
Kφi
0
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
关于振型正交性的物理解释
T j
Mi
0
i
2
T j
Mi
0
Yi i sin (it i ) (i 1,2)
FIi MYi
FIi i2Mi sin (it i ) (i 1, 2)
T j
FIi
为y1和y2。
11
22
43 243EI
12
21
73 486EI
1
(11
12 )m
15 486
m3 EI
2
( 22
21)m
1 486
m3 EI
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
1
1/ 1 5.69
EI m3
1
1 1c1
2
1/ 2 22
EI m3
2
1 1c2
第一主振型 (正对称)
(60 12
17
)
EI ml 3
1
(60 12
EI 17) ml3
10.050 8 (1/ s)
2
EI (60 12 17) 32.418 8 (1/ s)
ml3
1
1
k22
k21
12m2
c1
1
0.7808
c1
1
2
k22
k21
22m2
c2
1
1.2809
c2
1 0.7808
柔度形式的方程
(11m1
1
2
)1
12m22
0
21m11
( 22m2
1
2
)2
0
11m1
1
2
21m1
12 m2
0
22m2
1
2
1
2
1,2
11m1
22m2
2
1 4
(11m1
22m2
)2
(11 22
12 21)m1m2
1/
1 1
φi
11m1 i 12m2
ci
21m1
22m2