结构动力计算多自由
结构动力学多自由度
▪ 振型方程：
(K i2M)ji 0 (i 1, 2, 3, n)
▪∵
K 2i M 0
▪ ∴ 第i 个振型方程中的n 个方程中只有n-1个是独立的！ ▪ ——无法得到j1i、 j2i、 … 、 jni 的确定值， ▪ 但可以确定各质点振幅之间的相对比值： ▪ —— 振型的幅值是任意的，但形状是惟一的。
一致质量矩阵：
L
pava m13v1 0 fI ( x)v( x)dx
L
0
m( x) 3( x)v3
L
1( x)v1dx
mij 0 EI ( x)i ( x) j ( x)dx
L
cij 0 c( x) i ( x) j ( x)dx
其中，c(x)表示分布的粘滞阻尼特性。
一致节点荷载
L
vˆ 表示体系的形状，不随时间变化。
v 2vˆ sin(t ) 2v 2mvˆ sin(t ) kvˆ sin(t ) 0
k 2m vˆ 0
k 2m vˆ 0
即： k 2m 0
上式的N个根，表述体系可能存在的N个振型的频率。
1
2
3
N
2)
2
)
y32
(t
)
jˆ
32
s
in
(
2
t
2
)
1
jˆ
2i
yi
(t
)
jˆ3i
s
in(i
t
i
)
jˆ ni
1
jˆ 21
jˆ 31
jˆ 32
1
jˆ 22
将N个振型中的每一振型形式，用F表示N个振型所组成的方阵。
11 12 13 1N
结构力学结构的动力计算
§14-1 概述
一、构造动力计算旳特点
1、内容： （1）研究动力荷载作用下，构造旳内力、位移等计算原理 和计算措施。求出它们旳最大值并作为构造设计旳根据。 （2）研究单自由度及多自由度旳自由振动、逼迫振动。 2、静荷载和动荷载 （1）静荷载：荷载旳大小和方向不随时间变化（如梁板 自重）。 （2）动荷载：荷载旳大小和方向随时间变化，需要考虑 惯性力（与影响线不同）。
2、自由度：构造运动时，拟定全部质点位置 所需要旳独立几何参变量旳数目（与几何构成自由 度不同）。
3、有关自由度旳几点阐明：
（1）基本未知量数目与自由度数目是一致旳。前者强调独 立位移数目，后者强调独立坐标数目。
（2）与几何构成份析中旳自由度不同。
（3）一般采用“集中质量法”，将连续分布旳质量集中为 几种质点研究。
y
y 0 ω
sinωt
y0cosωt
进一步可拟定式
y c sin(t ) 中旳c和
c
c12 c22
y02
(
y0
)2
tg
1(
c2 c1
)
tg 1 (
y0
y0
)
c
c2
c1
频率定义：
2 2f
T
频率：
k11 1 g gk11
m
m 11
w 11
w
周期： T 2
m 2 k11
■ 动力计算与静力计算旳区别:
•达朗伯原理:动力计算可化为静力平衡问题来处理。 •这是一种形式上旳平衡，是一种动平衡，是在引进 惯性力旳条件下旳平衡。 • 注意两个特点：
（1）力系中涉及惯性力； （2）瞬间旳平衡，荷载、位移、内力等都是时间旳 函数。
newmark法计算多自由度结构响应
newmark法计算多自由度结构响应多自由度结构是指具有多个独立振动模式的结构，在地震、风荷载等外部力作用下，结构会产生复杂的振动响应。
为了分析这种结构的振动响应，工程师通常使用有限元法中的newmark法。
本文将介绍newmark法的基本原理，以及如何使用该方法计算多自由度结构的振动响应。
一、newmark法的基本原理newmark法是一种常用的求解结构动力学问题的数值方法，它通过离散化结构的振动方程，将结构的振动响应分解为一系列的时间步长来进行计算。
newmark法的基本原理是基于结构的动力学方程和位移速度加速度之间的关系，通过数值积分的方法求解结构的位移、速度和加速度随时间的变化。
newmark法的基本框架可以表示为：\[ M\Delta \ddot{u}^{n+1} + C\Delta\dot{u}^{n+1} +Ku^{n+1} = P^n \]其中\(M\)是结构的质量矩阵，\(C\)是结构的阻尼矩阵，\(K\)是结构的刚度矩阵，\(\Delta \ddot{u}^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时刻的加速度增量，\(\Delta\dot{u}^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时刻的速度增量，\(u^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时刻的位移，\(P^n\)是时间步长\(n\)时刻的外部荷载。
通过对上述结构动力学方程进行离散化，并选取合适的数值积分格式，可以得到newmark法的具体计算公式，其中包括了位移、速度和加速度的更新公式。
因此，newmark法可以方便地用于求解多自由度结构的振动响应。
二、使用newmark法计算多自由度结构的振动响应1.模型建立首先，需要对多自由度结构进行建模。
建模过程包括确定结构的几何形状、确定结构的材料性质、确定结构的边界条件等。
一般来说，可以采用有限元法来对多自由度结构进行离散化，将结构划分为多个小单元，并在每个小单元上建立适当的位移场和应变场。
结构力学专题十三(多自由度体系的动力计算)
FP1
m1
l
EI
l
FP 2
m2
l
二、任意荷载作用*
运动方程： M y(t) Ky(t) FP (t) (a)
1、主振型矩阵
1 2 n
2、广义质量、广义刚度
} M * T M 对角阵
K* T K
3、正则坐标
y(t) (t)
(b)
M y(t) Ky(t) FP(t) (a)
４、振型迭加法分析强迫振动
例1：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
k1 k，k2 2k，
m1
m1 m，m2 2m；
P0 sin t
EI1
k1 m2
h
已知：
2
k m
EI1
k2
h
A
P0 k
1 0
1
1
I
F
0P0
P0
P0
P0 k
动位移幅值图
动荷载图（虚拟）
例2：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
已知：
i
(t
)
i
(0)
cos
it
i (0) i
sin
it
(i 1, 2)
l
0E.I041
P0 L3 EI
sinP0 stin
m
t
EI
从以上例题的计算中可看出，一般情况下 １l 〉２ 〉l〉ｎ
故在振型迭加法中,一般是前几阶振型起主要作用。
思考：用振型叠加法求例1所示结构的位移幅值。
2
k m
2
1 3
k m
2 5 k 3m
2
k m
P0 sin t
P0 sin t
结构动力学newmark法程序
用matlab编程实现Newmark-β法计算多自由度体系的动力响应姓名：***学号：**************专业：结构工程用matlab 编程实现Newmark -β法 计算多自由度体系的动力响应一、Newmark -β法的基本原理Newmark-β法是一种逐步积分的方法，避免了任何叠加的应用，能很好的适应非线性的反应分析。
Newmark-β法假定：t u u u ut t t t t t ∆ββ∆∆]}{}){1[(}{}{+++-+= (1-1)2]}{}){21[(}{}{}{t u u t uu u t t t t t t ∆γγ∆∆∆+++-++= (1-2) 式中，β和γ是按积分的精度和稳定性要求进行调整的参数。
当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +∆t 时刻的速度不变，取为常数)}{}({21t t t u u ∆++ 。
研究表明，当β≥0.5， γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。
由式(2-141)和式(2-142)可得到用t t u ∆+}{及t u }{，t u}{ ，t u }{ 表示的t t u ∆+}{ ，t t u ∆+}{ 表达式，即有t tt t t t t u u t u u t u}){121(}{1)}{}({1}{2----=++γ∆γ∆γ∆∆ (1-3) t t t t t t t u t uu u t u}{)21(}){1()}{}({}{ ∆γβγβ∆γβ∆∆-+-+-=++ (1-4) 考虑t +∆t 时刻的振动微分方程为：t t t t t t t t R u K u C uM ∆∆∆∆++++=++}{}]{[}]{[}]{[ (1-5) 将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于u t +∆t 的方程t t t t R u K ∆∆++=}{}]{[ (1-6)式中][][1][][2C t M tK K ∆γβ∆γ++= )}{)12(}){1(}{]([)}){121(}{1}{1]([}{}{2t t t t t t t t u t uu t C u u t u tM R R ∆γβγβ∆γβγ∆γ∆γ∆-+-++-+++=+求解式(2-146)可得t t u ∆+}{，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出t t u∆+}{ 和t t u ∆+}{ 。
第12章 结构的动力计算(3)
l2 7m 12EI
w2
1
l2
1.309
EI 1 261 . 86 s m l3
(3)求主振型ri
第一主振型
ห้องสมุดไป่ตู้
r1
Y11 12 m2 1 Y21 11 m1 l1 1
第二主振型
Y12 12 m2 1 r2 Y22 11 m1 l 2 1
w1
1
l1
, w2
1
l2
(4)求主振型
(11m1 1 )Y1 12 m2Y2 0 1
w
2
21m1Y1 ( 22 m2
1) 第一主振型：将w w1代入
w
2
)Y2 0
Y11 12 m2 r1 Y21 11 m1 l1
2) 第二主振型：将w w2代入
y 0 [ ][M ] y
注意：[]与[K]虽然互为逆阵，但[]中之ij与[K]中之kij元素一般并不互 逆（仅单自由度体系例外）。
(2)运动方程的求解
设特解
1 11 m2 2 12 y1 m1 y y 1 21 m2 2 22 y 2 m1 y y
1 1
C C C
l /4
M 基1
1 1 B
图
C
M 2图
B B
13ll /64 13l /64 /4
解:(1)求柔度系数ij
A
1 A B 2 C
11
M1M 基 1 l /4 EI
23 dx 24EI
M 基2 图
l /4
22
M 2 M 基2 EI
dx
23 24EI
【结构动力学】第10章 多自由度体系2020
0
0
N
其中，ωn— 第n阶自振频率，{φ}n—第 n阶振型。
[Φ]和[Ω]也分别称为振型矩阵和谱矩阵。
13
5 DOF with uniform mass and stiffness
5 DOF Base Isolated 14
15
5 DOF with uniform mass and stiffness
k22 2m22 k2N 2m2n 0
k N1 2mN1 k N 2 2mN 2 k NN 2mNN
10
对于N个自由度的稳定结构体系，频率方程是关于ω2的 N次方程，
a N ( 2 ) N a N 1 ( 2 ) N 1 a1 2 a 0 0
由此可以解得N个正实根（ω12<ω22<ω32…<ωN2）。 ωn(n=1, 2, …, N)即为体系的自振频率。其中量值最小的 频率ω1叫基本频率(相应的周期T1=2π/ω1叫基本周期)。 从以上分析可知，多自由度体系只能按一些特定的频 率即按自振频率做自由振动。按某一自振频率振动时，结 构将保持一固定的形状，称为自振振型，或简称振型。
上述齐次方程组有非零解条件为：系数行列式为零
A [I ] 0
N×N矩阵[A]一般将有N个特征值，对应N个特征向量
6
§10-2 多自由度体系的自由振动
多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：
M u K u 0
其中：[M]、[K]为N×N阶的质量和刚度矩阵 {u}和{ü}是N阶位移和加速度向量 {0}是N阶零向量
11
把相应的自振频率ωn代入运动方程的特征方程得到振型
K n 2 M n 0
{φ}n={φ1n, φ2n , …, φNn }T—体系的第n阶振型 。 ➢ 由于特征方程的齐次性(线性方程组是线性相关的)，振型向量 是不定的，只有人为给定向量中的某一值，例如令φ1n=1，才能确 定其余的值。 ➢ 实际求解时就是令振型向量中的某一分量取定值后才能求解。 虽然令不同的分量等于不同的量，得到的振型在量值上会不一样， 但其比例关系是不变的。
结构动力学-多自由度系统振动
k 2k
y1 y2
0 0
m
M
0
0
k
m, K k
k
2k
解：①由频率方程求固有频率
K 2M 0 k m2
k 0
k 2k m2
展开上式得：(k m2 )(2k m2 ) k 2 0
2 1, 2
3k m
9k 2m2 4k 2m2 2m2
1 0.62
k, m
2 1.62
M20 0
M 21
y2 0
M1y1
M11
列力平衡方程为：M11 M1y1 0 M11 M1 M 21 0, M 31 0
同样的分析可以求得：M12 0, M 22 M 2 , M 23 0; M13 0, M 23 0, M 33 M 3;
所以，得到质量矩阵为： M1 0 0
k2
k3
P
p1 (t) p2 (t)
二、柔度矩阵法 用柔度矩阵法或者刚度矩阵建立方程本质上也是基于力的 动平衡来建立方程，关键在于求柔度系数或刚度系数。
例题 3-2 梁的跨长为 l ,梁上有两个集中质量 M1 和 M 2 ，分别受 到集中力 p1 (t) 和 p2 (t) 的作用。不计梁自身的质量和阻尼，建立 系统的垂向振动方程.
上面的方程为惯性解耦，刚度耦合方程。
kij 的物理意义：j 坐标发生单位位移，其余坐标位移全部为
零时, i 坐标引起的恢复力。
mij 的物理意义：仅在 j 坐标发生单位加速度时,在第 i 坐标所产生 的惯性力.
用柔度矩阵法建立的一般方程：
Y (P MY)
两边同乘以 1
1Y 1(P MY)
例题:针对下图给出的系统，建立振动微分方程。
结构动力学中的模态分析和多自由度系统
结构动力学中的模态分析和多自由度系统
结构动力学是力学中的一个分支，研究的是结构在外界载荷作
用下的动力响应和变形。
而模态分析是结构动力学中常用的分析
方法之一，它可以帮助我们深入了解结构的固有特性和动力响应。
在多自由度系统中，模态分析更是必不可少的方法之一。
一、模态分析的原理和方法
模态可以理解为结构在其内部和外部刺激或载荷下，自然振动
的特征方程根的值，也叫固有频率。
模态分析旨在通过求解结构
的特征值和特征向量来研究结构的固有特性。
具体的分析方法可
以分为三步：建立结构模型，求解结构特征值和特征向量，利用
特征值和特征向量进行分析。
二、模态分析的应用
在结构工程中，模态分析有广泛的应用。
首先，在结构设计阶段，我们可以通过模态分析确定结构的自然振动模型，确保结构
固有频率超出工作载荷频率，避免发生共振。
此外，模态分析还
可以帮助优化结构材料、结构形式及构件设计等方面。
在结构运
行和维护阶段，模态分析可以用于诊断结构的损伤，预测结构的
剩余寿命等。
三、多自由度系统和模态分析
多自由度系统指的是系统中有多个自由度，其模态分析和单自
由度系统有相似之处，但分析复杂度更高，需要运用更复杂的数
学模型和方法。
对于多自由度系统，我们可以利用有限元法建立
数学模型进行模拟分析，求解结构特征值和特征向量。
总之，在结构设计、分析和维护过程中，模态分析是一种十分
重要的手段。
通过模态分析，我们可以深入了解结构的固有特性，为结构设计和运行提供更可靠的保障。
《结构动力学》-第六章-多自由度系统振动(一)
用矩阵符号可写成：
mn n k n1 x1 k n2 x2 k nn xn Fn (t ) x
M X K X F (t )
3
问题：[A]中元素是否一定为正？
〈例〉求图示三自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵。
k1
m1
x1 k2
m2
x2 k3
x3 m3
解：易得刚度矩阵为：
k1 k2 K k2 0 k2 k 2 k3 k3 0 k3 k5
m1上加单位力，各质量的位移分别为：
写成矩阵形式为：
x1 a11 x a 2 21 x n a n1 a1n m1 0 a 22 a 2 n 0 m2 a n 2 a nn 0 0 a12 0 1 0 x 0 2 0 x 0 mn n 0 x
⒉ 柔度法 柔度系数aij定义为： 在第j个质量上作用单位力时在第i个质量上产生的位移。
(a) m1 y1 mi yi
mi i y
1
mj mn yj yn
m j j y mn n y
m1 1 y
(b)
i
ii
j
ji
1
(c)
i
ij
j
jj
(a)
m1 y1
mi yi
mi i y
d L dt q j
L q j
0
〈例〉求图示三自由度系统的运动微分方程。
结构动力学(无限自由度)
解：边界条件引入振幅曲线
左边： Y 0 0，Y0 0
得： C1 C3 0
振幅曲线简化为
Y x C2 sinh x C4 sin x 右边： Y l 0，Yl 0
C2 sinh l C4 sin l 0 C2 sinh l C4 sin l 0
令系数行列式=0
sinh l sin l
T t 2T t 0
Y IV x 4Y x 0
4 2m
EI
2 EI
m
两个方程的解分别为
T t asint
Y x C1 cosh x C2 sinh x C3 cosx C4 sin x
C1——C4由边界条件确定
则，振动方程的解为
yx，t Y xsint
例 14-5 试求等截面简支梁的自振频率和主振型。
1
Ep 2
EI
n i 1
aii
2
dx
2
2
m
n 1
aii
2
dx
令
kij EIi jdx，mij mi jdx
得
Ep
1 2
n i 1
n j 1
kij 2mij
aia j
应用驻值条件 Ep 0 ai
i 1，2， ，n
得
n
等截面梁弯曲时的静力平衡方程为
EI
d4 y dx4
q
在自由振动时，唯一的荷载就是惯性力，即
q
m
2 t
y
2
因此，等截面梁弯曲时的自由振动方程为
EI
4 y x4
m
2 y t 2
0
用分离变量法求解，令
yx，t Y xT t
代入振动方程，并整理得
多自由度体系wilson-θ法程序编写
多自由度体系wilson-θ法程序编写多自由度体系Wilson-θ法是一种广泛应用于多体动力学和结构动力学领域的数值计算方法。
本文将介绍如何使用Python编程语言编写多自由度体系Wilson-θ法的程序。
一、引言多自由度体系Wilson-θ法是一种基于有限元法的数值计算方法，适用于求解多体动力学和结构动力学中的问题。
该方法通过将体系分解为一系列有限元子系统，并采用θ矩阵方法进行求解，能够有效地处理大规模的多自由度体系。
二、程序编写1. 导入必要的库和模块在编写程序之前，需要导入必要的库和模块，包括numpy、scipy 和matplotlib等。
这些库提供了必要的数学运算、数值分析和图形绘制等功能。
2. 定义体系结构和有限元节点首先需要定义多自由度体系的结构和有限元节点的位置。
可以使用网格划分工具将体系划分为有限元网格，并定义每个节点的位置和编号。
3. 构建有限元矩阵和求解器使用Wilson-θ法进行数值计算，需要构建有限元矩阵和求解器。
该矩阵可以采用三角矩阵的形式进行表示，并使用θ矩阵方法进行求解。
在程序中，需要实现矩阵的构建、求解器的初始化等操作。
4. 迭代求解体系响应使用构建好的矩阵和求解器，可以进行迭代求解多自由度体系的响应。
在每次迭代中，需要输入当前时刻的体系响应作为初值，并输出下一时刻的响应结果。
5. 结果可视化最后，可以使用matplotlib等库将求解得到的响应结果进行可视化。
可以将时间历程、振型、频率响应等结果进行绘制，以便更好地分析体系的动态特性。
三、示例代码以下是一个简单的示例代码，用于演示如何使用Python编程语言编写多自由度体系Wilson-θ法的程序。
代码中假设体系由3个自由度的弹簧-质量系统组成，采用三角形矩阵进行求解。
```pythonimport numpy as npfrom scipy.sparse import csc_matrix, dia_matriximport matplotlib.pyplot as plt# 定义体系结构和有限元节点nodes = np.array([[0], [0.5], [1]]) # 节点位置数组degrees_of_freedom = 3 # 自由度数量system_size = len(nodes) # 体系大小node_indices = np.arange(system_size) # 节点编号数组# 构建有限元矩阵和求解器theta_matrix = csc_matrix(dia_matrix(system_size - degrees_of_freedom, 0)) # θ矩阵mass_matrix = csc_matrix(np.diag([0.5, 0.5, 1])) # 质量矩阵solution = np.zeros((system_size, degrees_of_freedom)) # 初始响应数组forces = np.zeros((system_size, degrees_of_freedom)) # 输出力数组forces[:degrees_of_freedom] = np.zeros((system_size, degrees_of_freedom)) # 初始输出力数组为零向量solver = theta_matrix.dot(solution) +theta_matrix.dot(forces) + mass_matrix # 初始化求解器theta_vector = np.zeros(system_size) # θ向量用于控制有限元矩阵的构造和更新# 进行迭代求解体系响应for iteration in range(100): # 迭代次数限制为100次response = solver.dot(theta_vector) # 输入当前时刻的响应作为初值进行迭代求解下一时刻的响应结果输出为力向量output_forces在每个节点上作用在体系的上结果可与theta向量用于控制有限元矩阵的构造和更新为了演示程序的基本结构和流程以上给出了一个简单的示例代码其中包含的主要内容有定义体系结构和有限元节点构建有限元矩阵和求解器以及进行迭代求解体系响应结果可视化等当然在实际应用中可能还需要考虑更多的因素例如如何处理边界条件如何处理体系的非线性特性等等因此在实际应用中需要根据具体问题对程序进行适当的修改和优化以下是一些可能需要的注意事项和技巧：1. 选择合适的有限元网格划分工具和算法，以确保计算的精度和效率。
第十五章-结构动力计算
②比例算法： 单自由度体系荷载作用在振动质点上，并且其作用线与质点运动方 向重合时，荷载和惯性力共线，两者可以合成一个力为：
都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方
便。
两端刚结的杆的侧移刚度为：
12EI l3
3EI
一端铰结的杆的侧移刚度为： l 3
§13.3 单自由度强迫振动
⑴简谐荷载
强迫振动（受迫振动）：结构在荷载作用下的振动。
弹性力－ky、惯性力 my..
y(t)
和荷载P(t)之间的平衡方程为:
复杂体系可通过加支 杆限制质量运动的办 法确定体系的自由度
⑷ 动力计算的原理和方法
结构动力计算中常用的基本原理为达朗伯原理： 在质点运动的每一瞬时，作用在质点上的所有外力（荷载与约束力） 与假想地加在质点上的惯性力互相平衡，可利用静力学的处理方法 建立结构的运动方程。在建立运动方程时，取静力平衡位置作为位 移y的坐标原点，位移y、速度 、加速度 的正方向取为一致。
学习目的和要求
工程结构除受静荷载作用外，有时还会受到随时间迅速变化的动 荷载作用，如地震荷载等。在动荷载作用下，结构发生振动，结构 的内力、位移等将随时间变化。确定它们的变化规律，从而得到这
些量的最大值，以便做出合理的动力设计是本章的学习目的。
本章基本要求：
掌握动力自由度的判别方法。 掌握单自由度、有限自由度体系运动方程的建立方法。 熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系动力特性的计算。 熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系在简谐荷载作用下动内
结构动力学多自由度
pbT
~ fpa
paT ~fpb paT ~fpb T pbT ~f T pa pbT ~fpa
故 ~f 、 k 均为对称矩阵。
单元刚度矩阵
单元刚度系数表示由单位节点位移所引起的节点力。
单元刚度系数由虚位移法求得。
例如，课本P106图11-5所示简支梁中，令a端发生单位转角， 并给该处一竖向虚位移，零外力所做的功，等于内力所做的 功。
表示一个自由度发生相应单位位移而其他节点不动时在结构中所 产生的的力。
弹性特性
柔度的定义：
~ fij —在j坐标施加单位荷载而引起的i坐标的挠度。
则任意荷载组合下： vi ~fi1 p1 ~fi2 p2 ~fiN pN
用矩阵表示：
v1
vi
v N
略去阻尼矩阵和施加的荷载向量的影响： mv kv 0
假定以上多自由度体系的振动是简谐振动：
v(t) vˆ sin(t )
vˆ 表示体系的形状，不随时间变化。
v 2vˆ sin(t ) 2v 2mvˆ sin(t ) kvˆ sin(t ) 0
k 2m vˆ 0
无阻尼自由振动—振动频率分析
k 2m vˆ 0
即： k 2m 0
上式的N个根，表述体系可能存在的N个振型的频率。
1
2
3
WE va pa v1 k13
Lபைடு நூலகம்
WI v1 0 EI ( x) 1''( x) 3''( x)dx
结构动力学之多自由度体系的振动问题ppt课件
448 (1 536)2
m1m2l 6 (EI )2
0
解得
21
23l3 (m1 m2 2 1 536EI
)
529(m1 m2 )2l6 41 5362 (EI )2
448m1m2l 6 1 5362 (EI )2
从而得第一和第二阶自振频率
1
1
1
2
1
2
为了确定第一阶振型，可将1代入平衡方程。
其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求 出频率ωi
柔度法
(11m1 )
12m2
...
21m1 ( 22m2 ) ...
...
...
...
1n mn 2nmn 0
...
n1m1
n2m2 ... ( nnmn )
将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}={0} 可求出n个主振型。
多个自由度体系的自由振动
结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性 密切相关；另外，当用振型叠加法计算任意干扰力 作用下结构的动力响应时，往往要用到自由振动的 频率(frequency)和振型(mode)。
为此，要需要首先分析自由振动。
自振频率和振型的计算
m1
m2
mi
mn
y1(t) y2(t)
yi(t)
刚度法
其中最小的频率1 称为最低自振频率，或称
基本频率。 通常将上述每一个频率所对应的振动都称为
主振动，对应于每一个主振动的形状称为主振 型。
1）如果各质体的初速度为零，而初位移和某 一振型成比例，然后任其自然，则系统就按 这个振型作简谐自由振动，此解答就相应于 该振动的一组特解；
第四章结构动力学多自由度体系详解
此时惯性力
设解为 y1(t) Y1 sin(t )
y2
(t)
Y2
s
in(t
)
幅值
m1y1(t) m1 2Y1 sin(t )
m2
y2
(t
)
m2
2Y2
s
in(t
)
2m1Y1 2m2Y2
Y1 ( 2m1Y1)11 ( 2m2Y2 )12
Y2 ( 2m1Y1) 21 ( 2m2Y2 ) 22
振但动其过比程值中始，终结保构持位不移变形。状保持不变的振动形式，称为主振型。
(k11 2m1
k21Y1 (k22
)Y1 k12Y2
2m2 )Y2
0 0
当然 Y1=Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令
D (k11 2m1)
k12
0
k21
(k22 2m2 )
特征方程 频率方程
第1振型
第2振型
（2）求频率(k1 k2 2m1)(k2 2m2 ) k22 0
若有 m1 nm2 [(n 1)k2 2nm2 ](k2 2m2 ) k22 0
k1 n k2 （3）求主振型
12
2
1 2
(2
1) n
4 n
1 n2
k2 m2
1 :
Y21 Y11
k22
二、 柔度法
m2 y2 m2
m1y1 m1
在自由振动过程中任意时刻t，质量m1、
y2(t) m2的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时 惯性力作用下的静力位移。
y1(t)
y1(t) m1y1(t)11 m2 y2(t)12
y2 (t) m1y1(t) 21 m2 y2 (t) 22
结构力学应用-结构动力学
（小阻尼） 令
有阻尼的自振频率
1
2
y(t ) e
t
y0 y0 ( y0 cos t sin t )
*写成
y(t ) b e
2 0
t
sin(t )
(14-12)
y0 y0 2 其中 b y ( )
柔度法（力法）
MY KY 0 MY Y 0
10、按柔度法求解
振型方程： ([ ][ 2 [ 1 M ]){Y } 00} ([ I ] M ] ][ [ I ]){Y } { 2 频率（特征）方程
D [ ][ M ] [ I ] 0
y0 tg y0 y0
位移－时间曲线如图示：
阻尼比——阻尼的基本参数： a.阻尼对频率（周期）的影响
k
2m
1 2
T T 1 2 T
0.2
T T
b、阻尼对振幅的影响
be
t
——振幅随时间逐渐衰减
11m1
1
12 m2
(k )
0 0
(14 63)
{Y }
(k )
Y1 Y2
(k )
11m1 k 12 m2
12 m2
k2
（k=1、2）
结构的刚度和质量分布 ——对称 其主振型 ——对称、反对称 计算自振频率： ——分别就正、反对称情况 ——取半跨结构计算 ——两个单自由度问题计算 显然，振型分别为： [1 1]T、[1 -1]T
1
0.2,
yn ln 2 j yn j 相隔j个周期： 1
结构动力计算的特点及动力自由度
结构动⼒特性及动⼒反应
⼀、结构动⼒计算的特点及动⼒⾃由度
与结构静⼒计算相⽐，结构承受周期荷载、冲击荷载、随机荷载等动⼒荷载作⽤时，结构的平衡⽅程中必须考虑惯性⼒的作⽤，有时还要考虑阻尼⼒的作⽤，且平衡⽅程是瞬时的，荷载、内⼒、位移等均是时间的函数。
由于在结构动⼒计算中要考虑惯性⼒、阻尼⼒的作⽤，故必须研究结构的质量在运动过程中的⾃由度。
结构的动⼒⾃由度是指确定运动过程中任⼀时刻全部质量的位置所需的独⽴⼏何参数的数⽬。
实际结构的质量都是连续分布的，均为⽆限⾃由度体系。
有时为了简化计算，将连续分布的质量⽤集中质量来代替，例如图6—1a、b、c、d所⽰体系，如果不计杆件轴向变形和集中质量的转动惯性，则其动⼒⾃由度分别为1、1、2、4。
⽽图6—1e所⽰桁架的动⼒⾃由度为2，这是由于桁架杆件应考虑轴向变形。
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y1 y2
(t (t
) )
Ay11(t) Ay21(t)
By12 (t) By22 (t)
四个积分常数A、B、α1和α2 ，可由运动的初始条件
yi (0) yi0 、yi (0) yi0（ i 1, 2 ）确定。
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
8. 5. 2 频率和振型
一个特解对应一种振动形式。按每一特解形式作自由 振动的特点是：
1）体系上所有质量的振动频率相同。
2）在振动的任一时刻，各质量位移的比值保持不变， 即振动形状保持不变，将此振动形式称作主振型，简称为 振型（mode shape）。
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
运动方程的通解
1 2
11
k12
k22 m112
21
k11 m112
k21
1 2 22
k11
k12
m122
k22
m122
k21
y11(t) y21(t)
11 sin 21 sin
(1t 1) (1t 1)
y12 (t) y22 (t)
12 22
sin sin
(2t 2 ) (2t 2 )
k12
0
k21
k22 2m2
K 2M 0
( 2 )2 ( k11 k22 ) 2 k11k22 k12k21 0
m1 m2
m1m2
( 2 )1, 2
1 2
( k11 m1
k22 m2
)
1 ( k11 k22 )2 k11k22 k12k21
4 m1 m2
m1m2
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
利用对称性
第二主振型 (反对称)
正对称
反对称
对称两自由度体系的自由振动可通过求解两个单自由度 问题来解决.
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
8. 5. 3 振型的正交性及其应用
两个自由度体系有两个振型向量 i i 1,2 ，存在着对
质量矩阵和刚度矩阵的正交性（orthogonality）：对应不 同自振频率的振型向量对质量矩阵和刚度矩阵都是正交的。
第一主振型 1
1.2809 第二主振型
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
例题 8-16 图8-33(a)所示简支梁在三分点处有两个相 等的集中质量，不计梁本身的自重，梁的抗弯刚度为常数。 试用柔度法求其自振频率和振型。
解：不计轴向变形， 本例有两个自由度，设1、 2两处质量的竖向位移分别
1 2
第一频率或基本频率
第二频率
基本振型或第一振型
第二振型
体系的频率和振型是体系的固有属性（natural property），
与外界因素无关。
振型向量
φ1
11
21
，
φ2
12
Байду номын сангаас
22
1 1
φi
k22
k21
i2m2
ci
k11
i2m1
k12
ci
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
T j
Mφi
0
T j
Kφi
0
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
关于振型正交性的物理解释
T j
Mi
0
i
2
T j
Mi
0
Yi i sin (it i ) (i 1,2)
FIi MYi
FIi i2Mi sin (it i ) (i 1, 2)
T j
FIi
,
2
1
(11 12 )m
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
例题 8-15 试求图8-32(a)所示两层刚架的自振频率和振 型。，已知横梁为刚性，各立柱的抗弯刚度，立柱的质量忽 略不计，横梁的质量m1= m2=5000 kg，每层的高度5 m。
解：两个自由度体系，设m1的位移为y1，m2的位移为y2
柔度形式的方程
(11m1
1
2
)1
12m22
0
21m11
( 22m2
1
2
)2
0
11m1
1
2
21m1
12 m2
0
22m2
1
2
1
2
1,2
11m1
22m2
2
1 4
(11m1
22m2
)2
(11 22
12 21)m1m2
1/
1 1
φi
11m1 i 12m2
ci
21m1
22m2
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
振型方程（equation of mode shape）或幅值方程
（ k11 m1 2 k211 (k22
)1 k122 m2 2 )2
0 0
K 2Mφ 0
频率方程（equation of frequency）或称为特征方程
k11 2m1
(60 12
17
)
EI ml 3
1
(60 12
EI 17) ml3
10.050 8 (1/ s)
2
EI (60 12 17) 32.418 8 (1/ s)
ml3
1
1
k22
k21
12m2
c1
1
0.7808
c1
1
2
k22
k21
22m2
c2
1
1.2809
c2
1 0.7808
T i
M
j
0
i≠ j
T i
K
j0
i≠ j
证明： K 2 M φ 0
Kφi i2Mφi Kφj j2 Mφj
T j
Kφi
T
ji
2
Mφi
iT Kφj iT j2 Mφj
T j
Kφi
Tj j2 Mφi
T
ji
2
Mφi
Tj j2 Mφi
0
i2
2 j
T j
Mφi
0
i2 j2
为y1和y2。
11
22
43 243EI
12
21
73 486EI
1
(11
12 )m
15 486
m3 EI
2
( 22
21)m
1 486
m3 EI
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
1
1/ 1 5.69
EI m3
1
1 1c1
2
1/ 2 22
EI m3
2
1 1c2
第一主振型 (正对称)
k11
4
12EI l3
48EI l3
k12
k21
4
12EI l3
48EI l3
k22
6
12 l
EI
3
72EI l3
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
12
60EI ml 3
12
17EI ml 3
(60 12
EI 17 ) ml3
2 2
60EI ml 3
12
17EI ml 3
i
ci
(i 1, 2)
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
特例： 刚度形式
k11 k22 , m1 m2 m
1
k11 k12 m
, 2
k11 k12 m
柔度形式
11 22 , m1 m2 m
1 (11 12 )m
2 (11 12 )m
1
1
(11 12 )m