小学奥数同余问题

小学奥数同余问题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

同余问题（一）

在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分我们知道一天是24小时，，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。

1. 同余的表达式和特殊符号

37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。

记作：（mod7）“”读作同余。

一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：

2. 同余的性质

（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）

（2）若，那么（这称作同余的对称性）

（3）若，，则（这称为同余的传递性）

（4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）

（称为同余的可乘性）

（5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：

如果

那么（的差一定能被k整除）

这是为什么呢

k也就是的公约数，所以有

下面我们应用同余的这些性质解题。

【例题分析】

例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几

分析与解答：

假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，

说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。

所以a最大是31。

例2. 除以19，余数是几

分析与解答：

如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。

所以

此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。

例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几最后余数是几

分析与解答：

这个数除以13，商是有规律的。

商是170940六个数循环，那么，即，我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们

找的那个数“9”，所以商的第100位是9。

余数是几呢

则

所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。

【模拟试题】（答题时间：20分钟）

1. 求下列算式中的余数。

（1）（2）

（3）（4）

2. 6254与37的积除以7，余数是几

3. 如果某数除482，992，1094都余74，这个数是几

同余问题（二）

【例题分析】

例1. 除以7，余数是几

分析与解答：

例2. 一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余1，这个自然数最小是几

分析：假设这个自然数为a

那么

这道题考虑的困难是它们的余数不相同。

如果把这道题改一下，使它们的余数相同，利用整除的知识，便容易考虑了，先看下面一道题：

一个自然数除以3余2，除以5余2，除以7余2，那么，这个自然数若减去2，便同时是3，5，7的倍数，这样的自然数有：

105，210，315，……

分别被3，5，7除余2的数是

2，107，212，317，……

最小的自然数是2。

回过头来看刚才的题，能不能把它也变为余数相同的数呢

稍加变式，可以写成：

这样同时是3，5，7倍数的数有105，210，315，……

那么同时被3，5，7余8的数有：

8，113，218，323，……

其中最小的自然数为8。

所以余数是5

刘老师说，小明的算法不仅正确，而且巧妙迅速，你知道其中的道理吗

分析与解答：

看了下面的算式，你就会明白的。

小明用的这种方法，有比较广泛的应用，常称之为“拼凑法”在解关于用几除的余数的问题时，常常“拼凑”出显然是几的倍数的部分，对于这部分，简直可以“置之不理”，这样可以使解答过程简化。

例4. 除以3的余数是几为什么

分析与解答：

在上式的加项中，显然可以被3整除，因此只须计算被3除余数是几。

由于

因此

由此可知，只须计算被3除的余数，它又等于被3除的余

数。由于，所以

所以余数是1

【模拟试题】

2. 求除以3所得的余数。

1. 今天是星期日，再过天又是星期几

3. 某数除680，970和1521，余数相同，这个数最大是几

4. 有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是7，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么，第1997个数被3除，余数是几

5. 若将一批货物共千克装入纸箱，每箱装10千克，最后余多少千克若每箱装17千克，最后还余多少千克

6、1309被一个质数相除，余数是21，求这个质数。

7、1796被一个质数相除，余数是24，求这个质数。

8、求2001×2000除以7的余数。

9、求123×345+234×456除以11的余数。

10、有一个大于1的整数，它除1000、1975、2001都得到相同的余数，那么这个整数是多少11、有三个数1989、901和306被同一个自然数除，得到相同的余数，求这个自然数。

12、两个自然数相除，商15，余3，被除数、除数、商、余数的和是853，求被除数。

13、有一个数除以3余1，除以4余2，问这个数除以12，余数是几

14、一个数除以5余1，除以6余3，除以7余4，这个数最小是几

15、3867×4253＝1644□351，求□里的数。4937×6845＝3379□765，求□里的数。16、两个自然数相除，商8余16，被除数、除数、商与余数的和为265，求除数是多少

17、写出除以8所得的商和余数（不为0）相同的所有的数。

18、2002×2002-2001除以9的余数是多少

19、当2002和1781除以某一个自然数，余数分别是2和1，那么这个数最大是多少

20、一个数除以17的余数是5，被除数扩大2倍，余数是多少

21、有一个数，除以3余数是1，除以4余数是3 。这个数除以12，余数是多少。

22、570被一个两位数除，余数是15，这个两位数是多少

23、有一个数加上22的和被9除余3，这个数加上35的和被9被余几

B组

26、把几十个苹果平均分成若干份，每份9个余8个，每份8个余7个每份4个余3个。这堆苹果共有多少个

27、有一个数被5和11整除均余4，被3正好整除，这个数最小是几

28、求被4除余2，被6除余2，被9除余5的两位数。